giovedì 22 giugno 2017

venerdì 9 giugno 2017

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.

“Senti, ma com'è questa storia che la dimostrazione del teorema di Didone è sbagliata? O è una dimostrazione, o non lo è!”.

“Vero. Diciamo che è una dimostrazione parziale: Steiner ha dimostrato che, se una soluzione esiste, è quella. Ma non ha dimostrato che esiste”.

“Ma dai, ma cosa vuol dire? Se ha dimostrato che la soluzione è quella, amen, è quella. Cosa c'è da dire ancora?”.

“Eh, non è mica vero. Se c'è è quella, ma forse non c'è”.

“Ma come fa a non esserci? Didone deve circondare la più grande superficie possibile, dato un certo perimetro. Ci sarà pure una figura che ha un'area maggiore di tutte le altre”.

“Sarebbe come dire che tutte le funzioni hanno un massimo, e non è vero”.

“Non è vero? Ah, beh, se hai una funzione che cresce sempre, diventando infinitamente grande, quella certamente il massimo non ce l'ha”.

“Non solo: puoi avere una funzione che cresce, che è limitata, e che non ha massimo”.

“Che è limitata? Vuol dire che non cresce oltre un certo valore?”.

“Esatto”.

“Ma allora il massimo è quel valore!”.

“Eh, no. Prendi una torta”.

“Ah, va bene”.

“Tagliala in un certo numero di fette e dammene una”.

“Ok”.

“Quanta torta ti rimane?”.

“Boh? Tutta meno una fetta”.

“Adesso prendi un'altra torta”.

“Poi ingrasso”.

“Aumenta il numero di fette rispetto a prima, e dammene una. Quanta torta ti rimane?”.

“Sempre tutta meno una fetta”.

“Più o meno rispetto a prima?”.

“Di più: ti ho dato una fetta più piccola”.

“Perfetto. All'aumentare del numero di fette, ti rimarrà sempre più torta”.

“Certo”.

“Quindi la funzione-torta è crescente”.

“Giusto”.

“E non supera mai il volume della torta intera”.

“Certo che no”.

“Quindi la funzione-torta è crescente e limitata”.

“Vero”.

“Però non ha massimo”.

“Uh?”.

“No, cresce sempre. Sempre meno, in realtà, ma cresce sempre senza raggiungere un valore massimo. Se dividi la torta in dieci parti e mi dai una fetta, ti rimarranno nove decimi di torta. Se la dividi in cento parti, ti rimarranno novantanove centesimi, e così via. Se mi dai una briciola, ti rimarrà una torta meno una briciola. Non esiste un valore massimo”.

“Uffa”.

“E allora capisci che dimostrare che se una soluzione esiste, allora essa deve avere un certo valore, non significa dimostrare anche che tale soluzione esiste davvero”.

“Roba da matti”.

“Ricorderai il romanzo di Agatha Christie Assassinio sull'Orient Express?”.

“Certo”.

“Una persona è stata uccisa su un treno in movimento, quindi l'assassino deve essere sul treno”.

“Vero”.

“Ma [spoiler! spoiler!] non è così: l'assassino, inteso come singola persona che ha compiuto l'atto, non esiste. Se poi il morto fosse morto di morte naturale, la mancanza di soluzione sarebbe ancora più evidente (ma, probabilmente, il romanzo sarebbe molto più noioso)”.

“Umpf”.

“Chissà, magari esiste un romanzo in cui i sospetti sono solo dieci, e l'investigatore riesce a scagionarne nove. Verrebbe da dedurre che quindi il colpevole è il decimo perché, se la soluzione esiste, non può che essere quella. E invece il morto non è stato assassinato, è semplicemente morto per cause naturali”.

“Ho capito, ho capito… Adesso mi dirai che ci sono casi, in matematica, in cui si riesce a fare anche il contrario?”.

“Cioè?”.

“Cioè dimostrare che la soluzione esiste, senza sapere quale sia?”.

“Oh, certo”.

“Capirai”.

“C'è un caso molto famoso, in effetti. Nel 1868 il matematico tedesco Paul Gordan, soprannominato il re degli invarianti…”.

“Santo cielo”.

“Eh, oh, è così. Era uno dei massimi esperti della teoria degli invarianti”.

“Una roba di cui non ho mai sentito parlare”.

“Si tratta di algebra astratta…”.

“Come se esistesse dell'algebra concreta! Ma dai”.

“Ehm. Ok. L'algebra astratta è effettivamente più astratta dell'algebra che si studia a scuola”.

“E quindi è totalmente incomprensibile”.

“Diciamo che c'è qualcosa di vero in quello che dici. Ecco perché la gente in grado di comprenderla bene poteva avere soprannomi da cow boy”.

“Perfetto”.

“Quindi c'era questo Paul Gordan, esperto di una particolare teoria algebrica, che aveva ottenuto molti risultati importanti, tra cui un teorema che afferma che una certa classe di polinomi (una classe infinita) poteva essere generata da un insieme finito di generatori”.

“Non ho capito niente”.

“Non ho spiegato quasi niente: la cosa importante è che un insieme infinito può essere descritto in modo semplice, usando solo un numero finito di mattoni. I Veri Matematici sono sempre contenti quando si ha a che fare con un numero finito di oggetti”.

“Va bene. Quindi c'era questo espertone che aveva dimostrato un teorema importante”.

“Esatto. Dopo vent'anni arriva David Hilbert…”.

“Un nome che non mi è nuovo”.

“Già. Nel 1888 non era ancora così famoso, aveva discusso la tesi di dottorato nel 1885, era ancora giovane, ed era molto bravo. Generalizza il teorema di Gordan, astraendo ancora di più il tutto”.

“Andiamo bene”.

“La dimostrazione di Gordan era piena di calcoli, difficilissima da generalizzare perché i calcoli sarebbero diventati proibitivi. E allora Hilbert, con un colpo di genio, aggira il problema. Utilizzando l'induzione, dimostra per assurdo il suo teorema”.

“Per assurdo?”.

“Sì, invece di dimostrare che la tesi del suo teorema deve essere vera, dimostra che è impossibile che sia falsa. E, se non può essere falsa…”.

“Allora deve essere vera. Bello”.

“Già. Ma c'è un problema: con questo tipo di dimostrazione lui non riesce a costruire l'insieme finito di generatori di cui parla il suo teorema. Dice solo che esiste. Anzi, dice che è impossibile che non esista”.

“In sostanza, dice che esiste ma non dice com'è fatto?”.

“Esattamente”.

“E cos'ha detto il matematico che invece aveva fatto un sacco di calcoli, nella versione semplificata del teorema? Gordan?”.

“Eh, Gordan legge la dimostrazione, praticamente senza calcoli, lunga poche righe, si gratta un po' la testa, alza gli occhi, e dice: Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie”.

“Ah ah. E Hilbert?”.

“Hilbert, confortato da Klein, un altro personaggio con un certo cervello, scrive un secondo articolo in cui approfondisce il suo teorema, fa delle stime, e pubblica pure quello. Il mondo matematico riconosce l'importanza del teorema che diventerà noto con il nome di Teorema della base di Hilbert”.

“E Gordan?”.

“Gordan commenta: mi sono convinto del fatto che anche la teologia ha i suoi meriti”.

“Meraviglioso”.

“Già. Riguardo le dimostrazioni di esistenza, avevo scritto qualcosa qualche anno fa: ecco qua”.

“Davvero pane per i filosofi”.

“All'epoca ci furono discussioni animate sulla validità di dimostrazioni di questo tipo, cioè non costruttive. Kronecker morì poco tempo dopo…”.

“Quello che affermava che Dio ha fatto i numeri interi, e che tutto il resto è opera dell'uomo?”.

“Lui”.

“Bel tipo, chissà cosa avrebbe detto riguardo questo tipo di dimostrazioni”.

“Possiamo immaginarlo, perché altri matematici portarono avanti le sue idee. C'è una setta di pazzi che non riconosce dimostrazioni di questo tipo, e che dice che si dimostra solo ciò che si può costruire”.

“Chissà Hilbert”.

“Hilbert soffriva. Una volta disse che togliere a un matematico il principio del terzo escluso, cioè quel principio logico secondo il quale se una affermazione non è vera allora è falsa, perché non esiste una terza possibilità, sarebbe come impedire a un pugile di usare i pugni”.

“Ottimo”.

“E, insomma, la discussione continua ancora oggi. C'è chi non riconosce dimostrazioni non costruttive, e chi addirittura non riconosce in matematica nessun tipo di infinito”.

“Comincio a pensare che questa sia davvero teologia”.

“Già”.

“Ma, alla fine, il problema di Didone ce l'ha o no una soluzione?”.

“Ce l'ha, quella di Steiner. Ma è stata dura dimostrarne l'esistenza”.

giovedì 11 maggio 2017

Il problema di Didone

Giunsero in questi luoghi, ov’or vedrai
Sorger la gran cittade e l’alta ròcca
De la nuova Cartago, che dal fatto
Birsa nomossi, per l’astuta merce
Che, per fondarla, fêr di tanto sito
Quanto cerchiar di bue potesse un tergo.

“Ma cos'è?”.

“L'Eneide, libro 1”.

“E, ehm, di cosa parla?”.

“Della fondazione di Cartagine. L'astuta Didone aveva avuto il permesso di occupare tanta terra quanta ne potesse contenere una pelle di bue. Lei allora prese la pelle di bue, la tagliò in tante striscioline, le collegò insieme, e circondò una zona di terra semicircolare, il cui lato rettilineo era la spiaggia. Sul quel terreno fece costruire Cartagine”.

“Brava questa Didone”.

“Eh sì. E naturalmente i matematici si sono posti un problema”.

“Capirai”.

“Poteva fare di meglio? Poteva circondare una zona di terreno ancora più ampia?”.

“Ovviamente”.

“Eh? Ma no, come?”.

“Le sarebbe bastato prendere un bue più grande. Non mi sembra un gran problema matematico”.

“Ah. Eh. No. Cioè, il problema dice: a parità di lunghezza della striscia fatta con la pelle di bue, si possono circondare zone più grandi?”.

“Ecco, adesso è un po' diverso. Beh, non ha scelto la forma migliore? La semicirconferenza non va bene? Doveva fare un rettangolo? Un quadrato? Una strana figura esistente solo nella mente dei Veri Matematici?”.

“La semicirconferenza va bene, in effetti”.

“E allora, qual è il problema?”.

“Come dimostri che quella scelta da Didone è davvero la superficie di area massima?”.

“Mi sembra ovvio”.

“Le dimostrazioni per ovvietà, però, non sono ammesse tra i matematici”.

“Uff. E quindi?”.

“E quindi bisogna saltare dai tempi di Didone fino al 1838, quando venne pubblicata la dimostrazione di Steiner relativa al problema isoperimetrico”.

“Isoperimetrico, certo”.

“Il problema, formulato in termini matematici, dice questo: tra tutte le figure aventi lo stesso perimetro, qual è quella di area massima? Da cui il termine isoperimetrico”.

“Ah, ok. E quindi nel 1838 è stato dimostrato che Didone aveva scelto la soluzione giusta?”.

“Sì, da Steiner. Con una dimostrazione che, però, era sbagliata”.

“Perfetto”.

“Non troppo però. Adesso te la racconto”.

“Vai. Una dimostrazione non troppo sbagliata. Mah”.

“Bisogna fare questa premessa: Didone aveva a disposizione la spiaggia, cioè un segmento rettilineo, che poteva usare in modo da risparmiare la sua preziosa pelle di bue. Se non puoi usare nessun tipo di segmento, la figura che massimizza l'area è la circonferenza”.

“Mi sembra altrettanto ovvio”.

“Perfetto, questa ovvietà viene dimostrata da Steiner”.

“Sbagliando”.

“Un pochino”.

“…”.

“Steiner afferma, come primo passo della sua dimostrazione, che la figura che risolve il problema isoperimetrico deve essere convessa”.

“Mi sembra ovvio, ma capisco che dirlo non fa fare nessun passo avanti al Vero Matematico Dimostratore”.

“No, certo. Ma immagina una qualsiasi figura che non sia convessa. Ti disegno un poligono, ma va bene anche una figura con lati curvilinei”.



“Ok, quindi?”.

“Mi basta riflettere la parte concava all'esterno, fare diventare la figura convessa, e aumentare l'area senza toccare il perimetro. Guarda”.



“Ah, vedo. Ok, la figura deve essere convessa”.

“Secondo passo: prendo la figura, e la taglio in modo da formare due figure aventi lo stesso perimetro”.

“La taglio a metà”.

“Eh, ma bisogna stare attenti: non la taglio in due parti aventi la stessa area, ma in due parti aventi lo stesso perimetro. Se la figura è tutta deformata, non è detto che sia la stessa cosa”.

“E quindi?”.

“E quindi se le due parti non hanno la stessa area, buttiamo via la parte con area minore e la sostituiamo con una copia di quella con area maggiore: non abbiamo cambiato il perimetro, ma abbiamo aumentato l'area”.



“Mmmh, e questo cosa ci dice?”.

“Che possiamo lavorare solo su mezza figura, facendo come Didone. L'altra metà la otteniamo per simmetria”.

“Mettiamo una spiaggia anche noi, insomma”.

“Esatto. Adesso, prendiamo la nostra mezza figura, e costruiamo un triangolo al suo interno”.



“Ok, che ci facciamo?”.

“Ci domandiamo se è rettangolo”.

“Boh, e chi lo sa? Potrebbe esserlo o non esserlo”.

“Esatto. Se lo fosse, per ogni scelta del punto sulla curva blu, potremmo dire qualcosa”.

“Se ben ricordo, i triangoli rettangoli sono inscritti nelle semicirconferenze”.

“Già. Se, comunque noi scegliamo la posizione del punto sulla curva blu, il triangolo che disegniamo è rettangolo, allora la curva è una semicirconferenza”.

“E, in questo caso, abbiamo Cartagine. Se, invece, il triangolo non fosse rettangolo, come nella figura?”.

“Se il triangolo non fosse rettangolo, noi potremmo modificare la figura, spostando il punto, in modo da ottenere un triangolo rettangolo. Facendo questo non modifichiamo il perimetro della curva blu, ma soltanto la sua forma”.

“In che senso non modifichiamo il perimetro?”.

“Immagina che il triangolo dentro alla figura sia un buco, e che esistano solo le due parti delimitate dalla curva blu, come se fossero due lunette incollate sui lati del triangolo”.

“Ok”.

“Ora modifichiamo l'angolo del triangolo, lasciando le lunette attaccate ai lati, fino a farlo diventare retto. Non cambiamo nessuna misura”.

“Va bene, quindi? Che succede?”.

“Succede che l'area delle lunette non è stata toccata, mentre l'area del triangolo si è modificata. Ti disegno solo il triangolo (perché non sono capace di spostare anche le lunette, ehm)”.


“Vedo, ma non capisco”.

“Devi capire se l'area del triangolo è cambiata”.

“Sicuramente. Cioè, boh, non so, a dir la verità. Abbiamo cambiato solo un angolo, alla fine”.

“Esatto. Ricordi come si calcola l'area di un triangolo…”.

“Base per altezza diviso due!”.

“…di cui conosci due lati, non la base e l'altezza?”.

“Ehm”.

“Ecco qua: conosci i lati b e c, e l'angolo compreso tra essi”.



“Ah, posso trovare l'altezza moltiplicando b per il seno dell'angolo”.

“E quale angolo ha il seno maggiore?”.

“Quello retto, ho capito. Costruendo un triangolo rettangolo massimizziamo l'area, quindi se il triangolo che avevamo inizialmente non era rettangolo, possiamo modificare la curva in modo tale che il perimetro rimanga fisso e aumenti l'area”.

“Conclusione, dice Steiner, la figura che massimizza l'area è quella per la quale ogni triangolo che possiamo costruire al suo interno è rettangolo”.

“Cioè la semicirconferenza. Fine della dimostrazione”.

“Fine della dimostrazione sbagliata”.

“Ma come?”.

“Eh, oh”.

giovedì 9 marzo 2017

La mia signora maestra

Qualche giorno fa una persona mi ha chiesto se fossi disponibile a parlare di un argomento scelto da me a un corso di aggiornamento per insegnanti. Invece di scappare in direzione opposta, urlando e agitando forsennatamente le mani in aria, ho detto: “mh, va bene”.

La domanda successiva è stata: “di quale argomento vuoi parlare?”. E io, sventurato, ho risposto dimostrazioni senza parole.

Una volta riacquistata una parvenza di sanità mentale, ho cercato di capire da dove mi fosse venuta questa fissa delle dimostrazioni senza parole; una formidabile capacità di autoanalisi mi ha fatto risalire molto nel passato, fino alle scuole elementari.

La mia signora maestra (si dice sempre signora, prima di maestra) si chiamava Lidia Botti, nata a Portovenere. La incontrai per la prima volta il primo giorno di scuola (ovviamente), nel cortile della mia scuola, dove lei era scesa per accogliere noi nuovi alunni, fare l'appello, e portarci tutti in classe. Un signore — che, più tardi, riconobbi come il preside della scuola — le si avvicinò e le chiese: “ma lei che qfwfq ha?” (pronunciò una parola che non riconobbi). Ripose: “mille voci”.

Uh, mamma mia, cominciai a pensare, ma com'è brava questa maestra, sa fare mille voci, che roba, io so fare solo la mia, chissà quante cose sa, chissà com'è brava, ma che bello, questa scuola è bellissima.

Solo un dopo un po' di tempo, di cui per amore di dignità non specificherò la durata, mi resi conto che la parola che non avevo ben compreso era sussidiario, e che Millevoci era semplicemente il suo titolo.

Ma torniamo alle dimostrazioni senza parole.

Un giorno la signora maestra venne in classe con uno strano oggetto: un cubo di plexiglass pieno di pezzi di forma diversa.

“Vedete, ragazzi”, cominciò a parlare, “abbiamo studiato le equivalenze, abbiamo parlato delle misure di volume, ecco, guardate, questo è un decimetro cubo”. E ci mostrò questo cubetto di plastica trasparente; poi lo appoggiò sulla cattedra, e tirò fuori una bottiglia di vetro graduata. “Guardate, ho riempito questa bottiglia di acqua, leggete qua, qual è la capacità di questa bottiglia?”.

“Un litro”, rispondemmo.

“Ecco, ora la verso dentro al decimetro cubo. Ricordate l'equivalenza? Ricordate che un decimetro cubo è uguale a un litro?”. Annuimmo. “Bene, ecco fatto, il litro d'acqua ha riempito tutto il decimetro cubo, visto?”. Eh, cavoli, ho pensato, ma allora è proprio vero, un litro è fatto così, un decimetro cubo è fatto cosà, ma guarda te.

Poi, vuotato e asciugato il cubo, la signora maestra tirò fuori dei pezzetti di plastica più piccoli. “Vedete questo?”, continuò, “questo è un centimetro cubo, guardate com'è piccolo. Ora ne prendo un po' e li metto sul fondo del decimetro cubo, guardate, li accosto tutti a un lato. Quanti ce ne stanno?”.

“Dieci!”, rispondemmo. E guardammo i dieci cubetti tutti belli allineati sul fondo.

“Ora, guardate, questo pezzetto di plastica è grande come i dieci cubetti che abbiamo appena messo sul fondo”. Osservammo un listello di plastica trasparente lungo dieci centimetri, e avente sezione di un centimetro quadrato. “Lo appoggio sul fondo, vicino ai dieci cubetti di prima. Poi ne appoggio altri, fino a coprire tutto il fondo del decimetro cubo, vedete?”. Vedemmo. “Allora, contiamo: abbiamo messo dieci cubetti da un centimetro cubo, poi nove listelli, ognuno dei quali rappresenta dieci centimetri cubi. In tutto quanti centimetri cubi abbiamo messo?”. Ci mettemmo a fare i conti: cento! Cento? Così tanti? Eh, sì, non sembra, ma sono proprio cento. Che roba.

“Ora guardate, ragazzi, guardate quest'altro pezzo”. Ci mostrò una lastra quadrata di plastica, dieci per dieci centimetri, spessa un centimetro. “Vedete? Questa lastra occupa lo stesso spazio dei cento centimetri cubi che abbiamo appena messo dentro al decimetro cubo. Ora la inserisco, e poi ne metto ancora, fino a riempire tutto lo spazio. Ecco, guardate: ce ne stanno nove. Alla fine, quanti centimetri cubi abbiamo inserito dentro al decimetro cubo?” Dopo aver fatto i conti, rispondemmo: “mille!”.

Mille, che roba, mille è tantissimo. Eppure è così, li abbiamo visti, ci stanno mille cubetti da un centimetro cubo dentro a un decimetro cubo.

E, insomma, per farla breve, in quell'istante, che ho ancora ben chiaro nella memoria, mi sono reso conto di aver visualizzato un concetto matematico e di aver capito. E ancora oggi, quando qualche studente sbaglia le equivalenze, mi chiedo come sia possibile che sbagli, ma insomma, non ha mai visto com'è fatto un decimetro cubo? Non ne ha mai preso uno in mano? Probabilmente no.

Per amor di completezza, dirò che la signora maestra non cercava di farci fare esperienza soltanto dei concetti matematici: dopo aver parlato dell'apparato respiratorio, per esempio, un giorno ci portò in classe un polmone preso in macelleria e ce lo fece guardare per bene (con un po' di terrore da parte di molti di noi). Parliamo dell'apparato circolatorio? “Bene, ecco qua un cuore di bue, guardate com'è fatto, guardate i ventricoli, gli atri, vedete?”.

“Signora maestra, ma dov'è la pompa di cui ci ha parlato?”, domandò la Viviana.

“Ma è questa qua, è il cuore che fa da pompa contraendosi e espandendosi. Questo è un muscolo”. Parliamo dell'occhio, della visione? “Bene, ecco un occhio di bue, ora lo apriamo (bleah che schifo!), questo è l'umor acqueo, questo il cristallino, ora guardate l'umor vitreo che esce”. Voglio dire, io ho preso un cristallino in mano e l'ho guardato.

Parliamo di fisica, studiamo che l'aria calda è più leggera e l'aria fredda più pesante? “Bene, vieni tu che hai le braghe corte e mettiti in piedi sulla cattedra, ora spalanco la porta, senti l'aria fredda dell'esterno? Sì? Dove la senti, in alto o in basso?”.

“In basso!”. Oh, era vero!

Ecco, quindi, cosa mi piace delle dimostrazioni senza parole: mi fanno fare esperienza dei concetti che sto studiando, me li mostrano con delle figure. Mi fanno vivere l'esperienza aha! di cui ha scritto anche Martin Gardner.

In fondo, però, a dirla tutta, non è mica vero che si possano fare dimostrazioni senza parole: un passaggio di informazioni tra chi scrive e chi legge ci deve sempre essere. Può essere sotto forma di parole, appunto, oppure di formule, oppure di immagini. Alla fine tutto dipende da cosa intendiamo per parola.

Cioè, per dire, anche questa è una dimostrazione senza parole, ma non è che sia così immediato questo benedetto passaggio di informazioni:

(la frase in fondo non fa parte della dimostrazione, ma — bontà degli autori — è semplicemente una nota per farci capire quello che sta succedendo. La sua dimostrazione si trova a pagina 86 del volume 2 dei Principia Mathematica, accompagnata dalla nota “The above proposition is occasionally useful. It is used at least three times, in ✸113.66 and ✸120.123.472”. Russell e Whitehead erano dei troll).

Ecco, io credo che le immagini aiutino tanto. Più di mille parole, diceva quello.

Quasi quasi alla conferenza proietto solo delle immagini e non dico una parola.

sabato 4 marzo 2017

Una versione animata (e senza parole) del teorema di Pitagora



Penso che ci sia poco da dire, se non: siamo sicuri che la figura costruita su c sia proprio un quadrato? (Sì, perché gli angoli acuti dei triangoli rettangoli sono complementari)

lunedì 6 febbraio 2017

Ma lo sapete perché usate i quaderni a quadretti?

“E quelli che hanno i fogli a righe? Eh? Eh? Già coi quadretti non son capaci di fare un disegno decente, figuriamoci con le righe!”.

“Calma”.

“Santo cielo!”.

“Rilassati, dai”.

“E il righello? Almeno un righello, no? Cosa ci vuole a usare un righello?”.

“Dai, su. Cosa succede?”.

“Eh, succede che ogni volta che vedi uno studente disegnare come se i quadretti non esistessero, ti senti un po' morire dentro”.

“Eh, via”.

“Non sanno fare un angolo retto nemmeno coi quadretti, ti dico! Ma non dico angoli retti che non seguono la griglia, eh, dico proprio angoli retti che usano gli angoli già disegnati”.

“Ehm, angoli retti che non seguono la griglia? Si può?”.

“CERTO CHE SI PUÒ, NON TI CI METTERE ANCHE TU EH?”.

“Ah, ma dai. Beh, usando le diagonali, certo, ci si riesce”.

“Non solo, puoi fare un po' quello che vuoi. Dai, ti faccio vedere qualche disegnino: guarda come è facile costruire dei quadrati”.





“Ah, ma guarda. E si possono fare anche altri poligoni?”.

“Beh, di poligoni ne fai finché vuoi. Se invece intendi poligoni regolari, c'è una bella dimostrazione senza parole che risponde alla tua domanda”.

“E qual è questa risposta?”.

“Te la lascio trovare guardando questa figura”.



“Bella, eh, ma non capisco cosa dimostri”.

“C'è un pentagono…”.

“E fin qui ci siamo”.

“Supponiamo che i suoi vertici stiano su una griglia quadrettata”.

“Ah, supponiamolo pure, ma se la disegnavi era meglio: io non ci riesco”.

“Certo, ma tra un attimo scoprirai perché non l'ho disegnata”.

“Va beh. Quindi?”.

“Sì. Dopo aver disegnato il pentagono iniziale, ho fatto ruotare ogni suo lato di 90 gradi in senso antiorario, intorno a uno dei due vertici”.



“Ah, ecco”.

“Ora, sarai d'accordo con me quando dico che se ruoto una griglia quadrata di 90 gradi, ottengo nuovamente la stessa griglia quadrata”.

“Senza dubbio, sì, sono d'accordo”.

“Quindi, se i vertici del pentagono grande stavano su una griglia quadrata, ci stanno anche i vertici che sono stati spostati dalle rotazioni”.

“Uhm, ma non hai mica applicato la stessa rotazione: il centro è stato spostato ogni volta”.

“Certo, ma quello che importa è che se ruoti di 90 gradi intorno a un punto della griglia, finisci sempre su un punto della griglia”.



“Ah, giusto”.

“Quindi i vertici ruotati, che sono vertici di un altro pentagono, stanno sempre sulla nostra griglia quadrettata”.

“Vero”.

“E allora vai avanti così, ripeti il procedimento. Prima o poi otterrai un pentagono più piccolo di un quadratino della tua griglia”.

“Mi sembra impossibile”.

“Lo è”.

“Ah, ecco. Quindi non si può fare un pentagono su una griglia quadrata: molto bene. È una proprietà specifica dei pentagoni?”.

“No, ti mostro qualche altra figura”.




“Ah, ma guarda. E funziona sempre?”.

“Beh, prova a pensarci un po'. Col quadrato non funziona, ad esempio”.

“E vabbé. Con gli altri poligoni?”.

“Qui hai visto pentagono, esagono e ettagono. Se aumenti il numero di lati, le figure non cambiano di molto: per essere più precisi, se ruoti i lati di 90 gradi e ricongiungi i vertici, ottieni un poligono più piccolo. Questo succede perché i punti, dopo la rotazione, finiscono all'interno del poligono iniziale”.

“Ah, ecco perché col quadrato non funziona: quando ruoti i lati riottieni la stessa figura”.

“Esattamente: i lati del quadrato già formano angoli di 90 gradi, quindi ruotandoli non cambia nulla. Il pentagono, invece, ha angoli interni maggiori di 90 gradi, e con la rotazione i lati finiscono al suo interno. Stessa cosa per l'esagono, l'ettagono, eccetera”.

“Interessante. Manca il triangolo, mi pare”.

“Manca il triangolo. E se ruoti i lati di un triangolo equilatero ottieni una figura più grande, non più piccola”.



“Oh. E allora come si fa?”.

“Beh, se fosse possibile mettere un triangolo equilatero su una griglia quadrata, ci si potrebbe mettere anche un esagono”.

“E perché?”.

“Eh, perché con sei triangoli equilateri fai un esagono”.



“Ah, giusto. E siccome l'esagono non si può disegnare, non si può disegnare nemmeno il triangolo”.

“Proprio così: se fosse possibile disegnare il triangolo, si potrebbe immediatamente disegnare l'esagono, ma siccome è impossibile disegnare l'esagono, allora è impossibile anche disegnare il triangolo”.

“Ottimo”.

“Ed ecco quindi il teorema: non esistono poligoni regolari non degeneri aventi i vertici su una griglia regolare, eccezion fatta per il quadrato”.

[Grazie a Joel David Hamkins]