Erlangen 1872 — È una specie di magia

Un punto ha due coordinate, e fin qua niente di strano: due numeri individuano un punto sul piano cartesiano.

Una retta ha equazione y=mx+q. Per determinare una retta, quindi, bisogna conoscere i due numeri m e q. Due numeri individuano una retta sul piano cartesiano.

Quindi se io scrivo 3 e 14, potrei voler descrivere un punto oppure una retta. Oppure tutte e due.

In realtà le cose non stanno proprio così: non tutte le rette hanno la forma y=mx+q, quelle verticali si scrivono in un'altra maniera: x=k. Ma possiamo evitare il problema passando alle coordinate omogenee.

Ricominciamo: un punto ha tre coordinate, (a,b,c), definite a meno di una costante.

Una retta ha equazione ax+by+c=0, dove i coefficienti a, b e c sono definiti a meno di una costante.

Quindi tre numeri a, b e c definiscono, a meno di una costante moltiplicativa, un punto o, indifferentemente, una retta. O tutte e due.

Detto in un altro modo: ad ogni punto è associata una retta, e ad ogni retta è associato un punto. Il mondo dei punti potrebbe essere trasformato nel mondo delle rette e, viceversa, il mondo delle rette potrebbe diventare quello dei punti. Anche le rette, quindi, hanno delle coordinate, che vengono dette coordinate plückeriane.

Esempio: (3,1,4).

Se le consideriamo come coordinate omogenee di un punto, trasformandole in coordinate cartesiane otteniamo il punto (3/4,1/4).

Se invece le consideriamo come coordinate plückeriane, esse rappresentano la retta 3x+y+4z=0. Ecco qua:

C'è una relazione geometrica tra il punto e la retta: se noi tracciamo, dall'origine O degli assi, la perpendicolare alla retta data, e indichiamo con H il punto di intersezione, risulta che il punto P si trova sulla stessa perpendicolare, in una posizione tale per cui PO è il reciproco di OH.

Viceversa, se partiamo dal punto e tracciamo una retta passante per P e O, la retta cercata sarà ortogonale a PO, e l'intersezione tra le due rette H è tale per cui OH è il reciproco di PO.

E il tutto funziona anche coi punti impropri! A un punto improprio corrisponde una retta passante per l'origine, e viceversa.

Ma tutto questo non basta: consideriamo un'altra coppia punto-retta, per esempio quella identificata dalla terna (-1,2,1). Indichiamo con Q il nuovo punto:

Ora tracciamo la retta passante per P e Q: quale sarà il suo punto associato? Ebbene, non è un punto a caso, ma è l'intersezione tra le due rette che abbiamo già tracciato.

E se le rette sono parallele? Nessun problema, ci sono i punti impropri.

Tutto ciò è meraviglioso.