Non contenti di questa situazione, complichiamo le cose. Ora utilizziamo una terna di numeri, (x1,x2,x3), legata alle coordinate (x,y) da queste due relazioni:
Vediamo qualche esempio: l'origine degli assi, che normalmente avrebbe coordinate (0,0), con questo nuovo sistema verrebbe ad avere coordinate (0,0,1). Ma andrebbero bene anche le coordinate (0,0,2), (0,0,7), e qualunque terna del tipo (0,0,a). Il punto (3,14) potrebbe essere scritto come (3,14,1), oppure (3π,14π,π), e così via.
Insomma, un generico punto di coordinate (x,y) può essere scritto in un'infinità di modi: se a è un qualunque numero diverso da zero, allora (x,y) è uguale a (xa,ya,a). Tutte le terne che si ottengono una dall'altra moltiplicando per una opportuna costante rappresentano lo stesso punto sul piano cartesiano: per questo motivo queste nuove coordinate vengono dette coordinate omogenee. Per evitare confusione ci si può mettere d'accordo e decidere di tenere sempre uguale a 1 la terza coordinata, ma non è obbligatorio.
Bisogna anche dire che dopo un po' ci si scoccia di tutti quegli indici, quando si scrivono le incognite x1, x2, x3, soprattutto se ci si mette a fare qualche calcolo (pensate ai sistemi di equazioni). Quindi, commettendo quello che i Veri Matematici chiamano abuso di linguaggio, si tende a non usare la scrittura (x1,x2,x3), ma si preferisce utilizzare (x,y,z) — ricordandosi naturalmente che la x di (x,y) è uguale a x/z di (x,y,z).
Riassunto: avevamo delle belle coordinate cartesiane, in cui c'era una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie del tipo (x,y), e ora abbiamo delle coordinate omogenee, in cui non c'è più una corrispondenza biunivoca coi punti del piano, in cui le terne del tipo (xa,ya,za) rappresentano tutte lo stesso punto, purché za sia diverso da zero. Abbiamo complicato abbastanza?
No, non abbiamo ancora parlato di quello che succede quando z=0.
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