Erlangen 1872 — Coniche, similitudini e affinità

Le circonferenze sono tutte simili, le parabole anche, le ellissi e le iperboli no.

Intuitivamente, diremmo che queste due ellissi hanno forma diversa, una è più schiacciata dell'altra: si dice che hanno eccentricità diversa. Non si può ingrandire la più piccola per farla diventare uguale a quella più grande: non esiste nessuna similitudine che porta una nell'altra.

Anche per una iperbole vale lo stesso discorso, anche se è più difficile da capire: in figura, oltre all'iperbole, sono rappresentati altri oggetti. Le due rette tratteggiate corrispondono al profilo del cono dal quale è stata ritagliata l'iperbole: si chiamano asintoti e sono due rette che approssimano l'iperbole, man mano che la curva si allontana dal centro. Il rettangolo è quello che ci dà la forma dell'iperbole: una similitudine permette di trasformare un'iperbole in un'altra avente un rettangolo simile a quello di partenza. Cambiando le proporzioni del rettangolo, cambiano le iperboli.

Riassumendo: se ci mettiamo nella geometria delle similitudini, esiste un'unica parabola, esistono tante ellissi diverse, ed esistono tante iperboli diverse.

Se invece passiamo alle affinità, le cose sono più semplici: tutte le ellissi sono trasformabili una nell'altra, e così pure tutte le iperboli (e naturalmente tutte le parabole, dato che bastava una similitudine). Quindi nella geometria affine esistono una sola parabola, una sola ellisse e una sola iperbole. La circonferenza fa naturalmente parte della famiglia delle ellissi.

Ora vediamo un'altra caratteristica comune a tutte le coniche.