Il problema di Didone

Giunsero in questi luoghi, ov’or vedrai
Sorger la gran cittade e l’alta ròcca
De la nuova Cartago, che dal fatto
Birsa nomossi, per l’astuta merce
Che, per fondarla, fêr di tanto sito
Quanto cerchiar di bue potesse un tergo.

“Ma cos'è?”.

“L'Eneide, libro 1”.

“E, ehm, di cosa parla?”.

“Della fondazione di Cartagine. L'astuta Didone aveva avuto il permesso di occupare tanta terra quanta ne potesse contenere una pelle di bue. Lei allora prese la pelle di bue, la tagliò in tante striscioline, le collegò insieme, e circondò una zona di terra semicircolare, il cui lato rettilineo era la spiaggia. Sul quel terreno fece costruire Cartagine”.

“Brava questa Didone”.

“Eh sì. E naturalmente i matematici si sono posti un problema”.

“Capirai”.

“Poteva fare di meglio? Poteva circondare una zona di terreno ancora più ampia?”.

“Ovviamente”.

“Eh? Ma no, come?”.

“Le sarebbe bastato prendere un bue più grande. Non mi sembra un gran problema matematico”.

“Ah. Eh. No. Cioè, il problema dice: a parità di lunghezza della striscia fatta con la pelle di bue, si possono circondare zone più grandi?”.

“Ecco, adesso è un po' diverso. Beh, non ha scelto la forma migliore? La semicirconferenza non va bene? Doveva fare un rettangolo? Un quadrato? Una strana figura esistente solo nella mente dei Veri Matematici?”.

“La semicirconferenza va bene, in effetti”.

“E allora, qual è il problema?”.

“Come dimostri che quella scelta da Didone è davvero la superficie di area massima?”.

“Mi sembra ovvio”.

“Le dimostrazioni per ovvietà, però, non sono ammesse tra i matematici”.

“Uff. E quindi?”.

“E quindi bisogna saltare dai tempi di Didone fino al 1838, quando venne pubblicata la dimostrazione di Steiner relativa al problema isoperimetrico”.

“Isoperimetrico, certo”.

“Il problema, formulato in termini matematici, dice questo: tra tutte le figure aventi lo stesso perimetro, qual è quella di area massima? Da cui il termine isoperimetrico”.

“Ah, ok. E quindi nel 1838 è stato dimostrato che Didone aveva scelto la soluzione giusta?”.

“Sì, da Steiner. Con una dimostrazione che, però, era sbagliata”.

“Perfetto”.

“Non troppo però. Adesso te la racconto”.

“Vai. Una dimostrazione non troppo sbagliata. Mah”.

“Bisogna fare questa premessa: Didone aveva a disposizione la spiaggia, cioè un segmento rettilineo, che poteva usare in modo da risparmiare la sua preziosa pelle di bue. Se non puoi usare nessun tipo di segmento, la figura che massimizza l'area è la circonferenza”.

“Mi sembra altrettanto ovvio”.

“Perfetto, questa ovvietà viene dimostrata da Steiner”.

“Sbagliando”.

“Un pochino”.

“…”.

“Steiner afferma, come primo passo della sua dimostrazione, che la figura che risolve il problema isoperimetrico deve essere convessa”.

“Mi sembra ovvio, ma capisco che dirlo non fa fare nessun passo avanti al Vero Matematico Dimostratore”.

“No, certo. Ma immagina una qualsiasi figura che non sia convessa. Ti disegno un poligono, ma va bene anche una figura con lati curvilinei”.

“Ok, quindi?”.

“Mi basta riflettere la parte concava all'esterno, fare diventare la figura convessa, e aumentare l'area senza toccare il perimetro. Guarda”.

“Ah, vedo. Ok, la figura deve essere convessa”.

“Secondo passo: prendo la figura, e la taglio in modo da formare due figure aventi lo stesso perimetro”.

“La taglio a metà”.

“Eh, ma bisogna stare attenti: non la taglio in due parti aventi la stessa area, ma in due parti aventi lo stesso perimetro. Se la figura è tutta deformata, non è detto che sia la stessa cosa”.

“E quindi?”.

“E quindi se le due parti non hanno la stessa area, buttiamo via la parte con area minore e la sostituiamo con una copia di quella con area maggiore: non abbiamo cambiato il perimetro, ma abbiamo aumentato l'area”.

“Mmmh, e questo cosa ci dice?”.

“Che possiamo lavorare solo su mezza figura, facendo come Didone. L'altra metà la otteniamo per simmetria”.

“Mettiamo una spiaggia anche noi, insomma”.

“Esatto. Adesso, prendiamo la nostra mezza figura, e costruiamo un triangolo al suo interno”.

“Ok, che ci facciamo?”.

“Ci domandiamo se è rettangolo”.

“Boh, e chi lo sa? Potrebbe esserlo o non esserlo”.

“Esatto. Se lo fosse, per ogni scelta del punto sulla curva blu, potremmo dire qualcosa”.

“Se ben ricordo, i triangoli rettangoli sono inscritti nelle semicirconferenze”.

“Già. Se, comunque noi scegliamo la posizione del punto sulla curva blu, il triangolo che disegniamo è rettangolo, allora la curva è una semicirconferenza”.

“E, in questo caso, abbiamo Cartagine. Se, invece, il triangolo non fosse rettangolo, come nella figura?”.

“Se il triangolo non fosse rettangolo, noi potremmo modificare la figura, spostando il punto, in modo da ottenere un triangolo rettangolo. Facendo questo non modifichiamo il perimetro della curva blu, ma soltanto la sua forma”.

“In che senso non modifichiamo il perimetro?”.

“Immagina che il triangolo dentro alla figura sia un buco, e che esistano solo le due parti delimitate dalla curva blu, come se fossero due lunette incollate sui lati del triangolo”.

“Ok”.

“Ora modifichiamo l'angolo del triangolo, lasciando le lunette attaccate ai lati, fino a farlo diventare retto. Non cambiamo nessuna misura”.

“Va bene, quindi? Che succede?”.

“Succede che l'area delle lunette non è stata toccata, mentre l'area del triangolo si è modificata. Ti disegno solo il triangolo (perché non sono capace di spostare anche le lunette, ehm)”.

“Vedo, ma non capisco”.

“Devi capire se l'area del triangolo è cambiata”.

“Sicuramente. Cioè, boh, non so, a dir la verità. Abbiamo cambiato solo un angolo, alla fine”.

“Esatto. Ricordi come si calcola l'area di un triangolo…”.

“Base per altezza diviso due!”.

“…di cui conosci due lati, non la base e l'altezza?”.

“Ehm”.

“Ecco qua: conosci i lati b e c, e l'angolo compreso tra essi”.

“Ah, posso trovare l'altezza moltiplicando b per il seno dell'angolo”.

“E quale angolo ha il seno maggiore?”.

“Quello retto, ho capito. Costruendo un triangolo rettangolo massimizziamo l'area, quindi se il triangolo che avevamo inizialmente non era rettangolo, possiamo modificare la curva in modo tale che il perimetro rimanga fisso e aumenti l'area”.

“Conclusione, dice Steiner, la figura che massimizza l'area è quella per la quale ogni triangolo che possiamo costruire al suo interno è rettangolo”.

“Cioè la semicirconferenza. Fine della dimostrazione”.

“Fine della dimostrazione sbagliata”.

“Ma come?”.

“Eh, oh”.