Millemila

Da bambini si giocava a chi “vince chi dice il numero più grande”.

Ma non sapevamo che per scrivere numeri grandi ci sono molti modi; uno di questi, introdotto da Knuth, è il seguente.

Partiamo da questa considerazione: la moltiplicazione tra due numeri mn serve per abbreviare la somma di m+m+…+m (dove la m compare n volte). La potenza m↑n (usiamo la freccia in alto invece di scrivere l'esponente, come fa qualche linguaggio di programmazione) abbrevia la moltiplicazione mm…m (anche qui la m compare n volte).

A questo punto, generalizziamo.

Con la scrittura m↑↑n abbreviamo le n potenze m↑m↑…↑m. Attenzione al fatto che la potenza non è associativa, e quindi bisogna specificare l'ordine con cui eseguiamo le operazioni: da destra. Questo significa che 2↑↑3 è uguale a 2↑2↑2, che a sua volta è 2²² = 2⁴ = 16.

Con m↑↑↑n abbreviamo m↑↑m↑↑…↑↑m. Poi con m↑↑↑↑n abbreviamo m↑↑↑m↑↑↑…↑↑↑m, e così via.

A questo punto si possono definire i numeri di Ackermann:

1↑1
2↑↑2
3↑↑↑3
4↑↑↑↑4
…

Proviamo a fare i conti:

1↑1 = 1
2↑↑2 = 2↑2 = 4
3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3↑3↑3) = 3↑↑(7625597484987) = 3^33…; si tratta di una torre di potenze con 7625597484987 esponenti. Il calcolo del risultato è lasciato al lettore per esercizio.
4↑↑↑↑4 = 4↑↑↑4↑↑↑4↑↑↑4 = bè, non c'è abbastanza spazio su internet per contenere il risultato. Questi numeri crescono così velocemente che è difficile capire quanto siano grandi.

E comunque, alla fine vinceva quello che diceva:
“Io dico sempre il tuo numero più uno!”.

(No, non valeva dire “infinito”)