sabato 30 marzo 2019

Strisce



“Oh, cos'è?”.

“Mi sto divertendo a piegare fogli di carta”.

“Ah, fai degli origami?”.

“Mh, no, niente di complicato. Mi stavo chiedendo come funziona la piegatura di una strisciolina di carta”.

“Non ti basta semplicemente piegarla, vero?”.

“Eh eh, sì, mi basterebbe anche. Però, vedi, se cominci a piegarla più volte saltano fuori delle belle forme, e allora uno vorrebbe provare a capire cosa c'è sotto”.

“Capirai”.

“Non è facile vedere le cose in tre dimensioni, e questo è un bell'esercizio”.

“Ah, vedo. Quindi, cos'hai scoperto?”.

“Beh, per prima cosa una striscia di carta è definita dai suoi due bordi”.

“E fin qua ci siamo”.

“Poi, vedi che per piegare la striscia si deve effettuare una rotazione intorno alla piega”.

“Sì. Io faccio però fatica a capire cosa si può fare e cosa non si può fare, quando si piega della carta”.

“Cioè?”.

“Il problema è che la carta non è rigida, ma non è nemmeno gomma. Quindi ci sono movimenti che sono permessi, e movimenti che invece non sono permessi”.

“Esatto, puoi piegarla ma non puoi allungarla o accorciarla. Puoi fare rotazioni, ma le lunghezze dei segmenti devono rimanere invariate”.

“Sì, la teoria è abbastanza semplice. Il difficile qua è vedere quello che succede. Per esempio, di quanto risulta inclinata la striscia dopo la piega?”.

“Ah, ottima domanda. Come faresti per rispondere?”.

“Eh, qui sta il punto. Io prenderei in mano una striscia vera e proverei”.

“Ottimo inizio: c'è chi si diverte a fare geometria senza figure, ma noi non siamo tra questi”.

“Meno male. Però, dopo aver giocato con la carta, non saprei andare avanti”.

“Bisognerebbe riuscire a passare dalla figura tridimensionale a una figura bidimensionale, così le cose diventerebbero molto più semplici”.

“Ah, certo. Però, ora che ci penso, se faccio una piega completa arrivo a una figura bidimensionale…”.

“Vai avanti”.

“Il foglio iniziale è piano, no? Poi lo piego, e non rimango più su un piano. Ma se la piega compie una rotazione di 180 gradi…”.

“Ottimo, concludi”.

“Se la piega consiste in una rotazione di 180 gradi, il risultato finale è ancora un piano. Schiaccio il foglio su sé stesso.”.

“Giusto”.

“Ora dovrei capire come risulta la figura finale, però”.

“Hai già capito molto: hai detto che ruoti di 180 gradi intorno a un asse”.

“Sì”.

“E questo è come dire che stai facendo una simmetria assiale”.

“Mh, suppongo di sì, sì. A dir la verità, non mi risulta facile nemmeno vedere come funziona una simmetria di una retta rispetto a un'altra retta”.

“Beh, questo è molto semplice: l'angolo formato tra le due rette non cambia”.



“Ah, già, vedo. La retta blu viene trasformata nella retta rossa, vero? I due angoli formati dalle due rette con l'asse di simmetria non cambiano”.

“Sì. Naturalmente puoi anche dire che è la retta rossa che viene trasformata nella retta blu”.

“Giusto, certo. Posso piegare il foglio da sopra a sotto o da sotto a sopra, non importa”.

“Ok. Ora ti mostro l'applicazione di questa semplice regola a una striscia di carta”.






“Oh, quanti colori”.

“Sì, potevo fare ricorso a una maggiore sobrietà. Però così si distinguono tutte le parti”.

“Ok, vedo la striscia verticale”.

“Esatto”.

“Che poi viene piegata lungo la linea tratteggiata. Riconosco anche gli angoli uguali come mi hai fatto vedere prima, sono quelli verdi”.

“Molto bene”.

“Poi ci sono altri angoli, però”.

“Sì, qui ho fatto un passo avanti. Se la piega fosse perpendicolare ai bordi della striscia, si avrebbe una figura poco interessante: la striscia si ripiegherebbe completamente su sé stessa, e tanti saluti allo studio degli angoli”.

“Ok”.

“Allora la domanda è: se la piega è inclinata, rispetto all'orizzontale, di un certo angolo…”.

“Quello evidenziato di rosso, giusto?”.

“Proprio quello. Se la piega è inclinata, rispetto all'orizzontale, dell'angolo colorato di rosso, di quanto risulta inclinata la striscia?”.

“Non è una risposta facile, mi pare”.

“Diventa facile se osservi una sola cosa: l'angolo rosso e l'angolo verde sono legati da una certa relazione”.

“Uhm. Vedo un triangolo che li contiene entrambi”.

“Esatto”.

“Ah! Un triangolo rettangolo! Quindi l'angolo rosso e quello verde sono complementari”.

“Giusto, e adesso tutti gli angoli segnati in figura dovrebbero essere evidenti”.

“Lo sono, sì. Hai tracciato, in grigio, la perpendicolare all'asse di simmetria, quindi ecco un altro angolo retto, ed ecco i due angoli complementari”.

“Ecco fatto, quindi”.

“Mi pare, allora, che l'angolo con cui la striscia viene deviata, per così dire, sia il doppio dell'angolo rosso”.

“Ed è così”.



“E adesso?”.

“Adesso facciamo un nodo”.

venerdì 8 marzo 2019

Il bello della matematica

Da qualche anno sono il coordinatore distrettuale, per la mia zona, del progetto Olimpiadi della Matematica. Uno dei miei compiti è organizzare la gara di secondo livello, selezionare gli studenti e, ahimé, incontrare qualche giornalista locale che viene a fare un giro all'università per vedere che facce hanno quelli a cui piace la matematica. Purtroppo i giornalisti fanno domande.

Questa volta mi hanno chiesto: ma perché questi ragazzi vengono qua a fare matematica? Cosa ci trovano di bello?

Io ho farfugliato qualcosa che ho immediatamente cancellato dalla memoria, però adesso potrei spiegare cosa ci trovo io di bello.

Parto da un problema assegnato proprio alla gara provinciale: c'è una calcolatrice a 5 cifre che non funziona tanto bene, perché solo due tasti hanno ancora qualche effetto. C'è un tasto che permette di moltiplicare per 3 ciò che appare sul display (più precisamente: quando premo quel tasto, automaticamente il numero sul display viene triplicato) e un tasto che permette di aggiungere 1. Quest'ultimo, però, non può mai essere premuto due volte consecutivamente, altrimenti la calcolatrice esplode. La domanda è: quanti diversi numeri si possono ottenere sul display senza fare esplodere la calcolatrice?

Un abile risolutore, che si è allenato su quesiti di questo tipo, vede subito la soluzione e buonanotte. Ma non tutti sono abituati e risolvono problemi di questo tipo tutti i giorni, e io sono tra questi.

Ho provato quindi a risolvere questo esercizio facendo un po' di prove. Ho cominciato a riempire fogli con numeri, freccette, cercando di costruire un albero delle soluzioni per cercare di capirci qualcosa. Poi mi sono anche consultato con una collega, coordinatrice di un'altra zona (ai coordinatori il testo della gara viene consegnato in anticipo, in segreto, in modo da lasciare un po' di tempo per preparare le fotocopie delle prove), perché avevamo inizialmente interpretato male il testo e non ci tornavano i conti. Anche lei aveva fatto uno schema con le freccette.

Poi, dato che i conti non mi dicevano molto, ho aperto un foglio elettronico e ho cominciato a riempirlo di numeri. Se parto da 0, e uso solo il tasto che moltiplica per 3, rimango su 0, e fin qua è facile. Se schiaccio il tasto +1 una volta, e poi continuo a schiacciare il tasto ×3, ottengo tutte le potenze di 3. Bene, poi?

Ho cominciato a riempire le righe del mio foglio elettronico con le moltiplicazioni per 3, e ogni volta che selezionavo il tasto +1 iniziavo una nuova riga. Però i numeri calcolati dal foglio mi dicevano poco, e allora ho ricominciato a scrivere dei numeri a mano senza però svolgere i calcoli. Ho ottenuto righe come queste:

1, 3, 32, 33, …
3+1, (3+1)×3, (3+1)×32, …
(3+1)×3+1, ((3+1)×3+1)×3,((3+1)×3+1)×32, …

Le formule cominciavano a diventare interessanti, anche se ancora mi sfuggiva qualcosa. Per essere sicuro che l'idea che mi stava venendo in mente fosse giusta, ho scritto i calcoli in un altro modo, svolgendoli. Per esempio, la seconda riga sarebbe diventata questa:

3+1, 32+3, 33+32, …

E la terza, questa:

32+3+1, 33+32+3, 34+33+32, …

Ah-ha! Somme di potenze di 3: la scrittura in base 3! Ogni volta che moltiplico per 3 aggiungo uno 0 in fondo. E cosa significa che non si può usare il tasto +1 due volte di seguito? Significa che la cifra delle unità può passare da 0 a 1, ma non da 1 a 2. Anzi, non si potrà mai avere la cifra 2 in nessuna delle formule possibili, perché il 2 si può ottenere soltanto con due +1 consecutivi, ma questo è vietato.

Ed ecco che tutto va a posto, e un problema che sembrava bruttissimo si risolve improvvisamente in maniera elegante e immediata. Si tratta ora di capire quanti numeri di cinque cifre (decimali) si possono ottenere: come si fa? Scriviamoli in base 3, tenendo presente che non possiamo mai usare la cifra 2. Vediamo un elenco di potenze di 3 sufficientemente grandi

34 = 9×9 = 81, e questo si sa a memoria,
38 = 812 = 6561,
39 = 19683,
310 = 59049,
311 = 177147.

Ok, l'ultimo numero, che in forma ternaria si scrive come 100000000000, è troppo alto. Vediamo il precedente, che è 11111111111 (ricordiamo che non si possono usare le cifre 2). A quanto è uguale?

Sono 11 cifre 1 consecutive, e la formula della somma dei termini di una progressione geometrica ci permette di calcolarlo velocemente, perché è uguale a (311−1)/2, cioè 177146/2 = 88573, che è composto da cinque cifre, e quindi va bene. Così come vanno bene tutti i numeri composti da al massimo undici cifre 0 oppure 1.

Ora abbiamo la risposta: il numero dei valori ottenibili con la calcolatrice è uguale al numero di modi che si hanno di riempire undici caselle con la cifra 0 o 1, cioè 211 = 2048.

A quel punto ero soddisfattissimo, e ho voluto rendere la collega partecipe di questa scoperta. E ho fatto quello che fanno i Veri Matematici quando risolvono un problema: ho sistemato la dimostrazione, ho buttato via tutti i conti e le schifezze che avevo scritto, ho chiuso il foglio elettronico che era ancora aperto per cancellare le tracce degli orrori che avevo commesso, e ho scritto questo messaggio (era quasi mezzanotte):

Dopo aver trappolato con un po' di numeri e giocato con excel, 
ho trovato la soluzione bella.

Spero che tu abbia il cellulare silenzioso, 
altrimenti ti sto svegliando la casa.
🙂

Se scriviamo i numeri in base 3, il tasto +1 della calcolatrice 
corrisponde a mettere un 1 nell'ultima cifra, perché essa può 
solo essere 0 (partiamo da 0 e aggiungiamo +1 una sola volta 
alla volta) (magari posso dirlo meglio in italiano domani)

Il tasto x3 invece corrisponde a aggiungere uno 0 
in fondo al numero.

Il massimo numero che possiamo costruire è 11111111111 
(11 cifre 1 consecutive), che corrisponde a (3^11-1)/2=88573.

Il numero successivo costruibile è 100000000000 = 3^11 che è 
composto da 6 cifre, quindi è da scartare.

Il problema si traduce quindi in questa domanda: 
quanti numeri composti solo da cifre 1 e 0 lunghi 
11 cifre posso formare? La risposta è 2^11 = 2048

Ed ecco una dimostrazione elegante, breve, semplice, senza troppi calcoli, alla portata di tutti. Ed ecco, anche, la risposta alla domanda del giornalista:

Si dice che Dio abbia un libro che contiene tutte le Dimostrazioni Belle. La più grande soddisfazione del matematico è trovarne una.

lunedì 28 gennaio 2019

Il piccolo Fermat e i braccialetti

“Braccialetti?”.

“Braccialetti”.

“Cosa c'entrano i braccialetti con la matematica?”.

“I nostri braccialetti sono formati da perline colorate”.

“Ah, va bene. Quindi?”.

“Più precisamente: da un numero primo di perline colorate”.

“Uhm”.

“Chiamiamolo p, e per fare un esempio supponiamo che p sia uguale a 3”.

“Braccialetti con tre perline: una miseria”.

“Lo so, ma vorrei fare qualche disegnino, se aumentiamo il numero non finiamo più”.

“Ok, allora facciamo questi braccialetti con tre perline colorate. Ah, come le coloriamo?”.

“Con un certo numero di colori diversi, diciamo n colori diversi”.

“E anche in questo caso fissiamo un n di esempio?”.

“Sì, facciamo tre colori”.

“Uhm, non è che ci confondiamo tra n e p?”.

“Direi di no, perché faremo qualche schema: se indichiamo i colori con i numeri 1, 2 e 3, ci basta scrivere tre numeri per avere un braccialetto. Si dovrebbe distinguere bene tra il numero di cifre scritte e il fatto che le cifre vanno da 1 a 3”.

“Vediamo”.

“Allora, prima di rappresentare i braccialetti, risolviamo un problema più semplice: calcoliamo il numero di stringhe che si possono creare con tre perline colorate. Insomma, rispetto ai braccialetti qui abbiamo delle posizioni predefinite: una perlina può essere messa al primo posto, al secondo o al terzo. Nel caso dei braccialetti, invece, non esistono un primo, un secondo e un terzo posto, perché ogni posizione in cui compare la perlina è indistinguibile dalle altre”.

“A meno che non indichiamo anche dove si mette la fibbia di chiusura”.

“Esatto. Quella la nascondiamo, fabbrichiamo un braccialetto senza fibbia. Prima, però, le stringhe”.

“Forse riesco a calcolare le possibilità: ci sono tre posizioni, e in ogni posizione posso mettere uno dei tre colori. Quindi dovrei avere 3 possibilità per la prima posizione, 3 per la seconda e 3 anche per la terza. Totale: 27”.

“O, meglio, 33”.

“Va bene”.

“Eccole qua:”.

123
312
231

132
213
321

133
313
331

122
212
221

112
211
121

223
322
232

113
311
131

332
233
323

111
222
333

“Vedo”.

“Ora, le tre stringhe monocolori le mettiamo da parte”.

“Sono le ultime tre: perché le mettiamo da parte?”.

“Perché per loro servono conteggi diversi: dopo le recuperiamo. Per ora ragioniamo sulle prime 24”.

“Ok”.

“Trasformiamo ogni stringa in un braccialetto: ogni stringa può essere ruotata in tutti i modi possibili, e quindi ogni braccialetto può essere generato da più stringhe diverse”.

“Fammi capire meglio”.

“Le tre stringhe 123312231 generano lo stesso braccialetto, perché non importa quale sia il punto di partenza”.

“Ah, hai ragione, l'importante è che 1 sia seguito da 2, 2 da 3 e 3 di nuovo da 1”.

“Esatto. Ora si tratta di contare i braccialetti”.

“Beh, è facile, li hai già raggruppati quando li hai elencati”.

“Sì, in questo esempio. Vorrei trovare una formula generale”.

“Ah”.

“Allora: noi possiamo prendere l'ultima perlina di una stringa, sfilarla dalla sua posizione e reinserirla all'inizio. Così facendo otteniamo una stringa diversa ma lo stesso braccialetto, giusto?”.

“Giusto”.

“Quante di queste alterazioni si possono fare prima che la stringa torni a essere uguale a com'era all'inizio?”.

“Direi 3, no? A parte le stringhe monocolore”.

“Non fissare le idee su questo esempio, che è solo un esempio. Come funziona in generale? Il numero di alterazioni possibili sarà sempre uguale al numero di palline?”.

“Pensavo di sì, dici di no?”.

“Guarda questo braccialetto composto da 6 perline:”.

121212

“Ah. Dopo il primo movimento diventa 212121 e dopo il secondo torna come prima”.

“Esattamente”.

“E allora come facciamo a calcolare questo numero di spostamenti?”.

“Bisogna pensare a qualche formuletta”.

“Era quello che temevo”.

“Non sarà difficile. Chiamiamo k il minimo numero di spostamenti di perline da fare perché il braccialetto torni uguale a com'era all'inizio”.

“Va bene. Ah, è per questo che hai messo da parte le stringhe monocromatiche?”.

“Molto bene! Per quelle k vale 1, naturalmente, perché sono sempre uguali a sé stesse.”.

“Ho capito, anche se avrei detto che per esse k dovrebbe essere 0 ”.

“Beh, 0 allora va bene per tutte, no? Tutte quante con 0 mosse diventano uguali a sé stesse”.

“Già, hai ragione. Quindi k deve essere positivo”.

“Bene. E, escludendo le stringhe monocromatiche, k deve essere maggiore di 1”.

“Giusto”.

“Ora, supponi di aver trovato un valore di k che funziona per una certa stringa: se essa diventa uguale a sé stessa dopo k mosse, lo farà anche dopo 2k mosse, dopo 3k mosse, e così via”.

“Mi pare ovvio”.

“Allora, facciamo questo calcolo: dividiamo il numero p di perline per k”.

“Non so quanto possa risultare”.

“Beh, vogliamo una formula, non un risultato esatto. Cosa significa che p diviso k dà quoziente h e resto r?”.

“Non ne ho assolutamente idea”.

“Ma sì, lo sai dalle elementari. La maestra non ti faceva fare la prova?”.

“Ah, sì, dovevo moltiplicare il quoziente per il divisore e aggiungere il resto”.

“Esatto: vale la formula p = hk + r”.

“Vabbé. Questo mi aiuta?”.

“Certo. Cosa mi dici di r?”.

“So che è il resto”.

“E il resto, in una divisione, può essere grande quanto si vuole?”.

“Eh, no, il resto è sempre più piccolo del divisore”.

“Perfetto: quindi r è un numero compreso tra 0 e k”.

“Però non può essere uguale a k, solo a 0, no?”.

“Certo. Ora, se prendiamo una stringa di lunghezza p e facciamo p spostamenti di perline, la stringa torna a essere uguale a sé stessa indipendentemente dal valore di p, sei d'accordo”.

“Ah, certo, sposto tutte le perline fino a che non tornano nella posizione iniziale”.

“Benissimo. E anche se faccio hk spostamenti la stringa torna a essere uguale a sé stessa”.

“Perché?”.

“L'abbiamo detto prima: k è proprio quel numero di spostamenti da fare perché la stringa non cambi, e se ne puoi fare k ne puoi anche fare 2k, 3k, eccetera. Anche hk”.

“Ah, ok.”.

“Ora riprendiamo l'uguaglianza che definisce la divisione: p = hk + r. Questa ci dice che se prendiamo una stringa e facciamo hk spostamenti, questa diventa uguale a com'era all'inizio. Se poi ne facciamo altri r, in tutto ne abbiamo fatti hk + r, cioè p. Questo significa che di nuovo la stringa ritorna com'era all'inizio”.

“Giusto”.

“Mica tanto giusto, perché questo significherebbe che ci bastano r spostamenti per riportare la stringa alla posizione iniziale”.

“E perché non è possibile?”.

“Perché il resto di una divisione è minore del divisore: r è minore di k”.

“Vabbé, r sarà minore di k, qual è il problema?”.

“Il problema è che k dovrebbe essere il numero minimo di spostamenti da fare, e invece così facendo avremmo trovato un numero ancora più piccolo”.

“Ah. Allora c'è qualcosa di sbagliato nel ragionamento?”.

“No, c'è un'unica conclusione coerente con tutto quanto abbiamo detto: r deve essere 0”.

“Ah! Allora p è multiplo di k, e tutto torna”.

“Giusto. E cosa potremmo dire se p fosse un numero primo?”.

“O k è uguale a 1…”.

“Questo vorrebbe dire che le stringhe sono monocromatiche”.

“Giusto, e noi l'abbiamo escluso. Allora k e p devono essere uguali”.

“Ottimo. Riassumendo: avevamo p perline di n colori diversi, con le quali abbiamo costruito np stringhe diverse”.

“Poi abbiamo tolto tutte le stringhe monocolori, che sono tante quante i colori, cioè n”.

“E quindi sono rimaste npn stringhe. E ci siamo chiesti quante di queste generano braccialetti uguali”.

“Uhm, abbiamo detto che potevamo raggrupparle k alla volta. Ah, k è p, quindi possiamo raggrupparle a gruppi di p”.

“Ed ecco il risultato, quindi: il numero di stringhe, escluse quelle monocromatiche, è divisibile per p”.

“Questo è un teorema? npn è divisibile per p?”.

“Sì, si chiama piccolo teorema di Fermat, e ne avevamo già parlato, in altri termini”.