giovedì 9 marzo 2017

La mia signora maestra

Qualche giorno fa una persona mi ha chiesto se fossi disponibile a parlare di un argomento scelto da me a un corso di aggiornamento per insegnanti. Invece di scappare in direzione opposta, urlando e agitando forsennatamente le mani in aria, ho detto: “mh, va bene”.

La domanda successiva è stata: “di quale argomento vuoi parlare?”. E io, sventurato, ho risposto dimostrazioni senza parole.

Una volta riacquistata una parvenza di sanità mentale, ho cercato di capire da dove mi fosse venuta questa fissa delle dimostrazioni senza parole; una formidabile capacità di autoanalisi mi ha fatto risalire molto nel passato, fino alle scuole elementari.

La mia signora maestra (si dice sempre signora, prima di maestra) si chiamava Lidia Botti, nata a Portovenere. La incontrai per la prima volta il primo giorno di scuola (ovviamente), nel cortile della mia scuola, dove lei era scesa per accogliere noi nuovi alunni, fare l'appello, e portarci tutti in classe. Un signore — che, più tardi, riconobbi come il preside della scuola — le si avvicinò e le chiese: “ma lei che qfwfq ha?” (pronunciò una parola che non riconobbi). Ripose: “mille voci”.

Uh, mamma mia, cominciai a pensare, ma com'è brava questa maestra, sa fare mille voci, che roba, io so fare solo la mia, chissà quante cose sa, chissà com'è brava, ma che bello, questa scuola è bellissima.

Solo un dopo un po' di tempo, di cui per amore di dignità non specificherò la durata, mi resi conto che la parola che non avevo ben compreso era sussidiario, e che Millevoci era semplicemente il suo titolo.

Ma torniamo alle dimostrazioni senza parole.

Un giorno la signora maestra venne in classe con uno strano oggetto: un cubo di plexiglass pieno di pezzi di forma diversa.

“Vedete, ragazzi”, cominciò a parlare, “abbiamo studiato le equivalenze, abbiamo parlato delle misure di volume, ecco, guardate, questo è un decimetro cubo”. E ci mostrò questo cubetto di plastica trasparente; poi lo appoggiò sulla cattedra, e tirò fuori una bottiglia di vetro graduata. “Guardate, ho riempito questa bottiglia di acqua, leggete qua, qual è la capacità di questa bottiglia?”.

“Un litro”, rispondemmo.

“Ecco, ora la verso dentro al decimetro cubo. Ricordate l'equivalenza? Ricordate che un decimetro cubo è uguale a un litro?”. Annuimmo. “Bene, ecco fatto, il litro d'acqua ha riempito tutto il decimetro cubo, visto?”. Eh, cavoli, ho pensato, ma allora è proprio vero, un litro è fatto così, un decimetro cubo è fatto cosà, ma guarda te.

Poi, vuotato e asciugato il cubo, la signora maestra tirò fuori dei pezzetti di plastica più piccoli. “Vedete questo?”, continuò, “questo è un centimetro cubo, guardate com'è piccolo. Ora ne prendo un po' e li metto sul fondo del decimetro cubo, guardate, li accosto tutti a un lato. Quanti ce ne stanno?”.

“Dieci!”, rispondemmo. E guardammo i dieci cubetti tutti belli allineati sul fondo.

“Ora, guardate, questo pezzetto di plastica è grande come i dieci cubetti che abbiamo appena messo sul fondo”. Osservammo un listello di plastica trasparente lungo dieci centimetri, e avente sezione di un centimetro quadrato. “Lo appoggio sul fondo, vicino ai dieci cubetti di prima. Poi ne appoggio altri, fino a coprire tutto il fondo del decimetro cubo, vedete?”. Vedemmo. “Allora, contiamo: abbiamo messo dieci cubetti da un centimetro cubo, poi nove listelli, ognuno dei quali rappresenta dieci centimetri cubi. In tutto quanti centimetri cubi abbiamo messo?”. Ci mettemmo a fare i conti: cento! Cento? Così tanti? Eh, sì, non sembra, ma sono proprio cento. Che roba.

“Ora guardate, ragazzi, guardate quest'altro pezzo”. Ci mostrò una lastra quadrata di plastica, dieci per dieci centimetri, spessa un centimetro. “Vedete? Questa lastra occupa lo stesso spazio dei cento centimetri cubi che abbiamo appena messo dentro al decimetro cubo. Ora la inserisco, e poi ne metto ancora, fino a riempire tutto lo spazio. Ecco, guardate: ce ne stanno nove. Alla fine, quanti centimetri cubi abbiamo inserito dentro al decimetro cubo?” Dopo aver fatto i conti, rispondemmo: “mille!”.

Mille, che roba, mille è tantissimo. Eppure è così, li abbiamo visti, ci stanno mille cubetti da un centimetro cubo dentro a un decimetro cubo.

E, insomma, per farla breve, in quell'istante, che ho ancora ben chiaro nella memoria, mi sono reso conto di aver visualizzato un concetto matematico e di aver capito. E ancora oggi, quando qualche studente sbaglia le equivalenze, mi chiedo come sia possibile che sbagli, ma insomma, non ha mai visto com'è fatto un decimetro cubo? Non ne ha mai preso uno in mano? Probabilmente no.

Per amor di completezza, dirò che la signora maestra non cercava di farci fare esperienza soltanto dei concetti matematici: dopo aver parlato dell'apparato respiratorio, per esempio, un giorno ci portò in classe un polmone preso in macelleria e ce lo fece guardare per bene (con un po' di terrore da parte di molti di noi). Parliamo dell'apparato circolatorio? “Bene, ecco qua un cuore di bue, guardate com'è fatto, guardate i ventricoli, gli atri, vedete?”.

“Signora maestra, ma dov'è la pompa di cui ci ha parlato?”, domandò la Viviana.

“Ma è questa qua, è il cuore che fa da pompa contraendosi e espandendosi. Questo è un muscolo”. Parliamo dell'occhio, della visione? “Bene, ecco un occhio di bue, ora lo apriamo (bleah che schifo!), questo è l'umor acqueo, questo il cristallino, ora guardate l'umor vitreo che esce”. Voglio dire, io ho preso un cristallino in mano e l'ho guardato.

Parliamo di fisica, studiamo che l'aria calda è più leggera e l'aria fredda più pesante? “Bene, vieni tu che hai le braghe corte e mettiti in piedi sulla cattedra, ora spalanco la porta, senti l'aria fredda dell'esterno? Sì? Dove la senti, in alto o in basso?”.

“In basso!”. Oh, era vero!

Ecco, quindi, cosa mi piace delle dimostrazioni senza parole: mi fanno fare esperienza dei concetti che sto studiando, me li mostrano con delle figure. Mi fanno vivere l'esperienza aha! di cui ha scritto anche Martin Gardner.

In fondo, però, a dirla tutta, non è mica vero che si possano fare dimostrazioni senza parole: un passaggio di informazioni tra chi scrive e chi legge ci deve sempre essere. Può essere sotto forma di parole, appunto, oppure di formule, oppure di immagini. Alla fine tutto dipende da cosa intendiamo per parola.

Cioè, per dire, anche questa è una dimostrazione senza parole, ma non è che sia così immediato questo benedetto passaggio di informazioni:

(la frase in fondo non fa parte della dimostrazione, ma — bontà degli autori — è semplicemente una nota per farci capire quello che sta succedendo. La sua dimostrazione si trova a pagina 86 del volume 2 dei Principia Mathematica, accompagnata dalla nota “The above proposition is occasionally useful. It is used at least three times, in ✸113.66 and ✸120.123.472”. Russell e Whitehead erano dei troll).

Ecco, io credo che le immagini aiutino tanto. Più di mille parole, diceva quello.

Quasi quasi alla conferenza proietto solo delle immagini e non dico una parola.

sabato 4 marzo 2017

Una versione animata (e senza parole) del teorema di Pitagora



Penso che ci sia poco da dire, se non: siamo sicuri che la figura costruita su c sia proprio un quadrato? (Sì, perché gli angoli acuti dei triangoli rettangoli sono complementari)

lunedì 6 febbraio 2017

Ma lo sapete perché usate i quaderni a quadretti?

“E quelli che hanno i fogli a righe? Eh? Eh? Già coi quadretti non son capaci di fare un disegno decente, figuriamoci con le righe!”.

“Calma”.

“Santo cielo!”.

“Rilassati, dai”.

“E il righello? Almeno un righello, no? Cosa ci vuole a usare un righello?”.

“Dai, su. Cosa succede?”.

“Eh, succede che ogni volta che vedi uno studente disegnare come se i quadretti non esistessero, ti senti un po' morire dentro”.

“Eh, via”.

“Non sanno fare un angolo retto nemmeno coi quadretti, ti dico! Ma non dico angoli retti che non seguono la griglia, eh, dico proprio angoli retti che usano gli angoli già disegnati”.

“Ehm, angoli retti che non seguono la griglia? Si può?”.

“CERTO CHE SI PUÒ, NON TI CI METTERE ANCHE TU EH?”.

“Ah, ma dai. Beh, usando le diagonali, certo, ci si riesce”.

“Non solo, puoi fare un po' quello che vuoi. Dai, ti faccio vedere qualche disegnino: guarda come è facile costruire dei quadrati”.





“Ah, ma guarda. E si possono fare anche altri poligoni?”.

“Beh, di poligoni ne fai finché vuoi. Se invece intendi poligoni regolari, c'è una bella dimostrazione senza parole che risponde alla tua domanda”.

“E qual è questa risposta?”.

“Te la lascio trovare guardando questa figura”.



“Bella, eh, ma non capisco cosa dimostri”.

“C'è un pentagono…”.

“E fin qui ci siamo”.

“Supponiamo che i suoi vertici stiano su una griglia quadrettata”.

“Ah, supponiamolo pure, ma se la disegnavi era meglio: io non ci riesco”.

“Certo, ma tra un attimo scoprirai perché non l'ho disegnata”.

“Va beh. Quindi?”.

“Sì. Dopo aver disegnato il pentagono iniziale, ho fatto ruotare ogni suo lato di 90 gradi in senso antiorario, intorno a uno dei due vertici”.



“Ah, ecco”.

“Ora, sarai d'accordo con me quando dico che se ruoto una griglia quadrata di 90 gradi, ottengo nuovamente la stessa griglia quadrata”.

“Senza dubbio, sì, sono d'accordo”.

“Quindi, se i vertici del pentagono grande stavano su una griglia quadrata, ci stanno anche i vertici che sono stati spostati dalle rotazioni”.

“Uhm, ma non hai mica applicato la stessa rotazione: il centro è stato spostato ogni volta”.

“Certo, ma quello che importa è che se ruoti di 90 gradi intorno a un punto della griglia, finisci sempre su un punto della griglia”.



“Ah, giusto”.

“Quindi i vertici ruotati, che sono vertici di un altro pentagono, stanno sempre sulla nostra griglia quadrettata”.

“Vero”.

“E allora vai avanti così, ripeti il procedimento. Prima o poi otterrai un pentagono più piccolo di un quadratino della tua griglia”.

“Mi sembra impossibile”.

“Lo è”.

“Ah, ecco. Quindi non si può fare un pentagono su una griglia quadrata: molto bene. È una proprietà specifica dei pentagoni?”.

“No, ti mostro qualche altra figura”.




“Ah, ma guarda. E funziona sempre?”.

“Beh, prova a pensarci un po'. Col quadrato non funziona, ad esempio”.

“E vabbé. Con gli altri poligoni?”.

“Qui hai visto pentagono, esagono e ettagono. Se aumenti il numero di lati, le figure non cambiano di molto: per essere più precisi, se ruoti i lati di 90 gradi e ricongiungi i vertici, ottieni un poligono più piccolo. Questo succede perché i punti, dopo la rotazione, finiscono all'interno del poligono iniziale”.

“Ah, ecco perché col quadrato non funziona: quando ruoti i lati riottieni la stessa figura”.

“Esattamente: i lati del quadrato già formano angoli di 90 gradi, quindi ruotandoli non cambia nulla. Il pentagono, invece, ha angoli interni maggiori di 90 gradi, e con la rotazione i lati finiscono al suo interno. Stessa cosa per l'esagono, l'ettagono, eccetera”.

“Interessante. Manca il triangolo, mi pare”.

“Manca il triangolo. E se ruoti i lati di un triangolo equilatero ottieni una figura più grande, non più piccola”.



“Oh. E allora come si fa?”.

“Beh, se fosse possibile mettere un triangolo equilatero su una griglia quadrata, ci si potrebbe mettere anche un esagono”.

“E perché?”.

“Eh, perché con sei triangoli equilateri fai un esagono”.



“Ah, giusto. E siccome l'esagono non si può disegnare, non si può disegnare nemmeno il triangolo”.

“Proprio così: se fosse possibile disegnare il triangolo, si potrebbe immediatamente disegnare l'esagono, ma siccome è impossibile disegnare l'esagono, allora è impossibile anche disegnare il triangolo”.

“Ottimo”.

“Ed ecco quindi il teorema: non esistono poligoni regolari non degeneri aventi i vertici su una griglia regolare, eccezion fatta per il quadrato”.

[Grazie a Joel David Hamkins]