Erlangen 1872 — Dualità

La magia che fa corrispondere punti a rette e rette a punti si chiama dualità. Ed è una magia molto potente, perché permette di avere teoremi gratis e, cosa forse ancora più importante, permette di avere una visione nuova della geometria: una di quelle esperienze a-ha di cui ha parlato anche il Sommo Divulgatore.

Provo a fare qualche esempio.

Due punti individuano una retta (detto in altri termini: per due punti passa una e una sola retta). Scambiando i punti con le rette, otteniamo la proposizione due rette individuano un punto (cioè: due rette si intersecano sempre in un punto).

Per un punto passano infinite rette, che diventa una retta contiene infiniti punti.

Insomma, ogni teorema può essere trasformato in un altro teorema scambiando tra loro i termini punto e retta. Naturalmente cambiano anche i verbi che vengono usati: un punto appartiene a una retta, una retta passa per un punto, ma la relazione che intercorre tra il punto e la retta è una sola, e viene detta struttura di incidenza.

Vediamo un esempio un po' più corposo.

Dati tre punti allineati A, B e C e altri tre punti allineati a, b e c, allora i punti X, Y e Z, rispettivamente intersezioni delle rette Ab e aB, Ac e aC, Bc e bC, sono anch'essi allineati.

Che diventa, applicando la dualità:

Date tre rette A, B e C incidenti, e altre tre rette a, b e c anch'esse incidenti, allora le rette X, Y e Z, rispettivamente passanti per i punti di intersezione di A con b e di a con B, di A con c e di a con C, di B con c e di b con C sono anch'esse incidenti.

Un altro esempio:

Sono dati due triangoli ABC e A'B'C'. Se le rette AA', BB' e CC' sono incidenti, allora le rette AB e A'B', BC e B'C', CA e C'A' si intersecano rispettivamente in tre punti X, Y e Z che sono allineati.

Vediamo di dualizzarlo:

Sono dati due triangoli ABC e A'B'C'. Se tre punti X, Y e Z sono allineati e, rispettivamente, si trovano sul prolungamento di AB e A'B', BC e B'C', CA e C'A', allora le tre rette AA', BB' e CC' sono incidenti.

Insomma, questo teorema è duale di sé stesso.

Bello, eh?