venerdì 16 agosto 2019

Intermezzo autoreferenziale

Questa frase scritta da Roberto Zanasi contiene diciannove A, due B, nove C, tredici D, ventitré E, due F, una G, una H, diciannove I, una J, una K, una L, una M, ventidue N, undici O, una P, due Q, sette R, otto S, sedici T, diciotto U, sei V, una W, una X, una Y e due Z.

sabato 22 giugno 2019

Giochi proiettivi — 3. Qualche calcolo

“Ora facciamo un po' di conti”.

“Con gli spazi proiettivi?”.

“Sì, proviamo a contare i punti, le rette, e proviamo a capire se c'è qualche relazione interessante”.

“Bene”.

“Supponiamo quindi di avere un piano proiettivo che contiene almeno una retta”.

“Giusto, non vogliamo strutture degeneri”.

“Esatto. E supponiamo che esista una retta che contiene n + 1 punti”.

“Perché n + 1 e non semplicemente n?”.

“Perché è più comodo”.

“Allora non discuto”.

“Con n almeno 2, per evitare i casi degeneri”.

“Bene. Quindi questa retta ha almeno tre punti”.

“Esatto, come nel primo esempio che abbiamo visto”.

“Quello a triangolo: ricordo”.

“Ricordi anche che abbiamo inserito un postulato che evita i casi degeneri?”.

“Sì, quello che dice che esistono almeno 4 punti distinti, a 3 a 3 non allineati”.

“Che si può esprimere anche in forma duale: esistono almeno 4 rette distinte, che a 3 a 3 non passano per lo stesso punto”.

“Giusto”.

“Quindi, oltre alla nostra retta che contiene n + 1 punti, ci sono altre rette e altri punti fuori da essa”.

“Ancora giusto”.

“Consideriamo un qualsiasi punto al di fuori della nostra retta, e chiamiamolo P”.

“Ok”.

“Ora possiamo considerare tutte le rette che passano per uno dei punti della nostra retta e per P”.

“Sono n + 1, dato che abbiamo n + 1 punti, giusto?”.

“Dimmi tu: sono davvero tutte diverse, oppure qualcuna di queste è sempre la stessa?”.

“Uh. Mi sembra che non sia possibile che due di queste rette siano la stessa retta”.

“Prova a spiegare”.

“Provo: indico con r la retta data, quella che non contiene P, e chiamo A e B due suoi punti. Poi considero le due rette PA e PB”.

“Quindi la domanda diventa: è possibile che PA e PB siano la stessa retta? I postulati ce lo consentono?”.

“Il primo dice che per due punti distinti passa una sola retta”.

“Giusto”.

“Quindi se PA e PB fossero la stessa retta, essa dovrebbe contenere i tre punti P, A e B. Ah, ho capito! La retta che passa per A e per B è proprio r, quindi anche questa retta dovrebbe essere r”.

“E perché non è possibile?”.

“Perché dovrebbe contenere quindi anche P, ma abbiamo detto all'inizio che P è un punto esterno”.

“Ottimo. Quindi, riassumendo: abbiamo la retta r che contiene n + 1 punti, abbiamo un punto P esterno, e abbiamo n + 1 rette che passano per P e intersecano r in n + 1 punti diversi”.

“Ci sono”.

“Ora facciamo un disegno che ci faccia vedere le cose:”.



“Oh, benissimo”.

“Ora, l'ultimo postulato dice che esistono quattro rette distinte che a tre a tre non passano per uno stesso punto”.

“In questo disegno di rette ce ne sono anche di più di quattro”.

“Però non rispettano il postulato”.

“Ma come?”.

“Se ne prendi quattro che passano per P, evidentemente passano tutte per lo stesso punto e quindi il postulato è falso”.

“E fin qua ci siamo”.

“Se ne prendi solo tre che passano per P, e come quarta retta prendi quella viola, le tre che passano per P non rispettano il postulato”.

“Ah, già. E allora? C'è qualcosa di sbagliato?”.

“No, semplicemente il disegno non è completo: deve esistere un'altra retta, che non passa per P”.

“Ah-ha!”.

“E dovrà passare per uno dei punti della retta viola”.

“Perché non esistono rette parallele: due rette si intersecano sempre in un punto: ho capito. Facciamo il disegno, però”.

“Sì, immagino che questa nuova retta passi per A:”.



“Vedo. Ma cosa sono quei punti arancioni?”.

“Beh, se la nuova retta disegnata passa per A, non può passare per gli altri punti della prima retta”.

“Giusto, altrimenti sarebbe coincidente con essa”.

“E, però, deve intersecare le altre rette”.

“Perché non esistono parallele, giusto?”.

“Sì. Quindi devono esistere altri punti di intersezione, quelli che ho segnato in arancione”.

“Ok, ci sono”.

“Allora quanti punti avrà la nuova retta?”.

“Dunque, contiene A, e contiene i punti arancioni… i punti arancioni sono uno in meno rispetto alle rette che avevamo, cioè n… ah, certo! La nuova retta contiene n + 1 punti”.

“Allora abbiamo dimostrato un teorema importante: se in un piano proiettivo c'è una retta che contiene n + 1 punti, allora tutte le rette contengono n + 1 punti”.

“Ah, ecco”.

“E, grazie alla magia del principio di dualità, possiamo immediatamente dire, senza fare altre figure o considerazioni, che per tutti i punti passano n + 1 rette”.

“Bello”.

“Ora contiamo tutti i punti del piano”.

“Oh. Proviamo”.

“Fissiamone uno, e chiamiamolo P”.

“Fin qua è facile, uno l'abbiamo contato”.

“Ora, per esso e per ognuno di tutti gli altri punti passa una e una sola retta: ce lo assicurano i postulati”.

“Giusto”.

“Ci sono n + 1 rette che passano per P, e ognuna di esse contiene n punti diversi da P”.

“Vero. Quindi in tutto ci sono n(n + 1) punti?”.

“No: hai dimenticato di contare P”.

“Giusto: allora possiamo dire che ci sono n(n + 1) + 1 punti”.

“O, anche, n2 + n + 1 punti”.

“Ok, è la stessa cosa. Ehi, possiamo usare la dualità anche qui, vero?”.

“Certo”.

“Allora ci sono anche n2 + n + 1 rette!”.

“Certo”.

“Quindi ci siamo riusciti: un piano proiettivo di ordine n contiene n2 + n + 1 punti e n2 + n + 1 rette”.

“Se esiste”.

“Come se esiste?”.

“Eh”.

martedì 4 giugno 2019

Giochi proiettivi — 2. Convergenze parallele

“C'è una cosa che non mi convince in quello strano esempio di geometria finita che mi hai fatto vedere l'altra volta”.

“Questo?”.



“Sì, questo. Non mi convince quell'arco: rovina la simmetria”.

“Avresti preferito una circonferenza?”.

“Sarebbe stato molto più bello e simmetrico, sì”.

“In effetti, la voce su Wikipedia relativa a questo modello, che si chiama Piano di Fano, mostra la figura che piace a te”.

“E perché tu l'hai disegnata così?”.

“Per non dare l'idea che la retta che contiene i punti D, E e F sia diversa dalle altre. Se disegnassi una circonferenza, questa retta sembrerebbe chiusa, mentre le altre no”.

“E non è così?”.

“No: le sette rette sono tutte fatte allo stesso modo, cioè sono tutte insiemi che contengono tre punti: se disegnassimo chiusa quella centrale, cosa che potremmo anche fare, dovremmo chiudere anche le altre sei, e il disegno risulterebbe inutilmente complicato”.

“Ah. Quindi la chiusura avrebbe un senso? Potrei percorrere le rette in cerchio, per così dire? Potrei camminare da A verso D, poi verso C, poi di nuovo verso A?”.

“Sì, nulla lo vieterebbe”.

“Che strana geometria”.

“Possiamo farla diventare una geometria un po' meno strana, forse, dando un ruolo speciale a una delle rette. Potremmo fare come si fa nei disegni in prospettiva: la retta all'orizzonte è una retta diversa dalle altre”.

“Nel senso che non esiste?”.

“Eh, quando si parla di esistenza in questo ambito i filosofi diventano matti. La retta all'orizzonte è una retta, è addirittura una delle prime rette che vengono disegnate quando si disegna a mano. Eppure è una retta fittizia, perché nella realtà (quale realtà, poi? non quella del disegno) non c'è”.

“Argh”.

“Per esempio, immaginiamo che la retta ad arco sia la retta all'orizzonte, quella che i Veri Matematici chiamano retta impropria”.

“Ok”.

“Togliamola dal disegno, allora. E togliamo quindi anche i tre punti da cui è composta: in effetti, la retta è l'insieme di quei tre punti”.

“Va bene, mi viene un disegno del genere:”.



“Benissimo. Ora hai anche delle rette parallele”.

“Cosa? Ma come? Dove?”.

“Per esempio le rette {A, C} e {B, G}”.

“Ah. Effettivamente non si incontrano”.

“Mentre prima si incontravano in D, un punto all'orizzonte”.

“Che strano”.

“Poi anche {A, G} e {B, C} sono parallele”.

“Vero: prima si incontravano in F. Infine {C, G} e {A, B} sono ancora parallele, e prima si incontravano in E”.

“Ottimo. Ora la figura è bella simmetrica come piace a te, anche se abbiamo perso qualcosa”.

“Che cosa?”.

“La dualità non funziona più: ora ci sono 6 rette, ma solo 4 punti”.

“Ah, già”.

“Questo è quello che si chiama piano affine, dove esiste ancora il parallelismo. Se completiamo ogni retta di un piano affine con un nuovo punto, un punto improprio, che è il punto di intersezione all'infinito di due rette parallele, otteniamo il piano proiettivo, quello da cui siamo partiti”.

“E i punti impropri che aggiungiamo costituiscono poi la retta impropria, giusto?”.

“Giustissimo.”.

“Bene, credo di aver capito, anche se questa faccenda della retta all'infinito mi pare ancora molto nebulosa”.

“Dopo ti faccio un altro esempio. Prima, però, una definizione: chiamiamo piano proiettivo di ordine n una geometria che soddisfa gli assiomi per un piano proiettivo finito e che ha almeno una retta con esattamente + 1 punti distinti incidenti con essa, con n maggiore di 1”.

“Fammi capire: cos'è cambiato rispetto a prima?”.

“Prima abbiamo dato una definizione generica, adesso aggiungiamo il concetto di ordine. Insomma, cominciamo a contare le cose”.

“Mh. Quindi l'esempio che abbiamo visto, che contiene rette con tre punti, va bene, perché se n + 1 è uguale a 3 allora n è uguale a 2, e 2 è maggiore di 1”.

“Esatto. Quello che abbiamo visto è l'esempio di piano proiettivo più piccolo che possiamo fare”.

“Niente ordine 1?”.

“No, abbiamo scartato i casi degeneri l'altra volta, ricordi?”.

“Giusto. Esiste anche un esempio di piano proiettivo di ordine 3?”.

“Sì, ma te lo faccio vedere a partire dal piano affine di ordine 3. Prima di mostro alcune rette, poi ti faccio vedere come aggiungere la retta impropria”.

“Proviamo”.

“Cominciamo da qua”.




“Aiuto”.

“Allora, cominciamo dai punti: ce ne sono nove”.

“Benissimo”.

“Poi, per capire come sono fatte le rette, inizio col dirti che ogni retta contiene tre punti”.

“Ok”.

“Le rette facili sono quelle disegnate in nero: tre orizzontali, tre verticali e due in diagonale ”.

“Ok, una diagonale ascendente e una discendente”.

“Esatto. Ora, per capire come sono fatte le altre, ho usato dei colori. La retta rossa, per esempio, contiene i tre punti A, H e F”.

“Vedo: sono sempre tre punti. Però non mi piace quell'arco”.

“Capisco, credo che questo non sia il modo più naturale di disegnare questo piano. Dovremmo immaginarci tre diagonali ascendenti, e non una, così come tre diagonali discendenti”.

“E come facciamo?”.

“Possiamo farlo in due modi. Il primo è pensare che ci troviamo su una carta geografica”.

“In che senso?”.

“Dobbiamo pensare che se usciamo da destra, nella carta geografica, rientriamo da sinistra, e viceversa”.

“Ah”.

“Così, per esempio, se parti da H, scendi verso sinistra e incontri D, poi continui ancora a sinistra e incontri C”.

“Uh, vedo. Vale per tutti i punti: è come se le diagonali più corte andassero a capo dall'altra parte”.

“Esatto. L'altro modo è quello di mettere i nove punti sulla superficie laterale di un cilindro, in modo da non avere una colonna di destra, una colonna di centro e una colonna di sinistra, ma tre colonne in posizioni indistinguibili. In questo modo ci sono tre diagonali discendenti e tre diagonali ascendenti, senza dover andare a capo”.

“Uh, bello questo metodo”.

“Ho provato a fare un disegnino con le tre diagonali discendenti: le figure tridimensionali non sono sempre belle, ma forse si capisce qualcosa: le rette sono tutte uguali. Non ho fatto le altre rette per non complicare troppo la figura”.



“Ah, ecco, vedo. Molto bene!”.

“Ora direi di riprendere il modello sul piano, per semplicità di disegno. Hai visto che ci sono tante rette parallele: in tutto dodici”.

“Sì, che hanno direzioni diverse”.

“Bene: a ognuna di esse aggiungiamo un punto all'infinito”.

“E come?”.

“Le prolunghiamo, e le facciamo incontrare. Ci sono tre rette che vanno in direzione nord-sud, tre rette in direzione est-ovest, tre che vanno da sud-ovest a nord-est, e tre che vanno da nord-ovest a sud-est.”.

“Quindi le prolunghiamo e le incurviamo un pochino?”.

“Sì, così:”.



“Santo cielo”.

“Ho dovuto rinunciare a un po' di simmetrie: come vedi, ho spostato tutti gli archi colorati da una parte, per non intralciare i prolungamenti”.

“Ah, gulp, vedo. Ma c'è molta roba in più rispetto a prima”.

“Sì, ci sono dodici prolungamenti: tre per le rette orizzontali, tre per le rette verticali, tre per quelle ascendenti verso destra, tre per quelle discendenti verso destra”.

“E ognuno dei quattro gruppi si interseca in un punto rosso”.

“Esatto, e quindi abbiamo quattro nuovi punti”.

“Che, aggiunti ai precedenti nove punti, danno un totale di tredici punti”.

“Ok”.

“Poi ci sono le rette: ne avevamo dodici, e abbiamo aggiunto quella all'infinito, quella verde”.

“Totale: tredici”.

“Ed ecco ripristinata la dualità: tredici rette, tredici punti. Ogni retta contiene quattro punti, per ogni punto passano quattro rette”.

“Devo ammettere che questa dualità è elegante. Ma questo numero di rette e punti, è un caso che sia 13?”.

“Naturalmente no”.

“Naturalmente”.

domenica 2 giugno 2019

Giochi proiettivi — 1. Geometrie

“Giochi proiettivi?”.

“Già”.

“Ma proprio giochi veri? O giochi che piacciono solo ai matematici?”.

“Giochi veri, di quelli che si comprano in negozio”.

“Ah. Proiettivi”.

“Proiettivi”.

“Nel senso geometrico del termine?”.

“Esatto. Avrai sentito certamente parlare di geometria proiettiva”.

“Sicuro”.

“Guarda che ne avevamo già parlato”.

“Ah, ecco, non ho ripassato, ehm”.

“Beh, non è che dobbiamo ripetere tutto: ci basta ricordare che cosa sia una geometria”.

Una?”.

“Sì, una perché ne esistono tante, a seconda di quello che vuoi conservare e quello che può invece variare.”.

“Ah, ora che rileggo, mi viene in mente qualcosa: una geometria è lo studio delle proprietà di uno spazio che sono invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni”.

“Sì. Tanto per fare un esempio, ricorderai che a scuola si potevano studiare le proprietà delle figure congruenti, oppure le proprietà delle figure simili. In un caso ti interessano le dimensioni delle figure, nell'altro solo le forme: tutto dipende da quello che vuoi analizzare”.

“Sì, sì, capisco. Ma per i giochi che geometria ci interessa?”.

“Quella proiettiva”.

“Capirai, la più complicata”.

“Per la precisione: la geometria proiettiva finita”.

Finita? Capisco sempre di meno”.

“Facciamo un passo alla volta. Non abbiamo nemmeno bisogno di ripetere tutto il discorso fatto quando abbiamo parlato del programma di Erlangen: ci basta ripartire dai postulati di Euclide”.

“Ah, proprio dalle basi”.

“Sì, e ce ne bastano proprio pochi”.

“Sarà. Mai fidarsi dei Veri Matematici quando fanno le cose facili”.

“Capisco. Come al solito, le cose possono complicarsi molto in fretta, ma noi rimaniamo sul semplice. Prima di tutto, una teoria ha bisogno di alcuni termini primitivi”.

“Quelli che non si possono spiegare ulteriormente, vero?”.

“Esatto. Quelli la cui natura, se così si può dire, verrà spiegata dalle regole del gioco”.

“Stiamo già giocando?”.

“In un certo senso sì: la geometria, e in generale le teorie matematiche, sono come un gioco. Tu apri la scatola, trovi degli oggetti, e ti chiedi cosa siano. Poi apri il manuale, e leggi che quell'affarino di plastica che hai in mano è un carro armato, che soddisfa a certe regole, che può muoversi solo in un certo modo, che può attaccare solo in un certo momento e seguendo certe altre regole, che può essere ucciso. Ma naturalmente non è un vero carro armato”.

“Decisamente no”.

“Quindi io ti dirò che gli oggetti del nostro gioco si chiamano punti e rette, ma non ti dirò che cosa sono, perché non posso andare più a fondo. Posso però dirti quali sono le regole che essi devono rispettare”.

“Va bene; quindi punti e rette sono gli unici enti primitivi della geometria?”.

“C'è anche un terzo oggetto: il concetto di incidenza”.

“Che sarebbe?”.

“Sarebbe una relazione tra punti e rette. Dato che è un concetto primitivo, non posso spiegartelo ulteriormente, però comunque cercherò di dirti qualcosa per farti capire da dove nasce. Del resto, anche se non ti ho detto che cosa sia un punto, tu un'idea mentale te la sei fatta”.

“Certo, so bene cos'è un punto”.

“Permettimi di dubitare. Anzi, vedrai tra un po' che quello che chiameremo punto non sarà per niente un oggetto che assomiglia ai punti a cui siamo abituati. Le rette, poi, lo saranno ancora meno”.

“Non saranno dritte?”.

“Non si potrà nemmeno parlare del concetto di essere dritto. Del resto, essere dritto significa stare su una retta, quindi c'è poco da spiegare”.

“Andiamo bene”.

“Dunque, stavamo parlando del concetto di incidenza. Quando parliamo normalmente, diciamo che un punto appartiene a una retta, no?”.

“Esatto”.

“Oppure che una retta passa per un punto, o che contiene un punto”.

“Ancora esatto”.

“Quindi esiste una relazione tra una retta e un punto, se il punto sta sulla retta o se, viceversa, la retta passa per un punto”.

“Sì”.

“Questa relazione la chiamiamo incidenza. Invece di dire che un punto sta su una retta, diremo che un punto è incidente alla retta. E invece di dire che una retta contiene un punto, diremo che la retta è incidente al punto”.

“E perché questo linguaggio orripilante?”.

“Per poter usare un solo termine invece di due diversi. Ci piace la simmetria: dato che il concetto è lo stesso, usiamo la stessa parola”.

“È bruttissimo”.

“Concordo. Infatti nel linguaggio comune continueremo a usare i vecchi termini. Però è importante sapere che si può unificare il concetto, rendendolo simmetrico, anche nel linguaggio”.

“Non capisco l'importanza”.

“Perché non ricordi più il concetto di dualità. Ma ne riparleremo”.

“Meno male. Ora diciamo le regole?”.

“Prima una definizione, che ci permette di scrivere in modo leggermente più carino le regole”.

“Ok”.

“Diciamo che punti incidenti a una stessa retta si dicono collineari”.

“Va bene”.

“Ora, le regole, cioè i postulati di Euclide, formulati secondo il linguaggio che abbiamo deciso di usare. Per ora ti dico i primi due, poi vediamo gli altri. Eccoli qua:”.

P1. Per ogni coppia di punti distinti esiste un'unica retta incidente a entrambi i punti.
P2. Per ogni coppia di rette distinte esiste un unico punto incidente a entrambe le rette.

“Mi sembrano condivisibili, mi pare che siano i soliti, a parte quel brutto incidente”.

“Ora cerco di spiegarti la bellezza di questo modo di procedere. Prendi il primo postulato, e scambia punti con rette”.

“In che senso?”.

“Cancella punti e scrivi rette, cancella retta e scrivi punto”.

“Ah, ma diventano uguali. Certo, dobbiamo sistemare un apostrofo e il genere degli aggettivi”.

“Questo passamelo. O preferisci che invece delle parole usi le formule? Con le formule non ci sono più problemi di apostrofi, di plurali e singolari, di maschili e femminili”.

“Ok, ok, va benissimo così. Se faccio quella sostituzione, il primo postulato diventa uguale al secondo”.

“O, se fai la sostituzione nel secondo, è quello che diventa uguale al primo”.

“Esatto”.

“Quindi, a questo livello, le regole non fanno differenza tra punti e rette. Se due persone aprono la scatola del gioco e uno crede che le pedine rosse siano le rette e le blu i punti, e l'altro invece crede il contrario, fino a questo momento le regole non dicono chi abbia ragione. Se avessimo usato il verbo appartenere per i punti e contenere per le rette, allora avremmo fatto una differenza. Con il verbo incidere manteniamo una perfetta simmetria. Anzi, il termine usato per questo tipo di simmetria dai Veri Matematici è dualità”.

“Va bene, allora”.

“Ora, in un mondo perfetto sarebbe bellissimo fermarsi qui: due soli postulati, uno che si può confondere con l'altro, e basta”.

“E non possiamo farlo?”.

“Eh, no. Introduciamo un postulato che ci permetta di escludere casi degeneri, coi quali non vogliamo avere a che fare perché porterebbero a introdurre un sacco di eccezioni nei teoremi che poi scriveremo”.

“Casi degeneri? In che senso?”.

“Pensa a una scatola con una pedina sola, per esempio”.

“E che gioco è, un gioco con una pedina sola?”.

“Appunto”.

“E poi, sarà un punto o una retta?”.

“Potrebbe essere sia un punto che una retta: sono entrambi casi degeneri che non vogliamo. Ancora peggio: pensa a una scatola vuota”.

“Bella fregatura! Ma le regole non proibiscono situazioni di questo tipo?”.

“Sai che in questo caso entrano in gioco le meravigliose proprietà dell'insieme vuoto”.

“Oh no”.

“Eh sì. Una scatola vuota è compatibile, per esempio, con la regola che dice che due rette devono intersecarsi in un punto: dato che di rette non ce ne sono, è impossibile che la situazione contemplata dalla regola non si verifichi”.

“Vabbé, il delirio dei Veri Matematici con l'insieme vuoto è proverbiale. Escludiamo pure questi casi degeneri”.

“Benissimo, ecco qua:”.

P3. Esistono almeno quattro punti distinti a tre a tre non collineari.

“Uhm, fammi capire. Così escludiamo strutture con pochi punti: ne servono almeno 4”.

“Bene. Questi quattro non stanno tutti sulla stessa retta. Anzi, se ne prendi tre, come preferisci, nemmeno quei tre stanno sulla stessa retta”.

“Quindi posso immaginarmi una cosa del genere?”.



“Puoi certamente farlo, ma sappi che non è l'unico modo per immaginarsi questa situazione”.

“Va bene, anche se ancora non capisco”.

“Porta pazienza: capirai”.

“Ok. Ma l'introduzione di questo postulato non porta una asimmetria nella dualità che tanto ti piaceva?”.

“Ah, ottima domanda! No, non lo fa: prova a enunciare il postulato duale”.

“Oh, allora, scambiando rette con punti mi verrebbe da dire una cosa del genere:”.

P4. Esistono almeno 4 rette distinte che a tre a tre non incidono sullo stesso punto.

“Ottimo, hai anche usato il verbo incidere”.

“E non dovremmo aggiungere questo postulato, per mantenere la dualità?”.

“No, se prendi i quattro punti del postulato 3, e consideri tutte le rette che passano per due di quei punti, il tuo postulato 4 è automatico”.

“Ah, ma lo vedo anche dal disegno!”.

“Esatto”.

“Bene, e adesso?”.

“E adesso preparati a una sorpresa: questi postulati non definiscono solo la geometria alla quale siamo abituati, ma definiscono anche altri tipi strani di geometrie. Anzi, a dir la verità mi aspettavo un'obiezione”.

“Quale?”.

“Questi tre postulati non prevedono le rette parallele, che nella geometria a cui pensiamo sempre esistono”.

“Ah, hai ragione. Anzi, il postulato 2 le vieta proprio, le rette parallele!”.

“Esattamente. In questo tipo di geometria le rette parallele non esistono. Per questo viene chiamata geometria proiettiva”.

“È quella dei disegni in prospettiva?”.

“Esatto: nei disegni in prospettiva le rette parallele non esistono: quelle che nella realtà sono parallele, in prospettiva si intersecano sulla linea d'orizzonte”.

“Va bene. Qual è, invece, la sorpresa a cui mi devo preparare?”.

“Eccola qua: quanti punti sono necessari per lavorare con questa geometria?”.

“Beh, infiniti, no? Devo sempre poter disegnare le rette”.

“E chi ha detto che le rette sono composte da infiniti punti?”.

“Eh, se sono rette devono per forza… No, mi fermo subito, non succede niente per forza”.

“Bene”.

“I postulati non parlano mai di infiniti punti”.

“Bene”.

“E mi pare che da nessuna parte sia sottinteso il concetto di infinito. Nella geometria euclidea c'erano dei postulati apposta che ci permettevano di capire che una retta contiene infiniti punti”.

“Benissimo. Qua invece no: quindi è lecito che nella nostra scatola che contiene le pedine di questo gioco ci sia un numero finito di oggetti”.

“Che strano”.

“Ecco una configurazione di punti e rette che rispetta i postulati”.



“Cosa sto guardando? Una figura?”.

“No, l'universo di questa geometria. È composto da 7 punti: A, B, C, D, E , F, G”.

“Questi li vedo”.

“Poi ci sono delle rette. Tieni presente che, anche se sono disegnate come segmenti, in realtà non sono composte da infiniti punti. I segmenti ci servono solo per vedere meglio la struttura ma, tanto per fare un esempio, la retta che passa per A, E e B non contiene altri punti”.

“È una retta composta da soli tre punti?”.

“Esatto”.

“Che roba”.

“E quell'arco?”.

“È una retta anche lui”.

“Ma come? Non è drit… oh”.

“Già”.

“Non c'è scritto da nessuna parte che una retta è dritta”.

“Già. Inoltre, l'arco non esiste nemmeno, è solo un ausilio per raggruppare i punti”.

“Ah, va bene, che roba”.

“Avrei anche potuto descrivere gli oggetti senza l'ausilio di un disegno, ma sarebbe stato più brutto e meno comprensibile”.

“Come?”.

“Così: ti ho già fatto l'elenco dei punti, mi basta fare anche quello delle rette”.

Elenco delle rette:
{A, E, B}
{A, G, F}
{A, D, C}
{D, E, F}
{B, G, D}
{B, F, C}
{C, G, E}

“Tutto qua?”.

“Tutto qua. Puoi verificare che i tre postulati sono validi: se scegli due punti qualsiasi, c'è una sola retta che passa per entrambi. Se scegli due rette, queste si intersecano in un solo punto. Infine, esistono quattro punti a tre a tre non allineati, per esempio A, E, G, D”.

“Ed esistono anche quattro rette che non passano per uno stesso punto. Anzi, per ogni punto passano esattamente tre rette”.

“E allora sarà vera anche la proposizione duale: riesci a vederla?”.

“Dovrebbe essere: ogni retta contiene esattamente tre punti. Ed è vero!”.

“Benissimo”.

“Che strano, una geometria con sette punti e sette rette. Ma è un caso che il numero di punti e il numero di rette siano uguali?”.

“Hai già dimenticato la dualità?”.

“No ma… Ah! Se devo poter scambiare punti con rette, il numero dei punti deve essere uguale a quello delle rette, altrimenti non ce la faccio”.

“Proprio così”.

“E adesso?”.

“Adesso, facciamo qualche altro esempio, ragioniamo un po' su quello che succede, poi giochiamo”.

“Ottimo!”.

giovedì 2 maggio 2019

Nodi di carta

“Cos'è un nodo?”.

“Un nodo… un nodo è… un nodo è un nodo!”.

“Certo. Un Vero Matematico non sarebbe molto contento di questa definizione”.

“I Veri Matematici non sono mai contenti di nulla. Come lo definiscono un nodo, loro?”.

“Direbbero che un nodo è una curva semplice chiusa nello spazio”.

“Ah”.

“Ma se vai nel dettaglio, la definizione potrebbe risultare leggermente più incomprensibile”.

“Naturalmente”.

“Per esempio, se vai a vedere la voce sulla Wikipedia in italiano, trovi una frase che afferma che sarebbe sbagliato definire un nodo come l'immagine di una funzione continua dalla circonferenza nello spazio, perché così tutti i nodi risulterebbero equivalenti”.

“Interessante”.

“Se vai sulla analoga voce in inglese, invece, trovi scritto: a knot is an embedding of a circle in 3-dimensional Euclidean space, considered up to continuos deformations”.

“Eh? Ma è esattamente quello che la voce in italiano segnala come sbagliato”.

“Appunto”.

“Roba da matti”.

“Insomma, dato che non dobbiamo fare teoria dei nodi, a noi basta sapere che un nodo è una cosa di questo tipo. Questo si chiama nodo trifoglio”.


“Ok”.

“Mentre questo non è un nodo”.

Immagine correlata

“E perché no?”.

“Perché non è una curva chiusa. Un finto nodo come questo puoi sempre scioglierlo, mentre un nodo vero come quello della prima immagine non può essere sciolto, in modo da formare una circonferenza non annodata. Devi tagliarlo”.

“Ah, ecco. Ammesso che gli estremi non siano collegati in qualche modo, questo puoi scioglierlo, e farlo diventare un segmento”.

“Proprio così. Ricordi che abbiamo lavorato con una striscia di carta, un po' di tempo fa?”.

“Ricordo”.

“Ora proviamo a annodarla con un nodo semplice, ma non incolliamo gli estremi”.

“Insomma, proviamo a fare una cosa che tutte le persone appartenenti al mondo normale, eccetto quindi i Veri Matematici, chiamano nodo”.

“Esatto. Ecco una simulazione di nodo, con la quale puoi giocare”.



“Ah, vedo. Mi aspettavo qualcosa di curvo, mentre vedo dei segmenti”.

“Se tu prendi una vera striscia di carta e provi a annodarla, è vero che la incurvi. Ma a un certo punto puoi decidere di schiacciare tutta la carta su un piano, formando delle pieghe. La sostanza del nodo non cambia”.

“Ah, va bene. Vedo che posso cambiare dei parametri, ma non capisco quello che sto facendo”.

“Puoi cambiare lo spessore della carta, e puoi anche cambiare gli angoli secondo i quali pieghi la carta”.

“Ah, ecco, vedo che posso fare nodi magrolini e nodi più pieni”.

“Sì. Puoi pensare di annodare una striscia sottile lasciando spazio intorno alle anse del nodo, oppure puoi pensare di stringere il nodo più che puoi. In questa simulazione, invece di stringere il nodo allarghiamo la striscia di carta”.

“Capisco: è la stessa cosa. Come se guardassimo il nodo con uno zoom regolabile, in modo da tenere costante la dimensione del nodo”.

“Proprio così. Ora, una domanda: qual è la figura più simmetrica che puoi ottenere?”.

“Fammi provare… Il foglio di carta si piega tre volte, devo cercare di fare in modo che i tre angoli siano uguali, uhm”.

“Gioca un po' con i parametri che puoi regolare”.

“Ah, ecco! Se impongo che i due angoli siano di 36 gradi, salta fuori una bella figura simmetrica”.

“Bene, ora allarga più che puoi lo spessore del foglio di carta”.

“Ok… Bello! Se allargo al massimo si vede che riesco a riempire un pentagono”.

“Un pentagono regolare, esatto”.

“Perché?”.

“Gli angoli con i quali hai giocato, e che ora misurano 36 gradi, sono gli angoli secondo i quali è stata piegata la carta. Se osservi bene la figura, noterai che il lato della striscia, prima di essere piegato, è parallelo a un lato del pentagono; dopo la piega, è ancora parallelo a un altro lato”.

“Ah, vedo: la striscia è parallela a un lato, si piega su un secondo lato, adiacente al primo, e dopo la piega è parallela al lato adiacente al secondo”.

“E questa è proprio una caratteristica del pentagono: gli angoli interni di un pentagono regolare misurano 108 gradi, e l'angolo formato da due lati non consecutivi è proprio di 36 gradi”.

“Davvero?”.

“Guarda questa figura”.


“Ah, ok, vedo”.

“Quindi se tu prendi una striscia di carta e l'annodi, in modo da non lasciare spazi vuoti intorno alle pieghe, la figura che ottieni è un pentagono regolare”.

“E questo, però, non è un vero nodo matematico”.

“No, perché i capi del nodo sono liberi, e puoi sempre scioglierlo. Però, se i capi sono molto lunghi, puoi continuare a piegarli intorno al pentagono con regolarità”.

“Uhm, in che modo?”.

“Un capo parallelo a un lato del pentagono, dopo la piega, sarà parallelo a un altro lato del pentagono: puoi continuare a piegare seguendo i lati. Ogni piega segue un lato, e puoi continuare finché hai carta”.

“In modo da fare un blocchetto pentagonale”.

“Esatto. Questo è quello che fanno in Giappone, per esempio, quando piegano le cinture”.

“Ehh?”.

“Guarda qua”.




sabato 30 marzo 2019

Strisce



“Oh, cos'è?”.

“Mi sto divertendo a piegare fogli di carta”.

“Ah, fai degli origami?”.

“Mh, no, niente di complicato. Mi stavo chiedendo come funziona la piegatura di una strisciolina di carta”.

“Non ti basta semplicemente piegarla, vero?”.

“Eh eh, sì, mi basterebbe anche. Però, vedi, se cominci a piegarla più volte saltano fuori delle belle forme, e allora uno vorrebbe provare a capire cosa c'è sotto”.

“Capirai”.

“Non è facile vedere le cose in tre dimensioni, e questo è un bell'esercizio”.

“Ah, vedo. Quindi, cos'hai scoperto?”.

“Beh, per prima cosa una striscia di carta è definita dai suoi due bordi”.

“E fin qua ci siamo”.

“Poi, vedi che per piegare la striscia si deve effettuare una rotazione intorno alla piega”.

“Sì. Io faccio però fatica a capire cosa si può fare e cosa non si può fare, quando si piega della carta”.

“Cioè?”.

“Il problema è che la carta non è rigida, ma non è nemmeno gomma. Quindi ci sono movimenti che sono permessi, e movimenti che invece non sono permessi”.

“Esatto, puoi piegarla ma non puoi allungarla o accorciarla. Puoi fare rotazioni, ma le lunghezze dei segmenti devono rimanere invariate”.

“Sì, la teoria è abbastanza semplice. Il difficile qua è vedere quello che succede. Per esempio, di quanto risulta inclinata la striscia dopo la piega?”.

“Ah, ottima domanda. Come faresti per rispondere?”.

“Eh, qui sta il punto. Io prenderei in mano una striscia vera e proverei”.

“Ottimo inizio: c'è chi si diverte a fare geometria senza figure, ma noi non siamo tra questi”.

“Meno male. Però, dopo aver giocato con la carta, non saprei andare avanti”.

“Bisognerebbe riuscire a passare dalla figura tridimensionale a una figura bidimensionale, così le cose diventerebbero molto più semplici”.

“Ah, certo. Però, ora che ci penso, se faccio una piega completa arrivo a una figura bidimensionale…”.

“Vai avanti”.

“Il foglio iniziale è piano, no? Poi lo piego, e non rimango più su un piano. Ma se la piega compie una rotazione di 180 gradi…”.

“Ottimo, concludi”.

“Se la piega consiste in una rotazione di 180 gradi, il risultato finale è ancora un piano. Schiaccio il foglio su sé stesso.”.

“Giusto”.

“Ora dovrei capire come risulta la figura finale, però”.

“Hai già capito molto: hai detto che ruoti di 180 gradi intorno a un asse”.

“Sì”.

“E questo è come dire che stai facendo una simmetria assiale”.

“Mh, suppongo di sì, sì. A dir la verità, non mi risulta facile nemmeno vedere come funziona una simmetria di una retta rispetto a un'altra retta”.

“Beh, questo è molto semplice: l'angolo formato tra le due rette non cambia”.



“Ah, già, vedo. La retta blu viene trasformata nella retta rossa, vero? I due angoli formati dalle due rette con l'asse di simmetria non cambiano”.

“Sì. Naturalmente puoi anche dire che è la retta rossa che viene trasformata nella retta blu”.

“Giusto, certo. Posso piegare il foglio da sopra a sotto o da sotto a sopra, non importa”.

“Ok. Ora ti mostro l'applicazione di questa semplice regola a una striscia di carta”.






“Oh, quanti colori”.

“Sì, potevo fare ricorso a una maggiore sobrietà. Però così si distinguono tutte le parti”.

“Ok, vedo la striscia verticale”.

“Esatto”.

“Che poi viene piegata lungo la linea tratteggiata. Riconosco anche gli angoli uguali come mi hai fatto vedere prima, sono quelli verdi”.

“Molto bene”.

“Poi ci sono altri angoli, però”.

“Sì, qui ho fatto un passo avanti. Se la piega fosse perpendicolare ai bordi della striscia, si avrebbe una figura poco interessante: la striscia si ripiegherebbe completamente su sé stessa, e tanti saluti allo studio degli angoli”.

“Ok”.

“Allora la domanda è: se la piega è inclinata, rispetto all'orizzontale, di un certo angolo…”.

“Quello evidenziato di rosso, giusto?”.

“Proprio quello. Se la piega è inclinata, rispetto all'orizzontale, dell'angolo colorato di rosso, di quanto risulta inclinata la striscia?”.

“Non è una risposta facile, mi pare”.

“Diventa facile se osservi una sola cosa: l'angolo rosso e l'angolo verde sono legati da una certa relazione”.

“Uhm. Vedo un triangolo che li contiene entrambi”.

“Esatto”.

“Ah! Un triangolo rettangolo! Quindi l'angolo rosso e quello verde sono complementari”.

“Giusto, e adesso tutti gli angoli segnati in figura dovrebbero essere evidenti”.

“Lo sono, sì. Hai tracciato, in grigio, la perpendicolare all'asse di simmetria, quindi ecco un altro angolo retto, ed ecco i due angoli complementari”.

“Ecco fatto, quindi”.

“Mi pare, allora, che l'angolo con cui la striscia viene deviata, per così dire, sia il doppio dell'angolo rosso”.

“Ed è così”.



“E adesso?”.

“Adesso facciamo un nodo”.

venerdì 8 marzo 2019

Il bello della matematica

Da qualche anno sono il coordinatore distrettuale, per la mia zona, del progetto Olimpiadi della Matematica. Uno dei miei compiti è organizzare la gara di secondo livello, selezionare gli studenti e, ahimé, incontrare qualche giornalista locale che viene a fare un giro all'università per vedere che facce hanno quelli a cui piace la matematica. Purtroppo i giornalisti fanno domande.

Questa volta mi hanno chiesto: ma perché questi ragazzi vengono qua a fare matematica? Cosa ci trovano di bello?

Io ho farfugliato qualcosa che ho immediatamente cancellato dalla memoria, però adesso potrei spiegare cosa ci trovo io di bello.

Parto da un problema assegnato proprio alla gara provinciale: c'è una calcolatrice a 5 cifre che non funziona tanto bene, perché solo due tasti hanno ancora qualche effetto. C'è un tasto che permette di moltiplicare per 3 ciò che appare sul display (più precisamente: quando premo quel tasto, automaticamente il numero sul display viene triplicato) e un tasto che permette di aggiungere 1. Quest'ultimo, però, non può mai essere premuto due volte consecutivamente, altrimenti la calcolatrice esplode. La domanda è: quanti diversi numeri si possono ottenere sul display senza fare esplodere la calcolatrice?

Un abile risolutore, che si è allenato su quesiti di questo tipo, vede subito la soluzione e buonanotte. Ma non tutti sono abituati e risolvono problemi di questo tipo tutti i giorni, e io sono tra questi.

Ho provato quindi a risolvere questo esercizio facendo un po' di prove. Ho cominciato a riempire fogli con numeri, freccette, cercando di costruire un albero delle soluzioni per cercare di capirci qualcosa. Poi mi sono anche consultato con una collega, coordinatrice di un'altra zona (ai coordinatori il testo della gara viene consegnato in anticipo, in segreto, in modo da lasciare un po' di tempo per preparare le fotocopie delle prove), perché avevamo inizialmente interpretato male il testo e non ci tornavano i conti. Anche lei aveva fatto uno schema con le freccette.

Poi, dato che i conti non mi dicevano molto, ho aperto un foglio elettronico e ho cominciato a riempirlo di numeri. Se parto da 0, e uso solo il tasto che moltiplica per 3, rimango su 0, e fin qua è facile. Se schiaccio il tasto +1 una volta, e poi continuo a schiacciare il tasto ×3, ottengo tutte le potenze di 3. Bene, poi?

Ho cominciato a riempire le righe del mio foglio elettronico con le moltiplicazioni per 3, e ogni volta che selezionavo il tasto +1 iniziavo una nuova riga. Però i numeri calcolati dal foglio mi dicevano poco, e allora ho ricominciato a scrivere dei numeri a mano senza però svolgere i calcoli. Ho ottenuto righe come queste:

1, 3, 32, 33, …
3+1, (3+1)×3, (3+1)×32, …
(3+1)×3+1, ((3+1)×3+1)×3,((3+1)×3+1)×32, …

Le formule cominciavano a diventare interessanti, anche se ancora mi sfuggiva qualcosa. Per essere sicuro che l'idea che mi stava venendo in mente fosse giusta, ho scritto i calcoli in un altro modo, svolgendoli. Per esempio, la seconda riga sarebbe diventata questa:

3+1, 32+3, 33+32, …

E la terza, questa:

32+3+1, 33+32+3, 34+33+32, …

Ah-ha! Somme di potenze di 3: la scrittura in base 3! Ogni volta che moltiplico per 3 aggiungo uno 0 in fondo. E cosa significa che non si può usare il tasto +1 due volte di seguito? Significa che la cifra delle unità può passare da 0 a 1, ma non da 1 a 2. Anzi, non si potrà mai avere la cifra 2 in nessuna delle formule possibili, perché il 2 si può ottenere soltanto con due +1 consecutivi, ma questo è vietato.

Ed ecco che tutto va a posto, e un problema che sembrava bruttissimo si risolve improvvisamente in maniera elegante e immediata. Si tratta ora di capire quanti numeri di cinque cifre (decimali) si possono ottenere: come si fa? Scriviamoli in base 3, tenendo presente che non possiamo mai usare la cifra 2. Vediamo un elenco di potenze di 3 sufficientemente grandi

34 = 9×9 = 81, e questo si sa a memoria,
38 = 812 = 6561,
39 = 19683,
310 = 59049,
311 = 177147.

Ok, l'ultimo numero, che in forma ternaria si scrive come 100000000000, è troppo alto. Vediamo il precedente, che è 11111111111 (ricordiamo che non si possono usare le cifre 2). A quanto è uguale?

Sono 11 cifre 1 consecutive, e la formula della somma dei termini di una progressione geometrica ci permette di calcolarlo velocemente, perché è uguale a (311−1)/2, cioè 177146/2 = 88573, che è composto da cinque cifre, e quindi va bene. Così come vanno bene tutti i numeri composti da al massimo undici cifre 0 oppure 1.

Ora abbiamo la risposta: il numero dei valori ottenibili con la calcolatrice è uguale al numero di modi che si hanno di riempire undici caselle con la cifra 0 o 1, cioè 211 = 2048.

A quel punto ero soddisfattissimo, e ho voluto rendere la collega partecipe di questa scoperta. E ho fatto quello che fanno i Veri Matematici quando risolvono un problema: ho sistemato la dimostrazione, ho buttato via tutti i conti e le schifezze che avevo scritto, ho chiuso il foglio elettronico che era ancora aperto per cancellare le tracce degli orrori che avevo commesso, e ho scritto questo messaggio (era quasi mezzanotte):

Dopo aver trappolato con un po' di numeri e giocato con excel, 
ho trovato la soluzione bella.

Spero che tu abbia il cellulare silenzioso, 
altrimenti ti sto svegliando la casa.
🙂

Se scriviamo i numeri in base 3, il tasto +1 della calcolatrice 
corrisponde a mettere un 1 nell'ultima cifra, perché essa può 
solo essere 0 (partiamo da 0 e aggiungiamo +1 una sola volta 
alla volta) (magari posso dirlo meglio in italiano domani)

Il tasto x3 invece corrisponde a aggiungere uno 0 
in fondo al numero.

Il massimo numero che possiamo costruire è 11111111111 
(11 cifre 1 consecutive), che corrisponde a (3^11-1)/2=88573.

Il numero successivo costruibile è 100000000000 = 3^11 che è 
composto da 6 cifre, quindi è da scartare.

Il problema si traduce quindi in questa domanda: 
quanti numeri composti solo da cifre 1 e 0 lunghi 
11 cifre posso formare? La risposta è 2^11 = 2048

Ed ecco una dimostrazione elegante, breve, semplice, senza troppi calcoli, alla portata di tutti. Ed ecco, anche, la risposta alla domanda del giornalista:

Si dice che Dio abbia un libro che contiene tutte le Dimostrazioni Belle. La più grande soddisfazione del matematico è trovarne una.

lunedì 28 gennaio 2019

Il piccolo Fermat e i braccialetti

“Braccialetti?”.

“Braccialetti”.

“Cosa c'entrano i braccialetti con la matematica?”.

“I nostri braccialetti sono formati da perline colorate”.

“Ah, va bene. Quindi?”.

“Più precisamente: da un numero primo di perline colorate”.

“Uhm”.

“Chiamiamolo p, e per fare un esempio supponiamo che p sia uguale a 3”.

“Braccialetti con tre perline: una miseria”.

“Lo so, ma vorrei fare qualche disegnino, se aumentiamo il numero non finiamo più”.

“Ok, allora facciamo questi braccialetti con tre perline colorate. Ah, come le coloriamo?”.

“Con un certo numero di colori diversi, diciamo n colori diversi”.

“E anche in questo caso fissiamo un n di esempio?”.

“Sì, facciamo tre colori”.

“Uhm, non è che ci confondiamo tra n e p?”.

“Direi di no, perché faremo qualche schema: se indichiamo i colori con i numeri 1, 2 e 3, ci basta scrivere tre numeri per avere un braccialetto. Si dovrebbe distinguere bene tra il numero di cifre scritte e il fatto che le cifre vanno da 1 a 3”.

“Vediamo”.

“Allora, prima di rappresentare i braccialetti, risolviamo un problema più semplice: calcoliamo il numero di stringhe che si possono creare con tre perline colorate. Insomma, rispetto ai braccialetti qui abbiamo delle posizioni predefinite: una perlina può essere messa al primo posto, al secondo o al terzo. Nel caso dei braccialetti, invece, non esistono un primo, un secondo e un terzo posto, perché ogni posizione in cui compare la perlina è indistinguibile dalle altre”.

“A meno che non indichiamo anche dove si mette la fibbia di chiusura”.

“Esatto. Quella la nascondiamo, fabbrichiamo un braccialetto senza fibbia. Prima, però, le stringhe”.

“Forse riesco a calcolare le possibilità: ci sono tre posizioni, e in ogni posizione posso mettere uno dei tre colori. Quindi dovrei avere 3 possibilità per la prima posizione, 3 per la seconda e 3 anche per la terza. Totale: 27”.

“O, meglio, 33”.

“Va bene”.

“Eccole qua:”.

123
312
231

132
213
321

133
313
331

122
212
221

112
211
121

223
322
232

113
311
131

332
233
323

111
222
333

“Vedo”.

“Ora, le tre stringhe monocolori le mettiamo da parte”.

“Sono le ultime tre: perché le mettiamo da parte?”.

“Perché per loro servono conteggi diversi: dopo le recuperiamo. Per ora ragioniamo sulle prime 24”.

“Ok”.

“Trasformiamo ogni stringa in un braccialetto: ogni stringa può essere ruotata in tutti i modi possibili, e quindi ogni braccialetto può essere generato da più stringhe diverse”.

“Fammi capire meglio”.

“Le tre stringhe 123312231 generano lo stesso braccialetto, perché non importa quale sia il punto di partenza”.

“Ah, hai ragione, l'importante è che 1 sia seguito da 2, 2 da 3 e 3 di nuovo da 1”.

“Esatto. Ora si tratta di contare i braccialetti”.

“Beh, è facile, li hai già raggruppati quando li hai elencati”.

“Sì, in questo esempio. Vorrei trovare una formula generale”.

“Ah”.

“Allora: noi possiamo prendere l'ultima perlina di una stringa, sfilarla dalla sua posizione e reinserirla all'inizio. Così facendo otteniamo una stringa diversa ma lo stesso braccialetto, giusto?”.

“Giusto”.

“Quante di queste alterazioni si possono fare prima che la stringa torni a essere uguale a com'era all'inizio?”.

“Direi 3, no? A parte le stringhe monocolore”.

“Non fissare le idee su questo esempio, che è solo un esempio. Come funziona in generale? Il numero di alterazioni possibili sarà sempre uguale al numero di palline?”.

“Pensavo di sì, dici di no?”.

“Guarda questo braccialetto composto da 6 perline:”.

121212

“Ah. Dopo il primo movimento diventa 212121 e dopo il secondo torna come prima”.

“Esattamente”.

“E allora come facciamo a calcolare questo numero di spostamenti?”.

“Bisogna pensare a qualche formuletta”.

“Era quello che temevo”.

“Non sarà difficile. Chiamiamo k il minimo numero di spostamenti di perline da fare perché il braccialetto torni uguale a com'era all'inizio”.

“Va bene. Ah, è per questo che hai messo da parte le stringhe monocromatiche?”.

“Molto bene! Per quelle k vale 1, naturalmente, perché sono sempre uguali a sé stesse.”.

“Ho capito, anche se avrei detto che per esse k dovrebbe essere 0 ”.

“Beh, 0 allora va bene per tutte, no? Tutte quante con 0 mosse diventano uguali a sé stesse”.

“Già, hai ragione. Quindi k deve essere positivo”.

“Bene. E, escludendo le stringhe monocromatiche, k deve essere maggiore di 1”.

“Giusto”.

“Ora, supponi di aver trovato un valore di k che funziona per una certa stringa: se essa diventa uguale a sé stessa dopo k mosse, lo farà anche dopo 2k mosse, dopo 3k mosse, e così via”.

“Mi pare ovvio”.

“Allora, facciamo questo calcolo: dividiamo il numero p di perline per k”.

“Non so quanto possa risultare”.

“Beh, vogliamo una formula, non un risultato esatto. Cosa significa che p diviso k dà quoziente h e resto r?”.

“Non ne ho assolutamente idea”.

“Ma sì, lo sai dalle elementari. La maestra non ti faceva fare la prova?”.

“Ah, sì, dovevo moltiplicare il quoziente per il divisore e aggiungere il resto”.

“Esatto: vale la formula p = hk + r”.

“Vabbé. Questo mi aiuta?”.

“Certo. Cosa mi dici di r?”.

“So che è il resto”.

“E il resto, in una divisione, può essere grande quanto si vuole?”.

“Eh, no, il resto è sempre più piccolo del divisore”.

“Perfetto: quindi r è un numero compreso tra 0 e k”.

“Però non può essere uguale a k, solo a 0, no?”.

“Certo. Ora, se prendiamo una stringa di lunghezza p e facciamo p spostamenti di perline, la stringa torna a essere uguale a sé stessa indipendentemente dal valore di p, sei d'accordo”.

“Ah, certo, sposto tutte le perline fino a che non tornano nella posizione iniziale”.

“Benissimo. E anche se faccio hk spostamenti la stringa torna a essere uguale a sé stessa”.

“Perché?”.

“L'abbiamo detto prima: k è proprio quel numero di spostamenti da fare perché la stringa non cambi, e se ne puoi fare k ne puoi anche fare 2k, 3k, eccetera. Anche hk”.

“Ah, ok.”.

“Ora riprendiamo l'uguaglianza che definisce la divisione: p = hk + r. Questa ci dice che se prendiamo una stringa e facciamo hk spostamenti, questa diventa uguale a com'era all'inizio. Se poi ne facciamo altri r, in tutto ne abbiamo fatti hk + r, cioè p. Questo significa che di nuovo la stringa ritorna com'era all'inizio”.

“Giusto”.

“Mica tanto giusto, perché questo significherebbe che ci bastano r spostamenti per riportare la stringa alla posizione iniziale”.

“E perché non è possibile?”.

“Perché il resto di una divisione è minore del divisore: r è minore di k”.

“Vabbé, r sarà minore di k, qual è il problema?”.

“Il problema è che k dovrebbe essere il numero minimo di spostamenti da fare, e invece così facendo avremmo trovato un numero ancora più piccolo”.

“Ah. Allora c'è qualcosa di sbagliato nel ragionamento?”.

“No, c'è un'unica conclusione coerente con tutto quanto abbiamo detto: r deve essere 0”.

“Ah! Allora p è multiplo di k, e tutto torna”.

“Giusto. E cosa potremmo dire se p fosse un numero primo?”.

“O k è uguale a 1…”.

“Questo vorrebbe dire che le stringhe sono monocromatiche”.

“Giusto, e noi l'abbiamo escluso. Allora k e p devono essere uguali”.

“Ottimo. Riassumendo: avevamo p perline di n colori diversi, con le quali abbiamo costruito np stringhe diverse”.

“Poi abbiamo tolto tutte le stringhe monocolori, che sono tante quante i colori, cioè n”.

“E quindi sono rimaste npn stringhe. E ci siamo chiesti quante di queste generano braccialetti uguali”.

“Uhm, abbiamo detto che potevamo raggrupparle k alla volta. Ah, k è p, quindi possiamo raggrupparle a gruppi di p”.

“Ed ecco il risultato, quindi: il numero di stringhe, escluse quelle monocromatiche, è divisibile per p”.

“Questo è un teorema? npn è divisibile per p?”.

“Sì, si chiama piccolo teorema di Fermat, e ne avevamo già parlato, in altri termini”.