Erlangen 1872 — Coniche

Circonferenza, parabola, ellisse, iperbole: tutte queste curve fanno parte della categoria delle coniche. Perché?

Partiamo dalla definizione: cosa sono quelle curve? Cosa hanno in comune, e quali sono le differenze?

Prima di tutto: esistono due modi per definirle. Sono luoghi di punti, e sono sezioni di cono.

Per esempio, una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto (che viene detto centro). Guardando la figura, per ogni punto P la distanza PO rimane costante.

Una ellisse è il luogo dei punti per i quali rimane costante la somma delle due distanze da due punti (che vengono detti fuochi). Sempre facendo riferimento alla figura, la somma PF₁+PF₂ rimane costante.

Una parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto (detto fuoco) e da una retta (detta direttrice). In figura, PF è uguale a PH:

E infine, una iperbole è il luogo dei punti per i quali rimane costante la differenza in valore assoluto delle distanze tra due punti (detti fuochi). In figura, |PF₁ - PF₂| è costante:

Tutte queste curve sono anche definibili in un altro modo. Prendiamo quello che si definisce cono circolare retto, il che significa che dobbiamo prendere una retta, tenerla stretta per un punto e farla ruotare con una certa ampiezza. Quello che otteniamo è una cosa del genere:

Ora cominciamo a tagliare a fette questo doppio cono: a seconda dell'inclinazione del nostro coltello, possiamo ottenere figure diverse.

Se il piano secante è parallelo alla generatrice del cono (diciamo che la generatrice è il lato, ma non ditelo in una interrogazione) abbiamo la figura 1: una parabola. Se il piano forma un angolo sufficientemente grande con l'asse del cono (maggiore di quello formato dalla generatrice) siamo nel caso 2: una ellisse. La circonferenza è un caso particolare: si ottiene quando il piano è perpendicolare alla generatrice. Se il piano forma un angolo piccolo con l'asse del cono (minore di quello formato dalla generatrice) abbiamo una iperbole: questo è il caso 3. Ecco perché queste curve si chiamano coniche: perché si ottengono tutte come sezioni dello stesso cono.

Bene, ora ripensiamo alle isometrie: che succede se trasformiamo una conica con una isometria?

La risposta è: niente di speciale: una circonferenza rimarrà una circonferenza, una ellisse rimarrà una ellisse, e così vale per le parabole e le iperboli. Non solo: una circonferenza non verrà trasformata in una circonferenza di raggio diverso, una ellisse non verrà trasformata in una ellisse con assi di lunghezze diverse, una parabola manterrà costante la distanza tra fuoco e direttrice, e una iperbole manterrà costante la distanza tra i fuochi (e un'altra caratteristica che si chiama asse immaginario, sulla quale non ci fermiamo troppo: diciamo che nemmeno l'iperbole cambia forma).

La prossima volta vediamo cosa combinano le similitudini e le affinità.