Thank you, my friend

Ero in fila al lavaggio auto quando si avvicina un signore che, in inglese, mi chiede come funziona il tutto.

Rendendomi conto che ascoltare qualcuno che parla inglese e parlare inglese sono due cose molto, molto diverse, cerco di spiegargli dove deve mettere i soldi, quale programma deve scegliere, quelle cose lì. Però ora non funziona, gli dico, perché prima deve spostare la macchina un po' più avanti, nella posizione giusta.

Lui dice ah giusto, va verso la macchina, la sposta in avanti. Io lo guardo, la macchina aveva la targa UA, Ucraina.

Va bene qui? Chiede. No, guarda le frecce, rispondo. Ah, ok, dice, e avanza ancora un po'. Le frecce segnalano che lì va bene, e scende. Gli ricordo di chiudere gli specchietti, lui dice ah, giusto, li richiude, ringrazia.

Mentre parte il lavaggio automatico, mi spiega che quella macchina è di una marca di cui non esistono officine in Italia. Credo che la marca fosse MG, ma non ne sono sicuro. Vedi, l'ho presa in Ucraina, dice. Forse avrei dovuto prendere una FIAT. Ride.

Dico, eh, ma poi avresti dovuto frequentare spesso l'officina. O almeno credo di dire così, non sono ben sicuro del mio inglese.

Eh, sono scappato dall'Ucraina, sai, c'è la guerra. You know?

Sì, la guerra, lo so. E poi non so più andare avanti.

E lui continua: sono di Kiev, sono rimasto in città per i primi giorni della guerra, poi c'erano le bombe, ho preso su qualcosa, la macchina, e sono scappato. In macchina c'era una persona con lui, forse la moglie? La figlia? Non è scesa durante il lavaggio, non l'ho vista bene. Penso che sia giovane, se è rimasta dentro l'auto, ma poi penso che anche io a volte rimango dentro e mi diverto quando le spazzole fanno BRRRRR sui vetri, io che sono solo giovane dentro. Guarda che cose si vanno a pensare.

Mi dispiace, dico. Abiti qua a Modena adesso? No, risponde, non proprio a Modena ma in un paese vicino, dice. L'Italia gli ha trovato un appartamento, dice proprio così, l'Italia. Mi hanno dato un appartamento, ripete, ci sono della associazioni che mi hanno dato tutto quello che mi serviva, sono tutti molto gentili, grazie Italia. Grazie.

Ah, bene, ti ricordi che associazione è? No, risponde, non una sola, ce ne sono tante, qualcuna mi ha portato i vestiti, qualcun altra qualcosa da mangiare. Vedi, questa felpa me l'hanno data loro. Aveva una felpa con una piccola pubblicità di una azienda italiana, ora non ricordo quale.

Poi continua: per fortuna non ho bisogno di soldi, ho un lavoro. Sono un marinaio, dice. Dice "sailor", ma da come va avanti sembra più uno che pilota le navi, non ho capito bene. Dice che guida le navi commerciali, e che quindi può lavorare anche se è in Italia. Tra un po' si imbarcherà per andare in Turchia. Per fortuna posso lavorare, ripete.

Intanto la macchina è pronta, lui se ne accorge, e allora mi saluta, mi porge entrambe le mani, e io che non davo la mano a nessuno da febbraio 2020 mi sono sentito un po' strano, poi gliele ho strette tutte e due. E lui dice "thank you my friend". E io dico "good luck". E lui sale in macchina sorridendo.

La nonna Giulia

Cento anni fa, il 22 maggio 1921, giorno di Santa Rita, come lei amava sempre ricordare, nasceva mia nonna, la persona nota a tutti come la nonna Giulia.

Ha vissuto la guerra, è stata sfollata, ha visto l'aeroplano Pippo sganciare bombe, una delle quali è caduta, inesplosa, nel cortile del gruppo di case in cui abitavano lei e alcuni fratelli. Suo marito, mio nonno, ha fatto la campagna di Russia, le ha raccontato come è sopravvissuto e come è riuscito a tornare a casa, concludendo: Giulia, se non sono morto là, non muoio più. Purtroppo non è stato così: pochi anni dopo, quando mia mamma faceva la terza media, forse il giorno prima dell'esame, non ricordo bene, il nonno è morto sul lavoro. Faceva il ferroviere, lavorava sui binari, conosceva gli orari dei treni a memoria, ha sentito il rumore del treno che doveva arrivare e si è spostato su un altro binario: purtroppo non ha sentito il rumore dell'altro treno che, fuori orario, stava passando su quel binario dove lui si era appena messo.

Dunque mia nonna non ha avuto una vita facile. Gliel'hanno resa meno pesante i nipoti, e io sono stato il primo, e per lei avevo un ruolo speciale. Mi ha fatto da mamma quando mia mamma non poteva esserci, perché aveva trovato da lavorare in un'altra città (alla banca d'Italia, quanto era orgogliosa mia nonna del fatto che sua figlia avesse vinto il concorso in un posto così prestigioso).

Mi salutava sempre allo stesso modo, anche quando ero ormai un distinto e rispettabile adulto al quale non si addiceva un saluto del genere: ciao, bella creatura! Nonna, dai, davanti a tutti. Beh, cosa c'è?

Andava tutte le domeniche in cimitero, a trovare suo marito. Una volta l'ho accompagnata (non mi piaceva molto visitare i cimiteri, quindi quella prima volta è stato un evento un po' speciale) e lei si è fermata davanti alla tomba e gli ha parlato, come se fosse lì. Guarda chi t'ho portato, ha detto.

Quando è diventata bisnonna è rinata. Quando è nato il mio primo figlio ha chiesto insistentemente di avere una foto con lei che lo teneva in braccio. Poi si è scusata della sua insistenza, e ci ha raccontato che voleva una foto che testimoniasse al primo bisnipote che lei c'era e l'aveva tenuto in braccio, dato che pensava che non sarebbe rimasta viva a lungo per poterlo vedere crescere e sentirlo parlare. E invece l'ha visto crescere per ventiquattro anni, e ne ha visti molti altri.

Si muoveva in bicicletta, sempre. Intorno ai novantaquattro anni è caduta, e mia mamma voleva impedirle di usarla ancora: lei l'ha presa malissimo, sembrava una condanna a morte. Allora è andata dal meccanico, gli ha detto oh, io devo andare in bicicletta ma qua non ci riesco più, è troppo alta e rischio di cadere, cum'a fàmia? Il meccanico ha capito, ha detto ci penso io, ha preso il flessibile e ha tagliato un pezzo di telaio, in modo da abbassare il seggiolino. Lei è tornata a casa ridendo come una bambina, e pedalando.

Spesso comandava, e per questo spesso litigava con mia mamma. Era una donna che ha vissuto da sola per la maggior parte della sua vita, la più grande di dodici fratelli, e che aveva la responsabilità di una figlia da educare e mantenere: non aveva un carattere facile, si doveva fare come diceva lei. Ma mi adorava.

Il regalo più grande che potevo farle era andarla a trovare e stare un po' con lei, e naturalmente ora penso che avrei potuto fare di più. Perché adesso la nonna non c'è più, è morta l'anno scorso poco prima di compiere novantanove anni, in piena pandemia, il cinque maggio. Ha avuto una polmonite, batterica, da cui si era ripresa, ma che l'aveva lasciata molto debilitata. Tanto che, una notte, ancora in ospedale, si è addormentata e non si è più svegliata.

Non è stato possibile celebrare il funerale: c'è stata solo una breve benedizione nel cortile davanti all'ospedale, con i nipoti e i bisnipoti. Il pomeriggio prima ero stato in visita alle camere ardenti: era tutto deserto, poteva entrare una sola persona alla volta, e mi sono trovato davanti all'ingresso assieme a un altro, evidentemente anche lui in visita. In attesa, ci siamo messi a leggere i mille cartelli che erano appesi all'entrata: uno di questi parlava delle "visite ai pazienti", e ci siamo messi a ridere di fronte alla definizione di "pazienti".

Qualche giorno fa l'ho finalmente sognata. Tutto, in quel sogno, era un simbolo che per me aveva un significato. Era a casa sua, seduta per terra tra la sala e la camera da letto. Questo mi ha ricordato quella volta in cui si è seduta per terra in mezzo ai bisnipotini, e noi le abbiamo detto nonna, cosa fai, adesso come fai a rialzarti? E lei, con un sorrisone, ha detto guarda, faccio così: ha piegato una gamba, appoggiato una mano, e si è alzata in un attimo. Me l'hanno insegnato a ginnastica, ha detto.

Era quindi tra la sala, dove stava sempre e dove tante volte ha fatto da mangiare per me, e la camera da letto, dove teneva la foto di suo marito. Tra le due stanze c'era un telo, un velo semitrasparente, e se vi viene in mente la scena della morte di Sirius Black, beh, era quel velo lì. Al di là del velo si vedeva in trasparenza il televisore, che era sempre acceso. Mi fa compagnia, diceva sempre.

Mi guardava, lì seduta per terra, e sorrideva. Mi sono svegliato, e sorridevo anche io.

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.

“Senti, ma com'è questa storia che la dimostrazione del teorema di Didone è sbagliata? O è una dimostrazione, o non lo è!”.

“Vero. Diciamo che è una dimostrazione parziale: Steiner ha dimostrato che, se una soluzione esiste, è quella. Ma non ha dimostrato che esiste”.

“Ma dai, ma cosa vuol dire? Se ha dimostrato che la soluzione è quella, amen, è quella. Cosa c'è da dire ancora?”.

“Eh, non è mica vero. Se c'è è quella, ma forse non c'è”.

“Ma come fa a non esserci? Didone deve circondare la più grande superficie possibile, dato un certo perimetro. Ci sarà pure una figura che ha un'area maggiore di tutte le altre”.

“Sarebbe come dire che tutte le funzioni hanno un massimo, e non è vero”.

“Non è vero? Ah, beh, se hai una funzione che cresce sempre, diventando infinitamente grande, quella certamente il massimo non ce l'ha”.

“Non solo: puoi avere una funzione che cresce, che è limitata, e che non ha massimo”.

“Che è limitata? Vuol dire che non cresce oltre un certo valore?”.

“Esatto”.

“Ma allora il massimo è quel valore!”.

“Eh, no. Prendi una torta”.

“Ah, va bene”.

“Tagliala in un certo numero di fette e dammene una”.

“Ok”.

“Quanta torta ti rimane?”.

“Boh? Tutta meno una fetta”.

“Adesso prendi un'altra torta”.

“Poi ingrasso”.

“Aumenta il numero di fette rispetto a prima, e dammene una. Quanta torta ti rimane?”.

“Sempre tutta meno una fetta”.

“Più o meno rispetto a prima?”.

“Di più: ti ho dato una fetta più piccola”.

“Perfetto. All'aumentare del numero di fette, ti rimarrà sempre più torta”.

“Certo”.

“Quindi la funzione-torta è crescente”.

“Giusto”.

“E non supera mai il volume della torta intera”.

“Certo che no”.

“Quindi la funzione-torta è crescente e limitata”.

“Vero”.

“Però non ha massimo”.

“Uh?”.

“No, cresce sempre. Sempre meno, in realtà, ma cresce sempre senza raggiungere un valore massimo. Se dividi la torta in dieci parti e mi dai una fetta, ti rimarranno nove decimi di torta. Se la dividi in cento parti, ti rimarranno novantanove centesimi, e così via. Se mi dai una briciola, ti rimarrà una torta meno una briciola. Non esiste un valore massimo”.

“Uffa”.

“E allora capisci che dimostrare che se una soluzione esiste, allora essa deve avere un certo valore, non significa dimostrare anche che tale soluzione esiste davvero”.

“Roba da matti”.

“Ricorderai il romanzo di Agatha Christie Assassinio sull'Orient Express?”.

“Certo”.

“Una persona è stata uccisa su un treno in movimento, quindi l'assassino deve essere sul treno”.

“Vero”.

“Ma [spoiler! spoiler!] non è così: l'assassino, inteso come singola persona che ha compiuto l'atto, non esiste. Se poi il morto fosse morto di morte naturale, la mancanza di soluzione sarebbe ancora più evidente (ma, probabilmente, il romanzo sarebbe molto più noioso)”.

“Umpf”.

“Chissà, magari esiste un romanzo in cui i sospetti sono solo dieci, e l'investigatore riesce a scagionarne nove. Verrebbe da dedurre che quindi il colpevole è il decimo perché, se la soluzione esiste, non può che essere quella. E invece il morto non è stato assassinato, è semplicemente morto per cause naturali”.

“Ho capito, ho capito… Adesso mi dirai che ci sono casi, in matematica, in cui si riesce a fare anche il contrario?”.

“Cioè?”.

“Cioè dimostrare che la soluzione esiste, senza sapere quale sia?”.

“Oh, certo”.

“Capirai”.

“C'è un caso molto famoso, in effetti. Nel 1868 il matematico tedesco Paul Gordan, soprannominato il re degli invarianti…”.

“Santo cielo”.

“Eh, oh, è così. Era uno dei massimi esperti della teoria degli invarianti”.

“Una roba di cui non ho mai sentito parlare”.

“Si tratta di algebra astratta…”.

“Come se esistesse dell'algebra concreta! Ma dai”.

“Ehm. Ok. L'algebra astratta è effettivamente più astratta dell'algebra che si studia a scuola”.

“E quindi è totalmente incomprensibile”.

“Diciamo che c'è qualcosa di vero in quello che dici. Ecco perché la gente in grado di comprenderla bene poteva avere soprannomi da cow boy”.

“Perfetto”.

“Quindi c'era questo Paul Gordan, esperto di una particolare teoria algebrica, che aveva ottenuto molti risultati importanti, tra cui un teorema che afferma che una certa classe di polinomi (una classe infinita) poteva essere generata da un insieme finito di generatori”.

“Non ho capito niente”.

“Non ho spiegato quasi niente: la cosa importante è che un insieme infinito può essere descritto in modo semplice, usando solo un numero finito di mattoni. I Veri Matematici sono sempre contenti quando si ha a che fare con un numero finito di oggetti”.

“Va bene. Quindi c'era questo espertone che aveva dimostrato un teorema importante”.

“Esatto. Dopo vent'anni arriva David Hilbert…”.

“Un nome che non mi è nuovo”.

“Già. Nel 1888 non era ancora così famoso, aveva discusso la tesi di dottorato nel 1885, era ancora giovane, ed era molto bravo. Generalizza il teorema di Gordan, astraendo ancora di più il tutto”.

“Andiamo bene”.

“La dimostrazione di Gordan era piena di calcoli, difficilissima da generalizzare perché i calcoli sarebbero diventati proibitivi. E allora Hilbert, con un colpo di genio, aggira il problema. Utilizzando l'induzione, dimostra per assurdo il suo teorema”.

“Per assurdo?”.

“Sì, invece di dimostrare che la tesi del suo teorema deve essere vera, dimostra che è impossibile che sia falsa. E, se non può essere falsa…”.

“Allora deve essere vera. Bello”.

“Già. Ma c'è un problema: con questo tipo di dimostrazione lui non riesce a costruire l'insieme finito di generatori di cui parla il suo teorema. Dice solo che esiste. Anzi, dice che è impossibile che non esista”.

“In sostanza, dice che esiste ma non dice com'è fatto?”.

“Esattamente”.

“E cos'ha detto il matematico che invece aveva fatto un sacco di calcoli, nella versione semplificata del teorema? Gordan?”.

“Eh, Gordan legge la dimostrazione, praticamente senza calcoli, lunga poche righe, si gratta un po' la testa, alza gli occhi, e dice: Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie”.

“Ah ah. E Hilbert?”.

“Hilbert, confortato da Klein, un altro personaggio con un certo cervello, scrive un secondo articolo in cui approfondisce il suo teorema, fa delle stime, e pubblica pure quello. Il mondo matematico riconosce l'importanza del teorema che diventerà noto con il nome di Teorema della base di Hilbert”.

“E Gordan?”.

“Gordan commenta: mi sono convinto del fatto che anche la teologia ha i suoi meriti”.

“Meraviglioso”.

“Già. Riguardo le dimostrazioni di esistenza, avevo scritto qualcosa qualche anno fa: ecco qua”.

“Davvero pane per i filosofi”.

“All'epoca ci furono discussioni animate sulla validità di dimostrazioni di questo tipo, cioè non costruttive. Kronecker morì poco tempo dopo…”.

“Quello che affermava che Dio ha fatto i numeri interi, e che tutto il resto è opera dell'uomo?”.

“Lui”.

“Bel tipo, chissà cosa avrebbe detto riguardo questo tipo di dimostrazioni”.

“Possiamo immaginarlo, perché altri matematici portarono avanti le sue idee. C'è una setta di pazzi che non riconosce dimostrazioni di questo tipo, e che dice che si dimostra solo ciò che si può costruire”.

“Chissà Hilbert”.

“Hilbert soffriva. Una volta disse che togliere a un matematico il principio del terzo escluso, cioè quel principio logico secondo il quale se una affermazione non è vera allora è falsa, perché non esiste una terza possibilità, sarebbe come impedire a un pugile di usare i pugni”.

“Ottimo”.

“E, insomma, la discussione continua ancora oggi. C'è chi non riconosce dimostrazioni non costruttive, e chi addirittura non riconosce in matematica nessun tipo di infinito”.

“Comincio a pensare che questa sia davvero teologia”.

“Già”.

“Ma, alla fine, il problema di Didone ce l'ha o no una soluzione?”.

“Ce l'ha, quella di Steiner. Ma è stata dura dimostrarne l'esistenza”.

Nondum matura est

Esattamente venticinque anni fa sono entrato per la prima volta in classe in qualità di colui che sta seduto dall'altra parte della cattedra. Non era il lavoro che avrei voluto fare nella vita.

Ero uno bravo all'università: mi piaceva studiare matematica, anche se le materie algebriche mi davano più difficoltà (gli unici due 28 del mio curriculum: algebra e topologia algebrica); mi piaceva l'ambiente, volevo diventare prof universitario.

Buongiorno, mi chiamo Roberto Zanasi, mi mancano due esami alla fine, vorrei dare la tesi con lei, vorrei farla sui frattali: così mi presento al mio futuro relatore. Lui mi guarda, dice beh, di solito non sono gli studenti che decidono l'argomento, io non studio direttamente i frattali, però studio argomenti molto vicini a quello che le interessa. Ma che media ha? Eh, rispondo, ho preso due 28, gli altri sono trenta e trenta e lode. Ok, tenga, si guardi questo libro e poi ne riparliamo. Il libro parlava di caos e di attrattori strani. Io avevo ancora in mente, come se l'avessi letto il giorno prima, un articolo su Le Scienze, scritto da un tale Hofstadter, che parlava di misteriosi oggetti matematici chiamati strani attrattori (traduttori traditori, già: la traduzione di strange attractors era forse ancora poco diffusa; l'articolo originale era del novembre 1981, in Italia sarà uscito qualche mese dopo). Mi sono detto subito: beh, è inutile che io legga il libro, questi attrattori strani sono un sogno che si realizza, figuriamoci se posso cambiare idea.

E infatti torno dal professore e gli dico ok. E lui risponde si sbrighi a finire gli esami.

Avevo tenuto il più bello per ultimo: meccanica superiore. Avevo tenuto il più brutto per penultimo: teoria dei numeri. Con la testa piena di attrattori strani e di estate che si avvicina vado all'appello di teoria dei numeri e mi accorgo di non sapere molto. Il prof mi prende da parte e mi dice senti, vedi tu, forse è meglio se torni. Io ci rimango un po' male, ma in effetti ha ragione, non ho capito alcuni argomenti. Rimango lì in aula a sedere un po', l'occhio spento e il viso di cemento, e mentre guardo qualche altro esame viene da me l'assistente e mi fa beh, ma cosa è successo? E io rispondo che semplicemente non avevo studiato abbastanza. Poi il prof torna e mi dice che il voto sarebbe stato un venticinque, ma secondo lui non era bello rovinare il libretto. Si avvicina qualche compagno di corso e mi chiede oh, allora, cosa t'ha detto? Ma niente, rispondo, dice che il voto sarebbe stato venticinque, non voleva rovinarmi la media, al che vedo facce strane nei volti di chi ho di fronte e tergiverso.

Studio di più, passa l'estate, torno a dare l'esame, porto a casa un trenta e lode, maledetto quasicorpo associativo non planare, ti ho capito. Poi arriva meccanica superiore, studio con piacere, concludo con un trenta e lode, vado dal prof della tesi, buongiorno, ho dato l'ultimo esame, son pronto.

Ottobre 1989. Entro al centro di calcolo dell'università e ho un account su un supercomputer (che, probabilmente, aveva meno capacità di calcolo del mio attuale cellulare), devo studiare dei sistemi di equazioni differenziali, fare grafici, capire cose. Mi piace programmare, riesco bene a fare quello che devo fare, tutto procede bene. Ottengo una borsa di studio per laureandi, il 4 luglio 1990 mi laureo, al rinfresco post laurea fatto all'università sono presenti anche i miei genitori, che fanno conoscenza col mio relatore, che dice tutto bene, tra un po' di tempo ci sarà posto per assumerlo (se vi state dicendo che l'università assume per concorso pubblico, e allora come faceva a sapere che mi avrebbero assunto? rispondo: ah ah). Passa il tempo, scriviamo un articolo, arrivano altri laureandi, il laureato che lavorava con me viene assunto e diventa ricercatore, ottengo un'altra borsa di studio, passa il 1990, io faccio quello che devo fare, sono molto rapido, e mi prendo qualche libertà. Si avvicina la fine della borsa di studio e all'orizzonte non se ne vedono altre, nel frattempo decido di sposarmi, e mi chiedo come fare per raggranellare qualche soldino. Si potrebbero fare supplenze nella scuola (era un periodo in cui chiamavano anche gli studenti, figuriamoci i laureati), ma il prof dice no, tu devi essere qua sempre dalla mattina alla sera, come faccio io.

Penso, penso, e decido di accettare qualche ora di supplenza: così mi compro la lavatrice. Vorrà dire che starò all'università un po' di più al pomeriggio, tanto lo dicono tutti che sono molto efficiente.

10 dicembre 1991: entro a scuola. La prima persona che si incontra entrando in una scuola è sempre un bidello: Scusa, tu, ehi? Dov'è che vai? Non puoi girare per la scuola. Ecco, io, ehm, devo fare una supplenza, e… Oh! Mi scusi, professore, è così giovane, non volevo, mi dispiace, vada, vada. Non si preoccupi, sa dirmi dov'è la segreteria? E la sala insegnanti?

Prendo il registro, mi dicono che il prof che devo sostituire (che guarda caso si ammala sempre nelle due settimane prima della vigilia di Natale (e che incontrerò nuovamente come docente di un corso abilitante (e che non conosce il termine "orientazione", erano in due in commissione e non sono stati capaci di cercarlo su un dizionario, mah))) ha preparato una verifica. Tiro fuori il testo dal registro, lo guardo, si avvicinano due colleghi (colleghi!), mi guardano, guardano il foglio, mi chiedono chi sono, rispondo, mi chiedono da che scuola vengo, rispondo ma veramente questa è la prima scuola, non ho mai fatto supplenze prima, sorridono, ah! la prima! bene! anche noi insegniamo matematica, hai bisogno d'aiuto?, ah, devi fare una verifica di goniometria, eh, questo si risolve così, questo colà, se hai bisogno chiedi pure eh, auguri, bene, bene.

Entro in classe e, oh, bastano poche ore per farmi scoprire quanto mi piace parlare di matematica. Certo, ci sono alcuni aggiustamenti da fare (prof, scusi, mentre lei ha dimostrato tutto il teorema della corda io stavo disegnando la circonferenza, non è che potrebbe rispiegare? un pochino più lentamente, magari?), ma è un bel mondo.

La borsa di studio che mi permette di rimanere all'università sta per scadere, il 31 gennaio è l'ultimo giorno. Stiamo lavorando a un secondo articolo scientifico da pubblicare, io provo a chiedere al mio prof ma allora, ci sarà un concorso? cosa faccio? mi preparo? e lui risponde adesso pensiamo a finire l'articolo. Va bene, arriva il primo giorno di febbraio, io continuo a lavorare, facciamo un po' di rifiniture, gli ultimi grafici, passa circa una settimana, e finalmente stampo l'ultima figura. Salgo in ufficio dal prof a portarla, contento. Entra, mi dice, bene, bene, questa figura è ottima. Allora, chiudi la porta, per piacere, siediti. Ho deciso di interrompere la nostra collaborazione.

Gelo lungo la schiena e volto rovente.

Segue qualche spiegazione, riferimenti al fatto che ho malauguratamente deciso di accettare supplenze, al fatto che non ero sempre il primo ad arrivare e l'ultimo a andare via, piccolezze rispetto a quello che mi ha detto dopo e che mi ha ferito di più: non hai abbastanza fantasia. C'è qualcosa che posso fare per rimediare a tutto questo?, domando. No. Così, secco. No. Mi scuso solo per una cosa, aggiunge: averti fatto lavorare durante questa settimana in cui la tua borsa di studio era già scaduta.

Vado a casa, entro, mi siedo sul divano, c'erano i miei in casa, dico: il prof mi ha dato il benservito. Spiego quello che è successo, l'atmosfera è abbastanza cupa, mi alzo, vado in camera mia, mi siedo sul mio letto, il cane che avevo all'epoca salta su, lo prendo in braccio e piango.

Entra la mamma, mi consola, entra il babbo, parliamo un po', adesso cosa farai? Ci sono sempre le supplenze, rispondo, devo dire che non mi dispiace farle, anzi è molto bello, per alcuni aspetti meglio che entrare in un centro di calcolo e stare sempre davanti a uno schermo, però… Però? Eh, rispondo, mi sembra di vivere nella storia della volpe e l'uva, come farò a sapere se davvero sarebbe stato peggio rimanere all'università, adesso che non ho scelta? Eh.

E, insomma, eccomi qua. Alla fine ho fatto l'insegnante, mi sono sposato, sono andato di ruolo nel 2000, mi è stato chiesto di fare esercitazioni per l'università e, quindi, all'università sono tornato davvero in qualità di insegnante. Certo, non come professore universitario: niente ricerca, solo didattica, qualche ora ogni tanto, mica tutti gli anni. La ragazza che ha dato la tesi col mio prof quando io lavoravo con la borsa di studio ha vinto il concorso, ha preso il "mio" posto (e non discuto sul merito, eh), si è sposata con l'altro ricercatore, quello che lavorava con me, io ho incontrato dopo molti anni il suddetto prof che ha anche avuto il coraggio di chiedermi se mi piaceva fare esercitazioni all'università, ho risposto sì, ha detto bene.

Per vari anni continuo a sognare di essere di nuovo all'università a lavorare ai miei attrattori strani. Ma comincio anche a incontrare ex studenti, che mi raccontano di quello che fanno, che si ricordano di me, che mi ringraziano. E allora mi dico che va bene così, che puoi pensare che tutto succeda per caso, e allora non puoi farci niente, e magari l'uva era davvero acerba, oppure puoi pensare che tutto accada per una ragione, e quindi va davvero bene così, e che quello non sarà mica stato l'unico grappolo d'uva esistente nell'universo. Hai imparato a fare una cosa, e a farla bene: goditela. Tutto andrà bene, alla fine. E se non va bene, non è la fine.

Uso privato di blog privato

Qualche giorno fa ho partecipato alla Quinta Giornata Nazionale di Analisi Non Standard (sì, c'è gente strana al mondo) e, siccome non sono mica abituato a parlare in pubblico — a gente che ascolta davvero, voglio dire — ero molto nervoso e per questo alla fine del mio intervento ero così provato che, quando una persona è venuta da me a dirmi complimenti professore tirando fuori il mio libro e chiedendomi di firmarglielo, io l'ho fatto quasi meccanicamente, un po' drogato dal fatto che avevo finito di parlare senza aver fatto errori clamorosi e anche dal fatto che qualcuno mi era venuto a cercare col mio libro. Poi, alla fine di tutto, quando ci si saluta e ognuno se ne torna a casa, quella persona è tornata e molto educatamente ha salutato, e io credo di aver detto grazie e arrivederci, ma insomma, non le ho nemmeno chiesto il nome, chi fosse, come mai avesse deciso di partecipare a questa roba non standard.

Ecco, allora, grazie ancora, gentile sconosciuto, e se volesse palesarsi nei commenti mi farebbe molto piacere.

La ricetta definitiva dei tortellini

Mia suocera non era come le suocere delle barzellette: mi voleva bene e mi faceva sentire come uno di famiglia. Una volta ogni due settimane ci invitava a casa sua per il pranzo della domenica, e la scena tipica era questa: annunciava di aver preparato una certa ricetta, alla quale però aveva apportato alcune modifiche, perché magari non aveva in casa il tal ingrediente e allora lo aveva sostituito con un altro, perché una volta il piatto non era venuto bene e allora aveva aggiunto, tolto, modificato qualcosa, sentite un po' se è buono, non sarà troppo insipido, secondo me adesso è meglio. Cose così.

In pratica quando una ricetta entrava nella sua cucina veniva provata, modificata, migliorata, a volte stravolta, con un procedimento di approssimazioni successive che portava verso la perfezione.

Si chiamava Giuseppina, ma in realtà tutti l'hanno sempre chiamata Pina (potrei sottolineare quel tutti narrando la leggenda su mia moglie che pare abbia conosciuto il nome vero di sua mamma solo molto tardi (per molto tardi intendo verso i sedici anni) (ma è solo una leggenda, appunto, quindi non lo farò)); comunque da quando ha iniziato ad avere nipoti era nota come la nonna Pina — come quella della canzone, esatto, ma la canzone è venuta dopo.

La nonna Pina ora non c'è più, se n'è andata improvvisamente due settimane fa. I suoi figli il giorno della festa del papà erano soliti festeggiare, assieme a suo marito, anche il suo onomastico.

E io, oggi, la ricordo così, con il suo capolavoro culinario frutto di sperimentazioni e esperienza: i tortellini. Non so se esista una ricetta ufficiale, un qualche documento depositato, un marchio dop, igp, stg, boh. Non mi interessa: i migliori tortellini li ho mangiati a casa sua, e questo basta.

Dunque, ecco la sua ricetta, così come è stata raccolta da un'amica che è stata a casa sua a lezione di tortellini.

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Prodotto finito: 130 g a testa (adulti)

RIPIENO per 2 kg finiti:

600 g polpa di maiale (prosciutto) a pezzi, sbollentata e poi tritata con:
1 hg di mortadella
1 hg di prosciutto crudo
2.5 hg parmigiano reggiano grattugiato
2 uova
noce moscata e sale (se serve)

BRODO: mezza gallina + 8 hg di manzo. Bollire per 2 ore circa. Segreto: mettere anche un dado. (Questo non me l'aveva mai detto, sapeva che io e il dado non andiamo molto d'accordo)

NB: Se i tortellini avanzano dopo il pasto, separarli dal brodo. Poi, la volta seguente, riscaldare solo il brodo.

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Breaking news: un recente ritrovamento (bigliettino giallo scritto a matita), di datazione più recente rispetto alla ricetta riportata sopra, riporta un rapporto carne/mortadella/prosciutto pari a 4/1/1 e non 6/1/1. Provate e guardate un po' cosa vi piace di più.

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Per quanto riguarda il ripieno: la procedura di sbollentare la polpa e poi tritarla è stata sostituita dalla seguente. Si trita la polpa di maiale, la si cuoce in pentola, la si trita nuovamente assieme al prosciutto crudo e alla mortadella.

Particelle familiari

Recensione breve: ho letto il libro Particelle familiari di Marco Delmastro e mi è piaciuto, leggetelo.

Recensione lunga: Marco Delmastro è un fisico che lavora a ATLAS, uno degli esperimenti del CERN che ha osservato il (un?) bosone di Higgs. In questo libro racconta cosa fa un fisico sperimentale, come fa a osservare particelle così piccole e elusive che anche solo il termine "osservare" assume significati nuovi.

Il libro è dedicato a chi non sa niente di fisica e vorrebbe saperne qualcosa di più, vorrebbe capire: non contiene formule, non contiene figure, non contiene spiegoni complicati. Le figure, però, Marco le mette sul suo blog, assieme a spiegazione più dettagliate per i più curiosi (con anche qualche formula, sì). Più che una relazione scientifica (cosa che non vuole essere), è un racconto, che parla della famiglia e degli amici di Marco, cioè gente normale (nel senso positivo del termine, se esiste, e se non esiste ho sbagliato termine) che cerca di capire cose speciali. Speciali e stranissime come quelle descritte dalla meccanica quantistica, per la quale onde e particelle sono un po' la stessa cosa e tu, ogni volta che leggi questa cosa, continui a chiederti ma come è possibile, ma cosa vorrà poi dire davvero questa cosa qui?

E a te piacciono tanto, le domande di questo tipo, che vorresti sapere tutto, e vorresti anche che LHC, l'acceleratore di particelle che spacca tutto, non fosse mai spento, e vorresti che ne accendessero uno ancora più grande, e che le scoperte eccezionali venissero annunciate più spesso. Poi ti dici che non sarebbero più eccezionali, e quindi pazienza. E allora arrivi alla fine del libro, spinto da questo desiderio di conoscenza, e ti trovi un capitolo finale che si intitola A che cosa serve? e che ti spiega qual è il senso della ricerca fondamentale. Che assomiglia un po' al senso della ricerca in matematica (che, in effetti, matematica e fisica teorica non sono mica tanto diverse, poi i matematici vincono perché non hanno bisogno di verificare nessuna teoria, e il metodo scientifico lo lasciano ai fisici, appunto, che costruiscono macchine gigantesche e meravigliose per capire se le cose sono proprio così come pensavano oppure no, mentre i matematici li stanno a guardare sogghignando con aria di giusta superiorità). Assomiglia anche alle domande che ti fanno gli studenti, quando dicono prof ma a cosa ci serve questa roba nella vita di tutti i giorni? E, poi, qua non ti sbagli, passano le generazioni ma ti fanno sempre quell'esempio, non lo cambiano mai, ti chiedono a cosa serve il quadrato di binomio quando vai a fare la spesa, e tu tiri un sospiro e cominci la tua predica.

E ti fermeresti anche qua, in questa recensione un po' strana, ma poi è successo che prima che tu finissi di leggere il libro è arrivato Peppe che ha scritto pure lui una recensione, che ti ha stupito nella sua parte finale, perché in quel momento non la capivi del tutto. Poi hai finito anche tu il libro, e sarà magari per la tua particolare e strana situazione personale in cui ti trovi in questo momento, sarà l'anzianità che ormai si fa avanti e ti rende sensibile a cose che prima non ti facevano né caldo né freddo, sarà il caldo, sarà Ulisse, fatto sta che la parte più bella ti è sembrata proprio la fine, quella delle navi volanti che arrivano fino alle stelle, del respiro profondo e del sorriso, che prima o poi arriverà, sicuro.

Se non si è capito, pazienza, leggete il libro. Costa 13 euro e 60, da Amazon.

Post con un inizio e senza una fine

E quindi quella volta là non era poi mica la fine. Non lo è nemmeno oggi, del resto.

Come diceva il saggio Oogway, oggi è un dono. Per questo si chiama presente.

Un intervento rancoroso fatto da uno che non ne sa niente ma che comunque dice la sua (perché questo è il web, bellezza)

Ho accompagnato un po' di studenti a Milano, alla mostra di Kandinskij Kandinsky insomma, Кандинский. Secondo me (e questo è il parere di un umile insegnante di matematica che di storia dell'arte ne sa poco, che si appassiona, che dà giudizi tipo questo mi piace e questo non mi piace) la mostra è fatta molto bene e vale la pena andarci. Abbiamo avuto una guida molto paziente, gentile, che faceva intervenire gli studenti, che ha spiegato tante cose. La mostra è realizzata (sempre secondo il mio molto modesto parere) bene, ogni quadro è illuminato da un proiettore dedicato, che fa risaltare l'opera lasciando in penombra il resto.

Sono rimasto così favorevolmente colpito dall'allestimento che, a un certo punto, ho preso in mano il cellulare e ho fatto una foto:

Non è stata ritoccata, è un po' sfuocata, il contrasto è tutta opera degli automatismi del cellulare: secondo me rende bene l'idea dell'ottima illuminazione di cui parlavo qualche riga fa.

Ebbene, per questa foto sono stato sgridato da una delle signore della sorveglianza, che velocemente si è avvicinata (marcia rapida, diciamo) per dirmi che era vietato fare foto. Ho avuto l'impressione, dal suo sguardo diretto verso il mio telefono, che fosse sul punto di farmi cancellare la foto, ma alla fine non l'ha fatto. Le ho chiesto scusa, le ho detto che avevo visto una persona con una macchina fotografica poco prima, pensavo di poter fare una foto (ok, in realtà all'entrata c'era un divieto evidente, ma non l'avevo notato). Lei è rimasta un po' interdetta davanti alla notizia di un abusivo con la macchina fotografica, ha borbottato qualcosa e poi si è allontanata.

Ora l'invettiva.

Signori, perché oggi, nel 2014, ancora vi amminchiate con questi divieti inutili? Lo sapete che molti musei concedono l'uso della macchina fotografica, purché sia senza flash in modo da non disturbare le altre persone? Cosa temete? Che danno può farvi una foto come quella qua sopra? Lo so che avete un catalogo in vendita (che, se permettete, ha dei colori più falsati rispetto a quelli della foto, che pure sono falsi) che costa la bellezza di 34 euro, ma pensate che uno possa decidere di comprarlo se gli viene impedito di fotografare?

Lo sapete che su internet si trovano immagini meravigliose, fatte benissimo e, soprattutto, gratuite? Legalmente gratuite, dico.

Fate un giro su wikipaintings, per dire. O provate a usare google.

Tra l'altro il quadro è normalmente esposto a Parigi, al museo Pompidou, dove è permesso fare tutte le foto che si vuole.

[Lo so che il discorso sul fair use in Italia è complesso, e che non funziona come negli Stati Uniti, ma fa molta differenza nel 2014 accedere a un sito italiano o statunitense?]

[Comunque la mostra è molto bella e le persone molto gentili: fateci un salto]

La vita privata nell'epoca della sua riproducibilità tecnica

Si dice che nell'epoca di internet se uno vuole tenere per sé le sue faccende private non le deve mettere in rete. Bene, ora violerò questo saggio consiglio.

Sono un matematico estroverso, uno di quelli che quando parla con qualcuno guarda le scarpe dell'altro. Ho parlato, qui sul blog e anche sui socialini che frequento, di mia moglie, la Signora, che tra l'altro qui compare ancora come collaboratrice.

Bene, i fatti della vita (quelli, sì, rimangono privati) ci hanno portati ad allontanarci troppo. Ora lei non abita più con me.

Amici: non ce la farò a parlare a tutte le vostre scarpe, a spiegare e a raccontare. Portate pazienza. Un "come va?" e un pat-pat sono sempre graditi, comunque.

Amici elettronici: non ci siamo mai visti, ma visto che condividiamo una piccolissima parte delle nostre storie, ecco, ora sapete.

Studenti, colleghi: portate pazienza se dico cose strane o se sorrido meno.

C'è, comunque, una frase che rispecchia il mio modo di vivere e che mi guiderà ancora. È questa:

Tutto andrà bene, alla fine. Se non va bene, non è la fine.

Sono un vecchiaccio rancoroso (ma ho ragione)

Nel mio mondo perfetto c'è un signore che, destatosi una mattina da sogni inquieti, scende dal letto, inciampa, batte la testa, si procura un bernoccolo colossale e, come succede a Paperino nella storia Paperino Chimico Pazzo, diventa intelligentissimo e inventa una sostanza chimica stupefacente, la furbite.

Con questa sostanza innovativa il signore fabbrica una bomba speciale, capace di distruggere solo un certo tipo di edificio: le discoteche. Le persone no, le lascia intatte. Non tutte, però: quelle che sono dentro alle discoteche diventano furbe. Non ho ancora deciso cosa dovrebbe succedere ai PR delle discoteche, poi ci penso. In un mondo perfetto non esistono, naturalmente, quindi qualcosa deve succedere. Possibilmente di brutto e doloroso, poi vediamo.

Per proteggere la sua vera identità, il signore decide di diventare un supereroe, e si fa chiamare Lo Scorno dei Matusa. Avvolto nel suo mantello da supereroe sale sul palazzo più alto della città e, non appena percepisce la tipica vibrazione nella Forza che è segnale dell'apertura degli immondi locali, fa risuonare il suo barbarico grido di battaglia (i dj non sono musicisti!) e accende la miccia delle sua bomba.

Poi il bernoccolo sparisce, il signore ritorna normale, non ricorda più quello che ha fatto, la gente però lo cerca, lo trova, gli racconta tutto, lui ha un po' paura, chissà cosa gli faranno, e invece niente, viene applaudito, viene portato in trionfo, viene festeggiato, viene fatto papa, re, imperatore dell'universo, santo, allenatore della nazionale, generale dei carabinieri, ministro della pubblica istruzione. E anche dei beni culturali, via.

Poi viene a cercarmi e mi dice, senti un po', non è che avresti voglia di andare a spargere del sale sulla terra dove erano costruite le discoteche? Così, per stare nel sicuro. Guarda, mi fa, lì ci sono i camion coi rimorchi pieni di sale.

Io ci penso un po', ma mica tanto, perché a me i camion piacciono molto, e gli rispondo ok, per stare nel sicuro, meglio fare due giri.

Autore:

Nel lontano febbraio 2002 Piotr, imbucato invitato alla festa di compleanno di Douglas Hofstadter in quel di Bologna, si domandava come mai la prima parola del suo (di Hofstadter) libro più famoso fosse Author:, in italiano Autore:.

Nel lontano marzo 2002 il sottoscritto, leggendo il resoconto di Rudy, verificò sulla propria copia del suddetto libro che, effettivamente, la prima parola dopo indice, sommario, elenchi vari, fosse proprio Autore:. Era vero.

Oggi Doug Hofstadter ha tenuto, ancora una volta a Bologna, una conferenza dal titolo L'onnipresenza dell'analogia in matematica, e io sono stato ad ascoltarlo.

Ha parlato di come ragionano i matematici, di cosa trovano interessante e di cosa, invece, trovano noioso. Ha parlato della ricerca dei pattern, di come viene generalizzata una regolarità, di ricerche che lui ha compiuto quando aveva 17-19 anni, descrivendo quel periodo come “un'esperienza ricca e gioiosa”.

Ha spiegato la genesi della funzione INT(x), descritta nelle pagine di Gödel, Escher, Bach; ha raccontato dei suoi studi di matematica e di fisica. Ascoltarlo è stato un piacere.

Bene, alla fine della conferenza si è messo a disposizione del pubblico: c'era chi gli faceva qualche domanda, chi gli portava un libro da autografare. Mi sono messo in coda anche io, e quando sono stato là davanti gli ho chiesto se, mentre firmava, potevo fargli una domanda. Lui ha risposto “ma certo”, e io gli ho domandato: “come mai la prima parola del libro è proprio Autore:?”.

Adesso so.

Lo dico, dai.

Ha aperto il libro all'ultima pagina e mi ha detto, vedi, qua nel finale c'è l'Autore che parla, nel dialogo. E proprio alla fine la Tartaruga dice Riattacca Introduzione Come Esaurirai RICERCARE; Canone Ascendente Riprodurrai Eternamente. E quindi il libro non termina lì, ma ricomincia dall'inizio, dall'introduzione, con l'Autore che parla, e racconta di come ha intrecciato insieme i tre personaggi che fanno parte del titolo del libro.

Il libro, dunque, non finisce mai, ma richiama sempre sé stesso, creando un meraviglioso strano anello.

Intrecci

È dal, uhm, 1990, più o meno, che non vado a una gita viaggio di istruzione di più giorni con la scuola. Da quando quello studente, per consolare la compagna dell'altra classe, ha passato la notte nella sua camera a, appunto, consolarla. Poi è stato così signore da raccontarlo a tutti, il giorno dopo.

Domani si va in montagna, due giorni, a sciare, con poco meno di cinquanta studenti di tutte le classi. Gli altri stanno a scuola a fare autogestione assemblea di istituto. Staremo in un albergo vicino alle piste da sci, sugli Appennini, lontano dalla civiltà  Di notte ci saranno solo il freddo, la neve e i lupi: confido nel fatto che tutti saranno abbastanza stanchi da voler dormire almeno un pochino.

Nel prepararmi alla partenza mi viene in mente di quando, in prima media, andai in settimana bianca con la scuola. Settimana bianca non è un modo di dire: siamo stati via una settimana intera, con tutta la scuola, e tutti i professori. Ora, i miei ricordi si sono magari un pochino sbiaditi, la prima media l'ho fatta un po' di tempo fa, in effetti, però ricordo bene che la scuola venne chiusa, e che con noi c'erano tantissimi professori. C'era la prof di tedesco, che forse ha provato a farci un pochino di ripasso una sera, non la prima sera però, perché era domenica, c'era il Gran Premio di Formula 1, la prima gara della stagione, e c'erano delle auto di una marca nuova che facevano dei tempi incredibili, erano delle Ligier.

C'era il prof di musica, il maestro Pippo Casarini, che ogni tanto cito nei social network per anziani che frequento, perché è stato quello che ha scritto la musica della canzone Quarantaquattro Gatti, e una sera ce l'ha suonata e cantata, e poi ce ne ha fatta ascoltare un'altra, che aveva proposto allo Zecchino d'Oro, ma che non venne accettata. Si intitolava Il Pappagallo Balbuziente (o forse Il Pappagallo Giramondo, guarda cos'ho trovato), e raccontava appunto di un pappagallo che non parlava mica tanto bene, e nessuno capiva cosa dicesse, e poi alla fine si scopre che voleva dire “A sùn d'Mòdna”, cioè “sono di Modena”, in dialetto modenese. Quelli dello Zecchino d'Oro non l'hanno accettata perché c'era una frase in dialetto, e a loro non piaceva, vabbé.

Poi c'era la Viola. Per spiegare chi fosse la Viola, devo specificare che io, alle medie, andavo in una scuola che non aveva classi miste. C'erano le femmine, sì, ma stavano in altre classi, in posti lontani: altri corridoi o, addirittura, altri piani. La Viola era una famosa nella mia classe, non perché noi primini conoscessimo il concetto preciso di sesso opposto, ma perché ne parlavano i bocciati. I bocciati, in prima media, sono un gradino al di sotto di Dio, quindi son gente da ascoltare con le orecchie ben aperte. E ne parlavano perché, insomma, loro frequentavano con attenzione gli altri corridoi e gli altri piani, e compivano dettagliate analisi statistiche, e avevano notato che la Viola era una fanciulla notevolmente, come dire, sviluppata, ecco. E una volta che uno ti fa notare questo particolare, poi fai fatica a distogliere lo sguardo. O i pensieri.

E così, domani partiamo in cinquanta, ma allora eravamo ben di più, mi sa. E ancora mi chiedo come abbiano fatto i professori e il preside (o la preside? non ricordo proprio se fosse maschio o femmina, strano, perché la Viola me la ricordo bene, non era mica un maschio, no, decisamente no) a portarci tutti in montagna, a sciare, senza tanto controllo, sia di giorno che di notte, per una settimana intera. Noi stiamo via solo una notte, speriamo che non ci siano troppe fanciulle da consolare.

Facciamo così, il tasto “pubblica” lo clicco quando torno. Così, per scaramanzia.

(Ciao, Viola, chissà che fine hai fatto)

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Sono tornato. Siamo tornati tutti, anche se uno in eliambulanza. Ma sta abbastanza bene. Tutto sommato, è andata bene.

E proprio mentre pensavo “è andata bene, via, posso pubblicare”, mi è arrivata la notizia della morte della moglie di un collega. Uno di quegli eventi improvvisi e inaspettati che ti sconvolgono la vita, e ti fanno pensare. E l'unica idea che posso accettare è che tutta la roba che abbiamo intorno sia davvero un enorme spreco di spazio, se non servisse a niente. E senza tante prove ontologiche, dimostrazioni logiche, analisi teologiche, vorrei poter consolare il collega, l'amico, dicendogli: “la rivedrai”.

Avevo quasi deciso di cancellare tutto, poi ho pensato che ciò che ho scritto non è del tutto fuori luogo, nonostante tutto. Si tratta solo di un breve segmento della linea di universo della mia vita, che si intreccia con tante altre linee, crea relazioni, interagisce col mondo e lo costruisce. Siamo tutti sub-creatori, siamo tutti poco meno degli angeli, ci rivedremo tutti.

Internet, video, trigonometria e mappe

Ha preso un po' di video che mostrano la luce prodotta dalla meteora russa, ha studiato le ombre, ha calcolato l'inclinazione, ha riportato il tutto su google maps e ha calcolato la traiettoria del bolide. Poi ha reso pubblico il suo lavoro su Ogle Earth.

Con risorse alla portata di tutti, matematica compresa.

E bofonchiò: io sono l'Aritmetica

Così, per non dimenticare che una volta scrivevano capolavori come questo.

Connessioni

Una delle cose che piacciono di più ai matematici (oltre alle barzellette che fanno ridere solo loro) è riconoscere le connessioni tra argomenti che, apparentemente, non hanno nulla a che fare uno con l'altro.

Per esempio, sul numero di settembre di Rudi Mathematici c'era questo quesito:

quanto vale la somma degli angoli formati dal segmento blu e dal segmento rosso con il segmento nero (insomma, nero-blu + nero-rosso)?

Un primo metodo è quello di usare la goniometria (del resto, stiamo parlando di angoli): si tratta di calcolare arctg(1/3) + arctg(1/2). Se ci ricordiamo la formula della tangente della somma di due angoli, abbiamo che

tg(arctg(1/3) + arctg(1/2)) = (1/3+1/2)(1-1/6) = (5/6)/(5/6) = 1,

e se la tangente è 1 allora l'angolo è di 45 gradi. A me questa soluzione non piace tanto (sarà perché la formula della tangente della somma di due angoli devo sempre ricavarmela, dato che non me la ricordo mai…).

Io avevo inizialmente risolto il quesito in un altro modo, utilizzando la geometria:

Non c'è nemmeno bisogno di spiegare troppo: l'angolo viola fucsia più in basso è l'angolo della diagonale del rettangolo 3×1, l'angolo blu più in alto è quello della diagonale del rettangolo 2×1 (opportunamente ruotato e ingrandito, ma questo non è un problema: l'angolo è sempre quello). E dunque si vede bene (ma si può calcolare facilmente, la griglia è stata disegnata apposta) che la somma dei due angoli è uguale a 45 gradi.

Questa soluzione per me è molto più bella della precedente, almeno qui le cose si vedono. Anzi, il vederle mi ha fatto venire in mente che questo tipo di problemi può essere descritto in un'altro modo: utilizzando i numeri complessi.

Nati per tutto un'altro scopo (la risoluzione delle equazioni di terzo grado), dopo essere stati generalizzati nei quaternioni si è scoperto [in realtà qualcuno l'aveva scoperto anche prima, ma se scrivi in danese nessuno ti considera] che i numeri complessi erano legati anche alle rotazioni nel piano. Un numero complesso può essere espresso in forma cartesiana (spostati in orizzontale di tot e in verticale di tot) oppure in forma polare (ruota di un certo angolo e poi vai avanti di tot). Nella forma polare, la moltiplicazione di due numeri complessi diventa molto semplice: si devono moltiplicare le lunghezze e sommare gli angoli.

Ecco come funziona, allora, la soluzione del problema: prendo il numero complesso (3+i) (spostati a destra di tre e in su di uno — ma tre cosa? — tre unità di misura, aspetta che te la disegno; hai notato che 3 e 1 sono le misure del rettangolo di partenza, quello del testo del problema, vero?)

Adesso moltiplico questo numero per il numero (2+i) (sì, 2 e 1 sono le dimensioni dell'altro rettangolo, ho capito, ma come faccio a moltiplicare  — facile: ti sposti avanti di 2 e in su di 1 — ma due cosa? — sempre due unità di misura, ma attenzione: l'unità di misura attuale è il segmento blu, quindi devi raddoppiare quello)

E ora bisognerebbe andare in su di 1, ma bisogna fare attenzione: rispetto al vettore rosso su non significa andare in verticale. In realtà dobbiamo girare a sinistra di 90 gradi, e quello è il su attuale.

Ed ecco fatto, il risultato del prodotto dei due numeri complessi è il vettore che congiunge il punto di partenza con quello di arrivo

qui disegnato in viola con un tratto più spesso.

Il bello di tutto ciò è che il calcolo può essere fatto in un paio di passaggi:

(3+i)(2+i) = 6+3i+2i-1 = 5+5i,

e, infatti, 5+5i è proprio il vettore risultante, inclinato di 45 gradi (se vogliamo, il segmento avente per estremi il punto di coordinate (5,5) e l'origine forma, con il semiasse positivo delle x, un angolo di 45 gradi).

Naturalmente la moltiplicazione poteva essere svolta anche nell'altro senso, moltiplicando (2+i) per (3+i). Il risultato algebrico è naturalmente lo stesso, l'interpretazione geometrica invece è leggermente diversa. La riassumo in una sola figura:

Il vettore 2+i (in blu) viene moltiplicato per 3 e poi ruotato di 90 gradi, e il risultato è sempre quello di prima.

Morale della storia: la goniometria, la geometria analitica, i numeri complessi, il calcolo vettoriale sono modi diversi di descrivere la stessa cosa. E quando i matematici riescono a intravedere, al di sotto della descrizione particolare, ciò che c'è realmente, vanno in brodo di giuggiole.

Retrovie

Modena non è stata particolarmente colpita dai terremoti di questi giorni (qui è consentito anche ai più scettici mettere in atto qualunque tipo di gesto o attività apotropaica): abbiamo sentito le scosse, qualche edificio ha messo su un po' di crepe, nel centro storico è caduta una palla di marmo dal tetto di una chiesa che ha travolto le linee del filobus e ha lasciato un buco sul marciapiede, ma, alla fine, niente di irreparabile.

Non è andata così bene più a nord, nella cosiddetta bassa. Avete letto gli articoli, avete sentito i telegiornali, avete visto le foto: un disastro. La seconda scossa, quella di ieri, è stata brutta.

Io ero in classe, era appena suonata la campana, stavo per uscire, tutti erano in piedi, qualcuno voleva sapere come fare per rimediare ai suoi voti, qualcuno voleva uscire, qualcuno stava chiacchierando, tutti abbiamo sentito il pavimento saltellare. Ho in mente un fermo-immagine, tutti che mi guardano a bocca aperta, mentre cerchiamo di renderci conto di quello che succede, poi qualcuno si muove, sposta una sedia, ma non vuole essere il primo a mettere la testa sotto al banco perché a sedici anni se metti la testa sotto il banco fai brutta figura. E allora io urlo "tutti sotto i banchi!" e mentre mi fiondo sotto la cattedra vedo che tutti quanti si stanno mettendo al riparo, per quanto un banco possa essere considerato un riparo.

E là sotto, con una mano appoggiata sul pavimento, sento muovere tutto e sento i due studenti che stanno nei due banchi davanti alla cattedra che dicono "ma non finisce più!", e io dico "zitti!", "state zitti!", e non so bene perché lo dico, cosa c'è poi da ascoltare, e poi anche loro cominciano a dire "sshht, zitti!", forse vogliamo capire se la scuola starà in piedi, o forse vogliamo poter sentire se qualcuno chiama perché ha davvero bisogno, chissà.

Poi il tempo, che in quei momenti è dotato di vita propria e fa un po' quel che gli pare, finalmente passa e le scosse si fermano. Ci alziamo, si sentono le tre campane, e io dico "andate giù", e poi urlo "PIANO, NON CORRETE!", che mi ricordo ancora di quel terremoto di sedici anni fa, quando non esisteva un piano di evacuazione per la scuola, quando non si mettevano le teste sotto ai banchi, quando si correva fuori alla disperata, e c'era quella ragazza che era rimasta un po' indietro rispetto ai compagni, si era messa a correre nell'atrio vuoto, ed è caduta a terra. Non si è fatta nulla, ma il panico è una brutta bestia.

Io ho raccolto le mie cose e sono uscito, ho cercato gli studenti e ho fatto l'appello per vedere se c'erano tutti. Il punto di ritrovo era nel parco dell'istituto di riposo che si trova di fronte alla nostra scuola: lontano dagli edifici, sull'erba, all'ombra degli alberi, aveva un'atmosfera surreale. E la sensazione di essere in uno strano mondo mi ha accompagnato per tutto il giorno, e poi anche per la notte e il giorno dopo, cioè oggi. I telefoni non andavano, qualcuno è riuscito a fare qualche telefonata utilizzando una cabina telefonica (ne esistono ancora, sì), le auto non giravano. Quando mi ha telefonato mia moglie, da Carpi, sentivo un elicottero, delle sirene, lei che mi diceva che ci sarebbe voluto un po' per tornare a casa, visto che le strade erano intasate.

Una volta consegnati gli studenti ai loro parenti ho preso la bicicletta e me ne sono andato a casa. Ho attraversato due parchi, pieni zeppi di gente. Bambini che giocavano, biciclette, persone sedute sull'erba, carrozzine, passeggini, ragazzi più grandi che chiacchieravano. Era bellissimo, non avevo mai visto così tanta gente al parco, sembrava una giornata di festa. E mi ripetevo che non era vero, che c'era gente che aveva paura, che erano arrivate notizie di morti e di crolli, eppure non potevo fare a meno di pensare che sarebbe stato bello se tutte le giornate fossero state così, con la gente al parco che si chiede "come va?", che si dà una mano, che si aiuta.

I miei genitori si erano preoccupati di prelevare i nipoti da scuola, e li avevano raccolti tutti in cortile. Li ho visti giocare, li ho salutati, ho tirato fuori il telefono e mi sono attaccato a internet, per capire un po' cosa stesse succedendo.

Leggendo, trovavo notizie spaventose, e durante tutta la giornata ho cercato di informarmi, ho mandato email ad amici che abitano a Carpi e dintorni, ho guardato carte geografiche piene di puntini e stelline, ho letto la lista delle ultime scosse, e mi rendevo conto che a pochi chilometri di distanza c'era il disastro.

Nel pomeriggio vado a casa, arriva mia moglie, ce ne stiamo seduti su un paio di panchine, parliamo con altre persone che abitano nel nostro condominio. Che si fa stanotte? Qualcuno dormirà in macchina, qualcuno in casa sul divano, qualcuno non lo sa ancora. Mi telefona un amico e mi dice che se ne va con tutta la famiglia in montagna, tanto le scuole sono chiuse; lui poi tornerà a Modena il giorno dopo, vediamo come va la notte.

Già, la notte. Io ho lo sportello di un armadio che è un sismografo sensibilissimo, e quando sento quel rumore le pulsazioni mi vanno a mille (e mi succede da quando, sedici anni fa, ho scoperto mio malgrado questa caratteristica). Mia moglie mi propone di montare una tenda nel prato dietro casa, i figli sono ben felici, e allora via che si monta la tenda.

Prima di andare a dormire raccolgo un po' i pensieri, mi rivedo la studentessa quasi in lacrime che aveva paura di tornare in casa, lo studente sperduto che sarebbe dovuto tornare a casa con la corriera, ma le strade erano bloccate, i figli e i nipoti che in un lampo si infilano sotto la tavola mentre io sono ancora lì che mi chiedo "ma sarà un'altra scossa, o è solo un'impressione?" (era un'altra scossa), le ambulanze, gli elicotteri, la collega che abita nella zona dell'epicentro e non ha notizie, e mi sento un po' in colpa. Perché io posso dormire in tenda sotto casa, mentre qualcuno deve dormire in tenda perché la casa non ce l'ha più.

E allora, tra la paura che non passa, e il pensiero di essere ancora uno dei fortunati, mi pare di essere come il soldato che sta nelle retrovie. Un po' sollevato perché non è coinvolto direttamente, ma terrorizzato perché a trenta chilometri più a nord c'è la guerra.

Ho visto cose

Quest'anno ho vinto il pacchetto completo per i giochi matematici: ho accompagnato uno studente alle finali delle Olimpiadi della Matematica a Cesenatico, una squadra alle semifinali, sempre a Cesenatico, e uno studente (quello di cui sopra) per le finali Kangourou a Cervia-Mirabilandia.

Ho potuto quindi osservare da vicino e per molto tempo il mondo dei giochi matematici. E sono giunto a una conclusione: il mondo dei giochi matematici contiene la quintessenza della nerditudine.

Ho visto un ragazzo risolvere un cubo di Rubik dietro la schiena. Ne ho visto un altro far girare alcune palline in aria, alla maniera dei giocolieri, mentre attendeva l'inizio della gara.

Ne ho visto uno scendere le scale con un monociclo (era uno dei miei, tra l'altro, uno che come sport pratica il basket su monociclo, per dire).

Ho visto l'impegno e la serietà di una ragazza che, per conciliare tutte le sue attività, è venuta nel pomeriggio a Cesenatico, ha svolto la gara, e a mezzanotte se ne è tornata a casa (ciao, M.).

Ho visto studenti scrivere formule sui tovaglioli del ristorante (anche insegnanti (ero io, sì)), sfogliare libri contenenti quesiti matematici, chiedere di fare più allenamenti il prossimo anno scolastico, e persino promettere di parteciparvi.

Ho visto un insegnante manifestare il suo disappunto perché la partenza al venerdì mattina gli ha impedito di guardare l'episodio appena uscito di The Big Bang Theory (ero ancora io, ehm). E ho visto gli studenti dargli ragione.

Ho visto un gruppo di giovani universitari, che facevano parte dell'organizzazione, vestirsi come i personaggi di Dragonball per presentare ai concorrenti l'ambientazione delle gare di quest'anno (c'era pure Majin-Bu, col tentacolo sulla testa).

Ho visto ragazzi e ragazze fare matematica in maniera seria: ne ho visti cinque guadagnare il massimo punteggio perché avevano risolto perfettamente sei quesiti. Quesiti che io riuscirei a risolvere perfettamente in sei settimane (forse). Ho visto l'imbarazzo dell'organizzazione che, probabilmente, avrebbe voluto avere un solo vincitore, e invece ne ha avuti cinque e non è stata in grado di distinguerli. Bé, oltre all'imbarazzo c'era anche una certa felicità, bisogna dirlo.

Ho visto la delusione nei volti degli studenti che, tutti appiccicati alle vetrate sulle quali stavano appendendo le soluzioni, si dicevano uno con l'altro: "ma era così facile?".

Ma è stato quando ho visto alcuni ragazzi che si rilassavano in spiaggia, indecisi tra il parlare ancora di curve algebriche e il rivolgere l'attenzione a curve più naturali, che mi sono reso conto dell'esistenza di una costante universale, dalla quale non sfuggono nemmeno le menti più nerd di questo mondo.

È una specie di magia

Il divertimento nel costruire poliedri col Geomag non consiste soltanto nel soddisfare la fame della propria sindrome di Peter Pan (cosa che, comunque, dà una certa soddisfazione): c'è anche qualcosa di più. Il fatto è che tu sei lì, con mille magnetini in mano che ti scappano da tutte le parti, cerchi di fare stare insieme l'aggeggio che stai costruendo puntellando un po' qua, un po' là e, quando metti l'ultimo pezzo, tac, ecco la magia: ci sta! La figura si chiude perfettamente, ti accorgi che è giusta così, e a volte ti chiedi come sia possibile che tutto si combini.

Poi, magari, ti chiedi anche come hanno fatto a studiarli e a capire che mettendo insieme un po' di quadrati e di triangoli si sarebbe ottenuta una figura stabile e chiusa. E ti immagini che salti di gioia avrebbero fatto Euclide o Archimede con in mano una scatola di Geomag, o con l'accesso a un computer con un software di geometria dinamica.

Comunque sia, non ho abbastanza pezzi per costruire altri solidi archimedei (accidenti, non riesco a fare il pallone da calcio). Alcuni solidi hanno poi facce troppo grandi (ottagoni, o decagoni) che andrebbero sostenute con un interno rigido, che non esiste in commercio. E allora ho provato a costruire qualche poliedro ancora più strano.

Questo piccolino qui, ad esempio:



si chiama ebesfenomegacorona e, sì, l'ho scelto principalmente per il nome. Wikipedia riporta l'etimologia: hebes sta per ottuso, in latino, sphenós sta per cuneo, in greco, mégas sta per grande, sempre in greco, e corona è corona sia in latino che in italiano. Quindi potremmo chiamarlo anche grande corona ottusa cuneiforme. Tre quadrati e diciotto triangoli che magicamente stanno insieme.

Snumeratezza

Si stava parlando, in seconda, di pi greco (ogni tanto capita, si vede che è un numero che attira la curiosità, non so) e uno studente ha domandato: ma è vero che qualcuno ha calcolato sei miliardi di cifre di pi greco?

Io ho risposto che, sì, certamente qualcuno le avrà calcolate; e ora scopro che il record attuale è di oltre mille miliardi, ma non è questo il punto. Il punto è che lo studente poi, stupito, si è chiesto quanto tempo ci avrà messo, questo pazzo furioso, a calcolarsi sei miliardi di cifre di pi greco a mano.

Allora io gli ho fatto notare che il pazzo furioso ha certamente usato un computer, che è impossibile che se le sia calcolate a mano, e gli ho chiesto di provare a calcolare quanti quaderni gli ci sarebbero voluti per contenere sei miliardi di cifre, utilizzando una cifra per ogni quadretto. E lui mi ha guardato strano, come se gli avessi assegnato un compito impossibile.

E l'ho invitato a provarci, partendo dai quadretti contenuti in un foglio. Aiutandosi magari con un righello (i quadretti sono da 4 millimetri, di solito) si trova che in un foglio ce ne stanno circa 52×73, cioè 3796. Un quaderno standard ha 20 fogli piegati a metà, cioè 40 fogli, 80 facciate, per un totale di 303680 quadretti.

I numeri cominciano a diventare grossi, e non è semplice immaginarseli; ora si può calcolare il numero di quaderni necessari per contenere sei miliardi di cifre di pi greco: una semplice divisione ci dà il risultato di 19757, facciamo 20000.

Quanto spazio occuperanno ventimila quaderni? Quanti ce ne stanno in questa stanza? Quanto è grande questa stanza? Ma come facciamo a calcolarlo, dobbiamo prendere un metro?

Ho risposto che non serviva una misura precisa, che sarebbe bastato dare un'occhiata alle mattonelle sul pavimento, che sono quadrati di circa 20 centimetri di lato. Per farla breve, è risultato che l'aula può contenere più di 400000 quaderni. È impossibile, ha esclamato qualcuno. Abbiamo sbagliato i conti! E allora io l'ho invitato a fare una stima più semplice, quella del numero di mattonelle presenti sul pavimento. E lui ha risposto che, boh, saranno state cinquanta, forse cento. In realtà con una divisione si è scoperto che sono 900. Così tante? Impossibile!

Poi è saltato fuori anche un altro argomento, classico quasi quanto il pi greco: quante volte si può piegare un foglio di carta. Ho iniziato con un problema noto (a quelli pratici dell'ambiente, naturalmente): se si potesse piegare un foglio di carta quante volte quante si vuole, quante pieghe si dovrebbero fare per arrivare fino alla Luna? Gli studenti hanno stimato a occhio che sarebbero serviti milioni di pieghe, mentre tutti sanno che la risposta è un semplice 42. Effettivamente è una risposta che ha dell'incredibile, ma è giusta.

Sembra che il record per la piegatura di un foglio di carta sia, attualmente, pari a 12 volte (quello di 13 pieghe non è stato omologato perché il malloppo risultante non stava in piedi da solo, ma aveva bisogno della stabilizzazione fornita dal peso di qualche studente). Qualcuno mi ha chiesto perché non si riesce a fare di più, in fondo basta avere a disposizione un foglio molto grande. L'ho invitato a fare il calcolo, prendendo ad esempio un foglio di carta grande quanto un campo da calcio (in ogni classe c'è sempre qualche studente che conosce le misure di un campo da calcio al millimetro).

Le misure di un campo da calcio sono variabili, per un'area che va dai 6400 agli 8250 metri quadrati: facciamo 8000. Dopo la prima piega diventano 4000, poi 2000, poi 1000, 500, 250, 125 (facciamo 128), 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. E siamo arrivati alla misura di un foglio A0. Dividiamo ancora una volta e otteniamo un A1, poi un A2, un A3 e infine un A4. Totale: 17 pieghe, che corrispondono a uno spessore di 2¹⁷ pagine, cioè 131072. Piegando un foglio delle dimensioni di un campo da calcio si ottiene un libro di più di 130 mila pagine. Vedete, ho detto prendendo in mano un foglio A4, su un campo da calcio ci stanno centotrentamila fogli fatti così. E qualcuno, nonostante l'evidenza matematica, ha detto che era impossibile.

Ecco, tutto questo per dire che noi ci preoccupiamo di spiegare argomenti complicati come le disequazioni, i radicali o la geometria euclidea, usiamo l'algebra per astrarre sempre più, tendiamo a non eseguire più operazioni ma ci accontentiamo di indicarle, mentre chi ci sta davanti ha pochissima praticità già con i semplici numeri, quando sono un po' grandi (dove grande significa superiore a 20, di solito (le dita delle mani più quelle dei piedi, sì)).

E anche io, che ho scritto queste cose, ho un po' paura a schiacciare il bottone pubblica, perché potrei avere fatto qualche errore di calcolo. Sai che figura, dopo.