lunedì 1 giugno 2020

Capacità — 5. Flip-flap-flop

“Stavo pensando alla faccenda dell'informazione contenuta in una moneta”.

“E?”.

“E ho capito come funziona con le monete, ma per l'altro esempio che hai fatto, quello del navigatore che mi può dare tre direzioni, come funziona?”.

“Quello che può dire sinistra, diritto, destra? Che problema c'è?”.

“Eh, quanta informazione ho se mi dice diritto? Non è una moneta. Devo cambiare unità di misura? Una moneta a tre facce?”.

“Un flip-flap-flop”.

“COSA?”.

“L'analogo della moneta, quando si parla di computer, è il flip-flop. Un flip-flop è un circuito in grado di immagazzinare un unico dato, che può essere uno 0 oppure un 1. Alla base di tutti i nostri computer ci sono i flip-flop”.

“Ok, questo lo sapevo: alla base dei nostri computer c'è la numerazione binaria, fatta di 0 e 1. Ma un flip-flap-flop?”.

“Sarebbe un flip-flop a tre stati. Possiamo chiamarli 0, 1 e 2, oppure -1, 0, 1, oppure anche sinistra, diritto, destra. Secondo Knuth prima o poi i computer adotteranno circuiti a tre livelli. Per ora ci limitiamo ai circuiti con due livelli, ma chissà se in futuro le cose cambieranno. Certamente un circuito a tre livelli può contenere più informazione di uno a due”.

“Ecco, non capisco questa cosa: possiamo misurare il flip-flap-flop con una moneta? Come faccio a convertire i tre livelli in solo due?”.

“Domanda profonda, che ha bisogno di una risposta lunga”.

“Ah”.

“Potremmo cambiare unità di misura, usare il flip-flap-flop, e dire che il navigatore ha informazione 1 flip-flap-flop, ma se dobbiamo cambiare unità di misura ogni volta sarebbe un delirio”.

“Eh, sì. Però, dicevi l'altra volta, la funzione matematica che fa il calcolo è il logaritmo, quindi forse potremmo usare quello e buonanotte. Cioè, posso dire che il flip-flap-flop ha informazione pari al logaritmo in base 2 di 3? Si riesce a simulare un dispositivo a tre livelli con una moneta? E poi, boh, il logaritmo in base 2 di 3 è circa 1.585. Che senso ha prendere 1.585 monete?”.

“Partiamo dall'inizio: usare una moneta per avere informazioni, di qualunque tipo, significa fare delle domande alle quali si può rispondere solo o no. Per capire come funziona, immagina che io sia il navigatore, e tu puoi farmi delle domande per capire in che direzione andare. Attenzione, però, perché io posso rispondere solo sì oppure no. Prova”.

“Ehm. Ok. Devo andare dritto?”.

“No”.

“Devo andare a destra?”.

“No”.

“Devo… ehi, no, non devo fare altre domande, so già che devo andare a sinistra”.

“Benissimo”.

“Però ho impiegato due domande, non 1.585”.

“Esatto. Ora immagina di arrivare a un altro incrocio: riprova”.

“Va bene. Devo andare dritto?”.

“Sì”.

“Oh, già finito. Questa volta una sola domanda. Ma non potrò mai fare una domanda e mezzo”.

“Non potrai mai, vero. Però potrai chiederti: in media, quante domande devi fare?”.

“Ah. Ho visto che a volte mi basta una domanda, a volte me ne bastano due, certamente non devo mai farne tre o più, però come faccio a fare i conti?”.

“Facciamoci aiutare da uno schemino:”.

“Ok. Questo albero cosa mi dice?”.

“In un caso ti serve una domanda, in due casi te ne servono due. Il numero di domande medio da fare è uguale a (1 + 2 + 2)/3, cioè 5/3”.

“Cioè uno virgola sei periodico. Ma cosa? Qual è l'unità di misura? La moneta?”.

“Esatto, la moneta, o il bit. In media ti servono circa 1.667 domande per sapere quale direzione devi prendere. Il navigatore potrebbe risponderti anche in codice: se ti dice 1, significa , cioè vai diritto. Se ti dice 01, ti dice prima un no e poi un , cioè vai a sinistra. Se ti dice 00, vai a destra”.

“Però il logaritmo in base 2 di 3 non è uguale a 1 virgola 6 periodico, quindi cosa c'è di sbagliato? Questo calcolo o quello?”.

“Nessuno dei due, bisogna solo capire bene di cosa stiamo parlando. Supponi di non dover fare un viaggio corto, e di aver bisogno di interpellare il navigatore due volte. Potresti farlo in due momenti diversi, ma potresti anche farlo nello stesso momento, facendoti dire dal navigatore quale strada prendere al primo incrocio e al secondo”.

“Oh, in questo caso ho più messaggi”.

“Prova a elencarli”.

“Va bene, però uso le iniziali. Ah, no, accidenti, Diritto e Destra hanno la stessa iniziale”.

“Fai come nel flip-flap-flop: usa tre numeri”.

“Giusto. Allora userò 1, 2 e 3, perché usare 0, 1 e 2 mi sembra troppo matematico. Ecco i messaggi: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33. Sono 9: mi sembra corretto”.

“Lo è: 3 possibilità al primo incrocio, altre 3 al secondo, totale 3×3 = 9. Come costruiresti un albero binario di lunghezza minima per poter esplorare tutti i casi”.

“Se fossero 8 sarebbe perfetto, si farebbe un albero a tre livelli, e sarebbe tutto molto bello e ordinato. Però, con 9 casi, devo scendere di un altro livello”.

“Scegli di farlo con il minor numero di casi possibile”.

“Potrei sfruttare una sola delle ultime foglie per scendere di un livello: tolgo un caso e ne aggiungo due, arrivo a nove. Può andare?”.

“Ottimo. Ora puoi fare i conti: qual è il numero medio di domande che devi fare?”.

“Ci sono 7 casi in cui ne bastano 3, e 2 in cui invece ne servono 4. Totale: 7×3 + 2×4 = 29, da dividere per 9 casi”.

“Eh, no, se dividi per 9 ottieni il numero medio di domande per avere due indicazioni dal navigatore. Se vuoi sapere quante domande ti servono per ogni indicazione, devi dividere per 18”.

“Giusto, questo mi era sfuggito. Allora, 29/18 fa circa 1.611”.

“Un valore un po' più basso di quello precedente, e un po' più vicino al logaritmo in base 2 di 3”.

“Ah! Allora il logaritmo mi dice il valore medio a cui mi avvicino aumentando il numero di domande”.

“Il valore medio minimo alla lunga”.

“Vabbé”.

“Vuoi provare a fare anche il caso in cui il navigatore ti dà la strada per i prossimi tre incroci?”.

“Oh, proviamo. Con tre incroci mi servono 27 risposte possibili, che non è una potenza di 2”.

“Purtroppo nessuna potenza di 2 è anche una potenza di 3”.

“Già. Se per costruire l'albero uso 4 livelli, arrivo a 16 risposte: poche”.

“Qualcuna di queste 16 foglie andrà sdoppiata”.

“Sì, mi chiedo quante”.

“Pensa che ogni volta che una foglia si sdoppia, togli un nodo terminale e ne aggiungi due”.

“E quindi, se da 16 devo arrivare a 27, la differenza è 11”.

“Quindi 11 foglie si sdoppiano”.

“Provo”.



“Ottimo. Prova a fare i conti”.

“Vado: 5 casi a cui si arriva con 4 domande, e 22 a cui si arriva con 5, totale 5×4 + 22×5 = 130, da dividere per 3×27… risulta 130/81, cioè circa 1.605 monete per ogni incrocio”.

“Giusto. Ora vuoi provare a fare i conti con 4 incroci, anche senza disegnare l'albero?”.

“Ok, provo. Con 4 incroci ci sono 3= 81 casi possibili. La potenza di 2 più vicina è 2= 64: troppo bassa, mancano 81−64 = 17 casi. Quindi avrò 17×2 = 34 nodi a livello 7, e 64−17 = 47 nodi a livello 6. Il calcolo allora diventa 47×6 + 34×7 = 520, che va diviso per 81×4. Mi viene 520/324 che è circa uguale a 1.605. Mi pare di aver capito: faccio anche i conti con 4 incroci, giusto per fare un ultimo calcolo?”.

“Vai”.

“Con 5 incroci ci sono 35=243 casi possibili. La potenza di 2 più vicina è 27=128: troppo basso. Mancano 243−128=115 casi. Quindi avrò 115×2=230 nodi a livello 8, e 128−115=13 nodi a livello 7. Il calcolo allora diventa 13×7+230×8 che fa 1931, che deve essere diviso per 243×5. Quindi finalmente arrivo alla frazione 1931/1215 che è circa uguale a 1.5893. Ci stiamo avvicinando”.

“Tutto perfetto. Se vuoi ti riassumo quello che stiamo facendo”.

“Grazie”.

“Facciamo un'analisi sul numero medio di domande da porre al navigatore per poter affrontare N incroci. Abbiamo quindi 3N possibili risposte”.

“Bene”.

“Le domande sono binarie, sono del tipo o no, e quindi cominciamo a studiare la potenza di 2 più vicina a 3N. Stiamo cercando, quindi, il valore di m per cui 2m < 3N < 2m+1”.

“Gulp, va bene”.

“Perciò abbiamo che 2m/N < 3 < 2(m+1)/N”.

“Sempre peggio”.

“Ultimo passaggio: m/N < log2(3) < (m+1)/N”.

“Santo cielo. Comunque, sì, almeno capisco che le frazioni che stavamo calcolando sono approssimazioni del logaritmo in base 2 di 3”.

“Proprio così. Un'ultima cosa: se indichiamo con d(N) il numero medio di domande, sappiamo che esso deve risultare un numero compreso tra m e m+1”.

“Giusto: deve essere più grande di m perché la potenza di 2 che ha esponente m è minore di esso, mentre la potenza con esponente aumentato di 1 è già troppo grande”.

“Ok. Allora se m < d(N) < m+1, dividendo tutto per N otteniamo che m/N < d(N)/N < (m+1)/N”.

“Ah, la stessa disuguaglianza di prima! Allora significa che d(N)/N si avvicina sempre di più a log2(3)”.

“Ed ecco il significato di quel logaritmo: se aumentiamo la lunghezza delle domande, il numero di monete, o di bit, che ci servono per ottenere le risposte dal navigatore si avvicina sempre di più al logaritmo in base 2 di 3. Dire che la quantità di informazione che ci fornisce il flip-flap-flop è il logaritmo in base 2 di 3 significa dire che il numero medio minimo di domande binarie che dobbiamo fargli, alla lunga, è il logaritmo in base 2 di 3”.

“Questa è stata difficile”.

“La prossima volta studiamo il lucchetto a combinazione da bicicletta”.

sabato 2 maggio 2020

Capacità — 4. Monete

“Bene, dopo tutta questa introduzione possiamo finalmente parlare d'altro”.

“Ma come? Era un'introduzione?”.

“Sì, giusto per scaldarci un po'”.

“Ah. E di cosa parliamo?”.

“Di informazione”.

“Singolare?”.

“Sì, del concetto di informazione, di come si fa a misurarla”.

“Non sapevo che si misurasse. Ma cosa significa, poi, misurarla?”.

“L'idea è questa: abbiamo un dispositivo che immagazzina dati, oppure che può trasmetterli da una sorgente a una destinazione”.

“E fin qua è chiaro”.

“Chiamiamo messaggi i dati che vengono immagazzinati o trasmessi, così ci leghiamo al concetto di informazione. Che strada devo prendere al prossimo incrocio? Qual è il primo verso della Divina Commedia?”.

“Le risposte a queste domande sono i messaggi?”.

“Esatto. Mettiamoci poi nel caso in cui il numero di messaggi che un sistema può inviare (o conservare) sia un numero finito. La strada che devo prendere al prossimo incrocio è destra, sinistra, oppure dritto. Il primo verso della Divina Commedia è un messaggio composto da 35 lettere dell'alfabeto, che sono in numero finito, e così via”.

“Va bene”.

“Ora la domanda è: che numero possiamo prendere per misurare l'informazione prodotta quando viene scelto uno dei messaggi disponibili? Il messaggio vai diritto quanta informazione porta con sé? E il messaggio Nel mezzo del cammin di nostra vita?”.

“Non saprei proprio come risponderti”.

“Partiamo dal caso più semplice possibile: prendiamo come contenitore di messaggi, o come canale che trasmette i messaggi, una moneta”.

“Eh? Come una moneta?”.

“Una moneta parla: dice testa o croce. Permette di salvare, o trasmettere, due messaggi diversi. Come misuriamo la quantità di informazione che si produce quando selezioniamo testa o croce?”.

“Non so. Ancora non capisco di cosa stiamo parlando: come fa una moneta a essere il caso più semplice di tutti? Una moneta porta due messaggi: non si può pensare a un caso ancora più semplice in cui il messaggio è uno solo?”.

“Ma se il messaggio è uno solo, ti serve conoscerlo?”.

“Uh?”.

“L'idea che si vuole tradurre in linguaggio matematico è questa: tu non sai una cosa, poi ricevi un messaggio e la conosci. Quanto vale quel messaggio? Quanto pesa? Quanta informazione ti porta? Se sai già che il messaggio è uno solo…”.

“Non mi porta nessuna informazione! Perché io non conosca il messaggio, ce ne devono essere almeno due! Ecco perché la moneta è il caso più semplice”.

“Esatto. E nota che nel caso della moneta, la parola testa può anche essere abbreviata con una singola lettera, T, mentre se parli dei versi della Divina Commedia sapere che a un certo punto c'è una T invece di una C è una informazione più forte”.

“Vero: la parola Torre è diversa da Corre”.

“Non solo: in questo caso non hai solo due possibilità, cioè T o C, ma puoi anche avere altre lettere, e generare parole ancora diverse, come per esempio Porre. Inoltre, qui il messaggio T è diverso dal messaggio Testa, mentre nella moneta sono uguali”.

“Va bene, sto capendo qualcosa, ma ancora non saprei come misurare questa quantità di informazione, anche se ho capito che dipende dal contesto. Potremmo forse dire che la quantità di informazione dipende dai possibili messaggi?”.

“Sì, potremmo farlo. Potremmo dire che l'informazione T o C relativa al lancio della moneta vale 2, perché i casi sono solo due. Se invece stiamo parlando di lettere dell'alfabeto, la scelta di T o C vale di più”.

“Ci sono 26 possibilità, ammesso che Dante abbia usato anche le lettere straniere”.

“Nella Divina Commedia ci sono due J, un sacco di X che sono state usate per numerare i canti (ma non solo), e una Y. Non ho trovato delle W e delle K”.

“Quindi servono almeno 24 caratteri”.

“Senza contare tutti i segni di interpunzione e lo spazio, e senza fare differenza tra lettere maiuscole e lettere minuscole”.

“Oh già. Potremmo allora dire che l'informazione delle lettere dell'alfabeto usate per la Divina Commedia vale 24, senza contare tutto il resto?”.

“Potremmo, se la Divina Commedia fosse composta da un solo carattere”.

“Oh, già. Ma… allora l'informazione contenuta nella Divina Commedia è un numero enorme!”.

“Vorrei ben vedere, soprattutto se la paragoniamo al lancio di una moneta. Dante non sarebbe felice di sapere che ha prodotto poca informazione”.

“Sì, capisco, sarebbe un po' deludente”.

“Abbiamo detto, quindi, che per calcolare la quantità di informazione potremmo contare il numero di messaggi che un sistema può inviare. Ma non faremo così”.

“E perché?”.

“Perché useremmo una scala che non ci piace”.

“Mh. Come fa a non piacerci una cosa che definiamo noi?”.

“Te lo spiego con un esempio. Se una moneta produce informazione uguale a 2, secondo te quanta informazione produce una coppia di monete?”.

“Il doppio, no?”.

“Eh, il doppio, cioè 4”.

“Certo. Cosa c'è che non va?”.

“Come lo hai calcolato 4? Facendo 2+2 oppure 2×2?”.

“Cosa cambia? Fa comunque 4”.

“Il risultato non cambia, ma l'idea sì. Quanta informazione producono 3 monete?”.

“Sarà il triplo, no?”.

“Il triplo di 2 è 6”.

“Certo”.

“E allora qualcosa non torna: il numero di messaggi che si possono trasmettere con 3 monete non è 6”.

“Oh. È vero! Con 3 monete posso trasmettere 8 messaggi: TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC”.

“E quindi 4 era uguale a 2+2 oppure a 2×2?”.

“Era uguale a 2×2. Con 3 monete devo calcolare 23, con 4 invece 24, eccetera”.

“Quindi l'informazione prodotta da 3 monete non è il triplo dell'informazione prodotta da una moneta”.

“Eh, no. Purtroppo no. Capisco perché dici che non ci piace: io vorrei un modo di misurare questa informazione che mi permetta invece di dire che l'informazione prodotta dalla somma di tot monete è tot volte l'informazione prodotta da una moneta. Ma come si fa?”.

“Si fa, si fa. Ci sono i logaritmi apposta”.

“Ah! Se uso la base 2, con la moneta è facilissimo: una moneta ha informazione 1, due monete hanno informazione 2, eccetera”.

“Sì, è la scelta più naturale”.

“E possiamo dare un nome all'unità di misura? Una moneta ha informazione 1 cosa?”.

“Io direi che, per un po', potremmo continuare a chiamare questa unità di misura moneta. Anche se tutto il mondo la chiama bit”.

domenica 5 aprile 2020

Capacità — 3. Sezione aurea

La volta scorsa abbiamo detto che una possibile soluzione alla relazione di Fibonacci potrebbe essere una funzione esponenziale”.

“Mi ricordo: abbiamo detto che la relazione di Fibonacci potrebbe essere scritta come ΔF= Fn-1; ho capito che la soluzione potrebbe essere un'esponenziale, perché il Δ si comporta bene con quel tipo di funzioni, però non saprei come trovare l'esponenziale giusta”.

“Si prova”.

“Ma come?”.

“Si prende una successione esponenziale incognita, che possiamo scrivere come an, e la si sostituisce nella relazione di Fibonacci Fn+1 FFn-1”.

“Tutto qua? Allora provo a sostituire. Mi viene an+1 aan-1”.

“Bene”.

“E adesso?”.

“Adesso la semplifichiamo un po'. Si potrebbe raccogliere an-1, che è un fattore comune”.

“Giusto. Ecco qua: an-1(a− − 1)=0”.

“Ottimo. È possibile che quell'espressione sia uguale a zero?”.

“Uhm, a potrebbe essere uguale a zero, ma forse non ci interessa”.

“Ottima osservazione: in effetti la successione 0, 0, 0, … soddisfa la relazione di Fibonacci”.

“Ma non è la successione che conosciamo! Perché?”.

“Perché tutto dipende dal punto di partenza. Se parti da 0 e 0, ogni termine della successione sarà 0”.

“Ah, se invece parto da 0 e da 1 ottengo la successione famosa. O devo partire da 1 e 1?”.

“Non importa, bisogna mettersi d'accordo. O dici che la successione di Fibonacci è 0, 1, 1, 2, 3, 5,…, o dici che è 1, 1, 2, 3, 5,…. Non c'è un modo più giusto dell'altro: dipende se quello zero iniziale ti serve oppure no”.

“Ok. Noi però abbiamo trovato 0, 0, 0,…”.

“Questo se a fosse uguale a zero, ma non c'è solo questa possibilità”.

“Già, vero. Se a fosse diverso da zero, cosa potrei fare?”.

“Per cominciare, potresti semplificare quel termine fuori dalla parentesi”.

“Giusto. Ottengo a− a − 1 = 0. Ehi, questa è un'equazione di secondo grado, la so risolvere”.

“Vai”.

“E non è un'equazione anonima, è quella che serve per calcolare la sezione aurea! Però ho due soluzioni: (1 + √5)/2 e (1 − √5)/2”.

“Esatto”.

“E qual è quella giusta?”.

“Perché pensi che ce ne sia una sbagliata?”.

“Oh. Possono andare bene tutte e due?”.

“Non solo: di soluzioni ce ne sono infinite”.

“Ma come è possibile?”.

“Beh, ci siamo già accorti del fatto che ciò che conta è l'equazione a− a − 1 = 0 e non il coefficiente che sta fuori dalla parentesi”.

“Quindi?”.

“Quindi se an è una soluzione, anche kan lo è”.

“Ah, certo! Se sostituisco kan, vedo che posso raccogliere quel fattore k, che poi posso semplificare, ammesso che sia diverso da zero”.

“Certo. E se fosse uguale a zero avremmo la soluzione tutta nulla di cui abbiamo già parlato”.

“Bene, ho capito. Ma quindi abbiamo due infinità di soluzioni?”.

“Se vogliamo esprimerci in termini un po' evocativi, sì. Possiamo dire che una soluzione generale è data da questa formula:”.

an = h[(1 + √5)/2]n + k[(1 − √5)/2]n 

 “Oh, bello. E al posto di h e k posso mettere quello che voglio?”.

“Sì, ma attenzione: per ogni valore di quelle due costanti ottieni una successione che soddisfa alla relazione di Fibonacci, però ognuna di queste successioni parte da condizioni iniziali diverse”.

“E allora come si fa?”.

“Si usano le condizioni iniziali per stabilire quali valori debbano assumere le due costanti”.

“Uhm”.

“Guarda: sappiamo che F= 0, quindi possiamo sostituire nella relazione generale, e otteniamo 0 = h + k”.

“Ok. Provo ad andare avanti: dato che F= 1, se sostituisco ottengo 1 = h[(1 + √5)/2] + k[(1 − √5)/2]”.

“Bene. Dalla prima equazione otteniamo che k = −h”.

“Se sostituisco nella seconda viene qualcosa di brutto: 1 = h[(1 + √5)/2] − h[(1 − √5)/2]. Ah, però posso raccogliere h e semplificare”.

“Sì, non è così brutto, alla fine”.

“Mi viene 1 = h√5”.

“Bene, questo significa che = 1/√5”.

“Allora la formula che ci dà la relazione di Fibonacci è questa:”.

F= (1/√5)[(1 + √5)/2]− (1/√5)[(1 − √5)/2]n

“Proprio così. Ti faccio notare che il termine (1 + √5)/2 è quello che, di solito, si chiama sezione aurea e si indica con φ, mentre il termine (1 − √5)/2 è l'opposto del suo reciproco”.

“Davvero? Dici che 2/(1 + √5) è uguale a − (1 − √5)/2?”.

“Prova: se moltiplichi numeratore e denominatore di 2/(1 + √5) per (1 − √5), cosa ottieni?”.

“Al numeratore ottengo 2(1 + √5). Al denominatore (1 + √5)(1 − √5), che fa 1 − 5, cioè − 4. Ah, poi si semplifica, risulta proprio come dici tu”.

“E quindi quella formula che abbiamo trovato può essere scritta in modo molto elegante così: F= (1/√5)φ− (1/√5)(−φ)−n. O, anche:”.

F= [φ− (−φ)−n]/√5 

sabato 7 marzo 2020

Capacità — 2. Δ

“Siamo arrivati a scrivere la formula di Fibonacci in questo modo:”.

ΔFn = Fn-1.

“Sì, ma non capisco bene perché”.

“Proviamo a studiare il funzionamento di questo Δ, così poi si capirà qualcosa di più”.

“Proviamo”.

“Quanto vale, per esempio, Δ42?”.

“Non capisco proprio la domanda”.

“La possiamo tradurre così: di quanto varia la successione an = 42, ogni volta che n aumenta di 1?”.

“Ma non varia!”.

“Esatto. Quindi Δ42 = 0”.

“Tutto qua?”.

“Tutto qua. Adesso: quanto vale Δn?”.

“Aspetta che provo a tradurre: di quanto varia la successione an= n, ogni volta che n aumenta di 1?”.

“Giusto, hai tradotto bene”.

“Mi piacerebbe di più girare la domanda in questo modo: quanto vale an+1 an?”.

“Sì, è la stessa cosa”.

“Allora il calcolo è facile: (n+1) − n fa 1. Ogni volta che n aumenta di 1, an aumenta di 1, perché è la stessa cosa.”.

“Certo, è una cosa ovvia. Se mettiamo nella prima riga di una tabella i valori di n, e nella seconda i valori che si ottengono facendo la differenza tra i termini di due caselle consecutive, otteniamo una tabella come questa:”.

1 2 3 4 5
1 1 1 1 //

“Sì, è decisamente ovvio. 2 − 1 fa 1, 3 − 2 fa 1, e così via”.

“Ottimo. Altra domanda: quanto fa Δn2?”.

“Provo a giocare un po' con la tabella:”.

0 1 4 9 16
1 3 5 7 //

“Esatto”.

“Nella riga delle differenze ci sono i numeri dispari, direi”.

“Diresti bene, ma come puoi dimostrarlo?”.

“Forse dovrei fare il calcolo algebrico”.

“Prova”.

“Vediamo: Δn= (+ 1)n2, vero?”.

“Vero. Ora svolgi i calcoli”.

“Ecco: (+ 1)n2 = n2 + 2n + 1 − n2 = 2+ 1. È corretto, 2n + 1 è sempre un numero dispari”.

“Benissimo”.

“Mi sembra anche di cogliere un legame con le derivate: se ben ricordo, anche loro fanno abbassare il grado”.

“Solo dei polinomi!”.

“Ah, io ricordo quelle, ehm”.

“Uff. Comunque, sì, l'operatore Δ fa sempre abbassare il grado di una potenza: quando calcoli Δnp ti risulta (n + 1)p np…”.

“… e quando svolgo la potenza di (n + 1) ottengo sempre, come primo termine, np, che si semplifica con il − np che si trova alla fine. Ho capito, ma allora…”.

“Cosa succede?”.

“Eh, se il grado cala sempre, come è possibile che l'equazione di Fibonacci sia vera? Come è possibile che ΔFn abbia lo stesso grado di Fn-1? L'equazione dice anzi molto di più, e cioè che ΔFn deve essere uguale a Fn-1, ma se non possono avere nemmeno lo stesso grado…”.

“Vorrà dire che Fn non è un polinomio”.

“Ah”.

“Vedi come all'improvviso si aprono nuovi mondi”.

“Eh. Ma se non è un polinomio, allora, cosa può essere?”.

“Guarda questa tabella”.

1 2 4 8 16
1 2 4 8 //

“Hai sbagliato qualcosa? Hai ricopiato la riga di sopra su quella di sot… oh”.

“Visto?”.

“Vedo! Non hai ricopiato, hai calcolato le differenze, che sono uguali alla successione di partenza”.

“Esatto. Riconosci la successione di partenza? Puoi scriverne l'espressione e verificare che tutto sia corretto?”.

“Vediamo. Mi pare che la successione di partenza sia quella delle potenze di 2, quindi a= 2n”.

“Ok”.

“Quindi Δ2n = 2n+1 − 2n. E adesso?”.

“Adesso prova a scrivere 2n+1 come 2×2n”.

“Provo: Δ2n = 2×2− 2n. Risulta proprio 2n, è corretto”.

“Quindi vedi che esiste una funzione che non cambia anche se a essa viene applicato l'operatore Δ”.

“Vedo. Vale per tutte le funzioni esponenziali?”.

“Prova con la base 3, per esempio”.

“Provo: Δ3n = 3n+1 − 3n = 3×3n − 3= 2×3n. No, non funziona”.

“Non funziona del tutto: il Δ di un'esponenziale è ancora un'esponenziale, però moltiplicata per una costante. Ma la base dell'esponenziale non cambia”.

“Giusto. Però, uhm, non mi pare di aver risolto l'equazione di Fibonacci. Cioè, se fosse ΔFn = Fn, allora potrei dire che Fn = 2n”.

“Sì, quasi. Quella è una delle possibili soluzioni, ma ce ne sono altre”.

“Ma come?”.

“Guarda, se al posto di 2n consideri c×2n i calcoli non cambiano di molto”.

“Ah, giusto, quella costante c si raccoglie e non dà fastidio: Δc×2n = c×(2n+1 − 2n) = c×2n”.

“Però hai ragione, l'equazione di Fibonacci non è ΔFn = Fn, ma ΔFn = Fn-1”.

“E quindi?”.

“E quindi la soluzione non sarà data dalla funzione esponenziale di base 2, ma magari sarà data da un'altra funzione esponenziale che soddisfa a quella proprietà”.

“Ah. E come facciamo a trovarla?”.

“Cercando”.

lunedì 3 febbraio 2020

Capacità — 1. Come conigli

“Allora, vediamo: un coniglio giovane alla prima generazione, un coniglio maturo alla seconda, e così alla terza avrò un coniglio maturo e suo figlio giovane, e alla quarta uno maturo che lo era già, uno che lo è diventato, e il figlio di quello che lo era già, quindi…”.

“Cosa fai?”.

“Sto cercando di capire il legame tra i numeri di Fibonacci e i conigli”.

“Molto bene”.

“Non è mica una cosa ovvia”.

“Non lo sono mai, fino a che non le capisci”.

“Ottimo”.

“Quindi, hai capito?”.

“Credo di sì. Mi sono fatto questo schemino, dove la c minuscola rappresenta un coniglio giovane, e la C maiuscola un coniglio maturo, che produrrà un figlio alla generazione successiva:”.

c
C
Cc
CcC
CcCCc
CcCCcCcC

“Non è chiarissimo, ma è giusto”.

“Eh, lo so che non è chiaro, ma anche i disegni a albero non sono chiarissimi”.

“Guarda, qua ce n'è uno bello”.

“Ohh, sì, bello, e bello anche l'articolo. Almeno fino a che non comincia a parlare di autovalori e autovettori”.

“Non c'è bisogno di arrivare fino a lì, anche se quella con le matrici è una trattazione molto elegante”.

“Già mi basterebbe aver capito bene la relazione di ricorrenza”.

“E quella è chiara?”.

“Mi pare di sì: data una certa generazione, i conigli adulti sono quelli che erano vivi due generazioni prima”.

“Esatto”.

“E i conigli adulti sono quelli che fanno figli, quindi i figli che nascono in ogni generazione sono tanti quanti erano tutti i conigli di due generazioni prima”.

“Giusto. A questi figli bisogna aggiungere tutti quelli che c'erano già, cioè quelli di una generazione prima”.

“Ed ecco la formula Fn = Fn−1 + Fn−2”.

“Perfetto”.

“Invece quella faccenda degli autovettori e della sezione aurea mi pare incomprensibile. Sarebbe bello capire come trovare una formula chiusa per la successione di Fibonacci senza tutta quella teoria”.

“Si può, si può”.

“E come si fa?”.

“Si comincia da questa tabella”.

1  4  9 16 25 36
3  5  7  9 11 --

“Cosa sto guardando?”.

“Dimmelo tu: cosa c'è nella prima riga?”.

“Vedo i quadrati dei numeri naturali”.

“Ottimo. E nella seconda?”.

“I numeri dispari a partire da 3”.

“Oppure?”.

“Come oppure?”.

“Eh, io non ho scritto i numeri dispari a partire da 3, ho fatto un altro calcolo. Se avessi voluto scrivere i numeri dispari a partire da 3 non avrei lasciato vuota l'ultima casella, avrei scritto 13”.

“Giusto. Allora, uhm. Ah! Ogni numero scritto nella seconda riga è la differenza tra i due numeri che gli stanno sopra nella prima riga”.

“Esatto. E così si spiega perché manca l'ultimo numero: servirebbe un altro numero a destra di 36”.

“Vero. Quindi potrei scrivere la tabella in questo modo:”.

  1    4     9      6     25    36
4-1  9-4  16-9  25-16  36-25  ----


“Sì, esatto”.

“Non capisco bene cosa c'entra tutto questo con i numeri di Fibonacci”.

“Porta pazienza. Per ora prova a analizzare questo problema: è vero che nella seconda riga della tabella compaiono tutti i numeri dispari? Come lo si potrebbe dimostrare?”.

“Oh, dovrei usare un po' di algebra, vediamo. Se nella prima riga ci sono i quadrati, potrei indicare un generico termine con n2”.

“Bene. E il successivo, quindi?”.

“Il successivo sarà (+ 1)2”.

“Ora puoi calcolare la differenza”.

“(n + 1)2n2 = n2 + 2n + 1 − n2. Risulta 2n + 1”.

“Bene. Cosa puoi dire di questo numero?”.

“Che è certamente dispari. E, dato che n parte da 1, il primo numero che ottengo è proprio 3”.

“Perfetto. Ora indichiamo con un simbolo il calcolo che hai fatto: se il generico termine di una successione è an, il calcolo che si fa per riempire la seconda riga della tabella è an+1an, che indichiamo con Δan”.

“Oh, delta”.

“Sì, delta, che si chiama, semplicemente, differenza”.

“Quindi io avrei calcolato Δn2?”.

“Sì, hai trovato che Δn2 = 2+ 1”.

“Ok. A cosa mi serve questo delta?”.

“Tra un po' ci arriviamo. Per ora, scriviamo ancora una volta la relazione di Fibonacci, calcolata però in Fn+1”.

“Così?”.

Fn+1 = Fn + Fn−1

“Sì. Ora porta a sinistra il primo termine che si trova a destra dell'uguale”.

“Ecco:”.

Fn+1Fn = Fn−1

“Benissimo. Ora, riscrivila usando il delta che abbiamo definito prima”.

“Ah, ecco perché la differenza. Ecco qua:”.

ΔFn = Fn−1

“Ok. Ora, ragioniamo: è possibile che un polinomio soddisfi quella relazione?”.

“Boh, e come faccio a saperlo?”.

“Prima hai visto un esempio con un polinomio molto semplice, cioè n3”.

“Sì, in quel caso il delta risultava 2n2 + 1”.

“E, dunque, si passa da grado 3 a grado 2”.

“Sì, vero, ma non capisco bene cosa implichi questo fatto”.

“La proprietà che hai osservato, e cioè che l'operatore Δ prende un polinomio di grado n e ne restituisce uno di grado n − 1, è universale, non vale solo per la potenza 3”.

“Questo lo capisco: nel calcolo il termine di grado massimo si semplifica”.

“Ok. Ora, se un polinomio di grado n fosse soluzione dell'equazione ΔFn = Fn−1, vorrebbe dire che l'espressione a sinistra dell'uguale dovrebbe essere di grado n − 1, e quella a destra dell'uguale di grado n”.

“Ma questo è impossibile, no?”.

“Esatto: se due polinomi sono uguali, devono certamente avere lo stesso grado”.

“Bene, ho capito che un polinomio non può essere soluzione di quella equazione, e che, quindi, la successione di Fibonacci non è un polinomio. Questo non mi aiuta molto a capire come esprimerla in forma chiusa, però”.

“Un pochino sì, dai. Abbiamo capito che serve una espressione che rimane sufficientemente simile a sé stessa anche quando l'operatore delta agisce su di essa”.

“Ancora non vedo la soluzione. L'unica cosa che mi viene in mente è che questa roba sembra simile a un argomento che ho studiato a scuola”.

“Quale”.

“Le derivate. Ma forse mi sbaglio”.

“E invece no”.

martedì 14 gennaio 2020

Carnevale della Matematica #136

Un gruppo di infiniti matematici entra in un bar. Il primo ordina una birra, il secondo due birre, il terzo tre birre. Dopo aver servito il sedicesimo, il barista si ferma dicendo: “Siete sempre degli idioti. Finitela con queste barzellette che fanno ridere solo i matematici!”. Quante birre ha servito?

“Scusi, signor barista?”.
“Cosa c'è ancora? Basta birre, eh?”.
“No, no, basta birre, vorremmo qualcosa di meno leggero”.
“Mh, non so se sia il caso”.
“Vedo lassù una discreta collezione di grappe”.
“Sì, è una specialità del nostro locale, ne abbiamo diciassette tipi”.
“E noi siamo rimasti in quindici. Vede, quello che prima ha preso sedici birre si è dovuto assentare un momento”.
“Immagino”.
“Mi chiedevo, lei ha idea di quanti modi ci siano, per noi che siamo rimasti qua, di scegliere quindici delle sue diciassette grappe, giusto per fare un assaggino?”.
“Via! Via, fuori di qua!”.


“Ehi, ci hanno cacciati dal bar”.
“Già”.
“Io stavo giocando con i tappini delle bottiglie di birra, adesso come faccio?”.
“Che gioco stavi facendo?”.
“Ho messo un tappino al centro del tavolo, e ho immaginato che fosse un poligono di 24 lati”.
“Complimenti per la fantasia”.
“Poi ho allungato il lato del mio poligono, facendo in modo che risultasse lungo due tappini”.
“Ah, quindi hai messo 24 tappini”.
“Ne ho aggiunti 23, per la precisione, in modo da arrivare a 24”.
“Certo”.
“Poi ho allungato ancora il lato, in modo che fosse composto da tre tappini”.
“E hai sempre costruito un poligono di 24 lati?”.
“Sì. E poi ho allungato il lato un'altra volta, in modo da farlo lungo quattro tappini”.
“Ah, però. Quanti tappini hai usato in tutto?”.

“Ehi, guardate, un ingegnere!”.
“È da solo?”.
“Sembra di sì, proprio al centro di quella piazza”.
“Vai, andiamo a fare un po' di bullismo”.
“Mah, non so se sia il caso”.
“Perché?”.
“Anche se è da solo, un ingegnere è sempre pericoloso. Loro sanno usare le pinze”.
“Oh”.
“Addirittura i cacciavite”.
“Ooh!”.
“Una volta ne ho visto uno piantare un chiodo in un muro!”.
“Un bruto, orrore!”.
“Però potremmo dileggiarlo usando la nostra conoscenza superiore”.
“In che modo?”.
“Senti che idea: nove di noi lo accerchiano, in silenzio”.
“Perché proprio nove?”.
“Perché gli ingegneri pensano che nove sia un numero primo”.
“Ah ah, che scherzone!”.
“Ma non è finita! Chiamiamo i nostri amici, e ne mettiamo 18 intorno ai nove di prima”.
“E poi?”.
“E poi altri ventisette”.
“Che sagoma!”.
“Poi ancora, altri due giri di multipli di nove”.
“Chissà quante persone riempiranno la piazza, alla fine”.

“Ehi, cosa stai leggendo?”.
PlayMath, la rivista per Veri Matematici”.
“Ooh”.
“Guarda qui, c'è un articolo su un informatico…”.
“Bleah”.
“No, aspetta. C'è questo informatico, Simon Colton, che ha scritto un software che inventa definizioni matematiche e poi le studia”.
“Ma dai, sul serio?”.
“Sì, sì. Il programma si chiama Hardy Ramanujan”.
“Capirai”.
“Eh. Guarda cosa dice l'autore: The research of the author includes understanding and automating the processes at work when mathematicians invent new concepts, specifically in finite group theory. This has culminated in the HR system, named after Hardy and Ramanujan, to emphasize both a theory-driven and a data-driven approach to concept formation. HR starts with only the axioms of group theory and ends with definitions and models of concepts it has derived, such Abelian groups, cyclic groups, orders of elements and so on”.
“Roba da matti. E funziona?”.
“Sì. Leggi qua: The first time HR was tried in number theory, it invented the refactorable numbers. When we first saw this sequence, we did not know how it was found, but it looked interesting - it had a mix of odd and even numbers, sufficiently many terms between one and a hundred, and no obvious pattern. Therefore we looked it up in the Online Encyclopedia, and were surprised to find that it was not listed. Only then did we look at the output from HR to see its definition (expecting an unintuitive, complicated explanation), and were then even more surprised that this sequence was missing from the Encyclopedia”.
“Sono Pazzi Questi Matematici. Un numero sufficiente di termini compresi tra uno e cento? Tra un po' troveremo un trattato sulle successioni interessanti”.
A meno che non esista già”.
“Argh”.
“Beh, comunque sia, la definizione di numero rifattorizzabile è questa: si tratta di quei numeri che sono divisibili per la somma dei loro divisori”.
“Una interessantissima e utilissima definizione, vedo”.
“…”.
“Dai, su, ammettiamolo”.
“Non lo ammetterò mai, naturalmente. Comunque, questo è l'elenco dei primi numeri rifattorizzabili: 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96, 104, 108, 128, 132”.
“Ah. E cosa viene dopo?”.

“Questa piazza mi sembra un po' strana”.
“Sarà colpa delle birre, o delle grappe”.
“O dell'ingegnere che ci ha minacciati con quel compasso che aveva in tasca”.
“Non credevo che esistessero compassi veri, pensavo che fossero soltanto idee astratte di Euclide”.
“Santo cielo. Beh, non sembra strana anche a voi, la piazza? Ci sono delle decorazioni a forma di triangolo rettangolo, vero? O sono mie allucinazioni?”.
“No, no, è vero. Ma ce ne sono di varie forme. Vedo che i lati sono costruiti con delle tessere da mosaico, aspetta che provo a cercare di fare qualche misura”.
“Sì, dai, vediamo di smaltire un po' di alcool. Questo triangolo ha l'ipotenusa lunga 170 tessere e un cateto lungo 102”.
“Questo invece ha l'ipotenusa lunga 289 e un cateto lungo 255”.
“Questo 305 e 273”.
“Questo invece 586 e 570”.
“Questo è ancora più grande: 1160 e 1152”.
“Questo ancora di più: 2314 e 2310”.
“Questo è il più grande: 4625 e 4623”.

“Mi hanno regalato questo ottimo libro motivazionale”.
“Uh, che libro è?”.
Parlare con qualcuno guardandogli le scarpe: storie di persone che ci sono riuscite”.
“Ah, interessante. Te l'hanno regalato per Natale?”.
“Sì”.
“Quindi il 31 OCT”.
“Eh?”.
“31 OCT = 25 DEC”.
“Santo cielo, una battuta sui cambiamenti di base. Tanto vale aggiungere 19 HEX”.
“Ma così non fa ridere!”.
“Ah perché l'altra battuta fa ridere?”.
“Ehm. Stavo pensando, però, che ci si possono porre delle interessantissime domande sui cambiamenti di base”.
“Per esempio?”.
“Per esempio, oggi è il 14 gennaio, che potremmo scrivere 141”.
“Volendo”.
“E 141 è un numero palindromo, in base 10”.
“Certo”.
“E se cambiamo base? Quanto valgono i numeri che sono palindromi in una base diversa da 10 quando li convertiamo in base 10?”.
“Per esempio?”.
“Per esempio, 161 in base 9 come diventa, se lo converto in base 10? Oppure 88 in base 16?”.


“Bene, finiamola con questa farsa, stanno finalmente arrivando i contributi per il Carnevale della Matematica”.
“Molto bene”.
“Il verso della poesia gaussiana di questo Carnevale è: canta, canta, canta zampettando”.
“Certo”.
“E questa, invece, è la cellula melodica:”.



“Ovviamente”.
“Un intervallo piuttosto moderno e dissonante. Direi un po' da café chantant: la settima maggiore.”.
“Ma infatti”.
“Ora siamo pronti per il Carnevale”.
“Finalmente”.
“E cominciamo con un ospite speciale”.
“Una guest star?”.
“Sì, un fisico”.
“Ehi, attenzione, non sarà pericoloso?”.
“No, no, di solito no. Ha scritto molte cose in giro per l'internet, ma poi le ha cancellate, le ha riscritte, le ha sistemate, le ha ricancellate”.
“E perché?”.
“Mah, è inquieto. Sai, i fisici”.
“Ah, capisco”.
“Beh, questa volta gli ho estorto un po' di cose che ha scritto e le ho messe in un posto sicuro”.
“Uh, non si arrabbierà?”.
“Direi di no, mi ha proprio detto fanne quello che vuoi”.
“Benissimo, allora. Chi è questo fisico un po' Scrooge?”.
Peppe Liberti”.
“Ahh, benissimo!”.
“E cosa ha scritto?”.
Piccole storie di fisici”.
“Molto bene”.
“Molto molto bene”.

“Adesso c'è Annalisa Santi, che propone un contributo legato al vino”.
“E questa sarebbe matematica?”.
“Beh, il vino va bene con tutto, se facciamo finta di niente per quanto riguarda le birre e le grappe di prima”.
“Senza dubbio”.
“E noi siamo del partito di Goethe”.
“Ovviamente”.
“Che diceva: La vita è troppo breve per bere vini mediocri”.
“Ah, ma guarda. Dovrei rivalutarlo, allora”.
“Ed ecco qua: Il vino perfetto… matematico?”.

“E ora arriva .mau.”.
“Pronti!”.
“Guarda che elenco, a partire da quello che ha scritto sul Post:”.
“Filosofie, certo”.
“Sai com'è, anche i matematici non sono tutti d'accordo su alcune cose”.
“Certo”.
“Ed ecco la lista dei contributi sulle Notiziole. Prima i quizzini:”.

“Molto bene”.
“Poi ci sono due recensioni, accompagnate da due commenti al volo”.
“Vediamo”.
“E infine un articolo di Povera matematica: I biscotti Misura e le tabelline”.
“Tabelline e biscotti, ottimo”.
“A furia di mettere informazioni non troppo utili nella confezione, dice .mau., sono riusciti a dimostrare di non saper fare le divisioni”.
“Ahia”.

“Ora c'è Davide Passaro, che ci manda un po' di cose pubblicate su Math is in the Air”.
“Avanti!”.
“E adesso c'è un elenco enorme”.
“Oh, e chi lo manda?”.
Roberto Natalini, con tutti i contributi di MaddMaths! Guarda qua:”.
  • I 10 post più letti su MaddMaths! nel 2019.
    Finisce il 2019, ed è il momento di tirare le somme di un anno pieno di notizie guardando quali sono i 10 post più letti tra quelli apparsi nel 2019 (ci sono alcuni evergreen degli anni precedenti, cherimangono molto alti in classifica, a partire dal n. 1 in assoluto il post sul metodo analogico di Bortolato con oltre 50.000 visitatori e il solito "Una versione elementare della congettura di Riemann" di Alessandro Zaccagnini, che ha superato i 28.000 lettori). E come ogni top 10 che si rispetti, partiamo dal numero 10 (e attenzione, seguono un paio di “bonus” ripescati dalla redazione!).
  • Buon 2020 con l’Almanacco MaddMaths!
    Con questo Almanacco MaddMaths! 2019 continuiamo una tradizione che ci sta accompagnando da qualche anno, tanto che oramai abbiamo persino una pagina in cui potete trovare tutti gli Almanacchi fino al 2010. Come ogni anno, vi proponiamo una piccola selezione degli articoli che riteniamo siamo particolarmente significativi di come abbiamo provato a fare MaddMaths! in questo anno appena trascorso. Gli articoli sono stati scelti dalla redazione e non sono necessariamente i più visti dai lettori.
  • Dai poligoni alle funzioni… e ritorno.
    Con il nuovo anno ritorna la rubrica Esperienze Transdisciplinari di Matematica curata da Gianluigi Boccalon. In questa nuova puntata, Gianluigi ci propone, attraverso gli appunti dei suoi studenti, un percorso di introduzione alle funzioni a partire dall'osservazione delle proprietà dei poligoni regolari.
  • Psico-Analisi 1-3.
    A inizio settembre 2019, Nicola Arcozzi, analista dell’Università di Bologna, ha iniziato a pubblicare su Facebook una serie di post pubblici, dal titolo Psico-Analisi. Il sottotitolo del primo post recitava Appunti per una “Psicopatologia del tuo docente di analisi matematica”, rivolto agli studenti del primo anno dei corsi STEM. I vari post, via via più elaborati, psicoanalizzano le idiosincrasie del docente di analisi (ma più in generale di matematica) così come appare agli studenti delle materie scientifiche. In questo modo Nicola Arcozzi, in maniera molto auto-ironica, spiega tutti i retroscena che spesso portano noi docenti di matematica a comportarci in un certo modo. Li stiamo riproponendo a puntate su MaddMaths!
  • Riflessioni sui risultati OCSE-PISA 2018
    Lo scorso 3 dicembre si è svolto a Roma il seminario di presentazione dei risultati dell’indagine internazionale OCSE-PISA 2018 sulle competenze in Lettura, Matematica, Scienze e ambito Finanziario di 600 mila quindicenni di 79 Paesi del mondo. Vi proponiamo una riflessione di Stefania Pozio, prima ricercatrice dell’INVALSI, sull'utilità dei risultati di questo tipo di indagine. Stefania conosce bene le prove OCSE PISA in quanto, oltre a lavorare per l’INVALSI, ha fatto parte tra le altre cose della commissione che ha costruito le prove del prossimo PISA 2021, quello dedicato alla matematica.
  • Proud of You – L’educazione matematica contro la dispersione scolastica: intervista a Maria Mellone.
    Pochi giorni fa, in concomitanza con la presentazione del progetto alla cittadinanza, alcuni quotidiani (La Repubblica, Il Mattino), hanno dato ampio spazio alla seconda edizione del progetto “Proud of You”, un progetto educativo con un obiettivo inclusivo particolarmente significativo, sviluppato in aree urbane ad alto rischio di dispersione, in scuole che spesso vengono denominate “di frontiera” perché incluse in contesti socio-culturali di forte disagio. Pietro Di Martino ha intevistato per MaddMaths! la coordinatrice scientifica del progetto Maria Mellone.
  • La grande sfida della Matematica per il clima: intervista con Anne-Laure Dalibard e Sabrina Speich.
    Dal 9 settembre al 13 dicembre 2019, l’Istitut Henri Poincaré (IHP) di Parigi ha organizzato un programma eccezionale di tre mesi sulla matematica del clima e dell’ambiente. Vi proponiamo un’intervista realizzata da Adrien Rossille con Anne-Laure Dalibard e Sabrina Speich, e pubblicata il 18 dicembre scorso sul sito Images des Mathématiques, e qui riproposto con il permesso del sito e degli autori nella traduzione di Roberto Natalini.
  • Algoritmi di Machine Learning: guardiamoci dentro!
    Marco Verani, professore associato di Analisi Numerica presso il Laboratorio MOX del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano, ha recensito per MaddMaths! il volume L’Algoritmo Definitivo di Pedro Domingos, che tratta un argomento che è di estrema attualità per la comunità matematica, ma non solo.
  • Intervista a Giulio Sandini, il papà di iCub.
    Giulio Sandini è Direttore di Ricerca presso l’Istituto Italiano di Tecnologia (IIT) – dove ha fondato il dipartimento di Robotics, Brain and Cognitive Sciences – e professore ordinario di Bioingegneria all’Università di Genova. Ha coordinato diversi progetti internazionali nelle aree della visione artificiale, delle scienze cognitive e della robotica e in particolare lo sviluppo della piattaforma umanoide iCub. Lo intervista per noi Massimo Ferri.
  • Esce il terzo volume di “La matematica e la sua storia” di Bruno D’Amore e Silvia Sbaragli.
    Dal 2017 è iniziata la pubblicazione, presso le Edizioni Dedalo, dell’opera in quattro volumi di Bruno D’Amore e Silvia Sbaragli “La matematica e la sua storia“. Il primo volume, uscito appunto nel 2017, narrava le vicende matematiche, dalle origini della disciplina fino al periodo greco (con prefazione di Umberto Bottazzini). L’anno successivo è continuato questo avvincente viaggio nella storia, giungendo alle soglie del Rinascimento, con il volume che trattava del periodo dal tramonto greco al Medioevo (con prefazione di Paolo Freguglia). Ora è uscito il terzo volume, dedicato al periodo che va dal Rinascimento al XVIII secolo. Il prossimo volume, l’ultimo della quadrilogia, uscirà a ottobre 2020. Per l’occasione vi proponiamo, con il permesso degli autori, la prefazione al volume terzo, scritta da Luigi Pepe.
  • Archimedia 3/2019: “D’amore, di pesci e altre sciocchezze”
    A cominciare dalla sua prima uscita del 2016, Archimede ospita Archimedia, una rubrica di fumetti e altri media curata da Andrea Plazzi. Nel n. 3/2019 trovate “D’amore, di pesci e altre sciocchezze”, un fumetto di Dario Grillotti in cui si riparla di Vito Volterra immaginando la sua conversazione con il cognato Umberto D’Ancona a proposito dei pesci dell’Adriatico. Sul sito presentiamo come al solito la prefazione di Andrea Plazzi accompagnata da alcune belle immagini.
“Quanta roba. E adesso?”.
“Adesso c'è Gianluigi Filippelli, con contributi da due diversi blog”.
“Uno dei due è Dropsea, vero?”.
“Esatto, ecco qua:”.
  • Per la serie de Le grandi domande della vita, Speciale astronomo risponde 2019 c'è questo, con un paio di risposte su un viaggio interstellare sulla stella più grande dell'universo conosciuto
  • Il ritratto di Carl Ludwig Siegel, matematico tedesco che sognava di fare l'astronomo, e quello di  Walther Bothe, fisico tedesco che costruì il primo ciclotrone della Germania.
  • In più Il volo dei corvi di Odino dove, partendo da una canzone del gruppo death metal Amon Amarth, Gianluigi racconta un paio di cose sul paradosso logico del corvo.

“Molto bene. E l'altro blog?”.
“È Al Caffè del Cappellaio Matto, in cui ha scritto Il coding a Paperopoli, recensione/approfondimento di una storia tratta da Topolino #3345 e dedicata al coding.

“Ora abbiamo finito?”.
“Sembra di sì”.
“Non manca qualcuno?”.
“Uhm, credo di no”.
“Eppure, mi sembra che manchi qualcuno”.
“Controllo meglio… Ah!”.
“Cosa?”.
Piotr”.
“Ecco!”.
“Mi ha mandato un po' di cose solo adesso”.
“Capirai”.
“Profondendosi in profonde scuse”.
“Ottimo”.
“Ecco qua, senti cosa scrive:”.
  • Uno dei soliti problemi classici, di sezionamento geometrico, ma con un titolo che doveva essere abbastanza complicato ai tempi delle crociate (e pure adesso, mah…).
  • Un brillante Paraphernalia Mathematica del GC, e pure questo che – tra citazioni vanvogtiane e commenti, rischia il politically uncorrect (e noi manco ce ne eravamo accorti).
  • Un compleannuccio che, originariamente, si intitolava “Etimologia particolare”, perché aveva l’intenzione di fare l’appello etimologico dei nomi delle particelle (più o meno) elementari. Nasceva, più che altro, dalla constatazione che quasi tutti parlavano del “Bosone di Higgs” parlando di Higgs, e quasi nessuno sembrava far caso al poveretto che aveva dato origine alla parola “bosone”.
  • Un Quick&Dirty non fa mai male, specie se di tratta di ingannevole cinematica.
“Oh, bene. Non c'è anche il nuovo numero di Rudi Mathematici?”.
“Ancora no. Ci sarà, ma avrà (cito) un ritardo fantasmagorico. Quando uscirà, se mai uscirà, sarà a questo indirizzo”.
“Quindi abbiamo finito davvero?”.
“Sì. Appuntamento al mese prossimo, col Carnevale numero 137, dai Rudi Mathematici”.
“137, un numero primo”.
“Sì”.
“Chissà a quale verso della poesia Gaussiana corrisponde”.
“Chissà”.