«Ma tu guarda che roba».
«Che succede?».
«Quei pazzi furiosi dei Rudi Mathematici ospiteranno la prossima edizione del Carnevale della Matematica, e hanno scelto come tema la matematica del carnevale».
«Ah, son problemi grossi».
«Ma sì, hanno scelto un tema stranissimo, ma di cosa si potrà mai parlare?».
«Ah, guarda, non saprei proprio. Del resto…».
«Cosa?».
«Bisogna essere strani forte anche solo per concepire l'idea di un carnevale della matematica, eh?».
«Mh».
«Che poi, carnevale, cosa mi significa? Gente che va in giro mascherata da pigreco? Che lancia stelle filanti solo dopo aver calcolato l'equazione della traiettoria?».
«Mascherata da pigreco? Sai che mi hai dato un'idea niente male?».
«Per l'amor del cielo!».
«O anche da parabola, perché no?».
«Non c'è limite alla…».
«Fantastico! Una maschera da limite!».
«No, ma dai… E poi, mi pare di capire che questo cosiddetto carnevale sia un'idea degli americani, vero?».
«Credo di sì, sì, se non sono americani sono comunque di lingua inglese».
«In inglese carnival vuole anche dire fiera, luna park, roba del genere, no?».
«Sì».
«Quindi, se non si parla di improponibili maschere di carnevale, forse si parla di giostre matematiche? La ruota panoramica e il moto circolare uniforme?».
«Direi di no».
«La relatività nelle montagne russe? Specchi deformanti e loro equazioni? Labirinti e sistemi esperti? La forza di Coriolis nel calcinculo? Zucchero filato e teoria del caos? Coni gelato e coni matematici, analogie e differenze?».
«No, no».
«Seni e tangenti nel tunnel dell'amore? No, questa è un po' scabrosetta, un Vero Matematico non la capirebbe».
«…».
«Ecco, appunto».
«Non mi sei mica tanto d'aiuto, però».
«Ma come, ti ho suggerito un sacco di meravigliosi temi».
«Vabbè, ho capito che devo arrangiarmi. Fra l'altro, il clima del carnevale non mi piace nemmeno tanto, tutte queste feste, queste maschere, mah».
«Ossignore, un nerd triste. Ma quando eri giovane, non festeggiavi il carnevale?».
«Poco, se strettamente necessario per mantenere relazioni sociali a un livello accettabile».
«Bah. Insomma, il carnevale è poi un festeggiamento prima del triste periodo della quaresima».
«Ah!».
«Cosa?».
«Forse ho avuto un'idea».
lunedì 30 gennaio 2012
giovedì 26 gennaio 2012
sabato 21 gennaio 2012
Carnevale dei libri di scienza #4 — Fanta-scienza
Benvenuti al quarto Carnevale dei libri di scienza, dedicato al nobile miscuglio tra fantasia e scienza che spesso viene considerato (a torto, ehm) letteratura minore.
Veniamo subito ai contributi di questo mese.
Roberto Natalini, dal blog Dueallamenouno, ci racconta del romanzo di Don DeLillo intitolato La Stella di Ratner, Einaudi 2011, tradotto in italiano da Matteo Colombo.
Dice l'autore: “Volevo avere un punto di vista nuovo sul mondo. Volevo immergermi in qualche cosa che fosse il più lontano possibile dai miei interessi e dal mio lavoro. E rimasi affascinato e finii per scrivere un romanzo e poi un lavoro teatrale sui matematici”. Conclude Roberto, nella sua presentazione: il romanzo è una riflessione sul linguaggio e la comunicazione, sul potere della scienza e i suoi limiti, su cosa sia veramente la scienza, ed è tutto costruito infatti intorno alla matematica e ai matematici, che sono visti come una setta segreta che attraversa la storia ed è capace di parlare un linguaggio potente e misterioso. Alcune frasi assumono addirittura un significato diverso se lette come flusso di coscienza di Billy (il protagonista) o invece come metafore matematiche.
Maurizio Codogno, dalle Notiziole di .mau., ci parla del romanzo di Mark Alpert intitolato Il teorema dell'Apocalisse, Nord 2011, tradotto da Roberta Zuppet.
Ecco il suo commento: la differenza tra scienza e fantascienza, soprattutto nelle opere di narrativa, è molto sottile. Non solo gli autori che scrivono la cosiddetta Hard SF si basano su ipotesi scientifiche plausibili anche se portate agli estremi, ma ci sono tecnologie così indistinguibili dalla magia, come avrebbe detto Arthur Clarke, che sono perfette per un'opera. I computer quantistici sono sicuramente uno di questi temi, e nel libro Il teorema dell'Apocalisse essi svolgono un ruolo fondamentale… ed è vero che un computer con 1024 qubit craccherebbe tutti i codici crittografici attuali, se mai lo si potesse costruire.
Ma qual è la storia dietro questo computer? Bé, per conoscerla basta leggere il libro…
Zavorka, da knedliky, ci parla di ben tre libri. Il primo, di Fred Hoyle, si intitola La nuvola nera e parla di segreti, complotti, intelligenza non umana, e dell'abilità di assimilare informazioni binarie sotto forma di segnale elettrico.
Il secondo è nientemeno che la saga di Dune, di Frank P. Herbert. Dune è intrigo, intreccio, congiure, navi spaziali, guerra, colonizzare e rendere vivibile un pianeta arido, recuperarlo, farlo tornare verde per condensazione del vapore acqueo e dell'umidità, sogni premonitori e preveggenza, sciamanesimo e matriarcato…
Il terzo romanzo è Mattatoio n. 5, di Kurt Vonnegut. In cui si parla di viaggi nel tempo, ma anche della tragedia della guerra.
Cristina Sperlari, da Il piccolo Friedrich, ci parla di Seconda stella a destra, di A. Bernagozzi e D. Cenadelli, edito da Sironi. Si tratta di un libro di fanta-astronomia. Una vera e propria guida turistica al Sistema Solare edita nel futuro: precisamente nell'anno astrale 12009, tempo nel quale vivere sulla Terra è un'abitudine decisamente out. L'uomo (e, chissà, forse non solo lui!) ha colonizzato gran parte della galassia, ma ha ancora una certa nostalgia del suo luogo di origine: il sistema solare.
Marco Fulvio Barozzi, dal suo Popinga, ci propone Vuoto Assoluto, di Stanislaw Lem. “Joachim Fergenseld è tedesco, ma ha scritto la sua Pericalypse in olandese (idioma che quasi non conosce, come egli stesso ammette nell’introduzione) e l’ha pubblicata in Francia, paese famoso per le sue catastrofiche bozze di stampa. Neppure chi redige questa nota conosce l’olandese, ma in base al titolo del libro, all’introduzione in inglese e ai molti vocaboli comprensibili del testo s’è persuaso di potersene proporre come recensore”.
Tania, da Science for Passion, parla di due libri di fantascienza che hanno come denominatore comune il tempo: Il figlio del tempo, di Isaac Asimov e Robert Silverberg, e Il curioso caso di Benjamin Button, di Francis Scott Fitzgerald.
Paolo Alessandrini, su Mr. Palomar, parla di Ti con zero, di Italo Calvino. Libro che definire fantascienza sarebbe riduttivo, ma che è anche fantascienza (anzi, è appunto fanta-scienza, nel senso che è anche fantastico, scienza, e molto altro).
La serie televisiva Sherlock, il cui favoloso finale di stagione è andato in onda pochi giorni fa, ha riportato in auge la figura dell'unico consulente investigativo esistente al mondo. Daniele Gouthier, dalle pagine di Scienza Express, ci ricorda che Sir Arthur Conan Doyle non ha scritto solo di Sherlock Holmes: il suo romanzo La nube avvelenata, pubblicato nel 1913, sembra raccontarci le nostre città, invase da smog e polveri sottili.
E concludo con la segnalazione di un libro ormai introvabile (se non nelle biblioteche): Cryptonomicon, di Neal Stephenson. Volendo classificarlo, potremmo dire che è un techno-thriller. Fatto di varie storie, una delle quali si svolge ai giorni nostri, le altre ai tempi della seconda guerra mondiale, storie che si intrecciano sempre di più fino alla fine, il romanzo racconta (fra le altre cose…) di ciò che ha permesso di vincere - e di perdere - la guerra: lo spionaggio, la crittografia, la simulazione.
Man mano che i governi declassificano i loro segreti, si vengono a conoscere sempre più informazioni sulla guerra, e si capisce l'importanza che hanno avuto le comunicazioni in codice (Rommel vinceva perché intercettava le trasmissioni, Pearl Harbor era stato "cercato" dagli americani, e cose così).
In questo libro (che ha delle notevoli parti comiche) si parla quindi di crittografia, del progetto Ultra, della macchina Enigma, dei codici giapponesi, degli indiani Navajos, di matematica, di numeri primi, del primo computer, degli hacker, di Internet, di phreacking, di Dungeons and Dragons (!), di Magic, di Tolkien, di nani, maghi, elfi, Gollum, di Turing, della funzione zeta di Eulero, di associazioni segrete. C'è di tutto. Un libro apprezzato anche dai nerd…
Bene, il carnevale finisce qui. Arrivederci al prossimo, tra un mese, presso Pitagora e dintorni. Il cui tema sarà Scienza e arte.
Veniamo subito ai contributi di questo mese.
Roberto Natalini, dal blog Dueallamenouno, ci racconta del romanzo di Don DeLillo intitolato La Stella di Ratner, Einaudi 2011, tradotto in italiano da Matteo Colombo.
Dice l'autore: “Volevo avere un punto di vista nuovo sul mondo. Volevo immergermi in qualche cosa che fosse il più lontano possibile dai miei interessi e dal mio lavoro. E rimasi affascinato e finii per scrivere un romanzo e poi un lavoro teatrale sui matematici”. Conclude Roberto, nella sua presentazione: il romanzo è una riflessione sul linguaggio e la comunicazione, sul potere della scienza e i suoi limiti, su cosa sia veramente la scienza, ed è tutto costruito infatti intorno alla matematica e ai matematici, che sono visti come una setta segreta che attraversa la storia ed è capace di parlare un linguaggio potente e misterioso. Alcune frasi assumono addirittura un significato diverso se lette come flusso di coscienza di Billy (il protagonista) o invece come metafore matematiche.
Maurizio Codogno, dalle Notiziole di .mau., ci parla del romanzo di Mark Alpert intitolato Il teorema dell'Apocalisse, Nord 2011, tradotto da Roberta Zuppet.
Ecco il suo commento: la differenza tra scienza e fantascienza, soprattutto nelle opere di narrativa, è molto sottile. Non solo gli autori che scrivono la cosiddetta Hard SF si basano su ipotesi scientifiche plausibili anche se portate agli estremi, ma ci sono tecnologie così indistinguibili dalla magia, come avrebbe detto Arthur Clarke, che sono perfette per un'opera. I computer quantistici sono sicuramente uno di questi temi, e nel libro Il teorema dell'Apocalisse essi svolgono un ruolo fondamentale… ed è vero che un computer con 1024 qubit craccherebbe tutti i codici crittografici attuali, se mai lo si potesse costruire.
Ma qual è la storia dietro questo computer? Bé, per conoscerla basta leggere il libro…
Zavorka, da knedliky, ci parla di ben tre libri. Il primo, di Fred Hoyle, si intitola La nuvola nera e parla di segreti, complotti, intelligenza non umana, e dell'abilità di assimilare informazioni binarie sotto forma di segnale elettrico.
Il secondo è nientemeno che la saga di Dune, di Frank P. Herbert. Dune è intrigo, intreccio, congiure, navi spaziali, guerra, colonizzare e rendere vivibile un pianeta arido, recuperarlo, farlo tornare verde per condensazione del vapore acqueo e dell'umidità, sogni premonitori e preveggenza, sciamanesimo e matriarcato…
Il terzo romanzo è Mattatoio n. 5, di Kurt Vonnegut. In cui si parla di viaggi nel tempo, ma anche della tragedia della guerra.
Cristina Sperlari, da Il piccolo Friedrich, ci parla di Seconda stella a destra, di A. Bernagozzi e D. Cenadelli, edito da Sironi. Si tratta di un libro di fanta-astronomia. Una vera e propria guida turistica al Sistema Solare edita nel futuro: precisamente nell'anno astrale 12009, tempo nel quale vivere sulla Terra è un'abitudine decisamente out. L'uomo (e, chissà, forse non solo lui!) ha colonizzato gran parte della galassia, ma ha ancora una certa nostalgia del suo luogo di origine: il sistema solare.
Marco Fulvio Barozzi, dal suo Popinga, ci propone Vuoto Assoluto, di Stanislaw Lem. “Joachim Fergenseld è tedesco, ma ha scritto la sua Pericalypse in olandese (idioma che quasi non conosce, come egli stesso ammette nell’introduzione) e l’ha pubblicata in Francia, paese famoso per le sue catastrofiche bozze di stampa. Neppure chi redige questa nota conosce l’olandese, ma in base al titolo del libro, all’introduzione in inglese e ai molti vocaboli comprensibili del testo s’è persuaso di potersene proporre come recensore”.
Tania, da Science for Passion, parla di due libri di fantascienza che hanno come denominatore comune il tempo: Il figlio del tempo, di Isaac Asimov e Robert Silverberg, e Il curioso caso di Benjamin Button, di Francis Scott Fitzgerald.
Paolo Alessandrini, su Mr. Palomar, parla di Ti con zero, di Italo Calvino. Libro che definire fantascienza sarebbe riduttivo, ma che è anche fantascienza (anzi, è appunto fanta-scienza, nel senso che è anche fantastico, scienza, e molto altro).
La serie televisiva Sherlock, il cui favoloso finale di stagione è andato in onda pochi giorni fa, ha riportato in auge la figura dell'unico consulente investigativo esistente al mondo. Daniele Gouthier, dalle pagine di Scienza Express, ci ricorda che Sir Arthur Conan Doyle non ha scritto solo di Sherlock Holmes: il suo romanzo La nube avvelenata, pubblicato nel 1913, sembra raccontarci le nostre città, invase da smog e polveri sottili.
E concludo con la segnalazione di un libro ormai introvabile (se non nelle biblioteche): Cryptonomicon, di Neal Stephenson. Volendo classificarlo, potremmo dire che è un techno-thriller. Fatto di varie storie, una delle quali si svolge ai giorni nostri, le altre ai tempi della seconda guerra mondiale, storie che si intrecciano sempre di più fino alla fine, il romanzo racconta (fra le altre cose…) di ciò che ha permesso di vincere - e di perdere - la guerra: lo spionaggio, la crittografia, la simulazione.
Man mano che i governi declassificano i loro segreti, si vengono a conoscere sempre più informazioni sulla guerra, e si capisce l'importanza che hanno avuto le comunicazioni in codice (Rommel vinceva perché intercettava le trasmissioni, Pearl Harbor era stato "cercato" dagli americani, e cose così).
In questo libro (che ha delle notevoli parti comiche) si parla quindi di crittografia, del progetto Ultra, della macchina Enigma, dei codici giapponesi, degli indiani Navajos, di matematica, di numeri primi, del primo computer, degli hacker, di Internet, di phreacking, di Dungeons and Dragons (!), di Magic, di Tolkien, di nani, maghi, elfi, Gollum, di Turing, della funzione zeta di Eulero, di associazioni segrete. C'è di tutto. Un libro apprezzato anche dai nerd…
Bene, il carnevale finisce qui. Arrivederci al prossimo, tra un mese, presso Pitagora e dintorni. Il cui tema sarà Scienza e arte.
giovedì 19 gennaio 2012
È un duro lavoro
Dopo lunghe ore trascorse a documentarmi, ecco il risultato (proposto in una verifica, oggi):
Nell'anno 737, sul pianeta Vegeta, nasce Kakarot, conosciuto sulla Terra col nome di Goku. In questo esercizio non analizzeremo tutta la saga di Dragon Ball, ma ci concentreremo soltanto sul livello di combattimento del protagonista principale, cioè, appunto, Goku.
Al momento della nascita, il livello di combattimento del giovane Goku era uguale a 2. In seguito, grazie ad allenamenti costanti, è sempre aumentato.
Nell'anno 750, in occasione della vicenda di Pilaf, arriva a 100. Nel 753 (22° torneo Tenkaichi), è 180. Nel 756 (23° torneo) è 910, nel 761 (battaglia contro Radish) è 924, nel 762 (battaglia contro Vegeta e Nappa) è 32000, nel 763 (Super Sayan) arriva a 150 milioni, nel 767 (24° torneo) è 3 miliardi, nel 774 (Super Sayan 3) arriva a 24 miliardi.
1. Come rappresenteresti questi dati in un grafico comprensibile? (Fallo)
2. Supponendo che la crescita del livello di combattimento sia esponenziale, utilizza i primi due dati (anno 737, livello 2; anno 750, livello 100) per ricavare la funzione esponenziale f(x) che fornisce il livello in funzione dell'anno x, e calcola quale dovrebbe essere il livello nell'anno 774.
Nell'anno 737, sul pianeta Vegeta, nasce Kakarot, conosciuto sulla Terra col nome di Goku. In questo esercizio non analizzeremo tutta la saga di Dragon Ball, ma ci concentreremo soltanto sul livello di combattimento del protagonista principale, cioè, appunto, Goku.
Al momento della nascita, il livello di combattimento del giovane Goku era uguale a 2. In seguito, grazie ad allenamenti costanti, è sempre aumentato.
Nell'anno 750, in occasione della vicenda di Pilaf, arriva a 100. Nel 753 (22° torneo Tenkaichi), è 180. Nel 756 (23° torneo) è 910, nel 761 (battaglia contro Radish) è 924, nel 762 (battaglia contro Vegeta e Nappa) è 32000, nel 763 (Super Sayan) arriva a 150 milioni, nel 767 (24° torneo) è 3 miliardi, nel 774 (Super Sayan 3) arriva a 24 miliardi.
1. Come rappresenteresti questi dati in un grafico comprensibile? (Fallo)
2. Supponendo che la crescita del livello di combattimento sia esponenziale, utilizza i primi due dati (anno 737, livello 2; anno 750, livello 100) per ricavare la funzione esponenziale f(x) che fornisce il livello in funzione dell'anno x, e calcola quale dovrebbe essere il livello nell'anno 774.
venerdì 30 dicembre 2011
Crivelli — 4: Atkin
«L'idea che sta sotto al crivello di Atkin, che sarebbe il crivello che migliora quello di Eratostene, è questa: invece di utilizzare la forma quadratica xy, se ne utilizzano delle altre per le quali i calcoli sono più rapidi».
«Quali?».
«Atkin e Bernstein, i due che hanno pubblicato il loro studio sul nuovo crivello, ne hanno proposte tre, anche se dicono che se ne potrebbero usare delle altre».
«Addirittura tre».
«Eh, sì. Allora, le cose stanno così: tutto è riferito al modulo 60, i numeri vengono divisi in categorie in base al resto della divisione con 60».
«Quindi abbiamo 60 categorie».
«Ora le riduciamo un po', però. Dobbiamo arrivare a tre».
«Bene».
«Prima di tutto, tutti i resti pari li mettiamo nella stessa categoria».
«Perché?».
«Indichiamo con 2N il resto della divisione con 60: posso scrivere 2N perché immagino che sia pari. Allora questi numeri possono essere scritti come 60h+2N, e vedi subito che sono divisibili per 2. Quindi non sono primi (a parte 2, naturalmente)».
«Ah, giusto. Ma allora nella stessa categoria ci possiamo mettere anche quei numeri che hanno resto 3 e 5, per lo stesso motivo».
«Infatti, è così. E questa categoria non ci interessa: non contiene numeri primi, e quindi non la consideriamo più. Rimangono allora questi resti, coi quali costruiremo tre categorie interessanti:».
1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59.
«E cosa ci facciamo?».
«Raggruppiamo anche questi: come ti dicevo, in tre classi diverse».
«Come sono fatte?».
«Eh, qui cominciano le cose strane. Per poter usare tre teoremi che ti racconterò dopo, le classi sono fatte così: nella prima ci vanno tutti i numeri uguali a 1 modulo 4».
«Vediamo, dovrebbero essere questi: 1, 13, 17, 29, 37, 41, 49, 53».
«Esatto. Nella seconda classe ci vanno i numeri uguali a 7 modulo 12».
«Mh, sono 7, 19, 31, 43».
«Proprio loro. Nella terza e ultima classe ci vanno i numeri uguali a 11 modulo 12».
«Sono i rimanenti: 11, 23, 47, 59».
«Bene. Ora, prima di enunciarti il primo teorema ti faccio una figura. Prendiamo un numero della prima classe, per esempio 13. Eccoti il grafico di 4x2 + y2 = 13».
«Vedo che hai evidenziato un punto».
«Sì, in realtà ce ne sono quattro, simmetrici. Uno solo è quello con coordinate intere positive. Ora, prima di trarre delle conclusioni, eccoti un altro numero, sempre uguale a 1 modulo 4: 65».
«Perché così grande?».
«Prima il grafico, poi ti spiego:».
«Uh, due punti».
«Sì, il teorema dice che se p è primo e non contiene fattori primi elevati al quadrato (lo so che è una condizione inutile, ma ci servirà dopo per costruire l'algoritmo) allora il numero di punti a coordinate intere positive che stanno sull'ellisse è dispari, e viceversa».
«Ah. E perché hai scelto proprio 65?».
«Perché coi valori minori di 65 gli unici esempi che riuscivo a farti erano di ellissi con zero punti a coordinate intere positive. Zero non è dispari, quindi il teorema funziona, ma c'era poco da disegnare».
«Va bene. Quindi l'algoritmo si deve occupare di contare i punti che stanno su quell'ellisse?».
«Esatto. Poi, dopo che lo ha fatto, deve togliere i valori che contengono fattori primi elevati al quadrato».
«Va bene. Questo però è quello che succede con la prima classe di numeri. Ce ne sono altre due, no?».
«Certo. Per la seconda, quella composta da numeri uguali a 7 modulo 12, vale lo stesso tipo di teorema, ma cambia la curva. Questa volta l'equazione da utilizzare è 3x2 + y2 = p».
«Mh, facciamo una prova».
«Eccoti la curva con p=7».
«Un solo punto. Vediamo che succede con un numero non primo?».
«Certo. Eccoti p=91».
«Due punti. Anche qui hai dovuto scegliere 91 perché coi numeri più piccoli non avresti trovato punti?».
«Esatto».
«Rimane la terza categoria, allora».
«Sì, quella dei numeri uguali a 11 modulo 12. Questa volta la curva da considerare è diversa, si tratta dell'iperbole di equazione 3x2-y2 = p. E, attenzione, solo quando x è maggiore di y, quindi in una zona limitata».
«Mh, vediamo i grafici».
«Questo è con p=11. Ho rappresentato anche la retta y = x: la zona che dobbiamo analizzare si trova al di sotto di quella retta, nel primo quadrante».
«Anche qui, un solo punto».
«E questo con p=143».
«Ah, vedo che hai rappresentato solo il primo quadrante».
«Eh, sì, altrimenti non si sarebbe vista bene la griglia. Ed ecco fatto, tutti i numeri ricadono in queste categorie, si tratta di contare quanti sono i punti a coordinate intere positive che stanno sulle curve — e, nel caso dell'iperbole, hanno ascissa maggiore dell'ordinata — e, se questi sono in numero dispari e se il numero che stiamo analizzando non contiene fattori al quadrato, allora è primo».
«Bleah».
«Sì, lo so, è complicato, ma è a questo che ci ha portati l'astrazione del crivello di Eratostene. Siamo partiti da un semplicissimo sistema di conteggio di numeri su una griglia, e siamo arrivati a contare punti su curve. Ma naturalmente i due autori dell'articolo non hanno mai parlato di curve, né mostrato dei grafici».
«Naturalmente».
«Loro parlano di domini a ideali principali, di forme quadratiche, di semigruppi quoziente, di mappe logaritmiche. Roba che per capirla bene servirebbe un intero corso di algebra. Chissà, forse si può trovare un metodo meno astratto di quello usato da Atkin e Bernstein per dimostrare i teoremi che vengono usati nel loro articolo».
«Dici quelli relativi alle due ellissi e all'iperbole?».
«Sì, quelli. Ti confesso che, dopo averci provato per un po', ci ho rinunciato».
«Ahi, ahi».
«Mi è bastato intuire come stavano le cose, e mi sono fidato. Del resto gli autori dicono che sono teoremi standard, e che li hanno inseriti nel loro lavoro solo per un senso di completezza. Comunque, danno per sottintese mille cose, sono dimostrazioni molto compresse. Ma, se vuoi, trovi tutto qui».
«No, grazie, mi fido anche io».
«Per concludere, Bernstein ha fatto una cosa carina: ha scritto una serie di programmi che tutti possono prelevare ed utilizzare. Io l'ho fatto, e devo dire che sono velocissimi. Sono qui».
«Ma, rispetto al crivello di Eratostene, c'è questo gran vantaggio?».
«Ti dirò, questo criterio non è così tanto più veloce. Gli autori hanno fatto una prova: per trovare tutti i numeri primi fino a N = 109 la loro implementazione del crivello di Eratostene ha impiegato circa 3.3·109 cicli, mentre quella del loro crivello ne ha impiegati 2.5·109».
«Quindi siamo sempre nell'ordine di N».
«In realtà l'ordine è N/log(log(N)). E questo è il meglio che oggi riusciamo a fare».
Se qualcuno volesse provare a cercare una dimostrazione decente dei teoremi che ho indicato qua sopra, si tratta dei numeri 6.1, 6.2 e 6.3 a pagina 1028 di questo articolo. Si potrebbe forse ragionare sugli interi di Gauss.
giovedì 29 dicembre 2011
Crivelli — 3: contare i punti su una griglia
«Allora, dobbiamo astrarre il crivello di Eratostene?».
«Esatto. Ragioniamo in questo modo: cosa significa che un numero è primo?».
«Che ha solo due divisori distinti, giusto?».
«Ottimo, vedo che ti ricordi».
«Certo che mi ricordo!».
«Va bene. Quindi un numero che non è primo ha più di due divisori distinti».
«Certo».
«Quindi i numeri primi sono tali per cui l'equazione xy = p ha due sole soluzioni».
«Ecco che complichiamo…».
«Eh, sì. Mentre per i numeri non primi l'equazione xy = p ha più di due soluzioni».
«Aspetta un momento: dici che per i numeri primi quell'equazione ha solo due soluzioni perché puoi scambiare di posto x e y, vero? Cioè, 7 è uguale a 1 moltiplicato 7 oppure a 7 moltiplicato 1. Ho capito bene?».
«Hai capito benissimo. Ora, che curva è quella che ha equazione xy = p, con p costante, x e y variabili?».
«Una… iperbole?».
«Ottimo. Allora guarda come ti traduco la definizione di numero primo: un numero p è primo se esistono solo due punti a coordinate intere positive che appartengono all'iperbole xy = p».
«Mamma mia, che depravazione mentale. Comunque è giusto, sì».
«E, al contrario del mio prof di geometria, io ti faccio anche un disegno, con p = 5».
«Bello, hai disegnato la griglia dei numeri interi».
«Già, come vedi gli unici punti della griglia che vengono toccati dall'iperbole sono (1,5) e (5,1)».
«Carino».
«Se invece il numero non è primo, i punti che vengono toccati sono più di due. Ecco per esempio xy = 12».
«Sei punti».
«Sì, saranno sempre in numero pari, a causa della simmetria; a meno che il numero non sia un quadrato: in quel caso sono dispari».
«Ok. Fin qua ci sono».
«Bene, allora diciamo che il crivello di Eratostene funziona contando i numeri interi positivi che sono soluzioni dell'equazione xy = p, o, per dirla come dicono i Veri Matematici, funziona analizzando i valori della forma quadratica riducibile xy».
«Ed ecco l'astrazione incomprensibile. I Veri Matematici fanno almeno la figurina dell'iperbole, per fare capire di cosa si sta parlando?».
«Naturalmente no».
«Capirai».
«E ora che abbiamo astratto, ragioniamo in questo modo: potremmo forse cambiare la forma quadratica che stiamo utilizzando, per velocizzare un po' i conti?».
«Boh? Possiamo?».
«Possiamo, ma complichiamo. La semplicità del crivello si perde un po'».
«Esatto. Ragioniamo in questo modo: cosa significa che un numero è primo?».
«Che ha solo due divisori distinti, giusto?».
«Ottimo, vedo che ti ricordi».
«Certo che mi ricordo!».
«Va bene. Quindi un numero che non è primo ha più di due divisori distinti».
«Certo».
«Quindi i numeri primi sono tali per cui l'equazione xy = p ha due sole soluzioni».
«Ecco che complichiamo…».
«Eh, sì. Mentre per i numeri non primi l'equazione xy = p ha più di due soluzioni».
«Aspetta un momento: dici che per i numeri primi quell'equazione ha solo due soluzioni perché puoi scambiare di posto x e y, vero? Cioè, 7 è uguale a 1 moltiplicato 7 oppure a 7 moltiplicato 1. Ho capito bene?».
«Hai capito benissimo. Ora, che curva è quella che ha equazione xy = p, con p costante, x e y variabili?».
«Una… iperbole?».
«Ottimo. Allora guarda come ti traduco la definizione di numero primo: un numero p è primo se esistono solo due punti a coordinate intere positive che appartengono all'iperbole xy = p».
«Mamma mia, che depravazione mentale. Comunque è giusto, sì».
«E, al contrario del mio prof di geometria, io ti faccio anche un disegno, con p = 5».
«Bello, hai disegnato la griglia dei numeri interi».
«Già, come vedi gli unici punti della griglia che vengono toccati dall'iperbole sono (1,5) e (5,1)».
«Carino».
«Se invece il numero non è primo, i punti che vengono toccati sono più di due. Ecco per esempio xy = 12».
«Sei punti».
«Sì, saranno sempre in numero pari, a causa della simmetria; a meno che il numero non sia un quadrato: in quel caso sono dispari».
«Ok. Fin qua ci sono».
«Bene, allora diciamo che il crivello di Eratostene funziona contando i numeri interi positivi che sono soluzioni dell'equazione xy = p, o, per dirla come dicono i Veri Matematici, funziona analizzando i valori della forma quadratica riducibile xy».
«Ed ecco l'astrazione incomprensibile. I Veri Matematici fanno almeno la figurina dell'iperbole, per fare capire di cosa si sta parlando?».
«Naturalmente no».
«Capirai».
«E ora che abbiamo astratto, ragioniamo in questo modo: potremmo forse cambiare la forma quadratica che stiamo utilizzando, per velocizzare un po' i conti?».
«Boh? Possiamo?».
«Possiamo, ma complichiamo. La semplicità del crivello si perde un po'».
mercoledì 28 dicembre 2011
Crivelli — 2: astrazioni
«Complicazioni che ci porteranno a scorgere una piccola parte di ciò che genera le ombre che di solito osserviamo? Cosa dici?».
«Forse ho esagerato un po'».
«Direi. Ma a cosa ti riferivi?».
«Mi è venuta in mente una sensazione che ho provato, a volte, quando facevo l'università».
«Cioè?».
«C'era questo libro di geometria, tutto scritto a mano».
«In che senso, a mano?».
«Proprio nel senso che era scritto a mano, in corsivo, in bella calligrafia».
«Ma dai!».
«Davvero. Un'opera d'arte… Era un bel libro, ben organizzato, nei primi capitoli c'erano tutte le basi per poi poter affrontare il resto, non avevi bisogno d'altro. Solo che era incomprensibile».
«Andiamo bene».
«Non nel senso che fosse scritto male, eh. Era proprio la geometria ad essere incomprensibile».
«Figure astruse che dovevi studiarti per ore, prima di capire come fossero fatte?».
«Neanche una figura».
«Eh? Ma come? Un libro di geometria, hai detto?».
«Sì».
«Senza figure».
«Eh».
«Mi sembra di essere in un altro mondo. La geometria non dovrebbe essere fatta con le figure? E allora?».
«Capisci cosa intendo quando dico che era incomprensibile? Non mi aspettavo che fosse così, geometria. E, da quanto sento, questo è l'impatto che la materia ha con tutti gli studenti».
«Quindi quella dei Veri Geometri è una categoria di gente ancora più fuori di testa dei Veri Matematici Generici».
«Questo è quello che pensano in molti, sì».
«Andiamo bene. E allora, cos'è successo con quel libro?».
«È successo che ho dovuto studiarlo, naturalmente. E, per capirlo, dovevo sempre ricollegare le cose astrattissime di cui parlava a ciò che già conoscevo, grazie ai miei studi precedenti».
«Immagino che non fosse una cosa semplice».
«Neanche un po'. Ogni tanto arrivava l'illuminazione, riuscivi a collegare tutto, e ti sembrava di aver raggiunto un livello di consapevolezza che prima non avevi».
«Ma, per esempio?».
«Per esempio, all'inizio della geometria si fa della gran algebra lineare».
«Mi pare ovvio, si chiama geometria, studi dell'algebra. Non fa una piega. Del resto, c'è la parola lineare che mi fa capire che è geometria».
«Eh, non ti sbagli di molto… Comunque, algebra lineare significa matrici. E le matrici hanno delle strane operazioni. E mentre me le studiavo, e cercavo di capire perché dovessero essere fatte proprio in quel modo, a un certo punto mi sono detto: "ma se prendo una matrice formata da una riga e una colonna, ho un numero! Allora tutti i numeri sono matrici! Il mondo è fatto di matrici, e i numeri sono solo casi particolari! Tutto quello che ho studiato era un caso particolare del caso generale. Ora vedo! Ora so! È bellissimo!"».
«Poi sono arrivati, sì?».
«Chi?».
«I medici».
«No, parlavo tra me e me, non mi sono messo a urlare per strada».
«Hai fatto bene».
«Per farti un esempio meno stupido, ricordi quando abbiamo parlato di trasformazioni del piano e di coordinate omogenee?».
«Certo, quella era geometria, c'erano le figure, mi ricordo. Avevo anche capito, le coordinate omogenee erano quelle che mi permettevano di parlare di punti impropri, cioè punti all'infinito».
«Bene. Ora ti faccio vedere la versione dei Veri Geometri».
«Non si capisce niente».
«Esatto. Quella è una pagina del famigerato capitolo IX, dal titolo Relazioni fra le strutture vettoriali, affini e proiettive. Diciannove pagine infernali».
«E tu le hai capite».
«A suo tempo, sì. E quando riuscivo a collegare quella roba con le mie conoscenze, mi sembrava di capire davvero. Mi dicevo: ma allora le cose stanno così. Mi sentivo un eletto che poteva dare un'occhiata alle cose, e non alle loro ombre. Mi sembrava di vedere con gli occhi di Dio».
«Ehm».
«Eh».
«Poi sei guarito?».
«Poi sono diventato insegnante: in un certo senso sono guarito. Perché è bellissimo partire dalle basi e arrivare a un tale livello di astrazione per cui tutto è inserito in un unico concetto, ma poi bisogna anche ridiscendere a valle e fare comprendere le cose, spiegarle, fare qualche maledetto disegno, santo cielo».
«Eh eh».
«Voglio dire, ammiro le menti degli autori di quel libro (uno dei quali era anche il mio insegnante di geometria), ma le loro capacità didattiche non è che fossero quella gran cosa».
«No, eh?».
«No, decisamente. Per esempio lui, dico il prof di geometria, non usava mai il cancellino, scriveva dove trovava posto».
«Benissimo. Del resto, uno che insegna geometria non deve mai usare la lavagna per fare i disegni».
«Infatti. Una volta, prima delle vacanze di Natale, qualcuno disegnò un albero di Natale alla lavagna. Lui cominciò a scrivere le formule sulla lavagna, e in quella lezione ne doveva scrivere molte».
«E non ha cancellato?».
«Assolutamente no, ha cominciato a scrivere dentro all'albero».
«Incredibile».
«E non è finita qua. Quella volta le formule erano così tante che, alla fine, ha dovuto prendere in mano il cancellino».
«Colpo di scena».
«Da tutta l'aula si è alzato un mormorio».
«Eh eh».
«Poi ha appoggiato il cancellino alla lavagna, in un punto centrale, e l'ha mosso per un venti-venticinque centimetri».
«Quanto bastava per l'ultima formula».
«Già. Ma non ha fatto come fanno le persone normali, che appoggiano il cancellino e poi lo muovono un po', in modo da tirare via il gesso. No, lui ha semplicemente appoggiato e spostato, poi l'ha messo via».
«E che risultato ha ottenuto?».
«Ha creato un bel rettangolo bianco e polveroso sulla lavagna. Poi ci ha scritto sopra l'ultima formula, perfettamente mimetizzata tra il gesso. Formula bianca su sfondo bianco, suprematismo matematico».
«Tutto ciò ha dell'incredibile, se uno non pensa che si sta parlando di Veri Matematici».
«Già».
«Ma riguardo al crivello di Eratostene? Cosa c'entra questo discorso con quanto abbiamo detto finora?».
«Per migliorare il crivello, dobbiamo prima astrarre, complicare le cose, e poi cambiarle. Non sarà facile».
«Forse ho esagerato un po'».
«Direi. Ma a cosa ti riferivi?».
«Mi è venuta in mente una sensazione che ho provato, a volte, quando facevo l'università».
«Cioè?».
«C'era questo libro di geometria, tutto scritto a mano».
«In che senso, a mano?».
«Proprio nel senso che era scritto a mano, in corsivo, in bella calligrafia».
«Ma dai!».
«Davvero. Un'opera d'arte… Era un bel libro, ben organizzato, nei primi capitoli c'erano tutte le basi per poi poter affrontare il resto, non avevi bisogno d'altro. Solo che era incomprensibile».
«Andiamo bene».
«Non nel senso che fosse scritto male, eh. Era proprio la geometria ad essere incomprensibile».
«Figure astruse che dovevi studiarti per ore, prima di capire come fossero fatte?».
«Neanche una figura».
«Eh? Ma come? Un libro di geometria, hai detto?».
«Sì».
«Senza figure».
«Eh».
«Mi sembra di essere in un altro mondo. La geometria non dovrebbe essere fatta con le figure? E allora?».
«Capisci cosa intendo quando dico che era incomprensibile? Non mi aspettavo che fosse così, geometria. E, da quanto sento, questo è l'impatto che la materia ha con tutti gli studenti».
«Quindi quella dei Veri Geometri è una categoria di gente ancora più fuori di testa dei Veri Matematici Generici».
«Questo è quello che pensano in molti, sì».
«Andiamo bene. E allora, cos'è successo con quel libro?».
«È successo che ho dovuto studiarlo, naturalmente. E, per capirlo, dovevo sempre ricollegare le cose astrattissime di cui parlava a ciò che già conoscevo, grazie ai miei studi precedenti».
«Immagino che non fosse una cosa semplice».
«Neanche un po'. Ogni tanto arrivava l'illuminazione, riuscivi a collegare tutto, e ti sembrava di aver raggiunto un livello di consapevolezza che prima non avevi».
«Ma, per esempio?».
«Per esempio, all'inizio della geometria si fa della gran algebra lineare».
«Mi pare ovvio, si chiama geometria, studi dell'algebra. Non fa una piega. Del resto, c'è la parola lineare che mi fa capire che è geometria».
«Eh, non ti sbagli di molto… Comunque, algebra lineare significa matrici. E le matrici hanno delle strane operazioni. E mentre me le studiavo, e cercavo di capire perché dovessero essere fatte proprio in quel modo, a un certo punto mi sono detto: "ma se prendo una matrice formata da una riga e una colonna, ho un numero! Allora tutti i numeri sono matrici! Il mondo è fatto di matrici, e i numeri sono solo casi particolari! Tutto quello che ho studiato era un caso particolare del caso generale. Ora vedo! Ora so! È bellissimo!"».
«Poi sono arrivati, sì?».
«Chi?».
«I medici».
«No, parlavo tra me e me, non mi sono messo a urlare per strada».
«Hai fatto bene».
«Per farti un esempio meno stupido, ricordi quando abbiamo parlato di trasformazioni del piano e di coordinate omogenee?».
«Certo, quella era geometria, c'erano le figure, mi ricordo. Avevo anche capito, le coordinate omogenee erano quelle che mi permettevano di parlare di punti impropri, cioè punti all'infinito».
«Bene. Ora ti faccio vedere la versione dei Veri Geometri».
«Non si capisce niente».
«Esatto. Quella è una pagina del famigerato capitolo IX, dal titolo Relazioni fra le strutture vettoriali, affini e proiettive. Diciannove pagine infernali».
«E tu le hai capite».
«A suo tempo, sì. E quando riuscivo a collegare quella roba con le mie conoscenze, mi sembrava di capire davvero. Mi dicevo: ma allora le cose stanno così. Mi sentivo un eletto che poteva dare un'occhiata alle cose, e non alle loro ombre. Mi sembrava di vedere con gli occhi di Dio».
«Ehm».
«Eh».
«Poi sei guarito?».
«Poi sono diventato insegnante: in un certo senso sono guarito. Perché è bellissimo partire dalle basi e arrivare a un tale livello di astrazione per cui tutto è inserito in un unico concetto, ma poi bisogna anche ridiscendere a valle e fare comprendere le cose, spiegarle, fare qualche maledetto disegno, santo cielo».
«Eh eh».
«Voglio dire, ammiro le menti degli autori di quel libro (uno dei quali era anche il mio insegnante di geometria), ma le loro capacità didattiche non è che fossero quella gran cosa».
«No, eh?».
«No, decisamente. Per esempio lui, dico il prof di geometria, non usava mai il cancellino, scriveva dove trovava posto».
«Benissimo. Del resto, uno che insegna geometria non deve mai usare la lavagna per fare i disegni».
«Infatti. Una volta, prima delle vacanze di Natale, qualcuno disegnò un albero di Natale alla lavagna. Lui cominciò a scrivere le formule sulla lavagna, e in quella lezione ne doveva scrivere molte».
«E non ha cancellato?».
«Assolutamente no, ha cominciato a scrivere dentro all'albero».
«Incredibile».
«E non è finita qua. Quella volta le formule erano così tante che, alla fine, ha dovuto prendere in mano il cancellino».
«Colpo di scena».
«Da tutta l'aula si è alzato un mormorio».
«Eh eh».
«Poi ha appoggiato il cancellino alla lavagna, in un punto centrale, e l'ha mosso per un venti-venticinque centimetri».
«Quanto bastava per l'ultima formula».
«Già. Ma non ha fatto come fanno le persone normali, che appoggiano il cancellino e poi lo muovono un po', in modo da tirare via il gesso. No, lui ha semplicemente appoggiato e spostato, poi l'ha messo via».
«E che risultato ha ottenuto?».
«Ha creato un bel rettangolo bianco e polveroso sulla lavagna. Poi ci ha scritto sopra l'ultima formula, perfettamente mimetizzata tra il gesso. Formula bianca su sfondo bianco, suprematismo matematico».
«Tutto ciò ha dell'incredibile, se uno non pensa che si sta parlando di Veri Matematici».
«Già».
«Ma riguardo al crivello di Eratostene? Cosa c'entra questo discorso con quanto abbiamo detto finora?».
«Per migliorare il crivello, dobbiamo prima astrarre, complicare le cose, e poi cambiarle. Non sarà facile».
Iscriviti a:
Post (Atom)