giovedì 9 marzo 2017

La mia signora maestra

Qualche giorno fa una persona mi ha chiesto se fossi disponibile a parlare di un argomento scelto da me a un corso di aggiornamento per insegnanti. Invece di scappare in direzione opposta, urlando e agitando forsennatamente le mani in aria, ho detto: “mh, va bene”.

La domanda successiva è stata: “di quale argomento vuoi parlare?”. E io, sventurato, ho risposto dimostrazioni senza parole.

Una volta riacquistata una parvenza di sanità mentale, ho cercato di capire da dove mi fosse venuta questa fissa delle dimostrazioni senza parole; una formidabile capacità di autoanalisi mi ha fatto risalire molto nel passato, fino alle scuole elementari.

La mia signora maestra (si dice sempre signora, prima di maestra) si chiamava Lidia Botti, nata a Portovenere. La incontrai per la prima volta il primo giorno di scuola (ovviamente), nel cortile della mia scuola, dove lei era scesa per accogliere noi nuovi alunni, fare l'appello, e portarci tutti in classe. Un signore — che, più tardi, riconobbi come il preside della scuola — le si avvicinò e le chiese: “ma lei che qfwfq ha?” (pronunciò una parola che non riconobbi). Ripose: “mille voci”.

Uh, mamma mia, cominciai a pensare, ma com'è brava questa maestra, sa fare mille voci, che roba, io so fare solo la mia, chissà quante cose sa, chissà com'è brava, ma che bello, questa scuola è bellissima.

Solo un dopo un po' di tempo, di cui per amore di dignità non specificherò la durata, mi resi conto che la parola che non avevo ben compreso era sussidiario, e che Millevoci era semplicemente il suo titolo.

Ma torniamo alle dimostrazioni senza parole.

Un giorno la signora maestra venne in classe con uno strano oggetto: un cubo di plexiglass pieno di pezzi di forma diversa.

“Vedete, ragazzi”, cominciò a parlare, “abbiamo studiato le equivalenze, abbiamo parlato delle misure di volume, ecco, guardate, questo è un decimetro cubo”. E ci mostrò questo cubetto di plastica trasparente; poi lo appoggiò sulla cattedra, e tirò fuori una bottiglia di vetro graduata. “Guardate, ho riempito questa bottiglia di acqua, leggete qua, qual è la capacità di questa bottiglia?”.

“Un litro”, rispondemmo.

“Ecco, ora la verso dentro al decimetro cubo. Ricordate l'equivalenza? Ricordate che un decimetro cubo è uguale a un litro?”. Annuimmo. “Bene, ecco fatto, il litro d'acqua ha riempito tutto il decimetro cubo, visto?”. Eh, cavoli, ho pensato, ma allora è proprio vero, un litro è fatto così, un decimetro cubo è fatto cosà, ma guarda te.

Poi, vuotato e asciugato il cubo, la signora maestra tirò fuori dei pezzetti di plastica più piccoli. “Vedete questo?”, continuò, “questo è un centimetro cubo, guardate com'è piccolo. Ora ne prendo un po' e li metto sul fondo del decimetro cubo, guardate, li accosto tutti a un lato. Quanti ce ne stanno?”.

“Dieci!”, rispondemmo. E guardammo i dieci cubetti tutti belli allineati sul fondo.

“Ora, guardate, questo pezzetto di plastica è grande come i dieci cubetti che abbiamo appena messo sul fondo”. Osservammo un listello di plastica trasparente lungo dieci centimetri, e avente sezione di un centimetro quadrato. “Lo appoggio sul fondo, vicino ai dieci cubetti di prima. Poi ne appoggio altri, fino a coprire tutto il fondo del decimetro cubo, vedete?”. Vedemmo. “Allora, contiamo: abbiamo messo dieci cubetti da un centimetro cubo, poi nove listelli, ognuno dei quali rappresenta dieci centimetri cubi. In tutto quanti centimetri cubi abbiamo messo?”. Ci mettemmo a fare i conti: cento! Cento? Così tanti? Eh, sì, non sembra, ma sono proprio cento. Che roba.

“Ora guardate, ragazzi, guardate quest'altro pezzo”. Ci mostrò una lastra quadrata di plastica, dieci per dieci centimetri, spessa un centimetro. “Vedete? Questa lastra occupa lo stesso spazio dei cento centimetri cubi che abbiamo appena messo dentro al decimetro cubo. Ora la inserisco, e poi ne metto ancora, fino a riempire tutto lo spazio. Ecco, guardate: ce ne stanno nove. Alla fine, quanti centimetri cubi abbiamo inserito dentro al decimetro cubo?” Dopo aver fatto i conti, rispondemmo: “mille!”.

Mille, che roba, mille è tantissimo. Eppure è così, li abbiamo visti, ci stanno mille cubetti da un centimetro cubo dentro a un decimetro cubo.

E, insomma, per farla breve, in quell'istante, che ho ancora ben chiaro nella memoria, mi sono reso conto di aver visualizzato un concetto matematico e di aver capito. E ancora oggi, quando qualche studente sbaglia le equivalenze, mi chiedo come sia possibile che sbagli, ma insomma, non ha mai visto com'è fatto un decimetro cubo? Non ne ha mai preso uno in mano? Probabilmente no.

Per amor di completezza, dirò che la signora maestra non cercava di farci fare esperienza soltanto dei concetti matematici: dopo aver parlato dell'apparato respiratorio, per esempio, un giorno ci portò in classe un polmone preso in macelleria e ce lo fece guardare per bene (con un po' di terrore da parte di molti di noi). Parliamo dell'apparato circolatorio? “Bene, ecco qua un cuore di bue, guardate com'è fatto, guardate i ventricoli, gli atri, vedete?”.

“Signora maestra, ma dov'è la pompa di cui ci ha parlato?”, domandò la Viviana.

“Ma è questa qua, è il cuore che fa da pompa contraendosi e espandendosi. Questo è un muscolo”. Parliamo dell'occhio, della visione? “Bene, ecco un occhio di bue, ora lo apriamo (bleah che schifo!), questo è l'umor acqueo, questo il cristallino, ora guardate l'umor vitreo che esce”. Voglio dire, io ho preso un cristallino in mano e l'ho guardato.

Parliamo di fisica, studiamo che l'aria calda è più leggera e l'aria fredda più pesante? “Bene, vieni tu che hai le braghe corte e mettiti in piedi sulla cattedra, ora spalanco la porta, senti l'aria fredda dell'esterno? Sì? Dove la senti, in alto o in basso?”.

“In basso!”. Oh, era vero!

Ecco, quindi, cosa mi piace delle dimostrazioni senza parole: mi fanno fare esperienza dei concetti che sto studiando, me li mostrano con delle figure. Mi fanno vivere l'esperienza aha! di cui ha scritto anche Martin Gardner.

In fondo, però, a dirla tutta, non è mica vero che si possano fare dimostrazioni senza parole: un passaggio di informazioni tra chi scrive e chi legge ci deve sempre essere. Può essere sotto forma di parole, appunto, oppure di formule, oppure di immagini. Alla fine tutto dipende da cosa intendiamo per parola.

Cioè, per dire, anche questa è una dimostrazione senza parole, ma non è che sia così immediato questo benedetto passaggio di informazioni:

(la frase in fondo non fa parte della dimostrazione, ma — bontà degli autori — è semplicemente una nota per farci capire quello che sta succedendo. La sua dimostrazione si trova a pagina 86 del volume 2 dei Principia Mathematica, accompagnata dalla nota “The above proposition is occasionally useful. It is used at least three times, in ✸113.66 and ✸120.123.472”. Russell e Whitehead erano dei troll).

Ecco, io credo che le immagini aiutino tanto. Più di mille parole, diceva quello.

Quasi quasi alla conferenza proietto solo delle immagini e non dico una parola.

sabato 4 marzo 2017

Una versione animata (e senza parole) del teorema di Pitagora



Penso che ci sia poco da dire, se non: siamo sicuri che la figura costruita su c sia proprio un quadrato? (Sì, perché gli angoli acuti dei triangoli rettangoli sono complementari)

lunedì 6 febbraio 2017

Ma lo sapete perché usate i quaderni a quadretti?

“E quelli che hanno i fogli a righe? Eh? Eh? Già coi quadretti non son capaci di fare un disegno decente, figuriamoci con le righe!”.

“Calma”.

“Santo cielo!”.

“Rilassati, dai”.

“E il righello? Almeno un righello, no? Cosa ci vuole a usare un righello?”.

“Dai, su. Cosa succede?”.

“Eh, succede che ogni volta che vedi uno studente disegnare come se i quadretti non esistessero, ti senti un po' morire dentro”.

“Eh, via”.

“Non sanno fare un angolo retto nemmeno coi quadretti, ti dico! Ma non dico angoli retti che non seguono la griglia, eh, dico proprio angoli retti che usano gli angoli già disegnati”.

“Ehm, angoli retti che non seguono la griglia? Si può?”.

“CERTO CHE SI PUÒ, NON TI CI METTERE ANCHE TU EH?”.

“Ah, ma dai. Beh, usando le diagonali, certo, ci si riesce”.

“Non solo, puoi fare un po' quello che vuoi. Dai, ti faccio vedere qualche disegnino: guarda come è facile costruire dei quadrati”.





“Ah, ma guarda. E si possono fare anche altri poligoni?”.

“Beh, di poligoni ne fai finché vuoi. Se invece intendi poligoni regolari, c'è una bella dimostrazione senza parole che risponde alla tua domanda”.

“E qual è questa risposta?”.

“Te la lascio trovare guardando questa figura”.



“Bella, eh, ma non capisco cosa dimostri”.

“C'è un pentagono…”.

“E fin qui ci siamo”.

“Supponiamo che i suoi vertici stiano su una griglia quadrettata”.

“Ah, supponiamolo pure, ma se la disegnavi era meglio: io non ci riesco”.

“Certo, ma tra un attimo scoprirai perché non l'ho disegnata”.

“Va beh. Quindi?”.

“Sì. Dopo aver disegnato il pentagono iniziale, ho fatto ruotare ogni suo lato di 90 gradi in senso antiorario, intorno a uno dei due vertici”.



“Ah, ecco”.

“Ora, sarai d'accordo con me quando dico che se ruoto una griglia quadrata di 90 gradi, ottengo nuovamente la stessa griglia quadrata”.

“Senza dubbio, sì, sono d'accordo”.

“Quindi, se i vertici del pentagono grande stavano su una griglia quadrata, ci stanno anche i vertici che sono stati spostati dalle rotazioni”.

“Uhm, ma non hai mica applicato la stessa rotazione: il centro è stato spostato ogni volta”.

“Certo, ma quello che importa è che se ruoti di 90 gradi intorno a un punto della griglia, finisci sempre su un punto della griglia”.



“Ah, giusto”.

“Quindi i vertici ruotati, che sono vertici di un altro pentagono, stanno sempre sulla nostra griglia quadrettata”.

“Vero”.

“E allora vai avanti così, ripeti il procedimento. Prima o poi otterrai un pentagono più piccolo di un quadratino della tua griglia”.

“Mi sembra impossibile”.

“Lo è”.

“Ah, ecco. Quindi non si può fare un pentagono su una griglia quadrata: molto bene. È una proprietà specifica dei pentagoni?”.

“No, ti mostro qualche altra figura”.




“Ah, ma guarda. E funziona sempre?”.

“Beh, prova a pensarci un po'. Col quadrato non funziona, ad esempio”.

“E vabbé. Con gli altri poligoni?”.

“Qui hai visto pentagono, esagono e ettagono. Se aumenti il numero di lati, le figure non cambiano di molto: per essere più precisi, se ruoti i lati di 90 gradi e ricongiungi i vertici, ottieni un poligono più piccolo. Questo succede perché i punti, dopo la rotazione, finiscono all'interno del poligono iniziale”.

“Ah, ecco perché col quadrato non funziona: quando ruoti i lati riottieni la stessa figura”.

“Esattamente: i lati del quadrato già formano angoli di 90 gradi, quindi ruotandoli non cambia nulla. Il pentagono, invece, ha angoli interni maggiori di 90 gradi, e con la rotazione i lati finiscono al suo interno. Stessa cosa per l'esagono, l'ettagono, eccetera”.

“Interessante. Manca il triangolo, mi pare”.

“Manca il triangolo. E se ruoti i lati di un triangolo equilatero ottieni una figura più grande, non più piccola”.



“Oh. E allora come si fa?”.

“Beh, se fosse possibile mettere un triangolo equilatero su una griglia quadrata, ci si potrebbe mettere anche un esagono”.

“E perché?”.

“Eh, perché con sei triangoli equilateri fai un esagono”.



“Ah, giusto. E siccome l'esagono non si può disegnare, non si può disegnare nemmeno il triangolo”.

“Proprio così: se fosse possibile disegnare il triangolo, si potrebbe immediatamente disegnare l'esagono, ma siccome è impossibile disegnare l'esagono, allora è impossibile anche disegnare il triangolo”.

“Ottimo”.

“Ed ecco quindi il teorema: non esistono poligoni regolari non degeneri aventi i vertici su una griglia regolare, eccezion fatta per il quadrato”.

[Grazie a Joel David Hamkins]

domenica 18 dicembre 2016

Elenco di volumi poco standard che il sovrano della Persia avrebbe dovuto usare per contenere tutto il riso chiesto da Sissa Nassir

Casella Volume Volume equivalente
1 25.0 mm3 Un chicco di riso
2 50.0 mm3 Due chicchi di riso
3 100 mm3 Una pallina di 6 mm di raggio
4 200 mm3 Otto chicchi di riso
5 400 mm3 Sedici chicchi di riso
6 800 mm3 1/78 di Iphone 4
7 1.60 cm3 Un millilitro e mezzo
8 3.20 cm3 Un cucchiaino da tè
9 6.40 cm3 Un ditale
10 12.8 cm3 Un quinto di Iphone 4
11 25.6 cm3 Un attoparsec cubico
12 51.2 cm3 Uno shottino
13 102 cm3 Un Iphone 4 e mezzo
14 205 cm3 Un quartino scarso
15 410 cm3 Una bibita in lattina abbondante
16 819 cm3 Una bottiglia di vino
17 1.64 dm3 Tre respiri
18 3.28 dm3 1.2 nanosecondi luce cubici
19 6.55 dm3 Un pallone da calcio
20 13.1 dm3 Un Hubble-barn
21 26.2 dm3 Una mole abbondante di gas ideale
22 52.4 dm3 Un serbatoio di automobile
23 105 dm3 Un corpo umano e mezzo
24 210 dm3 Una grande vasca da bagno
25 419 dm3 Due barili e mezzo
26 839 dm3 Quasi un metro cubo
27 1.68 m3 Una hoppus ton
28 3.36 m3 La vernice necessaria per dipingere l'esterno della casa bianca
29 6.71 m3 Uno smoot cubico abbondante
30 13.4 m3 Una piccola balena grigia
31 26.8 m3 Una megattera
32 53.7 m3 Un container di categoria 1B
33 107 m3 Una balenottera azzurra
34 215 m3 Quasi due autobus inglesi a due piani
35 429 m3 Un contenitore grande quanto un campo da calcio e alto 5 centimetri
36 859 m3 L'acciaio utilizzato nella costruzione della torre Eiffel
37 1.72 dam3 La capacità di carico di un Boeing 747 Large Cargo
38 3.44 dam3 Una bella piscina olimpica
39 6.87 dam3 Un contenitore grande quanto un campo da calcio e alto un metro
40 13.7 dam3 Sei piscine olimpiche
41 27.5 dam3 10 Neperdecametri cubici
42 55.0 dam3 Il volume dell'acciaio utilizzato per la diga delle Tre Gole
43 110 dam3 La Royal Albert Hall
44 220 dam3 Uno Zeppelin
45 440 dam3 Mezzo Empire State Building
46 880 dam3 Due superpetroliere
47 1.76 hm3 Quasi due Empire State Building
48 3.52 hm3 Un cubo di 150 metri di lato
49 7.04 hm3 Quasi un furlong cubico
50 14.1 hm3 Metà del cemento usato per la diga delle Tre Gole
51 28.1 hm3 Tutto il cemento usato per la diga delle Tre Gole
52 56.3 hm3 Una palla di 576 metri di diametro
53 113. hm3 Undici Teracm3
54 225 hm3 Metà del volume occupato da tutti gli esseri umani sulla terra
55 450 hm3 Uno Sydney Harbour (sydharb)
56 901 hm3 Un terzo del monte Everest
57 1.80 km3 Due terzi del monte Everest
58 3.60 km3 Un monte Everest e mezzo
59 7.21 km3 Un miglio nautico cubico abbondante
60 14.4 km3 Un cubo di lato 2.4 km
61 28.8 km3 Un terzo di tutto il petrolio estratto dal 1850
62 57.6 km3 Una volta e mezzo l'acqua contenuta nel bacino della diga delle Tre Gole
63 115 km3 Tutto il petrolio estratto dal 1850
64 231 km3 Un contenitore grande quanto tutte le terre emerse della terra e alto un millimetro e mezzo

Per amor di completezza, non posso non annotare qui il numero esatto di chicchi di riso, pari a 18446744073709551615, cioè 3 × 5 × 17 × 257 × 641 × 65537 × 6700417.

Numero molto piccolo, però, se confrontato con il numero degli angeli; come dice il sommo poeta nel canto 28 del Paradiso:

L'incendio suo seguiva ogne scintilla;
ed eran tante, che 'l numero loro
più che 'l doppiar de li scacchi s'immilla.

Il numero degli angeli si otterrebbe quindi eseguendo moltiplicazioni successive per mille, e non per due. Arrivando così a questo risultato:

1001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001.

Un bel numero, composto da 190 cifre, uguale a 7 × 11 × 13 × 17 × 73 × 97 × 101 × 137 × 193 × 353 × 449 × 641 × 769 × 1409 × 9901 × 19841 × 69857 × 206209 × 976193 × 5882353 × 6187457 × 99990001 × 66554101249 × 75118313082913 × 834427406578561 × 9999999900000001 × 1253224535459902849 × 53763491189967221358575546107279034709697.

sabato 10 dicembre 2016

Nondum matura est

Esattamente venticinque anni fa sono entrato per la prima volta in classe in qualità di colui che sta seduto dall'altra parte della cattedra. Non era il lavoro che avrei voluto fare nella vita.

Ero uno bravo all'università: mi piaceva studiare matematica, anche se le materie algebriche mi davano più difficoltà (gli unici due 28 del mio curriculum: algebra e topologia algebrica); mi piaceva l'ambiente, volevo diventare prof universitario.

Buongiorno, mi chiamo Roberto Zanasi, mi mancano due esami alla fine, vorrei dare la tesi con lei, vorrei farla sui frattali: così mi presento al mio futuro relatore. Lui mi guarda, dice beh, di solito non sono gli studenti che decidono l'argomento, io non studio direttamente i frattali, però studio argomenti molto vicini a quello che le interessa. Ma che media ha? Eh, rispondo, ho preso due 28, gli altri sono trenta e trenta e lode. Ok, tenga, si guardi questo libro e poi ne riparliamo. Il libro parlava di caos e di attrattori strani. Io avevo ancora in mente, come se l'avessi letto il giorno prima, un articolo su Le Scienze, scritto da un tale Hofstadter, che parlava di misteriosi oggetti matematici chiamati strani attrattori (traduttori traditori, già: la traduzione di strange attractors era forse ancora poco diffusa; l'articolo originale era del novembre 1981, in Italia sarà uscito qualche mese dopo). Mi sono detto subito: beh, è inutile che io legga il libro, questi attrattori strani sono un sogno che si realizza, figuriamoci se posso cambiare idea.

E infatti torno dal professore e gli dico ok. E lui risponde si sbrighi a finire gli esami.

Avevo tenuto il più bello per ultimo: meccanica superiore. Avevo tenuto il più brutto per penultimo: teoria dei numeri. Con la testa piena di attrattori strani e di estate che si avvicina vado all'appello di teoria dei numeri e mi accorgo di non sapere molto. Il prof mi prende da parte e mi dice senti, vedi tu, forse è meglio se torni. Io ci rimango un po' male, ma in effetti ha ragione, non ho capito alcuni argomenti. Rimango lì in aula a sedere un po', l'occhio spento e il viso di cemento, e mentre guardo qualche altro esame viene da me l'assistente e mi fa beh, ma cosa è successo? E io rispondo che semplicemente non avevo studiato abbastanza. Poi il prof torna e mi dice che il voto sarebbe stato un venticinque, ma secondo lui non era bello rovinare il libretto. Si avvicina qualche compagno di corso e mi chiede oh, allora, cosa t'ha detto? Ma niente, rispondo, dice che il voto sarebbe stato venticinque, non voleva rovinarmi la media, al che vedo facce strane nei volti di chi ho di fronte e tergiverso.

Studio di più, passa l'estate, torno a dare l'esame, porto a casa un trenta e lode, maledetto quasicorpo associativo non planare, ti ho capito. Poi arriva meccanica superiore, studio con piacere, concludo con un trenta e lode, vado dal prof della tesi, buongiorno, ho dato l'ultimo esame, son pronto.

Ottobre 1989. Entro al centro di calcolo dell'università e ho un account su un supercomputer (che, probabilmente, aveva meno capacità di calcolo del mio attuale cellulare), devo studiare dei sistemi di equazioni differenziali, fare grafici, capire cose. Mi piace programmare, riesco bene a fare quello che devo fare, tutto procede bene. Ottengo una borsa di studio per laureandi, il 4 luglio 1990 mi laureo, al rinfresco post laurea fatto all'università sono presenti anche i miei genitori, che fanno conoscenza col mio relatore, che dice tutto bene, tra un po' di tempo ci sarà posto per assumerlo (se vi state dicendo che l'università assume per concorso pubblico, e allora come faceva a sapere che mi avrebbero assunto? rispondo: ah ah). Passa il tempo, scriviamo un articolo, arrivano altri laureandi, il laureato che lavorava con me viene assunto e diventa ricercatore, ottengo un'altra borsa di studio, passa il 1990, io faccio quello che devo fare, sono molto rapido, e mi prendo qualche libertà. Si avvicina la fine della borsa di studio e all'orizzonte non se ne vedono altre, nel frattempo decido di sposarmi, e mi chiedo come fare per raggranellare qualche soldino. Si potrebbero fare supplenze nella scuola (era un periodo in cui chiamavano anche gli studenti, figuriamoci i laureati), ma il prof dice no, tu devi essere qua sempre dalla mattina alla sera, come faccio io.

Penso, penso, e decido di accettare qualche ora di supplenza: così mi compro la lavatrice. Vorrà dire che starò all'università un po' di più al pomeriggio, tanto lo dicono tutti che sono molto efficiente.

10 dicembre 1991: entro a scuola. La prima persona che si incontra entrando in una scuola è sempre un bidello: Scusa, tu, ehi? Dov'è che vai? Non puoi girare per la scuola. Ecco, io, ehm, devo fare una supplenza, e… Oh! Mi scusi, professore, è così giovane, non volevo, mi dispiace, vada, vada. Non si preoccupi, sa dirmi dov'è la segreteria? E la sala insegnanti?

Prendo il registro, mi dicono che il prof che devo sostituire (che guarda caso si ammala sempre nelle due settimane prima della vigilia di Natale (e che incontrerò nuovamente come docente di un corso abilitante (e che non conosce il termine "orientazione", erano in due in commissione e non sono stati capaci di cercarlo su un dizionario, mah))) ha preparato una verifica. Tiro fuori il testo dal registro, lo guardo, si avvicinano due colleghi (colleghi!), mi guardano, guardano il foglio, mi chiedono chi sono, rispondo, mi chiedono da che scuola vengo, rispondo ma veramente questa è la prima scuola, non ho mai fatto supplenze prima, sorridono, ah! la prima! bene! anche noi insegniamo matematica, hai bisogno d'aiuto?, ah, devi fare una verifica di goniometria, eh, questo si risolve così, questo colà, se hai bisogno chiedi pure eh, auguri, bene, bene.

Entro in classe e, oh, bastano poche ore per farmi scoprire quanto mi piace parlare di matematica. Certo, ci sono alcuni aggiustamenti da fare (prof, scusi, mentre lei ha dimostrato tutto il teorema della corda io stavo disegnando la circonferenza, non è che potrebbe rispiegare? un pochino più lentamente, magari?), ma è un bel mondo.

La borsa di studio che mi permette di rimanere all'università sta per scadere, il 31 gennaio è l'ultimo giorno. Stiamo lavorando a un secondo articolo scientifico da pubblicare, io provo a chiedere al mio prof ma allora, ci sarà un concorso? cosa faccio? mi preparo? e lui risponde adesso pensiamo a finire l'articolo. Va bene, arriva il primo giorno di febbraio, io continuo a lavorare, facciamo un po' di rifiniture, gli ultimi grafici, passa circa una settimana, e finalmente stampo l'ultima figura. Salgo in ufficio dal prof a portarla, contento. Entra, mi dice, bene, bene, questa figura è ottima. Allora, chiudi la porta, per piacere, siediti. Ho deciso di interrompere la nostra collaborazione.

Gelo lungo la schiena e volto rovente.

Segue qualche spiegazione, riferimenti al fatto che ho malauguratamente deciso di accettare supplenze, al fatto che non ero sempre il primo ad arrivare e l'ultimo a andare via, piccolezze rispetto a quello che mi ha detto dopo e che mi ha ferito di più: non hai abbastanza fantasia. C'è qualcosa che posso fare per rimediare a tutto questo?, domando. No. Così, secco. No. Mi scuso solo per una cosa, aggiunge: averti fatto lavorare durante questa settimana in cui la tua borsa di studio era già scaduta.

Vado a casa, entro, mi siedo sul divano, c'erano i miei in casa, dico: il prof mi ha dato il benservito. Spiego quello che è successo, l'atmosfera è abbastanza cupa, mi alzo, vado in camera mia, mi siedo sul mio letto, il cane che avevo all'epoca salta su, lo prendo in braccio e piango.

Entra la mamma, mi consola, entra il babbo, parliamo un po', adesso cosa farai? Ci sono sempre le supplenze, rispondo, devo dire che non mi dispiace farle, anzi è molto bello, per alcuni aspetti meglio che entrare in un centro di calcolo e stare sempre davanti a uno schermo, però… Però? Eh, rispondo, mi sembra di vivere nella storia della volpe e l'uva, come farò a sapere se davvero sarebbe stato peggio rimanere all'università, adesso che non ho scelta? Eh.

E, insomma, eccomi qua. Alla fine ho fatto l'insegnante, mi sono sposato, sono andato di ruolo nel 2000, mi è stato chiesto di fare esercitazioni per l'università e, quindi, all'università sono tornato davvero in qualità di insegnante. Certo, non come professore universitario: niente ricerca, solo didattica, qualche ora ogni tanto, mica tutti gli anni. La ragazza che ha dato la tesi col mio prof quando io lavoravo con la borsa di studio ha vinto il concorso, ha preso il "mio" posto (e non discuto sul merito, eh), si è sposata con l'altro ricercatore, quello che lavorava con me, io ho incontrato dopo molti anni il suddetto prof che ha anche avuto il coraggio di chiedermi se mi piaceva fare esercitazioni all'università, ho risposto sì, ha detto bene.

Per vari anni continuo a sognare di essere di nuovo all'università a lavorare ai miei attrattori strani. Ma comincio anche a incontrare ex studenti, che mi raccontano di quello che fanno, che si ricordano di me, che mi ringraziano. E allora mi dico che va bene così, che puoi pensare che tutto succeda per caso, e allora non puoi farci niente, e magari l'uva era davvero acerba, oppure puoi pensare che tutto accada per una ragione, e quindi va davvero bene così, e che quello non sarà mica stato l'unico grappolo d'uva esistente nell'universo. Hai imparato a fare una cosa, e a farla bene: goditela. Tutto andrà bene, alla fine. E se non va bene, non è la fine.

giovedì 8 dicembre 2016

La formula del piccolo Gauss senza parole


“Uh, bello, hai fatto l'albero di Natale?”.

“…”.

“Ah, non volevi fare l'albero di Natale”.

“Vedi tu”.

“Allora cos'è?”.

“È una dimostrazione senza parole della formula del piccolo Gauss”.

“Oh, mamma, ancora con questa storia, ma la sanno già tutti!”.

“Ti ricordi anche cosa dice?”.

“Ehm, dice che per calcolare la somma dei primi numeri naturali mi basta moltiplicare l'ultimo numero per il successivo e dividere tutto per due”.

“Sai anche perché?”.

“Mh, ecco, forse no”.

“Una dimostrazione semplice è questa: se vogliamo provare a calcolare la somma dei numeri da 1 a 100, possiamo scriverli due volte in fila, una sopra all'altra; nella prima fila mettiamo i numeri in ordine crescente, nella seconda in ordine decrescente, così:”.

  1 +  2 + 3  + ... + 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 + ... +  3 +  2 +   1

“E perché facciamo così?”.

“Prova a sommare le varie colonne”.

“Allora, dalla prima risulta 1 + 100 che fa 101, dalla seconda 2 + 99 che fa ancora 101… ehi, risulta sempre 101!”.

“Esatto. E quante colonne hai?”.

“Sono 100”.

“E quindi la somma totale è uguale a 100×101”.

“Ah! E siccome ho contato tutto due volte, la somma dei numeri da 1 a 100 è uguale alla metà di 100×101, cioè 5050”.

“Esatto. E se invece di arrivare fino a 100 vuoi arrivare fino a n?”.

“In questo caso ho n colonne la cui somma è + 1. Quindi la somma dei numeri che stanno in una singola fila è uguale a n(+ 1)/2”.

“E questa è la famosa formula del piccolo Gauss.”.

“E quindi? Cosa c'entra la figura con l'albero di Natale?”.

“Ora te la spiego. Osserva i cerchi gialli: nella prima fila ne hai uno solo”.

“Nella seconda fila ce ne sono due”.

“Nella terza tre”.

“Eh, va bene, in ogni fila ce n'è uno in più”.

“Ok, tu vuoi sommarli”.

“Ah! La somma dei primi numeri interi vista sotto forma di triangolo”.

“Proprio così, infatti i numeri come 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, eccetera, vengono proprio chiamati numeri triangolari”.

“Ah. E i dischi che si accendono? E i collegamenti con l'ultima fila?”.

“Dimmi se sei d'accordo su questa affermazione: a ogni disco giallo è associata un'unica coppia di dischi blu e, viceversa, a ogni coppia di dischi blu è associato un unico disco giallo”.

“Fammi vedere bene la figura, uhm. Ah, ora capisco perché vengono evidenziati quei collegamenti, servono per mostrare la tua affermazione!”.

“Infatti. Da ogni disco giallo puoi tracciare due collegamenti, uno che va verso sinistra e un altro che va verso destra: entrambi finiscono su due dischi blu. L'accoppiamento disco giallo-coppia di dischi blu è unico”.

“È come se io associassi un sistema di coordinate ai dischi gialli?”.

“Benissimo! È esattamente così: puoi numerare i dischi blu con i numeri da 1 a 7, e ogni disco giallo è caratterizzato da una coppia di quei numeri. Per esempio, il disco più in alto corrisponde a (1,7).”.

“Vediamo se ho capito: i dischi della seconda fila sono (1,6) e (2,7), quelli della terza sono (1,5), (2,6) e (3,7),  giusto?”.

“Esatto. L'unica differenza, rispetto ai sistemi di coordinate a cui siamo abituati, è che qui non conta l'ordine in cui disponi le due coordinate. Per esempio, le coppie di dischi blu (1,5) e (5,1) identificano lo stesso disco giallo”.

“Giusto, sono d'accordo. Non ho capito però cosa abbiamo dimostrato?”.

“Che la somma dei dischi gialli corrisponde al numero degli accoppiamenti dei dischi blu”.

“Ah. E quanti sono?”.

“Hai 7 dischi, ne vuoi scegliere 2. In quanti modi puoi farlo?”.

“Mi sembra semplice: ho 7 scelte per il primo disco e 6 per il secondo, totale 6×7 = 42, che è sempre un bel numero”.

“Però, così facendo, li conti due volte”.

“Perché?”.

“Perché, appunto, non distingui tra (1,5) e (5,1). In generale, non distingui tra (a,b) e (b,a)”.

“E quindi devo dividere per due il mio calcolo. Ci sono quindi 21 modi di accoppiare due dischi blu”.

“E quindi ci sono 21 dischi gialli”.

“Vediamo, la formula per la somma dei numeri da 1 a 6 dice che devo fare 6×7/2… ehi, è lo stesso calcolo fatto adesso con gli accoppiamenti”.

“Eh, certo.”.

“Ehm, già, sennò non sarebbe una dimostrazione”.

“Eh. Ora, generalizza: vuoi sommare n file di dischi”.

“Quindi voglio calcolare la somma dei numeri da 1 a n”.

“Quanti dischi blu ti servono?”.

“Uno in più, cioè n + 1”.

“E quanti accoppiamenti puoi fare?”.

“Ho n + 1 scelte per il primo disco blu, n per il secondo, però devo dividere tutto per 2 perché non conta l'ordine con cui li prendo”.

“Quanto viene?”.

“(+ 1)n/2”.

“Ed ecco la formula del piccolo Gauss”.

“Fatta con l'albero di Natale”.

“Santo cielo”.

domenica 6 novembre 2016

L'identità del bastone da hockey

“Tutti conoscono il triangolo di Tartaglia”.

Tutti”.

“Oh, insomma, tanti… Mai visto uno schema del genere?”.



“Mh, sì, l'ho visto. Ogni numero si ottiene sommando i due numeri che si trovano sopra di lui”.

“Esatto. Sul contorno si mettono degli 1, e poi si segue la regola che dici tu. Questo schema si chiama triangolo di Tartaglia e ha un sacco di proprietà. Oggi ci concentriamo su una di queste: l'identità del bastone da hockey”.

“Bel nome. Cosa c'entra poi l'hockey?”.

“Assolutamente niente”.

“Benissimo”.

“Ma vedrai cosa c'entra il bastone da hockey tra un po'. Scegli una casella del triangolo, abbastanza in basso”.

“Ok, scelgo 126”.



“Ora, il numero che hai scelto è uguale alla somma dei due numeri che gli stanno sopra”.

“Vero, 126 = 56 + 70”.

“Bene, ecco una figura: la somma dei due numeri azzurri è uguale al numero rosso”.



“Fin qua ci sono”.

“A loro volta, i due numeri che hai indicato sono ottenuti dalla somma di altri numeri: concentriamoci sul 56”.

“56 è la somma di 21 + 35”.

“Bene. A questo punto possiamo dire che il tuo 126 è uguale alla somma di 70 + 21 + 35. Riassumo questo risultato con un'altra figura: la somma dei numeri nelle caselle azzurre è uguale al numero scritto nella casella rossa”.



“Ah, certo”.

“E ora continua con lo stesso procedimento: il 21 a cosa è uguale?”.

“Alla somma di 6 + 15”.

“Ecco la figura aggiornata:”.



“Uh, capisco dove vuoi arrivare. Ogni numero a sinistra viene scomposto nella somma dei due numeri che gli stanno sopra”.

“Proprio così, fino a che non arrivo alla fine”.



“Vedo. E adesso?”.

“Bé, faccio un ultimo passo: invece di evidenziare quel numero 1 che sta a sinistra di 5, evidenzio quello più in alto”.



“Ok”.

“Ed ecco il bastone da hockey”.

“L'insieme delle caselle evidenziate?”.

“Certo, vedi come assomiglia a un bastone da hockey?”.

“Roba da matti”.

“Ma come, non apprezzi la capacità dei Veri Matematici di dare nomi divertenti alle cose?”.

“Ah, guarda, divertentissimi”.

“Almeno serve a qualcosa, questo bastone da hockey?”.

“Direi di no, se non a fare giochi matematici”.

“Benissimo. Sai cosa ti dico?”.

“Cosa?”.

“Che nel dare nomi divertenti alle cose, quelli imbattibili sono i fisici”.