Ancora nodi

Mezz'ora fa ero convinto che sarei andato a letto entro pochi minuti, poi sono arrivato su questo sito. Ora ho una scarpa davanti alla tastiera sulla quale sto facendo esperimenti. Lo Ian's fast shoelace knot è geniale, ma devo imparare bene lo Ian's secure shoelace knot perché i nodi che faccio normalmente mi si slacciano sempre (dice il sito che è colpa delle stringhe un po' troppo rigide e a sezione circolare).

La macchina per nodi probabilistica

Qualche mese fa avevo sistemato la mia molla da elettricista con tutte le cure possibili, eppure quando l'ho ripresa due giorni fa per stendere un cavo di rete l'ho ritrovata piena di nodi. È evidente che le strutture lunghe, sottili e sufficientemente flessibili hanno una tendenza spontanea ad annodarsi.

Ora l'evidenza è stata studiata scientificamente: due fisici della UC San Diego hanno pubblicato un articolo dal titolo “Spontaneous knotting of an agitated string”, nel quale studiano la formazione spontanea di nodi in una corda in movimento. Essendo fisici, hanno preferito un approccio sperimentale a uno studio teorico, e hanno costruito una macchina per nodi.

Hanno preso una scatola di plastica trasparente, di forma cubica, di lato 0.30 metri, e l'hanno fatta ruotare con la velocità di un giro completo al secondo per 10 secondi. Hanno utilizzato una corda del diametro di 3.2 millimetri, di densità pari a 0.04 grammi per centimetro e una rigidità alla flessione di 3.1×10⁴ dine·cm².

In altre parole, prosegue l'articolo, la corda ha il diametro di un cavetto da mouse e la rigidità di uno spaghetto mezzo cotto.

Dopo aver fatto 3415 prove (un numero di prove necessario per ottenere risultati statisticamente validi, dicono) i due ricercatori hanno visto che si formavano nodi circa una volta ogni due. Si sono poi fatti aiutare da un programma per computer per studiare le diverse forme dei nodi formatisi, calcolandone il polinomio di Jones (mica roba da ridere, nel 1990 Jones ha guadagnato una medaglia Fields per la scoperta del polinomio che porta il suo nome).

Le conclusioni sono state le seguenti. Per prima cosa, è necessaria una lunghezza minima per la formazione dei nodi: 18.124 pollici è il valore trovato dai due ricercatori (il motivo per cui si ostinano a rifiutare il sistema metrico decimale è ignoto, e dire che ci sono stati anche spiacevoli incidenti a causa di questo fatto). Poi, ci deve essere abbastanza spazio per permettere alla corda di muoversi. Infine, sono stati generati tutti i possibili nodi con sette incroci, e ne sono stati osservati anche alcuni con undici incroci. Detto in termini rigorosi: “long things get tangled”.

Alla fine, pare che ci siano anche applicazioni pratiche per questo studio (si vede che non è stato fatto da matematici): potrebbe essere usato per prevenire i casi di annodamento del cordone ombelicale, oppure per capire come mai ogni tanto il DNA all'interno di una cellula si annoda, creando problemi quando la cellula cerca di dividersi. Le cellule, però, hanno già sviluppato un meccanismo per risolvere la cosa: grazie ad alcuni enzimi riescono a “ridistendere” il filamento annodato.

Forse, conclude l'articolo, potremmo anche noi, un giorno, avere a disposizione degli enzimi che ci permettano di snodare la gomma per innaffiare il giardino, o la matassa delle luci da mettere sull'albero di Natale. It might happen someday. Or knot.

(via 360)

Behold the power of the pigeonhole principle

Potenza del principio della piccionaia (o principio dei cassetti, per gli italiani): esistono almeno due persone con lo stesso numero di capelli.

(via meep livejournal)

Progetto Eulero

Project Euler exists to encourage, challenge, and develop the skills and enjoyment of anyone with an interest in the fascinating world of mathematics.

Leggo da Stacktrace che esiste un sito, chiamato Project Euler, che propone problemi matematici che dovrebbero essere risolti mediante algoritmi per computer (anche se alcuni problemi semplici potrebbero essere risolti semplicemente con carta e penna). Non c'è limite di tempo per l'invio delle soluzioni, ma è richiesto un limite di tempo per l'esecuzione dei programmi risolutivi: su un computer medio il programma non dovrebbe impiegare più di un minuto.

I geek di Stacktrace si propongono di scrivere un articolo, a cadenza più o meno settimanale, che commenta e risolve uno dei problemi proposti. Oggi hanno pubblicato il primo.

Famous problems of geometry

Questo libro parla delle costruzioni con riga e compasso, categoria di problemi molto amata dagli antichi greci. Analizza, spiega e dimostra alcuni semplici problemi preliminari, fornisce un criterio analitico per la costruibilità mediante riga e compasso, parla dei numeri complessi, dimostra l'impossibilità di risolvere (sempre mediante riga e compasso, naturalmente) il problema di Delo, il problema della trisezione dell'angolo e quello della quadratura del cerchio.

Infine parla della costruibilità dei poligoni regolari, il tutto condito da dimostrazioni ed esercizi per casa (con le soluzioni in fondo al libro).

Parla anche della scoperta, da parte di Gauss (anzi, Gauß), della costruzione dell'eptadecagono, e riporta anche l'aneddotto secondo il quale dopo la sua morte venne eretta in suo onore, a Göttingen, una statua di bronzo con il piedistallo avente la forma di un eptadecagono. Wikipedia aggiunge, però, che lo scalpellino rifiutò, dicendo che un poligono di 17 lati sarebbe stato indistinguibile da un cerchio. A questo punto bisogna andare a controllare...

Kenissuaq

Buon compleanno, Lungo Fucile.

La musica del Big Bang

Quando ero giovane, per un po' di tempo ho pensato di iscrivermi al corso di laurea in astronomia, poi ho scelto matematica. Dopo la laurea, per un brevissimo periodo ho pensato nuovamente di iscrivermi ad astronomia, poi sono tornato sulla terra.

Comunque la passione mi è rimasta, e ho sempre letto con curiosità i libri di divulgazione sull'argomento.

L'ultimo che ho letto è stato questo:

scritto da un italiano, che ha anche un blog (e non solo). Mi è piaciuto, mi ha introdotto ad argomenti che non conoscevo, come l'esistenza della materia oscura e dell'energia oscura, e mi ha aggiornato sugli ultimi sviluppi della cosmologia. Consigliato.

Associazioni

Nell'arco di dieci secondi quelli di quinta, partendo da questo libro, sono passati a parlare del problema del postino cinese, passando poi al problema della raccolta dei rifiuti in una grande città, per arrivare infine a Pac-Man.

60 anni di transistor

Il 16 dicembre 1947 William Shockley, John Bardeen e Walter Brattain costruirono il primo transistor. Per questo, nel 1956 ricevettero il premio Nobel, con la motivazione per le ricerche sui semiconduttori e per la scoperta dell'effetto transistor.

(Via Quinta's weblog)

Tangenti comuni a due circonferenze

Nel risolvere un quesito dell'ultimo Rudi Mathematici mi sono imbattuto in un problema carino: la ricerca delle tangenti comuni a due circonferenze. È un problema che si può risolvere con la geometria analitica, ma ero curioso di sapere se si potesse risolvere solo con riga e compasso, come facevano i greci di una volta.

Ho chiesto ai miei studenti di prima: loro sostenevano che si potesse fare, che il loro insegnante di tecnologia e disegno l'avesse spiegato, ma quando sono venuti alla lavagna a mostrarmi il procedimento ho capito che non sapevano bene quello che stavano disegnando...

Allora sono andato direttamente alla fonte (il collega), e mi sono fatto raccontare come si fa.

Ecco qua. Cominciamo da due circonferenze come in figura:



Scegliamo una direzione casuale, tracciamo due rette parallele passanti per i due centri e aventi la direzione scelta. Nella prima circonferenza scegliamo uno dei due punti di intersezione, nella seconda scegliamo quello che si trova dalla parte opposta rispetto alla retta congiungente i due centri.



Ora congiungiamo i due punti trovati e intersechiamo la nuova retta con la congiungente i due centri: identifichiamo così un nuovo punto. A questo punto non ci interessano più le rette tracciate in precedenza, ma ci interessano solo i tre punti sulla retta che congiunge i due centri.



Questi tre punti delimitano due segmenti: troviamo i loro punti medi (segnati in rosso).



Tracciamo le due circonferenze (rosse) aventi i centri nei due punti rossi, e passanti per il punto blu esterno alle due circonferenze date. Esse intersecano le circonferenze blu in quattro punti — ne mettiamo in evidenza solo due, in verde, da parti opposte rispetto alla congiungente i due centri. Questi sono i punti di tangenza.



Eccoci arrivati: la retta passante per i due punti verdi è una delle tangenti cercate.



Il lettore volonteroso saprà trovare anche l'altra tangente che passa tra le due circonferenze. Poi, con procedimento analogo, saprà anche trovare le altre due tangenti comuni (perché in tutto ce ne sono quattro, in effetti). Volendo, saprà anche dimostrare che il procedimento è corretto.

[Nota tecnica: le figure sono state fatte con kseg, un programma free per linux simile a Cabri (correzione: vedo che ci sono port per Mac e Windows)]

Stroncato

Quelli di fantascienza.com hanno stroncato senza pietà il primo (loro dicono e ultimo) film tratto da Queste Oscure Materie, La Bussola d'Oro.

150 anni di teoria delle matrici

Centocinquanta anni fa (più due giorni, sono in ritardo, ma sono ammalato, mi giustifico) Arthur Cayley inviò alla Royal Society di Londra un suo articolo sulle matrici, dal titolo A Memoir on the Theory of Matrices. Da allora il mondo si è riempito di autovalori e autovettori.

Con un po' di pazienza, qui si può trovare l'articolo completo (bisogna andare a pagina 475).

La duplicazione della pizza

Pizza e Platone: un post da non perdere di Dario Bressanini.

John Titor

In quarta va di moda la storia di John Titor, il viaggiatore nel tempo. Ora Attivissimo sta scrivendo un libro sull'argomento, e ne parla anche alla radio.

Il dodo

In quarta:

“Allora, ecco il risultato, questo è il limite notevole del logaritmo”.

“Ma dai! Prof, ma quando mai ci capiterà di trovare un logaritmo proprio di 1+x?”.

“Eh, sì, prof, magari si poteva fare un limite con il logaritmo di x, ma di 1+x? Che senso ha?”.

“Prof, è più facile trovare un uovo di dodo che un logaritmo di 1+x”.

Ammetto che la battuta colta mi ha fatto sorridere. Poi uno studente ha aggiunto:

“Ma dai, cosa vai a pensare, le uova di un pokémon!”.

È intelligente, ma non si applica

Questa non è della mia scuola e quindi posso raccontarla senza timori...

La studentessa fa, dall'inizio dell'anno, la settimana corta. Va a scuola dal martedì al venerdì, mentre il lunedì e il sabato non si fa mai vedere. Passa settembre, passa ottobre, ci sono i consigli di classe, i ricevimenti dei genitori, la studentessa viene redarguita.

Poi non la si vede più a scuola. Cos'è successo?, domandano gli insegnanti. Sa, prof, la studentessa è in vacanza. Come in vacanza? Eh, sì, lei ha promesso che da ora in poi verrà a scuola anche il lunedì e il sabato, e i genitori le hanno dato un premio. Adesso è, per due settimane, alle Seychelles, poi torna.

Comunque sia, la studentessa ha finito le vacanze già da un po' di tempo, ma pare che ora faccia la settimana cortissima: a scuola non l'hanno più vista.

Il gioco del 15

Il gioco del 15 è famoso: si tratta di riordinare 15 caselle numerate da 1 a 15 disposte in una griglia 4×4. Anche l'immagine qua sopra è abbastanza famosa: è un enigma proposto da Sam Loyd relativo al gioco in questione. Riuscite a riordinare i numeri del gioco rappresentato in figura?

Se ancora non sapete la soluzione, non leggete oltre.

Se invece sapete già che la risposta è... (siamo sicuri che volete saperlo? bé, magari lo scrivo sotto, se sapete già la risposta è inutile che la ripeta proprio qua).

Comunque, se uno prova a cercare in giro la soluzione trova, su vari siti, che la risposta dipende da un problema di parità, ma la dimostrazione completa non la si trova quasi mai.

Ebbene, eccola qua. Una dimostrazione seria, come fanno i Veri Matematici.

Sia N il numero di coppie di numeri che non sono nel loro ordine naturale. Nell'esempio della figura N=1, perché la coppia (15,14) non è ordinata (mentre tutte le altre sono in ordine—occhio che bisogna considerare tutte le possibili coppie, cioè (1,2), (1,3), (1,4), ... , (2,3), (2,4), ... , (3,4), ... , (15,14). In sostanza, quando si parla di coppia si intende che si devono scegliere due numeri a caso, procedendo secondo il verso di lettura).

Invece di ragionare su spostamenti di caselle, conviene ragionare su spostamenti del buco.

Teorema dello spostamento orizzontale. Ogni spostamento del buco di uno spazio verso destra o verso sinistra lascia N costante.

Dimostrazione: uno spostamento a destra o a sinistra del buco non cambia l'ordine secondo cui sono disposte le caselle. CVD.

Teorema dello spostamento verticale. Ogni spostamento del buco di uno spazio verso l'alto o verso il basso fa aumentare o diminuire N di 3 unità.

Dimostrazione: uno spostamento del buco verso il basso cambia l'ordinamento della tessera spostata rispetto alle tre tessere precedenti. Viceversa, uno spostamento del buco verso l'alto cambia l'ordinamento rispetto alle tre tessere successive. CVD.

Teorema del ritorno. Qualunque movimento di tessere che riporti il buco nella posizione iniziale altera N di un numero pari di unità.

Dimostrazione: siccome il movimento orizzontale del buco è ininfluente, possiamo porre l'attenzione solo sui movimenti verticali. Perché il buco possa ritornare nella posizione di partenza, deve essere stato fatto un numero pari di movimenti verticali. Dunque N viene modificato secondo la formula



(dove a_n è uguale a 0 oppure a 1, a seconda di come viene cambiato l'ordinamento: abbiamo detto che N aumenta o diminuisce di 3, ma non sappiamo distinguere i due casi in generale, dipende dalle mosse che vengono fatte).

Anche se non sappiamo quanti sono gli a_n uguali a zero e quanti, invece, gli a_n uguali a uno, sappiamo però che questi sono sempre un numero pari. Possiamo pensare, allora, di accoppiare i valori di (-1)^a_n, cioè di sommarli due alla volta. Possono presentarsi solo quattro possibilità:
+1+1=2,
+1-1=0,
-1+1=0,
-1-1=-2,
e questi sono tutti numeri pari. CVD.

Allora possiamo dare una risposta al quesito iniziale: è possibile riordinare i numeri della figura? La disposizione iniziale ha N=1, quella richiesta ha N=0, e siccome N può variare soltanto di un numero pari di unità la disposizione iniziale non può essere riordinata come richiesto.

Amore e analisi dei circuiti

Questo piacerà ai miei studenti elettronici:

Rivoluzione

“Prof, posso fare una domanda?”, chiede Elisa Rivoluzionaria, classe prima.

“Vai”.

“Però non c'entra molto con quello che stiamo facendo...”.

“Mmh”.

“No, perché... bè, no, niente” (ottima tattica).

“Dai, dimmi”.

“Ecco, io non ho mai capito bene una cosa. Perché 3×0 fa 0? Secondo me dovrebbe fare 3. Cioè, se moltiplico 3 per sé stesso 0 volte, rimane un solo 3”.

“Ok, capito. Potrei dirti che prendere un numero zero volte significa non prenderlo, quindi non hai niente, quindi zero, ma immagino che come risposta non ti soddisfi, dico bene?”.

“Eh, in effetti, sì”.

“Allora proviamo con un'altra risposta. Ti ricordi quando, all'inizio dell'anno, abbiamo parlato delle potenze? Di come abbiamo spiegato il significato delle potenze con esponente negativo? Quando diciamo 3^-2 non pensiamo alla moltiplicazione di 3 per sé stesso meno due volte, vero?”.

“Eh, no”.

“Avevamo detto che quella era una definizione. Se vuoi che le proprietà delle potenze valgano ancora, 3^-2 deve essere uguale a 1/3², giusto?”.

“Sì, mi ricordo”.

“Bene, allora guarda questo”. E scrivo alla lavagna questa uguaglianza:

3×0 = 3×(1-1) = 3×1 - 3×1 = 3 - 3 = 0.

“Vedi? Se vuoi che la proprietà distributiva sia ancora valida, bisogna che tre per zero faccia zero”.

“Ah, che bello! Ho capito!”. Sorrisone, espressione soddisfatta.

“Va meglio questa spiegazione, eh?”.

“Sì. Sa, prof, alle medie avevamo fatto una mezza rivoluzione su questa cosa...”.

“Rivoluzione?”.

“Eh, sì. Noi eravamo del gruppo del 3×0=3”.

“Ma dai. E magari facevate anche le proteste?”.

“Sì, eravamo molto presi, andavamo in giro per i corridoi, avevamo gli striscioni con scritto sopra 3×0=3”.

Langkofelscharte

Era l'inverno della quarta superiore. I miei mi portarono in settimana bianca, a S. Cristina di Val Gardena. Mi iscrissi alla scuola di sci, e venni assegnato alla sesta classe, quella dei “bravi”.

Dopo tre giorni di lezione il maestro (ho trovato la foto, c'è ancora!) ci portò ai piedi di una montagna e ci disse:
“Vedete lassù? Quello è il Sassolungo, di fianco c'è il Sassopiatto. Lì in mezzo c'è la forcella del Sassolungo: se vi va bene, domani la facciamo”.

Guardando in alto, vedemmo un impianto di risalita che portava alla forcella tra le due cime e, sotto, una pista piena di sassi, interrotta qua e là da alcune reti che forse servivano per fermare le eventuali cadute degli sciatori, o forse per le valanghe, chissà.

“Maestro, ma dobbiamo fare quella pista piena di sassi?”.
“Ah, no, non scendiamo da questa parte, scendiamo dall'altra!”.
“Ma dall'altra parte non ci sono piste!”.
“Appunto”.

La mattina dopo, inquieti (almeno, io lo ero), tornammo all'impianto di risalita. Era una vecchia ovovia, di quelle con cabine da due persone, gialle, dove si deve stare in piedi. Gli sci si infilavano in un portasci all'esterno, si doveva correre per salire, e poi si doveva attendere. Infatti le cabine non si staccavano dalla fune per permettere una salita agevole, e quindi la fune stessa non poteva andare troppo veloce. Forse allora non esistevano ancora impianti di quel tipo, fatto sta che la risalità durò un quarto d'ora. Al giorno d'oggi un tempo d'attesa così lungo, in piedi, al freddo, è impensabile. Allora era abbastanza normale, io ero salito con un tedesco col quale ho scambiato una sola frase: gli dissi che a scuola studiavo tedesco, ma devo averglielo detto così male che lui lasciò perdere ogni tentativo di dialogo.

Intanto la forcella si avvicinava, noi eravamo sospesi su una pista ripidissima, le pareti del Sassolungo e del Sassopiatto erano sempre più vicine, in alto si vedeva un rifugio, nulla si poteva sapere su quello che ci sarebbe stato dall'altra parte.

Arrivati su, congelati, il maestro ci propose di entrare nel rifugio a scaldarci un po'. Tutti accettammo con piacere, e nel breve percorso dalla stazione di arrivo dell'ovovia all'entrata del rifugio riuscii a dare un'occhiata all'“altra parte” della forcella: un nulla bianco. E stretto. Entrai nel rifugio tremando, non solo per il freddo.

Ingurgitata una serie di sostanze dopanti (erano solo le dieci del mattino), ci toccò di lasciare il rifugio, che per me era diventato un nido da non abbandonare per nessun motivo al mondo, e cominciammo la discesa.

“Ora vado avanti io”, ci disse il maestro, “mi fermo laggiù e vi faccio segno di scendere. Scendete uno alla volta, così se cadete vi fermo io”.

Questo fu l'inizio di una discesa meravigliosa, fuori dalle piste, che ci portò fino a valle. Non prendemmo nessun altro impianto, arrivammo in fondo, avremmo dovuto prendere una seggiovia per ritornare al punto di partenza, ma gli impianti erano ormai chiusi. Allora sciammo lungo stradine che, d'estate, erano pedonali in mezzo al paesino, tra la gente che stava passeggiando. Arrivammo alle sette di sera, dopo nove ore di sci.

Un'esperienza che ricordo ancora con orgoglio: quando passo da quelle parti non manco mai di ricordare che “io sono stato sulla forcella del Sassolungo” (tra parentesi, ora mi viene in mente che, il giorno dopo, ci fu la gara di sci della scuola, e io arrivai secondo — ma di questo sono molto meno orgoglioso, tant'è che me l'ero dimenticato).

Ora scopro la storia del mio “ultimo” rifugio.

Tare di famiglia

Mia sorella ha partecipato a un corso di tecnica di memorizzazione veloce. In pochi secondi mi ha snocciolato una quarantina di cifre di pi greco.

Io ero rimasto a How I wish I could enumerate pi easily (anche se, in realtà, ne so due in più, perché la mia prima calcolatrice aveva un display a dieci cifre).

È dura la sesta ora

“Il quaderno — non c'è”.
“L'esercizio — non lo stai facendo”.
“Attraverso la valvola del termo — non ci si vede”.

Romantica illusione

Tirato in ballo

A lui dà della blogstar, a me invece dello scarso :-)

Scherzi a parte, rispondo all'invito.

1. Chi o cosa ti ha spinto a scrivere un blog?

Un mio studente aveva raccolto le perle pronunciate dai suoi insegnanti durante tutto il triennio. A me è venuta voglia di fare altrettanto (nei confronti degli studenti, però). L'episodio che ha dato l'avvio al tutto è stato quello raccontato nel...

2. Il tuo primo post?

...mio primo post.

3. Il post di cui ti vergogni di più?

Questo, era proprio scarso.

4. Il post di cui sei più fiero?

Non saprei. Stando alle statistiche di lloogg, questo ha funzionato bene. Bè, questo sicuramente deve essere segnalato. E la storia della Cocca. E quello sui giochi di ruolo, con la citazione di Pirandello e il titolo Tolkeniano. E l'apologia dell'insegnamento. E la mia storia telematica, con la citazione di Wargames. Vabbè, basta, potevo fermarmi al non saprei.

5. Per quanto pensi che continuerai a scrivere sul tuo blog?

Mah, è dal 1989 che scrivo da qualche parte - prima fidonet, poi newsgroup, email, blog. Diciamo che potrà cambiare la struttura, ma da qualche parte scriverò sempre.

Science. It works, bitches.

Anche Keplero parla di xkcd.

Qwghlm

Oggi mi sono impallinato con xkcd... Nella sua Online Communities compare, in alto a destra, una coppia di isolette. Se non riconoscete la citazione, significa che non avete letto questo libro:



E se non avete letto questo libro, non potete dire di aver vissuto.

Prince of Persia

Quanto ci ho giocato a questo gioco...



Uno dei primi ad usare la famosa scheda musicale Adlib (prima si andava solo di pc speaker...). Per l'epoca, la grafica era spettacolare, i movimenti del protagonista erano fluidissimi.

Ecco l'ultimo livello:



(Via AntonioGenna.net blog)

1337

E io che mi sono chiesto, per tutte le cinque puntate, cosa significasse 1337...



Momoblog lo sapeva.

Indecisioni

“Allora, ragazzi, su quale asse si misura il coseno? Chi è che ha detto icsilon?”.

Teorema

Ipotesi

• Il mio nucleo familiare è composto da cinque persone
• I quattro quinti dei componenti sono di sesso maschile
• Il quinto rimanente appartiene alla categoria moglie.
• Il figlio più grande frequenta la prima media.
• La scuola frequentata dal figlio più grande attiva ogni anno dei laboratori educativi pomeridiani, dove esperti e genitori volontari propongono attività di vario tipo (per esempio: cucina, danza, riparazione biciclette, lettura, modellismo).
• Il quinto femminile della famiglia ha pronunciato la frase: “perché non fai qualcosa anche tu?”.
• Alla domanda precedente ho risposto: “no, no, assolutamente no”.
• Ieri c'è stata una riunione fatta dagli insegnanti organizzatori del progetto per presentarlo ai nuovi genitori e per raccogliere nuove disponibilità.

Tesi

• La scuola frequentata dal figlio maggiore quest'anno offrirà un nuovo laboratorio dal titolo Enigmi e giochi matematici.

Dimostrazione

• L'ovvia dimostrazione è lasciata al lettore per esercizio.

Mai più senza

Questa mattina, andando a scuola in bicicletta, ho provato Sports Tracker, un programmino della Nokia che, usato assieme a un ricevitore GPS, memorizza il percorso e le velocità fatte, crea un riepilogo con tante belle informazioni utili, un grafico della velocità in funzione del tempo, un altro grafico della velocità in funzione della strada percorsa, uno dell'altitudine, e permette di esportare il tutto sotto forma di file leggibile su google earth. Una cosa assolutamente inutile e, quindi, meravigliosa.

Calunnie

Un'amica dei miei figli, che frequenta la scuola dove insegno, sostiene che tra gli studenti io abbia la fama di essere cattivissimo.

Spero che mi assegnino un'ora di supplenza nella sua classe.

Tavole della legge

Mentre sgridavo quelli di seconda, che dopo quattro ore di lezione erano riusciti ad accumulare tre note disciplinari, ho sentito pronunciare il mio nome.

Allora mi è venuta la geniale idea di dire: “non nominate il mio nome invano!”.

Subito dopo c'è stato un coro di “non avrai altro Dio fuori che la matematica”, “ricordati di santificare la matematica”, “onora la matematica”...

Sono riuscito a fermarli prima che arrivassero al sesto comandamento.

Arte

Lei danza da sola.



(Via Terre Alte)

I'll be back

Google annuncia l'ingresso nella telefonia mobile, presentando un sistema operativo per telefoni cellulari basato su linux e chiamato Android. Qualcuno ha immediatamente pensato a Skynet. Se prendono Sarah Connor come testimonial stracciano subito la concorrenza.

La soluzione della sequenza numerica

Il fattoriale di un numero n si indica con n! ed è il prodotto di tutti i numeri naturali compresi tra n e 1. Per esempio:

1! = 1.
2! = 2·1 = 2.
3! = 3·2·1 = 6.
4! = 4·3·2·1 = 24.

(Naturalmente moltiplicare per 1 non serve a niente, ma una definizione che si fermi a 2 non sarebbe elegante. Anzi, esisterebbe anche 0! che, per evitare di specificare casi particolari in alcune formule, è definito uguale a 1)

Bene, se analizziamo la sequenza proposta un paio di post fa, osserviamo che all'inizio sembra una cosa tranquilla, e poi risulta evidentemente il prodotto di una malata mente matematica. L'ultimo numero è grosso, e se proviamo a scomporlo in fattori scopriamo che contiene tutti i numeri primi fino a 719. Questo dovrebbe farci venire in mente il numero 720, pari a 6!. Ma anche 6 è il fattoriale di 3. E quindi potremmo scrivere che 720=6!=3!!. E poi potremmo calcolare il fattoriale di 720, ottenendo proprio quel numero gigantesco. Allora dovremmo capire che la sequenza è la seguente:

0
1!
2!!
3!!!

e quindi il numero successivo è 4!!!!. Il calcolo del quale è lasciato al lettore volonteroso.

Poi dicono che diciotto ore sono poche

Leggete, o voi che dite che gli insegnanti lavorano poco.

Una sequenza interessante

Il post precedente mi ha fatto venire in mente un giochino: data la seguente successione, quale numero viene dopo?

0

1

2

260121894356579510020490322708104361119152187501694578
572754183785083563115694738224067857795813045708261992
057589224725953664156516205201587379198458774083252910
524469038881188412376434119195104550534665861624327194
019711390984553672727853709934562985558671936977407000
370043078375899742067678401696720784628062922903210716
166986726054898844551425719398549944893959449606404513
236214026598619307324936977047760606768067017649166940
303481996188145562519559256691883082551494294759653727
484562462882423452659778973774089646655399243592878621
251596748322097602950569669992728467056374713753301924
831358707612541268341586012944756601145542074958995256
354306828863463108496565068277155299625679084523570255
218622235813001670083452344323682193579318470195651072
978180435417389056072742804858399591972902172661229129
842051606757903623233769945396419147517556755769539223
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0000000000000000000

(Non ci sono errori, il quarto numero è grossino...)

Millemila

Da bambini si giocava a chi “vince chi dice il numero più grande”.

Ma non sapevamo che per scrivere numeri grandi ci sono molti modi; uno di questi, introdotto da Knuth, è il seguente.

Partiamo da questa considerazione: la moltiplicazione tra due numeri mn serve per abbreviare la somma di m+m+…+m (dove la m compare n volte). La potenza m↑n (usiamo la freccia in alto invece di scrivere l'esponente, come fa qualche linguaggio di programmazione) abbrevia la moltiplicazione mm…m (anche qui la m compare n volte).

A questo punto, generalizziamo.

Con la scrittura m↑↑n abbreviamo le n potenze m↑m↑…↑m. Attenzione al fatto che la potenza non è associativa, e quindi bisogna specificare l'ordine con cui eseguiamo le operazioni: da destra. Questo significa che 2↑↑3 è uguale a 2↑2↑2, che a sua volta è 2²² = 2⁴ = 16.

Con m↑↑↑n abbreviamo m↑↑m↑↑…↑↑m. Poi con m↑↑↑↑n abbreviamo m↑↑↑m↑↑↑…↑↑↑m, e così via.

A questo punto si possono definire i numeri di Ackermann:

1↑1
2↑↑2
3↑↑↑3
4↑↑↑↑4
…

Proviamo a fare i conti:

1↑1 = 1
2↑↑2 = 2↑2 = 4
3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3↑3↑3) = 3↑↑(7625597484987) = 3^33…; si tratta di una torre di potenze con 7625597484987 esponenti. Il calcolo del risultato è lasciato al lettore per esercizio.
4↑↑↑↑4 = 4↑↑↑4↑↑↑4↑↑↑4 = bè, non c'è abbastanza spazio su internet per contenere il risultato. Questi numeri crescono così velocemente che è difficile capire quanto siano grandi.

E comunque, alla fine vinceva quello che diceva:
“Io dico sempre il tuo numero più uno!”.

(No, non valeva dire “infinito”)

Un'avventura indimenticabile arrivata all'epilogo

La beffa, dopo il danno: durante il film di stasera fanno pubblicità per il finale di Heroes, una fantastica prima visione in onda il 7 e il 14 novembre.

Il primo numero primo

Ecco le soluzioni del problemino sul primo numero primo di qualche post fa.

Se non usiamo parole esotiche come bilione e biliardo, il primo numero primo nell'ordinamento alfabetico è 155153.

La parola bilione già crea qualche difficoltà: nella lingua italiana il bilione corrisponde a mille miliardi (cioè 10¹², un tera), mentre negli Stati Uniti corrisponde a un miliardo (cioè 10⁹, un giga).

E comunque in italiano esiste anche il biliardo, che non è solo il gioco preferito dagli studenti di una volta quando decidevano che si poteva fare qualcosa di più interessante che entrare in classe (adesso vanno nei centri commerciali, pare), ma è anche il numero corrispondente a mille bilioni, cioè 10¹⁵, un peta.

Se ammettiamo l'uso di questa parola, il primo numero primo diventa 100100000000155187 (centobiliardicentobilionicentocinquantacinquemilacentoottantasette).

Una volta che c'era qualcosa di buono

Sospendono la programmazione di Heroes.

(Comunque trasmettono le ultime puntate il 7 e il 14 novembre in seconda serata)

Sul corretto uso della goniometria

“Ragazzi, vi comunico che in goniometria ci sono un sacco di formule”.

“Oh, no, prof!”.

“Questo è il motivo per cui agli studenti la goniometria piace poco”.

“E allora perché la facciamo?”.

“Bè, perché finalmente riusciremo a calcolare la lunghezza del campo da calcio di Holly e Benji”.

Un bel problema

Supponiamo di scrivere in lettere tutti i numeri primi, e poi di ordinarli secondo l'ordine alfabetico. Qual è il primo numero della lista?

Altro che la ballerina

Non dicevano che la costa della Gran Bretagna ha dimensione frattale? Ecco la dimostrazione...



[Via Mighty Optical Illusions]

Il paradosso di Smale

Momoblog riporta oggi un video sul paradosso di Smale, un teorema di geometria differenziale che afferma che è possibile rivoltare una sfera in modo da ottenerne un'altra con la parte interna ed esterna invertite rispetto alla prima. Senza fare fori (ma sono possibili delle autointersezioni) e senza pieghe.

Smale diede una dimostrazione di esistenza non costruttiva, questo video invece mostra un metodo costruttivo per invertire una sfera. E psichedelico quasi quanto gli elefanti rosa di Dumbo.

Redirect

Fatto, ora il vecchio feed è stato rediretto a feedburner, qualunque cosa ciò significhi.

Nuovo feed

Non ho assolutamente idea di quello che sto facendo, comunque ora ho un account feedburner pure io e i feed passano anche di là. Questo è il link:

Iscriviti a questo meraviglioso blog

Poi gli troverò posto anche nel template della pagina, per adesso devo attivare la pericolosissima opzione "Post Feed Redirect URL" di blogger che, forse, farà passare tutto per feedburner in modo trasparente. O forse mi farà perdere tutti i miei 10 lettori (sì, mi sto sempre esercitando nella numerazione binaria). Mah.

Il problema del fabbricante di lattine

Il fabbricante di una famosa bibita in lattina ha deciso di progettare una lattina cilindrica che costi il meno possibile, e cioè che utilizzi la minor quantità di materiale possibile.

In termini matematici, il fabbricante si chiede quale sia, fra tutti cilindri aventi lo stesso volume, quello con la minor superficie totale.

Supponiamo dunque di avere un cilindro di volume V. Se indichiamo con x il raggio di base, avremo che V=πhx², e quindi h=V/(πx²).

L'area della superficie totale si calcola sommando l'area del fondo, quella del coperchio (sono uguali) e quella della superficie laterale:

S=2πx²+2πxh=2(πx²+V/x).

Ebbene, questa funzione non è costante: ci sono tipi di cilindro che usano più materiale, e altri che ne usano meno. Ecco il grafico:



Sull'asse x c'è il raggio di base della lattina, sull'asse y la superficie totale del cilindro (cioè la quantità di materiale utilizzata). Le unità di misura sono abbastanza inutili, sono comunque riferite a una lattina di volume unitario.

Per trovare il valore minimo servono le derivate, e il risultato è questo: il raggio di base deve essere uguale alla radice cubica di V/(2π). Questa formula dice poco, ma se uno fa due conti scopre che il cilindro avente superficie totale minima è quello a sezione quadrata. Detto in un altro modo: si ha la minima quantità di materiale quando, tagliando la lattina verticalmente con un piano passante per l'asse, si ottiene una sezione quadrata.

Il motivo per cui le lattine di una famosa bibita siano state allungate e smagrite, invece di essere state abbassate e allargate, mi è ignoto.

In chat con Lidia Sensibile

Io: domandina
LS: dica dica
Io: come andiamo in grammatica?
LS: benino
LS: xkè???
Io: allora, ascolta
Io: modo indicativo, tempo passato prossimo, prima persona singolare, verbo passare (nel suo significato intransitivo)
LS: oddio
LS: 1 attimo eh
LS: sto kiedendo l'aiuto da casa
LS: io passai?????
Io: passato prossimo
Io: non remoto
LS: 1 attimo
Io: che scarsa
LS: io sn passata
Io: ok
LS: oddio
LS: ODDIO
LS: io sn paSSATA!!!!!!!!!!
Io: bene
LS: ODDIO
LS: SN PASSATA???
Io: siii
LS: PROF VERAMENTE!!!!!!
Io: mah
LS: siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
LS: m mah?????
Io: non vorrei sbagliarmi
Io: magari ricordo male
LS: nn s sbaglia
LS: (rofl)

[Per questo dialogo ho preso spunto dalla profe, che ha fatto una cosa del genere con un suo studente e l'ha raccontato sul suo blog. Ora il post non c'è più, perché è stato trasferito su un libro. Il linguaggio da sms è stato tollerato per esigenze di narrazione.]

Back Home

Il viaggio in ambulanza non è stato un gran che: non avevano nemmeno la sirena accesa.

L'infermiera che mi ha messo le mani addosso era bellissima (questo fatto è sicuramente terapeutico (probabilmente per come ero messo avrei trovato bellissima anche la signorina Rottenmeier)).

La cosa più dolorosa è stata togliersi da dosso quella decina di elettrodi per l'ECG: credo che usino la stessa colla delle strisce depilatorie.

E.R.

Sarà il periodo (anche l'anno scorso è capitata la stessa cosa), ma adesso io sono al pronto soccorso, e gli studenti si schivano le verifiche...

Domandina di servizio

Domanda veramente poco geek: si può fare in modo che lloogg registri anche gli accessi fatti via feedreader?

Save the cheerleader

Sicuramente arrivo tardi, ma magari qualcuno non lo sa ancora: sul sito ufficiale di Heroes, prima della messa in onda di ogni puntata, veniva pubblicata una storia a fumetti ispirata alla puntata in questione o alla serie in generale. Bene, ora questi fumetti sono disponibili anche in italiano.

(via Levysoft)

Sciopero

Statistiche sullo sciopero di oggi:

• in prima 0 presenti,
• in seconda 6 presenti,
• in terza 2 presenti,
• fissate 2 verifiche,
• spiegate cose assolutamente necessarie per prendere 6 nelle verifiche appena fissate.

:-)

Orario o antiorario?

Decisamente antiorario. Ma, se con una mano si copre la parte superiore dell'animazione, lasciando scoperte solo le gambe, riesco a vedere anche il movimento in senso orario.

Questa volta però hanno detto la verità

Mi segnalano questa dimostrazione, che funziona meglio.

I matematici vi hanno sempre mentito

La prova definitiva del fatto che il teorema di Pitagora è falso.

(via jd2718)

Carnival of Mathematics

È uscito il diciottesimo Carnival of Mathematics (con una citazione a questo blog).

La matematica di Numb3rs

La Wolfram Research ha fatto un sito dedicato alla matematica di Numb3rs.

(Via Marcoscan)

To boldly go where no man has gone before

La targa dell'auto del padre di Hiro è NCC-1701.

Riparazioni e Ingiustizie

Un mio studente ha lasciato un commento interessante al post che raccontava dello sciopero degli studenti - non è linkabile direttamente, è il decimo (e il più lungo).

Leggendolo, si percepisce il timore che hanno gli studenti: se basta una materia per essere bocciati, ci saranno un sacco di ingiustizie. E se uno ha studiato tanto e quel giorno lì va nel pallone, o non sta bene, o è sfortunato, o il prof ce l'ha con lui? E se non sbagliava a copiare quell'ultimo segno e prendeva sei invece di cinquemmezzo? Un segno decide della promozione o della bocciatura?

Ovviamente, no. Questo problema non esiste: non è mai un solo insegnante che decide della promozione o della bocciatura, ma è sempre il consiglio di classe. Alla fine si vota, e si contano le mani alzate. Questo tutela lo studente: non può essere vittima di ingiustizie, l'insegnante che ce l'ha con lui vale per uno, gli altri sono liberi di pensare con la loro testa e decidere in autonomia. Questo discorso vale sia per l'insegnante ingiusto, che per quello dal debito facile.

C'è poi un'altra obiezione: è giusto che uno studente che va bene in tutte le materie tranne una debba essere bocciato? Risposta non rigorosa, per capirci: se quella materia è indispensabile per proseguire gli studi, sì. Ma è una risposta accademica: non ho mai visto studenti andare bene in tutte le materie tranne una. Ho visto tanti studenti cavarsela per il rotto della cuffia in tante materie, e avere un solo debito. Ma chi vuole e si impegna, ce la fa. E se davvero esistesse qualcuno che si impegna con tutte le sue forze e non ce la fa in quella singola materia, bé, quello verrebbe sicuramente aiutato.

Il mio studente conclude dicendo che anche se ci saranno questi esami di riparazione, lui non cambierà il metodo di studio, e l'unico risultato sarà quello di avere ancora meno personale istruito. Lui probabilmente non cambierà metodo di studio perché già studia (un pochino, non esageriamo con le affermazioni che poi smette... :-) ), ma chi non fa nulla e viene promosso ogni anno con due o tre debiti dovrà cambiarlo, il metodo di studio, se vuole andare avanti. Se lo promuovessimo, otterremmo più gente promossa che ne sa sempre di meno.

Non possiamo raggiungere l'obiettivo di aumentare il numero dei diplomati facendo scendere il livello. E adesso ci siamo accorti che il livello è sceso troppo.

(No, non è vero, gli insegnanti se ne erano accorti da tempo, sono i ministri che ci hanno messo un po' per capirlo).

Obiezioni

Il mio voler festeggiare il ritorno degli esami di riparazione ha suscitato negli studenti molti commenti che meritano risposte ben meditate. Veniamo a quella più facile: c'è chi dice che noi insegnanti lavoriamo poche ore al giorno, abbiamo molte ferie, invece di lamentarci dei corsi di recupero estivi dovremmo andare a lavorare (qualcuno, a volte con ragione, aggiunge anche il luogo: nei campi).

Risposta breve: bene, vieni a fare l'insegnante anche tu.

Risposta lunga: per fare l'insegnante devi avere una laurea, poi devi farti una scuola di specializzazione (sono altri due anni in cui non puoi lavorare e devi, invece, spendere), poi ti inserisci in graduatoria, e entri nel mondo delle supplenze. Il che significa che non puoi lavorare ad altro, ma devi aspettare se c'è qualche scuola che ti chiama, magari per un paio di settimane in un anno. Poi, se ti va bene, cominci a fare supplenze “annuali” - che non vuole mica dire che lavori per un anno, eh? Significa che ti pagano lo stipendio da settembre a giugno dell'anno dopo. In luglio e agosto sei disoccupato. Alla fine, se ti va bene bene, dopo una decina d'anni di questo lavoro precario magari ti assumono anche di ruolo. La tua anzianità non è riconosciuta subito in modo completo, però (vuol dire che ti pagano al minimo anche se hai lavorato per molti anni, poi cominciano ad aumentarti lo stipendio di un pochino, ma non ricordo bene la tabella di progressione, è una cosa che avviene rarissimamente...). Insomma, il tuo primo stipendio fisso magari lo prendi a quarant'anni - se insegni matematica probabilmente un po' prima, se insegni italiano probabilmente un po' dopo. Ma potresti anche scoprire che non c'è posto per te, e a quarant'anni devi cominciare a fare qualcosa di diverso.

E l'orario ridotto e le ferie? Allora, già non basterebbero a controbilanciare tutta la faccenda del precariato e dell'impossibilità di fare alcunché con lo stipendio che ti hanno dato, ma c'è dell'altro. Qualche anno fa girava una statistica che elencava ore di lavoro e stipendi degli insegnanti di vari stati: i tedeschi avevano un numero di ore di lavoro uguale a quello degli italiani, ma uno stipendio esattamente doppio (non è un modo di dire, è proprio una moltiplicazione per due). Per non parlare degli americani, che però hanno un sistema diverso, che non conosco bene, e a fronte di un numero maggiore di ore di lavoro rispetto agli italiani e tedeschi hanno anche uno stipendio triplo.

Ma rimaniamo in Italia: prendiamo un funzionario di banca, con uno stipendio triplo rispetto all'insegnante. Di quante persone è responsabile, nel suo lavoro? Un ufficio di dieci persone? Facciamo anche venti. Io sono responsabile di più di cento persone, quasi tutte minorenni, e devo rendere conto del loro comportamento e della loro preparazione ai loro genitori. Ci sono più responsabilità nel lavoro dell'insegnante che in qualunque altro lavoro, ma questo fatto non è riconosciuto da nessuno - ormai nemmeno più dai genitori.

Infine, un insegnante non stacca mai. Non è che quando esce da scuola non pensa più a quello che deve fare, al genitore che gli ha raccontato tutte le disgrazie che sono capitate a suo figlio, a quello che dovrà dire il giorno dopo in quella classe dove ti fanno dannare. I compiti da correggere sono il meno, in effetti. Se risolve un quesito di Rudi Mathematici, se legge una pagina del Boyer, se guarda Numb3rs, non lo fa solo per diletto personale (certo che si diverte, perché da tutto quello che ho detto si dovrebbe capire che l'unico motivo valido per fare l'insegnante è perché ti piace, non per la fama, la gloria, i soldi, le ferie), ma anche perché continuamente si “forma”.

Quindi la protesta contro i corsi di recupero estivi non è perché così si fanno meno ferie: che vacanze fa un insegnante, da non riuscire a trovare qualche giorno per andare a scuola a fare un corso di recupero? E, soprattutto, chi gliele paga? La protesta è contro un'attività deprimente e anche un po' offensiva: dopo che lo studente non ha fatto nulla durante tutto l'anno scolastico, e per questo si è rimediato il debito, devo anche tornargli a spiegare le cose che gli ho già spiegato in lungo e in largo durante l'anno? Non vogliamo invece metterlo di fronte alle sue responsabilità e dirgli: “hai sprecato tutte le possibilità che ti ho dato durante l'anno, adesso ti arrangi un po' da solo”?

Poveri illusi

Gli studenti stanno organizzando uno sciopero contro il ripristino degli esami di riparazione.

Спутник

Oggi si celebra il lancio, avvenuto 50 anni fa, del primo satellite artificiale della storia: lo Sputnik 1.

Vari siti ne hanno parlato, e anche google ha dedicato un logo all'evento (logo che oggi si trova sulla homepage di google, e che nei prossimi giorni verrà messo qua; siccome google proibisce l'uso dei suoi logo per qualunque motivo, metto solo il link).

Alle parole già scritte aggiungo solo un'informazione, che ho scoperto oggi: sulla Luna si trova un monumento dedicato agli astronauti morti per il progresso dell'esplorazione spaziale (e attività collaterali, a dirla tutta). Un monumentino piccolo, 8.5 centimetri di altezza, e certamente poco visitato. Ma pur sempre la prima opera d'arte su suolo extraterrestre.

Nella giornata in cui qualche giornale parla di guerra fredda e di conquista dello spazio, fa bene leggere la storia di questa statuetta portata sulla Luna, senza avvertire nemmeno il centro di controllo missione di Houston, da alcuni astronauti americani per ricordare anche alcuni loro colleghi sovietici.

Esami di riparazione

Allora, se la corte dei conti approva il decreto, ecco quello che succede:

Dopo gli scrutini di metà anno se hai delle insufficienze devi frequentare un corso di recupero. Poi fai una verifica di recupero, e l'esito viene comunicato ai genitori.

Dopo lo scrutinio finale se hai delle insufficienze ma non vieni bocciato, si sospende il giudizio, si comunica ai genitori il voto proposto nelle varie materie insufficienti, e devi fare un corso di recupero estivo (whatever it means).

Entro il 31 agosto (se possibile), e comunque entro l'inizio delle lezioni, devi fare una verifica di recupero. Se passi sei promosso, altrimenti segato.

Parcheggio parallelo alla carreggiata

Utilizzando oggetti matematici dai nomi esoterici come gruppi di Lie, varietà, algebre di Lie, campi di vettori, è stato dimostrato che tutti possono parcheggiare parallelamente alla carreggiata, anche vostra moglie.

Grande Giove!

Ho scoperto ieri che l'esclamazione preferita di Doc Emmet Brown, in lingua originale, è Great Scott! (ma gli inglesi non sanno bene da dove derivi).

Io, Robot

Domani sera, in prima visione, sarà proiettato il film dal titolo Come rovinare un buon libro.

Scomposizioni

In tutte le scuole italiane, in prima o in seconda superiore, si insegnano le scomposizioni dei polinomi. Sono rimasto stupito quando ho letto che negli Stati Uniti le varie tecniche di scomposizione non vengono insegnate, se non da pochi professori illuminati (possono essere molto utili, si dice, per il bravo studente di scuola superiore, più o meno interessato all'argomento, e per lo scarso studente universitario che ha bisogno degli strumenti di base per laurearsi). Sono serviti cinque post a jd2718 per spiegare alcuni modi possibili per scomporre un trinomio di secondo grado (e non sono nemmeno tutti: la regola di Ruffini non viene citata nemmeno di striscio).

In uno di questi post viene spiegato come scomporre utilizzando il raccoglimento parziale, e nei commenti un'insegnante di matematica ringrazia per la spiegazione della tecnica, che evidentemente non conosceva (c'è anche un link a una pagina web che spiega come funziona il metodo).

Boh, c'è qualcosa che mi sfugge. Non dicevano che gli studenti italiani sono scarsi in matematica?

L'ago di Buffon

Qualche giorno fa c'è stata la premiazione degli studenti modenesi che hanno partecipato alle olimpiadi della matematica: prima della premiazione un professore ha tenuto una conferenza nella quale ha parlato del problema dell'ago di Buffon (io mi sono perso tutto perché quando stavo per uscire di casa ha iniziato a diluviare e grandinare, e io avevo solo la bicicletta).

Buffon non è il portiere, ma il signor Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon, il quale aveva scoperto che è possibile calcolare il valore di π lanciando un ago su un parquet.

O meglio, l'ago va lanciato qualche migliaio di volte, perché il problema è di tipo probabilistico: si lancia un ago su un pavimento coperto da listelli di legno paralleli, e si vuole calcolare la probabilità che questo intersechi una linea di separazione tra due strisce. Risulta che questa probabilità dipende dalla lunghezza dell'ago, dalla distanza tra le strisce, e da π (cioè, non è proprio corretto dire che dipende da π perché π non varia, comunque π fa parte della formula).

Quindi lanciando tante volte un ago, e tenendo conto di quante volte questo interseca una striscia, è possibile calcolare il valore di π con buona approssimazione.

Sul sito del progetto polymath c'è una paginetta che spiega in dettaglio questo problema e presenta anche un'applet java che lo simula. Poco sotto, un'altra applet mostra come si possa fare lo stesso tipo di calcolo lanciando freccette contro un bersaglio. A me, però, piace di più pensare a un altro esempio: al posto del matematico lanciatore di freccette preferisco l'immagine del matematico che calcola π mentre se ne sta seduto all'ombra di un albero a lanciare sassi dentro a un laghetto.

Il fatto poi che questo metodo di simulazione si chiami metodo Monte Carlo non fa che confermare la poca serietà dei matematici.

Hiroes

All'inizio ero un po' dubbioso, ma quando domenica sera ho visto Hiro Nakamura telefonare a sé stesso, riattaccare, ed esclamare “Grande Giove!”, ho deciso che non devo perdere nemmeno un episodio.

Chiamate la NSA

Sono convinto che per scrivere in questo modo ci voglia un software apposito. Uno non ce la può fare da solo.

Matematica ad altissimo livello

L'originale si trova a http://www.guardian.co.uk/flash/0,5860,1648976,00.html. Io ci sono arrivato a partire dalla pagina sugli origami del progetto Polymath.

Il problema dei tre chirurghi e dei due guanti

La sesta ora di matematica è sempre pesante, e non solo per gli studenti. Per allietare gli spiriti, negli ultimi cinque minuti ho proposto un giochino matematico. Lo riporto qua sotto, nella versione in cui l'ho incontrato per la prima volta, nell'ormai lontano 1993. Se il testo del messaggio che ho conservato dice il vero (cosa sulla quale non ho dubbi), il problema è comparso sul numero 2 della edizione italiana della Rivista di Isaac Asimov (l'edizione Mondadori degli anni '70; pare che ce ne sia stata un'altra negli anni '90, non so se esista ancora). Lo proponeva nientemeno che Martin Gardner.

Una epidemia di influenza barsumiana, causata da un virus marziano non ancora isolato, ha colpito la prima colonia terrestre su Marte.

I sintomi compaiono soltanto una ventina di giorni dopo il contagio, ed è quindi impossibile individuare subito chi ne è affetto. L'influenza è estremamente contagiosa, ma soltanto per contatto diretto. Significa che il virus si trasmette al minimo contatto fra persona e persona, oppure con un doppio passaggio: da persona ad oggetto e da questo ad altra persona che lo tocchi. Perciò gli abitanti della colonia cercano di evitare al massimo di toccarsi l'un l'altro e di toccare oggetti che potrebbero essere stati contaminati.

Il signor Hooker, direttore della colonia, è rimasto ferito in modo grave dalla caduta di un razzo, e deve essere sottoposto a ben tre operazioni. La prima sarà eseguita dal dottor Xenophon, la seconda dal dottor Ypsilanti, e la terza dal dottor Zeno. Sia i tre chirurghi sia il signor Hooker potrebbero portare in sé, a loro insaputa, il virus.

A pochi minuti dalla prima operazione si scopre che nell'ospedale della colonia sono disponibili soltanto due paia di guanti sterilizzati. Impossibile procurarsene altri, ed impossibile rifare la sterilizzazione per mancanza di tempo fra una operazione e l'altra.

“Non vedo come si possa evitare il rischio che uno di noi tre resti contagiato” dice il dottor Xenophon al dottor Zeno. “Durante l'operazione, le mie mani possono contagiare l'interno dei guanti, e il contatto con il corpo di Hooker può infettarne l'esterno. Lo stesso succederà ai guanti del dottor Ypsilanti. E così, quando toccherà a voi operare, vi troverete con due paia di guanti che potrebbero essere contaminati sui due lati.”

“Ma non sarà così” dice il dottor Zeno. “C'è un sistema semplicissimo per evitare sia di infettarci l'un l'altro sia di restare contagiati dal paziente.”

Qual è la soluzione escogitata dal dottor Zeno?

(E adesso vediamo se c'è qualche studente che bara... Però in classe non ricordavo i nomi dei dottori, l'ho romanzato di meno, forse è difficile anche per google arrivare fino a qui)

Queste oscure materie

Ho finito di leggere la trilogia Queste oscure materie: molto bella, scritta bene, affascinante, certamente non solo per bambini, anzi. L'intento antireligioso è evidente, lo dice anche l'autore in terza di copertina: “Le mie simpatie vanno al tentatore, assolutamente. L'idea è che il peccato, la Caduta, sia stata una cosa molto positiva. Se non fosse successa noi saremmo ancora dei giocattoli nelle mani del Creatore”. A me è venuto in mente che, stranamente (o forse no...), questa simpatia viene evidenziata anche dai cristiani durante la notte di Pasqua, quando il sacerdote legge l'exultet pronunciando le parole “Davvero era necessario il peccato di Adamo, che è stato distrutto con la morte del Cristo. Felice colpa, che meritò di avere un così grande redentore!”. E quindi, i livelli di lettura di questa trilogia sono veramente più di uno.

Si stava meglio quando si stava peggio

Diciannove studenti sono stati promossi con debito in matematica. Sette hanno recuperato, cinque non si sono nemmeno presentati alla prova di recupero. Qualcosa non va.

Albero azzurro, posto felice

Mi raccontava un amico che sua figlia di sette anni, molto appassionata della trasmissione della Rai dal titolo Albero Azzurro, ha voluto fare una visita al sito internet del programma. Siccome a sette anni, in seconda elementare, ti insegnano un po' di ortografia, è successo che la bimba ha scritto nella barra degli indirizzi del browser l'indirizzo www.albero azzurro.rai.it al posto di www.alberoazzurro.rai.it. L'indirizzo naturalmente non esiste, e il browser ha cercato quella stringa chiamando google. Se ci provate, noterete che utilizzando quella chiave di ricerca compaiono solo siti che raccolgono un sacco di quelle immagini ad alto fattore di comprimibilità perché contenenti tanti pixel tutti dello stesso colore, rosa.

Allora ho pensato che se tutti i 10 lettori che leggono questo post (dico 10 perché mi sto esercitando nella numerazione binaria) ne fanno uno simile, con la stringa www.albero azzurro.rai.it che punta a www.alberoazzurro.rai.it, forse riusciamo a fare un'operazione che qualcuno chiama social googlebombing (se il sistema funziona ancora).

Come calcolare le radici quadrate a mano

A quelli che arrivano qua dopo aver domandato a google come si calcolano le radici quadrate a mano suggerisco di passare da .mau. che ha scritto una pagina sull'argomento.

La prova ontologica di Gödel

Mi sono imbattuto in una spiegazione della prova ontologica di Gödel lucida e chiara come poche altre sull'argomento.

(da L'estinto)

Il problema della misura

Mi trovavo a chiacchierare con un paio di Colleghe Matematiche durante l'intervallo, e stavamo notando che a scuola quest'anno si vedono molti volti nuovi, visto che l'anno scorso sono andati in pensione molti insegnanti.

“Hai visto quella là?”, mi dice una Collega.

“Quale?”.

“Quella con cui sta parlando il nostro Collega d'Inglese”.

“Ah, vedo. Mi pare molto intento nel suo dialogo”.

“Eh, sì. Lei, l'hai vista bene? Adesso è girata e si vedono solo i lunghi capelli biondi, ma ha un viso molto carino, è magra, alta, slanciata”.

“Ah, però”.

“Già. Ma sai”, aggiunge sottovoce la Collega Matematica avvicinandosi con fare cospiratorio, “lei, poverina, è deforme”.

“Ma cosa dici?”, rimango esterrefatto.

“Sì, è vero!”, insiste. Poi, abbassando ancora la voce e alzando le mani con le palme rivolte verso di sé, aggiunge “adesso è girata, ma lei, poverina, sul davanti, ha un gonfiore, due cose grosse così. Poverina”.

Il quesito

Il quesito che avevo proposto due giorni fa ai bimbi di prima aveva lo scopo di fare capire che tra l'imparare a memoria una definizione e il capire cosa questa voglia effettivamente dire c'è di mezzo l'oceano.

La domanda è la seguente. Tutti sappiamo bene che esistono la proprietà associativa e la proprietà commutativa, e spesso lo studente medio dà per scontato che queste proprietà valgano per tutte le operazioni, indistintamente (roba da scuole elementari, facilissima. L'unica cosa difficile delle elementari è lo studio delle tabelline). Invece non è così: si può trovare un'operazione che goda della proprietà commutativa ma non di quella associativa? Con operazione non si intende una delle solite quattro, se ne possono inventare delle altre (questo concetto di inventare altre operazioni è difficilmente assimilabile, e infatti nessuno ha risposto alla domanda).

S.P.Q.G.

Dunque, per capire bene, c'è google che sponsorizza la xprize foundation per il progetto google lunar xprize che offre venti milioni di dollari al primo che riuscirà a fare atterrare (allunare?) sulla luna un robottino in grado di muoversi per almeno 500 metri e di spedire, dopo essersi spostato, un pacchetto di dati, chiamato Mooncast, alla terra. Questo pacchetto di dati deve contenere delle fotografie panoramiche a 360 gradi e ad alta risoluzione (qualunque cosa ciò significhi) della zona, delle foto del robottino stesso, un video ad alta definizione, e una serie di dati precaricati prima della partenza - il primo messaggio di posta elettronica dalla luna. Circa un gigabyte di roba.

C'è anche un secondo premio di 5 milioni, e un supplemento di altri 5 milioni se il robottino riesce a fare almeno cinque chilometri, oppure riesce a fotografare manufatti umani (i pezzi delle missioni Apollo rimasti sulla luna), oppure riesce a trovare del ghiaccio, oppure riesce a sopravvivere a una notte lunare.

C'è tempo fino al 31 dicembre 2012, dopo il premio calerà.

Ricerche mirate

In questi primi giorni di scuola vedo arrivare qua un sacco di visitatori che cercano risposte per i loro compiti. Anche io ho dato una sorta di esercizio-giochino ai nuovi bimbi di prima, penso però che sia meglio non raccontarlo subito e aspettare che ci abbiano pensato un po' su...

Per la cronaca, c'è chi cerca quanto fa 3 radice di 3, chi vuole sapere quanti sono i pianeti, chi quanto accordatori di pianoforte ci sono al mondo, chi vuole una tabella di tutte le radici quadrate. C'è anche chi vuole iNparare il latino, e chi cerca della matematica a fumetti (quest'ultimo non è male).

I raggi B balenano ancora

Poche storie: Deckard era un replicante.

Studio intenso

Oggi incontro a scuola con gli studenti che hanno avuto il debito formativo, allo scopo di fare il punto della situazione, rispondere ad eventuali domande, fornire chiarimenti in vista della prova di recupero.

“Mmmh, da questa domanda mi pare di capire che non hai studiato molto quest'estate”.

“Eh, prof, insomma, no, qualcosa ho studiato”.

“Quanto fa sette per otto?”.

“Eh?”.

“Setteperotto”.

“Cinquantaquattro”.

Il finale

Sono passate sopra casa mia (e il fumo colorato fa una bella puzza).

Preparativi

Oggi pomeriggio il cielo sopra Modena veniva attraversato ogni tanto da qualche freccia tricolore.

Modelli

Ecco, io vorrei poter entrare in classe e mettermi a scrivere sui vetri con la matita bianca, come faceva John Nash nel film. Solo che:

1. Non so che razza di matita sia. Non posso andare in un negozio di matite a chiedere se vendono la matita di John Nash.
2. Le bidelle mi inseguirebbero lungo i corridoi della scuola con la ramazza in mano, pronte a calarmela violentemente sulla testa.

Però, cavolo, come si chiamerà la matita bianca che scrive sui vetri?

la lina e l'inverno

A me l'inverno piace più dell'estate.

Però.

Sarà che domattina abbiamo il primo collegio, quello che fa partire il nuovo anno scolastico. Sarà che la lina con la sua copertina rosa mi ha fatto venire un po' di malinconia. Fatto sta che domattina non ho mica voglia di iniziare la scuola con una riunione.

Ma non si potrebbe entrare in classe subito, dal primo giorno? Poi le riunioni si fanno dopo.

Sulla difficile arte della dematematizzazione

Tempo fa una collega mi ha raccontato un problema matematico che avrei potuto proporre agli studenti di quarta.

Il problema diceva così: un corridoio largo due metri fa una curva ad angolo retto, dopodiché diventa largo tre metri. Due operai devono trasportare un tubo metallico attraverso il corridoio: qual è la massima lunghezza che il tubo può avere?



Il problema mi piaceva, ho deciso di proporlo agli studenti, sono entrato in classe e l'ho esposto così come era stato esposto a me.

Domanda: “Prof, ma quanto è alto il soffitto?”.

“Perché?”.

“Eh, perché se il tubo non ci passa gli operai potrebbero inclinarlo un pochino verso l'alto e riuscire a passare”.

“Ok, va bene. Invece del tubo gli operai stanno portando una lastra di vetro alta quanto il soffitto”.

“Prof, ma quanto è spessa la lastra?”.

“Sentite, cercate di cogliere il succo del problema invece di preoccuparvi dello spessore del vetro!”.

“Prof, ma poi le dita degli operai quando devono fare la curva come sono messe?”.

“Basta così. Gli operai stanno portando un segmento orizzontale. Fatela finita e risolvete l'esercizio!”.

E così è terminato il tentativo di dematematizzare il problema del segmento che deve fare la curva ad angolo retto.

Ho scoperto qualche giorno fa che questo problema, relativamente semplice, ha una generalizzazione che ancora non è stata risolta: immaginiamo di non dover spostare un tubo, ma un divano. Insomma, aumentiamo di una dimensione il problema: qual è il divano più grande che possa percorrere la curva? In questo caso si suppone che il corridoio abbia sempre la stessa larghezza, prima e dopo la curva.

Ebbene, il problema non è ancora stato risolto del tutto. Una soluzione è quella rappresentata nella figura qua sotto:



ma si può fare di meglio complicando un po' il bordo. Qui si può vedere una pagina web che tratta del problema e mostra anche un'immagine del divano più grande. Ma non si è ancora capito se quello è veramente il divano più grande o se si può allargare ancora un pochino.

(l'immagine del divano è di Claudio Rocchini, di cui avevo parlato qualche giorno fa)

Andrew Howe

(via AntonioGenna.net blog)

35 grammi di zucchero

Ora, che le bibite gassate fossero piene di zucchero lo si sapeva, ma qua Dario Bressanini dice quanto ce n'è esattamente, e lo fa vedere anche in una foto. Dalle sette alle nove bustine di zucchero in una lattina. Roba da matti.

L'oroscopo di oggi

Come tutti i matematici, anche io seguo quotidianamente l'oroscopo. Quello di The Onion è molto particolare, infatti per me dice questo:

L'amore significa cose diverse per persone diverse, ma voi siete gli unici per i quali significa che ad ogni classe κ di formule che sia ω-coerente e ricorsiva corrispondono segni-di-classe ricorsivi r tali che né v Gen r né Neg(v Gen r) appartengano a Flg(κ) (dove v è la variabile libera di r).

(via Ars Mathematica - qui la dimostrazione dell'oroscopo)

Disgustosa ostentazione di plutocratica sicumera

Quando ero un bimbetto leggevo Topolino. Adesso leggo Zio Paperone, che pubblica le vecchie storie dei paperi (cioè, fino a un po' di tempo fa pubblicava storie di Carl Barks e di Don Rosa, adesso pubblica delle schifezze, le belle storie sono sempre più rare).

A costo di sembrare il vecchietto che ricorda i bei tempi andati, voglio sottolineare una differenza sostanziale tra le storie del Topolino di una volta e quelle di oggi: quale sceneggiatore si sognerebbe, oggi, di far dire ad uno dei suoi personaggi una frase meravigliosa come “disgustosa ostentazione di plutocratica sicumera!”? Al massimo si trova un qualche “wow!”, anzi, “uau!”.

(La vignetta qua sopra proviene dalla prima storia di Paperinik, intitolata Paperinik il diabolico vendicatore. Vendicatore, già, non supereroe.)

Numb3rs

Ricordate che stasera ci sono altre due puntate di Numb3rs, stessa ora, stessa rete.

Immagini matematiche per tutti

Un utente della wikipedia inglese (ma italiano), Rocchini, ha creato una serie incredibile di immagini di argomento matematico. E si dichiara disponibile a produrne altre su richiesta... La sua pagina sulla wikipedia merita di essere visitata.

Teoria del caos

Dice: cielo prevalentemente sereno o poco nuvoloso, possibilità di occasionali rovesci. Dico: andiamo bambini che vi porto a fare un bel giro in montagna.

Risultato: un'ora e mezza sotto la pioggia.

È la volta buona che i miei figli si appassionano alla montagna, o la odiano per sempre.

È anche la volta buona che se becco la farfalla che ha sbattuto le ali una volta di troppo a Tokio, la spalmo per bene sul parabrezza.

A cat's map of the bed

(Via Strange Maps)

Cartellino

Fino a che mi trovavo nella mia casetta nella terra dei motori, potevo pensare che fosse un fenomeno locale, nato per chissà quale strana combinazione di eventi e destinato ad avere vita breve. Ora che, invece, mi trovo in terra di confine alla ricerca di un po' di fresco, mi rendo conto che la cosa ha portata globale.

Mio figlio, appena può, corre nel campo da calcio di fronte a casa a giocare con altri bambini provenienti anche da oltre confine (cioè dalla Toscana). E il gioco più alla moda è una roba che quando ero piccolo non esisteva: da noi si chiama cartellino, ma non sempre, perché altri, nella stessa città, lo chiamano anche veronica, oppure svedese, mentre gli stranieri lo chiamano tedesca.

Da quanto ho capito ci sono varie versioni del regolamento, direi una per ogni gruppetto di bambini che fa il gioco, ma la struttura generale è sempre quella: uno sta in porta, gli altri devono fare goal. Ma non è tanto importante il numero di reti segnate, quanto piuttosto il come viene fatto ogni singolo goal. Un complesso sistema di regole, infatti, assegna ad ogni "figura" un punteggio variabile, che dipende da quanti palleggi al volo sono stati fatti prima di mandare la palla in rete e da quanto è difficile la figura stessa (una rovesciata vale di più di un tiro normale, per esempio).

Esistono comunque alcune costanti universali: le regole sono sempre complicate quasi quanto quelle di ASL, tutti i bambini conoscono almeno una versione del regolamento, tutti gli adulti non sanno di cosa si stia parlando.