martedì 3 aprile 2012

Snumeratezza

Si stava parlando, in seconda, di pi greco (ogni tanto capita, si vede che è un numero che attira la curiosità, non so) e uno studente ha domandato: ma è vero che qualcuno ha calcolato sei miliardi di cifre di pi greco?

Io ho risposto che, sì, certamente qualcuno le avrà calcolate; e ora scopro che il record attuale è di oltre mille miliardi, ma non è questo il punto. Il punto è che lo studente poi, stupito, si è chiesto quanto tempo ci avrà messo, questo pazzo furioso, a calcolarsi sei miliardi di cifre di pi greco a mano.

Allora io gli ho fatto notare che il pazzo furioso ha certamente usato un computer, che è impossibile che se le sia calcolate a mano, e gli ho chiesto di provare a calcolare quanti quaderni gli ci sarebbero voluti per contenere sei miliardi di cifre, utilizzando una cifra per ogni quadretto. E lui mi ha guardato strano, come se gli avessi assegnato un compito impossibile.

E l'ho invitato a provarci, partendo dai quadretti contenuti in un foglio. Aiutandosi magari con un righello (i quadretti sono da 4 millimetri, di solito) si trova che in un foglio ce ne stanno circa 52×73, cioè 3796. Un quaderno standard ha 20 fogli piegati a metà, cioè 40 fogli, 80 facciate, per un totale di 303680 quadretti.

I numeri cominciano a diventare grossi, e non è semplice immaginarseli; ora si può calcolare il numero di quaderni necessari per contenere sei miliardi di cifre di pi greco: una semplice divisione ci dà il risultato di 19757, facciamo 20000.

Quanto spazio occuperanno ventimila quaderni? Quanti ce ne stanno in questa stanza? Quanto è grande questa stanza? Ma come facciamo a calcolarlo, dobbiamo prendere un metro?

Ho risposto che non serviva una misura precisa, che sarebbe bastato dare un'occhiata alle mattonelle sul pavimento, che sono quadrati di circa 20 centimetri di lato. Per farla breve, è risultato che l'aula può contenere più di 400000 quaderni. È impossibile, ha esclamato qualcuno. Abbiamo sbagliato i conti! E allora io l'ho invitato a fare una stima più semplice, quella del numero di mattonelle presenti sul pavimento. E lui ha risposto che, boh, saranno state cinquanta, forse cento. In realtà con una divisione si è scoperto che sono 900. Così tante? Impossibile!

Poi è saltato fuori anche un altro argomento, classico quasi quanto il pi greco: quante volte si può piegare un foglio di carta. Ho iniziato con un problema noto (a quelli pratici dell'ambiente, naturalmente): se si potesse piegare un foglio di carta quante volte quante si vuole, quante pieghe si dovrebbero fare per arrivare fino alla Luna? Gli studenti hanno stimato a occhio che sarebbero serviti milioni di pieghe, mentre tutti sanno che la risposta è un semplice 42. Effettivamente è una risposta che ha dell'incredibile, ma è giusta.

Sembra che il record per la piegatura di un foglio di carta sia, attualmente, pari a 12 volte (quello di 13 pieghe non è stato omologato perché il malloppo risultante non stava in piedi da solo, ma aveva bisogno della stabilizzazione fornita dal peso di qualche studente). Qualcuno mi ha chiesto perché non si riesce a fare di più, in fondo basta avere a disposizione un foglio molto grande. L'ho invitato a fare il calcolo, prendendo ad esempio un foglio di carta grande quanto un campo da calcio (in ogni classe c'è sempre qualche studente che conosce le misure di un campo da calcio al millimetro).

Le misure di un campo da calcio sono variabili, per un'area che va dai 6400 agli 8250 metri quadrati: facciamo 8000. Dopo la prima piega diventano 4000, poi 2000, poi 1000, 500, 250, 125 (facciamo 128), 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. E siamo arrivati alla misura di un foglio A0. Dividiamo ancora una volta e otteniamo un A1, poi un A2, un A3 e infine un A4. Totale: 17 pieghe, che corrispondono a uno spessore di 217 pagine, cioè 131072. Piegando un foglio delle dimensioni di un campo da calcio si ottiene un libro di più di 130 mila pagine. Vedete, ho detto prendendo in mano un foglio A4, su un campo da calcio ci stanno centotrentamila fogli fatti così. E qualcuno, nonostante l'evidenza matematica, ha detto che era impossibile.

Ecco, tutto questo per dire che noi ci preoccupiamo di spiegare argomenti complicati come le disequazioni, i radicali o la geometria euclidea, usiamo l'algebra per astrarre sempre più, tendiamo a non eseguire più operazioni ma ci accontentiamo di indicarle, mentre chi ci sta davanti ha pochissima praticità già con i semplici numeri, quando sono un po' grandi (dove grande significa superiore a 20, di solito (le dita delle mani più quelle dei piedi, sì)).

E anche io, che ho scritto queste cose, ho un po' paura a schiacciare il bottone pubblica, perché potrei avere fatto qualche errore di calcolo. Sai che figura, dopo.

14 commenti:

Sekhemty ha detto...

Curiosità veramente interessanti, che fra l'altro immagino abbiano avuto il pregio di stimolare l'attenzione dei ragazzi.

Non conoscevo il problema delle pieghe per arrivare alla Luna, ma il risultato non mi meraviglia: dopo tutto 42 è la risposta alla domanda fondamentale sulla vita, l'universo e tutto quanto ;)

zar ha detto...

Infatti quella è l'unica risposta di cui sono certo :-)

giovanna ha detto...

Ecco, domani invito i miei... a piegare! :-)
Domani: via rete

g

drugia ha detto...

'mau' lo conoscerà di certo ... c'è stato, su Scientific American, un ottimo articolo di Douglas Hofstadter, poi diventato un capitolo del libro Metamagical Themas, che parla proprio dell'insensibilità numerica.

http://www.amazon.it/Metamagical-Themas-Questing-Essence-Pattern/dp/0465045669/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1333551033&sr=8-1

Ivo Silvestro ha detto...

Da notare che molti dei problemi riguardano incrementi non lineari.
La superficie di un quadrato non cresce linearmente rispetto al lato, l'altezza di un foglio piegato non cresce linearmente rispetto al numero di pieghe eccetera.

Ricordo che al liceo avevamo alcune ore di matematica applicata, che penso servissero anche a questo, a prendere confidenza con i numeri...

zar ha detto...

Già, un altro errore che fanno spesso è considerare qualunque tipo di dipendenza come se fosse una proporzione.

Juhan ha detto...

Leggo in ritardo per guai con il computer. Però! Ma, 42 a parte, sono in tanti a dire "io la matematica non la capisco" e sentirsi esonerati da tutto. Drugia (bel nick!) lo sapevo anch'io.

Fra ha detto...

Salve a tutti,
sono arrivato qua dal blog dei Rudi Mathematici sulle Scienze. Volevo proporre un altro conticino interessante che per esperienza so che stupisce sempre: chieda al suo studente di calcolare quanto ci metterebbe il suddetto pazzo furioso a scrivere nei suoi 20 mila quaderni quei 6 miliardi di cifre se ne scrivesse, per esempio, 3 al secondo. Lo studente dovrebbe ricredersi sul matematico, che sarà sì pazzo ma di certo non furioso, perché per dedicare 70 anni consecutivi alla scrittura di pi ci vuole molta pazienza!

Giuseppe Perelli ha detto...

A proposito di snumeratezza, ricordo una favolosa lezione del prof. di Probabilità e Statistica all'università. Eravamo un classe di studenti al terzo anno di matematica e nonostante ciò inizialmente non ci rendemmo conto della grandezza del numero con cui avevamo a che fare, per la cronaca erano 2^100 configurazioni diverse di un certo sistema. Fu solo quando il prof. ci chiese di stabilire quanti secondi ci avrebbe messo un computer ad analizzarle tutte se avesse lavorato a 10.000.000.000 di combinazioni al secondo ...
Ecco, forse ci si accorge meglio di certe grandezze quando ci si pone il problema di computarle.
Non so, è un'idea.

prof-di-mate ha detto...

Molto simpatico!
Mi capita di far fare dei calcoli simili per il famoso problema dei chicchi di riso (o grano) sulle caselle degli scacchi: quanti sono, a quante tonnellate corrispondono, a quanti anni della produzione mondiale, quanto ci vorrebbe per contarli, quanto spazio per immagazzinarli, quante navi per trasportarli...

zar ha detto...

Quanti chicchi per centimetro quadrato della superficie terrestre, anche...

Alberto Costantini ha detto...
Questo commento è stato eliminato da un amministratore del blog.
IgorB ha detto...
Questo commento è stato eliminato dall'autore.
IgorB ha detto...
Questo commento è stato eliminato dall'autore.