sabato 28 febbraio 2015

Polinomi e dadi

“Mi hanno proposto un quesito che mi sembrava facile, e invece…”.

“Eh, succede spesso con le cose che sembrano facili. Uno dice dai, è semplice, si farà così e cosà, poi quando prova a risolvere si pianta”.

“Già”.

“Ma il quesito in questione qual è?”.

“Questo: abbiamo dei dadi a sei facce numerate in un modo non standard, cioè con i numeri 0, 0, 1, 2, 3, 4. Ne lanciamo cinque e sommiamo le cifre che vediamo: quali sono le probabilità di ottenere i numeri da 0 a 20?”.

“Hai ragione, non è per niente facile. Esiste un metodo per provare a risolvere quesiti del genere, metodo che fornisce una soluzione semplice da scrivere ma comunque difficile da calcolare”.

“Andiamo bene”.

“Eh, lo so, alcuni problemi sono proprio difficili, non si riescono a trovare (o non esistono, chissà) formule semplici per risolverli.”.

“Ma quindi questo si risolve o no?”.

“In un certo senso, sì”.

“Uhm”.

“Ma il bello non è tanto il risultato, quanto la strada percorsa per arrivarci”.

“Ti sento molto zen”.

“Quando la strada ti permette di vedere un problema da tanti punti di vista che apparentemente sembrano scollegati uno dall'altro, nel momento in cui scopri un filo conduttore che li lega tutti quanti ecco che ti sembra di raggiungere l'illuminazione”.

“Sempre più zen”.

“Provo a spiegarti il metodo, ok?”.

“Vai”.

“Partiamo da un caso semplice, però”.

“Mi sembra giusto”.

“Prendiamo un dado a due facce…”.

“Una moneta, insomma”.

“Sì, ma numeriamo le facce con i due numeri 0 e 1, poi lanciamo un po' di monete e cerchiamo di calcolare quello che succede”.

“Va bene”.

“Con una moneta è facile, puoi ottenere solo 0 e 1”.

“E vabbé”.

“Con due monete puoi ottenere i valori 0, 1 e 2”.

“Ma non con la stessa probabilità, no?”.

“Esattamente. Facciamo uno schema di quello che può succedere:”.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 2

“È più facile ottenere 1 che non 0 oppure 2”.

“Certo. Se riportiamo questo problema al tuo problema, hai solo molti più conti da fare, ma compilando uno schema come questo ce la fai sempre”.

“Grazie! Ma uno schema come questo è lunghissimo da fare. Ho provato, sai? Ma poi ho lasciato lì in fretta, i valori intermedi tra 0 e 20 si possono ottenere in un'infinità di modi diversi, ci si perde”.

“Perfetto, questo è esattamente il problema: troppi conti da fare senza nessuna regola semplice che ci permetta di evitarli”.

“Eh, e quindi?”.

“Quindi adesso cambio completamente problema, te ne propongo un altro che non ha niente a che fare con questo, e poi scopriremo invece che non è così”.

“Sono curioso, sentiamo”.

“Sai calcolare il quadrato di un binomio?”.

“Uh, ma cosa c'entra… ok, ok, come non detto. Sì, se mi ricordo bene, sì: quadrato del primo più doppio prodotto del primo per il secondo più quadrato del secondo”.

“Ricordi bene. Sai applicarlo a questo binomio?”.

(1 + x)2

“Direi proprio di sì, viene 1 + 2x + x2”.

“Ok. Ora, dimmi, perché si fa il doppio prodotto?”.

“Eh, uh, perché… perché sì!”.

“…”.

“Ok, ora non ricordo bene, ehm. Ma, boh, probabilmente uno ha provato una volta a fare la moltiplicazione e si sarà accorto che va bene così”.

“Vuoi provare tu?”.

“A calcolare il quadrato come se fosse (1 + x)(1 + x)?”.

“Sì”.

“Ah, va bene, allora: 1 + x + x + x2. I due termini di primo grado si sommano e risulta quello che avevo detto”.

“Bene. Come potresti spiegare il motivo per cui risultano due termini di primo grado che si sommano e uno solo di secondo grado?”.

“Beh, i due termini di primo grado sarebbero uno 1·x, l'altro x·1. Insomma, una volta moltiplico l'uno che si trova nella prima parentesi con la x che si trova nella seconda, l'altra invece moltiplico la x che si trova nella prima parentesi con l'uno che si trova nella seconda”.

“E il termine di secondo grado, invece?”.

“Per quello è ancora più semplice: c'è un solo modo di ottenerlo”.

“Quale?”.

“Moltiplicare la x della prima parentesi con la x della seconda”.

“Quindi, riassumendo: nel risultato hai tre termini, uno di grado 2, uno di grado 1, e un termine noto che è di grado 0”.

“Giusto”.

“Il termine di grado 0 lo puoi ottenere soltanto moltiplicando due termini di grado 0”.

“Certo”.

“In simboli: 0 + 0 = 0”.

“Già”.

“Il termine di grado 2 lo puoi ottenere in un solo modo, moltiplicando due termini di grado 1”.

“Vero anche questo”.

“In simboli: 1 + 1 = 2”.

“Uh, ma questa è la tabella che hai fatto prima coi possibili risultati dei dadi!”.

“Già: concludi tu”.

“Il termine di grado 1 lo posso ottenere in due modi, moltiplicando un termine di grado 0 per uno di grado 1, oppure viceversa, moltiplicando un termine di grado 1 per uno di grado 0. In simboli: 0 + 1 = 1 e anche 1 + 0 = 0”.

“Ecco il filo conduttore: nel lancio di due dadi con i numeri 0 e 1 sulle facce e nel calcolo dello sviluppo del quadrato di (1 + x) si fanno gli stessi calcoli”.

“Roba da matti”.

“Proviamo a farlo con tre dadi?”.

“Sempre con due facce?”.

“Per adesso sì. Facciamo prima una tabellina coi risultati possibili, con tre dadi ci si riesce ancora”.

“Faccio subito, dovrebbe essere questa:”.

0 + 0 + 0 = 0

1 + 0 + 0 = 1
0 + 1 + 0 = 1
0 + 0 + 1 = 1

1 + 1 + 0 = 2
1 + 0 + 1 = 2
0 + 1 + 1 = 2

1 + 1 + 1 = 3

“Bene, quindi hai un modo per fare 0, tre modi per fare 1 oppure 2, e un modo per fare 3”.

“Ok. E il quadrato di binomio?”.

“Questo non sarà più un quadrato, perché puoi anche ottenere 3 come risultato. Prima hai calcolato il quadrato perché il risultato più alto che potevi ottenere lanciando due dadi era 2, e analogamente il grado più alto che puoi ottenere facendo il quadrato di (1 + x) è 2”.

“Adesso quindi devo fare il cubo, dato che ho un massimo uguale a 3?”.

“Esatto”.

“Vediamo, ehm, non ricordo bene, mumble mumble, uno più x al quadrato, poi ancora per uno più x, puff pant…”.

“Tutto bene?”.

“Ehh, sì, ecco, due più uno, fatto! Mi viene così: 1 + 3x + 3x2 + x3”.

“Perfetto. Hai capito la corrispondenza tra questo polinomio e la tabella che abbiamo fatto prima?”.

“Sì, sì! Molto bella! Quell'uno che ho trovato corrisponde all'unico modo che ho di ottenere 0”.

“E osserva che 0 è proprio il grado del monomio 1”.

“Giusto. Invece 3x corrisponde ai 3 modi di ottenere 1. In effetti 3x è 3x1, il grado della x corrisponde al risultato”.

“Molto bene. Poi hai visto che hai altri tre modi di ottenere 2”.

“E questo fatto si traduce nella presenza del monomio 3x2. Alla fine poi ho un solo modo di ottenere 3, e infatti nello sviluppo del cubo di binomio ho proprio un solo termine x3”.

“Perfetto. Ora generalizziamo in un'altra direzione”.

“In che senso?”.

“Abbiamo due dadi, questa volta con tre facce”.

“E come sono fatti?”.

“Beh, non importa, fai finta che esistano. Nella pratica puoi prendere un dado a sei facce e numerate 0, 0, 1, 1, 2, 2, ma non complichiamo le cose, vorrei ragionare proprio su tre sole facce”.

“Ah, va bene. Numerate da 0 a 2, allora?”.

“Esatto. Fai la tabellina dei possibili risultati?”.

“Pronti.”.

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1
0 + 1 = 1

2 + 0 = 2
1 + 1 = 2
0 + 2 = 2

2 + 1 = 3
1 + 2 = 3

2 + 2 = 4

“Ora pensiamo a come costruire il polinomio che corrisponde a questo dado”.

“Uhm, tre facce, come si fa?”.

“Pensa a dove memorizzavi, nel caso precedente, i valori scritti sulle facce”.

“Erano gli esponenti della x, i gradi dei singoli monomi, insomma”.

“Ora hai tre facce…”.

“E quindi tre valori, allora devo scrivere un trinomio questa volta?”.

“Esatto”.

“Va bene (1 + x + x2)?”.

“Va benissimo, è lui. Il numero di lanci, invece, dove lo utilizzavi?”.

“Era l'esponente del polinomio. Quindi adesso dovrei calcolarmi (1 + x + x2)2?”.

“Già”.

“Eh, ehm, devo farlo a mano?”.

“Permettimi di ricordarti la formula, così facciamo prima”.

“Ne hai facoltà”.

“Devi calcolarti tre quadrati e poi aggiungere i tre possibili doppi prodotti”.

“Ah. Allora faccio i conti”.

(1 + x + x2)2 = 1 + x2 + x4 + 2x + 2x2 + 2x3.

“Bene, ma non hai finito, metti insieme i termini simili”.

“Ah, già. Ecco:”.

(1 + x + x2)2 = 1 + 2x + 3x2 + 2x3 + x4.

“E, come vedi, i conti tornano, il risultato corrisponde alla tabella di prima”.

“Devo dire che questa connessione tra dadi e polinomi è affascinante. Quindi potrei risolvere in questo modo anche il mio problema originale?”.

“Esatto. Ma, per fare un'analisi completa, lasciami fare prima un'altra domanda: cosa succederebbe se le facce del nostro dado non avessero la stessa probabilità di uscire?”.

“Uh?”.

“Supponi che il dado a due facce non sia equilibrato, ma che 2 volte su 3 esca lo zero, mentre 1 volta su 3 esca l'uno. Come facciamo l'analisi?”.

“Boh?”.

“Fai una tabella…”.

“Eh, ma con probabilità diverse come si fa?”.

“Fai finta che il dado abbia tre facce”.

“Ah! Un dado con le facce numerate così: 0, 0, 1”.

“Già. Prova a lanciarlo due volte”.

“Ok, ecco la tabella:”.

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1
0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

“Siamo sicuri?”.

“Eh, in effetti mi viene uguale a quella del dado a due facce. Come faccio a tener conto del fatto che ci sono due facce uguali?”.

“Fai finta, inizialmente, che siano diverse. Invece di numerarle con 0, 0, 1 usa un'altra simbologia, in modo da distinguere i due zeri”.

“Ah, allora numero i due zeri in modo diverso, li chiamo 01 e 02. Ecco quello che potrei ottenere”.

01 + 01 = 0
01 + 02 = 0
02 + 01 = 0
02 + 02 = 0

01 + 1 = 1
02 + 1 = 1
1 + 01 = 1
1 + 02 = 1

1 + 1 = 2

“Ok, quindi hai quattro modi per fare 0, quattro modi per fare 1 e un solo modo per fare 2”.

“E coi polinomi come faccio?”.

“Prova a calcolare il quadrato di (2 + x)”.

“Ah! Risulta 4 + 4x + x2”.

“Come vedi, tutto torna”.

“Ma quindi uso (2 + x) invece di (1 + x) perché ci sono due facce uguali?”.

“Puoi ragionare in due modi diversi. Il primo è questo: usi 2 al posto di 1 perché hai 2 casi in cui esce il numero 0, e non uno solo. Altrimenti puoi sempre immaginare di avere una faccia in più, e quindi in realtà quello che stai calcolando è il quadrato del trinomio (1 + 1 + x) ”.

“Perfetto”.

“In sostanza, i coefficienti delle incognite nel polinomio sono legati alla probabilità di uscita della corrispondente faccia del dado”.

“Mentre il valore presente sulla faccia corrisponde all'esponente dell'incognita in ogni monomio”.

“È così. Tutto si basa sulla regola che trasforma la moltiplicazione di potenze con la stessa base in una somma di esponenti”.

“E questa è la somma dei valori delle facce”.

“Sì, mentre la probabilità di uscita di ogni faccia può essere vista come un peso assegnato al valore corrispondente: nel nostro esempio lo zero pesa più dell'uno, perché ha più probabilità di uscita”.

“E allora di zeri ce ne mettiamo due”.

“Già. Volendo potresti mettere come coefficiente della x proprio la probabilità di uscita di quella faccia, in questo caso avresti a che fare con coefficienti frazionari, ma siccome essi avrebbero tutti lo stesso denominatore, potresti raccoglierlo a fattor comune e portarlo fuori dalla parentesi”.

“In sostanza farei gli stessi calcoli”.

“Sì, si tratta di vedere se preferisci lasciare sottinteso il denominatore, o se invece vuoi esplicitarlo: non cambia niente. E ora sei pronto a risolvere il problema del tuo dado”.

“Provo, eh. Allora, sei facce, quindi devo costruire un… esanomio?”.

“Facciamo un polinomio di sei termini”.

“Forse è meglio, sì. Le facce hanno valore 0, 0, 1, 2, 3, 4: questi sono gli esponenti dell'incognita”.

“E sono anche tutte equiprobabili”.

“Giusto, quindi i coefficienti sono uguali a 1. Il polinomio dovrebbe essere questo: (1 + 1 + x + x2 + x3 + x4)”.

“E siccome lanci il dado cinque volte…”.

“Devo elevare il polinomio alla quinta. Ecco la formula finale:”.

(1 + 1 + x + x2 + x3 + x4)5

“Bene”.

“Sì, ma, ehm, quanto fa?”.

“Ah, boh, bisogna farsi tutti i calcoli. Ricordi che all'inizio di questo discorso avevamo detto che il quesito si risolve in un certo senso?”.

“Eh”.

“Beh, in teoria è risolto, devi solo metterti lì a fare i conti. Rispetto a farsi tutta la tabella con tutte le possibili combinazioni dei risultati è comunque un passo avanti”.

“Questo è vero, però è una soluzione deludente”.

“Non si può fare di meglio, i calcoli sono proprio brutti. Un punto chiave del problema è capire in quanti modi puoi ottenere un numero, per esempio 8, sommando cinque valori presi dall'insieme che contiene 0, 1, 2, 3, 4”.

“È proprio quello il problema, avevo cominciato a fare i conti ma sono tantissimi”.

“Già: sono 905”.

“Cosa? Così tanti? E come hai fatto a calcolarlo?”.

“Beh, oggi certi calcoli possiamo farli fare alle macchine. Ecco qua lo sviluppo del tuo polinomio elevato alla quinta:”.

x20 + 5x19 + 15x18 + 35x17 + 75x16 + 141x15 + 235x14 + 355x13 + 505x12 + 655x11 + 781x10 + 865x9 + 905x8 + 855x7 + 745x6 + 601x5 + 450x4 + 280x3 + 160x2 + 80x + 32.

“Santo cielo”.

“Pensa a quando questi conti si facevano tutti a mano”.

“Mo'c lavòr”.



[EDIT: ho dimenticato di inserire i ringraziamenti a chi ha partecipato alla risoluzione del problema. La discussione è iniziata sul socialino dell'amore, raggiungibile (finché dura) a questo link]

mercoledì 28 gennaio 2015

Soluzione al quizzino del sabato sera (in cui si mostra come, a volte, si possano davvero sfruttare evidenti ragioni di simmetria)

Il problema chiedeva di colorare una scacchiera quadrata con due colori, in modo tale che qualunque rettangolo contenuto in essa (non degenere) abbia i quattro angoli colorati con entrambi i colori.

Per scacchiere piccole ci si riesce, il post forniva degli esempi. Per scacchiere grandi, invece, che succede?

Primo fatto: se per un certo valore di n la scacchiera n×n non è colorabile, allora non lo sono nemmeno quelle il cui lato ha una lunghezza maggiore di n, dato che non siamo in grado di colorarne nemmeno una loro parte. Quindi il problema diventa: n può essere grande quanto si vuole, oppure esiste un valore massimo?

Bene, si dimostra che se = 5 la scacchiera non è colorabile come richiesto, e se invece n = 4 ci si riesce.

Prima la parte facile: ecco una possibile colorazione di una scacchiera 4×4:


Ora vediamo cosa succede con una scacchiera 5×5. Essa è composta da 25 caselle, quindi se la colorazione richiesta fosse possibile, dovremmo essere in grado di colorarne almeno 13. Questa affermazione è giustificata da evidenti ragioni di simmetria: se non fossimo in grado di colorare 13 caselle di giallo quel colore che ho usato nel disegno qua sopra, ce ne sarebbero almeno 13 bianche. Bene, allora coloriamo quelle bianche e facciamo diventare bianche le altre, e siamo da capo.

E quindi il problema si è ridotto a questo: riusciamo a colorare almeno 13 caselle?

Se nella prima riga ne colorassimo cinque (ricordiamo che non è importante che sia proprio la prima riga):



nella seconda ne potremmo mettere soltanto una, e così pure nella terza, nella quarta e nell'ultima: se ne mettessimo di più, avremmo dei rettangoli con gli angoli monocolore. In questo modo saremmo in grado di colorare solo 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9 caselle, poche.

Proviamo con quattro caselle colorate nella prima riga:


In questo caso potremmo colorarne due nelle righe successive, e non di più. In questo modo otterremmo 4 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 caselle: troppo poche.

Se poi la prima riga avesse solo tre caselle colorate, ne potremmo inserire tre anche nella seconda:


e poi però nelle righe successive non potremmo inserirne più di due, una in una delle prime tre caselle, e l'altra in una delle altre due. Se ne inserissimo di più, formeremmo un rettangolo con gli angoli monocolore.


Quindi in questo caso il massimo numero di caselle colorate sarà 3 + 3 + 2 + 2 + 2 = 12, ancora troppo poche.

Fine della dimostrazione: 13 caselle non si possono colorare, quindi le uniche scacchiere colorabili nel modo richiesto sono quelle aventi n uguale a 2, 3 oppure 4.

sabato 24 gennaio 2015

Quizzino del sabato sera

Data una scacchiera n×n, siete capaci di colorare, utilizzando solo due colori, le sue caselle in modo tale che tutti i rettangoli di dimensione a×b (con a e b compresi tra 2 e n) che si possono formare al suo interno abbiano le caselle d'angolo colorate con entrambi i colori? Fino a che valore di n riuscite ad arrivare?

Per esempio, se la scacchiera è 2×2, queste due colorazioni vanno bene:

Questa, invece, va bene per una scacchiera 3×3:


Insomma, non devono esistere rettangoli con le caselle d'angolo colorate dello stesso colore.

mercoledì 31 dicembre 2014

Caccia al tesoro

“Ora siamo pronti per risolvere il problema del tesoro nascosto”.

“Oh, finalmente!”.

“Ti ricordo il quesito: parti dalla forca, vai verso l'albero A contando i passi, gira a sinistra, percorri lo stesso numero di passi e trova il punto C. Torna alla forca, vai verso l'albero B contando i passi, gira a destra, percorri lo stesso numero di passi e trova il punto D. Il tesoro è a metà tra C e D”.

“Ma non sappiamo dove sia la forca”.

“Esatto”.

“Come facciamo?”.

“Facciamo come fanno i Veri Matematici: mettiamo la forca in un generico punto del piano”.

“Ma se non sappiamo dov'è?”.

“Per questo è generico, no?”.

“Uhm”.

“Usando i numeri complessi, la posizione della forca è identificata dal numero complesso Γ”.

“Perché proprio una gamma maiuscola?”.

“Perché ha la forma di una forca”.

“…”.

“Non mi puntinare[1], anche Gamow nel suo libro fa così”.

“Spiritosissimo”.

“Vedo che non cogli l'umorismo da Vero Matematico. Comunque, eccoti un disegno in cui la forca è messa in un punto scelto assolutamente a caso del piano”.



“E quindi anche l'origine è in un punto casuale, no?”.

“Certo. Fissata l'origine, automaticamente i punti A e B diventano numeri complessi”.

“E adesso?”.

“Adesso usiamo un altro aspetto dei numeri complessi, quello vettoriale. Camminare verso l'albero A significa sommare un determinato vettore”.

“Sommare a cosa?”.

“Al vettore che corrisponde alla forca, naturalmente”.

“Quindi anche Γ viene visto in due modi diversi: punto e vettore?”.

“Esattamente. Ora la domanda: come possiamo indicare il vettore che va dalla forca all'albero A?”.

“Boh, è importante il nome che gli diamo?”.

“Non ti stavo chiedendo di scegliere un nome: il fatto è che in base ai dati che già abbiamo, quel vettore è univocamente determinato”.

“Ah sì? E quanto vale?”.

“Vale semplicemente − Γ”.

“La differenza tra i due? E perché?”.

“Pensaci un attimo: se parti dall'origine, sommi Γ e poi sommi − Γ, cosa ottieni?”.

“Se faccio i conti algebricamente, Γ si semplifica e rimane A”.

“Perfetto, geometricamente è la stessa cosa, eccoti un disegnino”.



“Ah, ora è chiaro! Però ancora non vedo la soluzione”.

“Aspetta… adesso dobbiamo voltare a sinistra di 90 gradi”.

“Come facciamo?”.

“Utilizziamo il terzo aspetto dei numeri complessi, quello legato alle rotazioni e alle dilatazioni dei vettori”.

“Ehm, so che ruotare e dilatare significa moltiplicare per un numero complesso, ma come si fa qui?”.

“Prova a descrivere il vettore che va dall'albero A al punto C”.

“È uguale a quello che va dalla forca verso A”.

“No, attenzione: è uguale solo come lunghezza”.

“Ah, vero. È anche ruotato a sinistra di 90 gradi”.

“Ricordi come si fa a ruotare di 90 gradi un vettore senza cambiarne la lunghezza?”.

“Lo si moltiplica per il numero i”.

“Perfetto: il vettore che va dall'albero A al punto C è quindi uguale a i(− Γ)”.

“Ah”.

“E quindi la posizione del punto C è data dalla somma di tre vettori: Γ + (− Γ) + i(− Γ)”.



“Va bene. Come trovo il tesoro?”.

“Aspetta ancora un momento: ora rifacciamo la stessa costruzione dall'altra parte, andando verso l'albero B e poi il punto D. Anzi, prova tu”.

“Uh, allora, vediamo… se indico con B−Γ il vettore che va dalla forca a B, allora la posizione del punto B sarà data da Γ+(B−Γ)”.

“Giusto”.

“Ora devo voltare a destra di 90 gradi, e se ben ricordo il numero complesso che ruota i vettori in questo modo è −i”.

“Ricordi bene”.

“Quindi il vettore che va dall'albero B al punto D è − i(− Γ)”.

“Giusto. Quindi il punto D sarà uguale a…?”.

“Sarà Γ + (− Γ) − i(− Γ)”.



“Bene. Ora che conosciamo i punti C e D, possiamo trovare il punto medio del segmento che li congiunge”.

“Come si fa?”.

“Si fa semplicemente la media dei due numeri complessi”.

“Uh? Il punto medio è la media? Così facile?”.

“Sì, anche questo fa parte della magia dei numeri complessi. Guarda, questa figura dovrebbe farti capire perché il punto medio si trova facendo la media”.



“Ah, certo! x+y è la diagonale del parallelogramma, se ne prendo metà arrivo proprio nel punto medio”.

“Esattamente. Quindi puoi calcolare la posizione del tesoro”.

“Allora, scrivo tutte le operazioni: devo prendere il primo punto, sommare il secondo, e dividere tutto per due… ecco, questa è l'espressione”.

[Γ+(A−Γ)+i(A−Γ)+Γ+(B−Γ)−i(B−Γ)]/2

“Perfetto: fai i conti adesso”.

“Vediamo… si semplifica un po' di roba… rimane (B)/2 + i(− B)/2, ho separato la parte reale da quella immaginaria, come facevi tu tempo fa”.



“Bene, ma non hai fatto quello che pensi: A e B non sono numeri reali, ma sono complessi, quindi in realtà non hai separato le due parti”.

“Ah. Non va bene allora?”.

“No, no, va bene così, poi ragioniamo sopra a quell'espressione. Però, prima di farlo, hai notato come è fatto il risultato?”.

“Boh, non noto niente di particolare. C'è una certa simmetria nella formula, però… ehi! Manca Γ!”.

“Oh, bene! Manca Γ, questo significa che non è importante conoscere la posizione della forca: il tesoro puoi trovarlo ugualmente, ti basta conoscere soltanto le posizioni dei due alberi A e B”.

“Ah, ecco! Allora posso scegliere di mettere la forca dove voglio e fare tutti i calcoli in base a quella posizione”.

“Esatto. Ora ti propongo un metodo, che è anche quello scelto da Gamow per spiegare la soluzione”.

“Ti ascolto”.

“Prima di tutto, devi renderti conto che non solo possiamo scegliere la posizione della forca arbitrariamente, ma possiamo anche orientare gli assi di riferimento come ci pare”.

“Ah, sì, questo è vero”.

“E anche la scala che usiamo sugli assi può essere scelta a piacere”.

“Giusto anche questo”.

“Quindi scegliamo il riferimento in modo tale che i due alberi A e B si trovino in corrispondenza dei numeri reali +1 e −1”.

“Ah”.

“Ora la posizione del tesoro, che tu hai trovato essere (B)/2 + i(− B)/2, può essere calcolata molto facilmente: basta sostituire al posto di A e di B i due numeri +1 e −1”.

“Molto facile, quell'espressione diventa… semplicemente i. Possibile?”.

“Certo, tutto giusto. Nel sistema di riferimento in cui A e B sono i due numeri reali +1 e −1, il tesoro si trova nella posizione occupata dal numero i. Con questa scelta di sistema di riferimento, il risultato che hai ottenuto tu è effettivamente suddiviso in parte reale e parte immaginaria”.



“Facilissimo. Se non sbaglio, questo corrisponde a mettere la forca nell'origine, no?”.

“Certamente, e in un attimo si trova il tesoro. Vedi che la matematica è utile?”.

“…”.

lunedì 22 dicembre 2014

Tre aspetti complessi

“L'altra volta hai detto che i numeri complessi sono visualizzabili come punti del piano, poi hai anche parlato di vettori”.

“Giusto”.

“Ma quindi sono punti o vettori?”.

“Sono numeri, che possono essere visti in entrambi i modi. Anzi, volendo essere precisi puoi usare i numeri complessi in tre modi diversi”.

“Addirittura tre?”.

“Già. E ti propongo una strada insolita per esplorare questi tre aspetti, che è in un certo senso la strada inversa rispetto a quella che hai percorso a scuola…”.

“Non c'è problema che io mi confonda, eh”.

“Mh. Va bene, diciamo che è l'inversa rispetto a quella che si percorre di solito nelle scuole”.

“Diciamo così”.

“E che però è analoga a quella che ha portato alla scoperta dei quaternioni”.

“Ah”.

“E che parte dal concetto di quoziente tra due vettori”.

“Ecco, io so fare il quoziente tra due numeri. Cosa significa farlo tra due vettori?”.

“Dimmi prima cosa significa farlo tra due numeri”.

“Eh, significa trovare un numero che, moltiplicato per il divisore, mi dia il dividendo”.

“Bene. Se generalizziamo un pochino ai vettori, le cose non cambiano di molto”.

“In che senso?”.

“Cosa significa moltiplicare un vettore per due?”.

“Significa farlo lungo il doppio”.

“E cosa mi dici della sua direzione e del suo verso?”.

“Quelli non cambiano”.

“Benissimo. Possiamo allora dire che il rapporto tra il vettore 2v e v è uguale a 2”.

“Fin qua sono d'accordo”.

“Ora, che significato possiamo dare al rapporto tra due vettori che non hanno la stessa direzione?”.

“Boh? Servirebbe un numero che modifica sia la lunghezza che la direzione del vettore divisore in modo da dare come risultato il dividendo”.

“Esatto”.

“Ma non esiste un numero di questo tipo! Se moltiplichiamo per un numero reale un vettore, lo possiamo allungare, accorciare, se vuoi ruotare di 180 gradi, ma non di più”.

“Bene, vorrà dire che dobbiamo definire dei nuovi numeri, che ci permettano di ruotare di quanti gradi vogliamo”.

“Ah. Ma come fa un numero a modificare due caratteristiche, la lunghezza e la direzione? Un numero è un numero!”.

“Questi nuovi numeri saranno composti da due parti, una che interagisce con la lunghezza e un'altra che invece interviene sulla direzione”.

“Un numero composto da due parti?”.

“Sì, una coppia di valori: il primo serve per modificare la lunghezza del vettore, il secondo per l'angolo. Insomma, dato il vettore v di lunghezza a e formante un angolo α con il semiasse positivo delle ascisse, e il nuovo numero (r,θ)…”.

“…che chiamiamo numero complesso?”.

“Esatto. Dicevo, la moltiplicazione tra v e (r,θ) produce come risultato un vettore di lunghezza ar e formante un angolo α + θ”.



“Mh. E però non mi sembra che ci sia molta differenza tra il concetto di vettore e quello di numero complesso. Voglio dire, entrambi sono composti da due valori, che in entrambi i casi sono un numero e un angolo, no?”.

“Perfetto. Anche il numero (r,θ) può essere visto come vettore. All'inizio ti avevo detto che i numeri complessi possiamo vederli in tre modi diversi, ti ricordi?”.

“Sì”.

“Eccoli qua, i tre modi: i numeri complessi sono punti del piano, ma sono anche vettori, e sono pure quozienti”.

“E questa confusione è utile?”.

“Certo, e non è una confusione. È una specie di magia, le cose funzionano benissimo, tutto combacia, si ha proprio la sensazione che sia giusto così”.

“Uhm”.

“Guarda, ti faccio qualche esempio. Cosa vuol dire sommare due numeri complessi? Se li vedi come vettori, è semplicissimo: metti le frecce una dietro l'altra”.

“Uh, questa è la somma di vettori che avevo imparato a scuola”.

“Esatto. In figura vedi l'operazione (2 + i) + (1 + 3i)”.



“Che dà come risultato (3 + 4i), mi sembra semplice. La moltiplicazione, invece?”.

“Se vuoi moltiplicare per un numero complesso, devi pensare a quello che abbiamo detto prima sui quozienti. Un numero complesso è un oggetto in grado di modificare la lunghezza di un vettore e anche la sua direzione”.

“E quindi non è così semplice da disegnare come la somma”.

“Eh, no. Uno dei due vettori lo devi disegnare, dell'altro invece devi prendere la lunghezza, che serve per modificare la lunghezza del primo…”.

“Moltiplicando le due lunghezze”.

“Esatto. E poi devi prendere l'angolo che forma con il semiasse positivo delle ascisse, che serve per modificare l'angolo del primo…”.

“Sommando i due angoli”.

“È così. Non è semplice vedere il risultato di una moltiplicazione a occhio, però c'è un caso particolare che è facile da visualizzare. Prova a pensare all'effetto che fa il numero i quando lo usi in una moltiplicazione”.

“E come faccio?”.

“Ricordi quello che abbiamo detto l'altra volta? Abbiamo definito i proprio come quel numero che ruota di 90 gradi in senso antiorario un vettore”.

“Uhm, è vero”.

“Allora, ecco i tre aspetti del numero i: primo, è un punto del piano”.

“E dove si trova?”.

“Dato che lo puoi scrivere come 0 + i, si trova in corrispondenza del punto (0,1)”.



“E va bene. Ma è anche un vettore, no?”.

“Certo, eccolo qua”.

“Un vettore che punta verso l'alto”.

“Un vettore di lunghezza unitaria che forma un angolo di 90 gradi con la direzione positiva dell'asse delle ascisse”.

“Perché lo descrivi in questo modo da Vero Matematico Precisino?”.

“Bé, prima di tutto perché tutti i Veri Matematici sono Precisini, e poi perché la magia viene da qua: la regola della moltiplicazione dice che devi moltiplicare le lunghezze e sommare gli angoli. Il numero i ha lunghezza 1, quindi moltiplicare un qualsiasi vettore per i non fa cambiare la lunghezza. Però cambia la direzione, perché l'angolo che il vettore i forma con la direzione positiva dell'asse delle ascisse si somma all'angolo del vettore che stai moltiplicando”.

“In sostanza i è un oggetto che ruota i vettori di 90 gradi in senso antiorario, e non ne modifica la lunghezza”.

“Esatto, l'abbiamo definito così”.

“Non saprei come rappresentare questo fatto, però”.

“Non rappresenti direttamente i, questa volta, ma rappresenti un vettore v qualsiasi, e il vettore iv”.

“E come?”.

“Così”.

“Ah, ma certo! Il vettore iv è il vettore v ruotato di 90 gradi!”.

“In senso antiorario, certo. Ora riassumiamo quello che abbiamo detto”.

“Benissimo”.

“Un numero complesso è un punto del piano, identificabile da due coordinate (a,b). Allo stesso modo è un vettore, identificabile dalla sua componente lungo l'asse orizzontale e quella lungo l'asse verticale, che sono sempre a e b”.

“Ok”.

“I Veri Matematici dicono che (a,b) è la forma cartesiana del vettore, o del numero”.

“Come le coordinate cartesiane, no?”.

“Esatto. Ma, come vettore, un numero complesso è altrettanto identificabile da altri due numeri (r,θ): la sua lunghezza e l'angolo che forma con la direzione positiva delle ascisse”.

“E i Veri Matematici come chiamano quest'altro modo?”.

“Forma polare”.



“E tutto questo risolve il problema del tesoro del pirata?”.

“Eh, sì. Solo però se sei in grado di ruotare di 90 gradi anche in senso orario”.

“Uh. Devo girare dall'altra parte”.

“Sì. Come fai?”.

“Uso un angolo negativo?”.

“Perfetto. Che numero stai usando?”.

“Eh, in forma polare il numero (1,−90°)”.

“E in forma cartesiana?”.

“Boh?”.

“Prova a disegnarlo”.

“Dovrebbe essere questo”.



“Giusto. Quanto valgono le sue coordinate cartesiane?”.

“Sono (0,−1). Ma allora il punto dovrebbe essere 0−i”.

“Cioè −i, esattamente. Per ruotare in senso antiorario si moltiplica per i, per ruotare in senso orario per −i. E adesso possiamo cercare il tesoro”.

lunedì 15 dicembre 2014

Complesse rotazioni

“Ma quindi come si risolveva il problema del tesoro nascosto? Cosa c'entrano i numeri complessi?”.

“Eh, coi numeri complessi si può risolvere il gioco in modo molto elegante”.

“Ma perché proprio i numeri complessi? Mi sembra un problema di geometria”.

“Certo, e proprio per questo i numeri complessi sono utili”.

“Ma se non c'entrano niente con la geometria!”.

“Qui ti sbagli, c'entrano eccome. Per capire il perché bisogna fare un passo indietro, ai numeri negativi”.

“Tipo −1, −2, −3?”.

“Sì. A dir la verità, ci basta −1. ”.

“Boh, continuo a non capire cosa c'entri la geometria”.

“Prendi un numero qualsiasi, positivo. Per esempio 3”.

“Va bene. Che ci faccio?”.

“Rappresentalo su una retta”.

“E fin qua è facile”.

“Ora moltiplicalo per −1”.

“Diventa −3”.

“Bene, ora ti faccio un disegno”.



“Bè? Cosa vuoi dire? Che c'entra la geometria perché moltiplicando per −1 hai spostato un punto da una parte a quell'altra? Mi sembra banale”.

“Diciamo, più precisamente, che ho ruotato il segmento che va da 0 a 3 e l'ho sovrapposto a quello che va da 0 a −3”.

“Possiamo dire che moltiplicare per −1 è come fare una rotazione di 180 gradi?”.

“In senso antiorario, sì”.

“Volendo anche in senso orario, se giri dall'altra parte ottieni sempre −3”.

“Certo. Siccome dobbiamo decidere un verso, diciamo che scegliamo quello antiorario”.

“Perché dobbiamo decidere?”.

“Perché tra un po' dovremo essere più precisi”.

“Va bene. Ancora non vedo numeri complessi, però”.

“Adesso arrivano, porta pazienza. Fino ad ora abbiamo trasformato una moltiplicazione per un numero particolare in una rotazione”.

“Sì, −1 fa ruotare di 180 gradi”.

“Bene. Ora ci chiediamo: quale numero produrrà una rotazione di 90 gradi?”.

“Cioè metà dell'angolo generato da −1. Mi sembra facile, −1/2”.

“Troppo facile, infatti. Ricordati che l'operazione che ha prodotto la rotazione è una moltiplicazione, e tieni presente che ci piacerebbe mantenere tutte le proprietà delle operazioni. Quindi, se moltiplicare per −1/2 potesse tradursi in una rotazione di 90 gradi, vorrebbe dire che moltiplicare per due volte per −1/2 ci dovrebbe portare a una rotazione di 180 gradi. Ma non è così”.

“Non è così perché moltiplicare due volte per −1/2 significa moltiplicare per 1/4, vero?”.

“Certo”.

“Ma allora dovremmo trovare un numero che moltiplicato per sé stesso due volte sia uguale a −1. Ma non esiste!”.

“Eh”.

“E poi, ora che ci penso, una rotazione di 90 gradi non avrebbe nemmeno senso! Non c'è niente a metà via, se ruoti solo di 90 gradi non ruoti il segmento in modo da sovrapporlo alla retta dei numeri”.

“Molto bene, questo è un altro problema, che in realtà ci fa fare un passo avanti verso la soluzione”.

“Quindi stiamo cercando un numero che non esiste che produce una rotazione di un segmento che rappresenta un numero in una zona in cui non ci sono numeri”.

“Perfetto”.

“Vabbé, mi piacerebbe sapere come i Veri Matematici possano aver risolto questo problema non risolubile”.

“Fanno come il capitano Kirk (l'unico, quello vero) con il test Kobayashi Maru: cambiano le regole”.

“Rimango senza parole”.

“Il numero che moltiplicato per sé stesso due volte dà come risultato −1 non c'è? Bene, lo inventiamo (o lo scopriamo, c'è sempre stato ma non ce ne siamo ancora accorti)”.

“Secondo te c'è sempre stato, naturalmente”.

“Naturalmente”.

“E come se la cavano i Veri Matematici col fatto che ruotando di 90 gradi si arriva in una zona senza numeri?”.

“Semplice: riempiono anche quella zona di numeri”.

“Ovvio, come ho fatto a non pensarci prima?”.

“Definiamo quindi un nuovo numero che chiamiamo i e che ha questa proprietà: ruota i segmenti di 90 gradi in senso antiorario. O, se vogliamo stare fuori dalla geometria, tale che il suo quadrato sia uguale a −1”.

“Un numero che non esiste”.

“Se vuoi. Adesso comunque esiste”.

“E perché proprio i?”.

“Iniziale di immaginario”.

“Mi prendi in giro?”.

“No, no, è proprio così che lo chiamano i Veri Matematici. Questo i è l'unità immaginaria”.

“Come unità? Vuoi dire che ce ne sono altri?”.

“Ovviamente. Cosa ci impedisce di fare + i?”.

“Che farebbe 2i?”.

“Già. O anche + 1”.

“E quanto fa?”.

+ 1”.

“Continuo a pensare che tu mi stia prendendo in giro”.

“No, le cose stanno davvero così. Se ammettiamo l'esistenza di i, e se vogliamo continuare a servirci delle proprietà di cui godono di solito i numeri, dobbiamo anche ammettere l'esistenza di un'infinità di nuovi numeri, formati sommando i vecchi numeri reali con i nuovi numeri immaginari. Qualcosa del tipo + ib, con a e b reali”.

“Bleah. E come li chiamiamo, questi numeri?”.

“Numeri complessi”.

“Ma dai”.

“Non è uno scherzo, si chiamano proprio così. E possiamo anche rappresentarli su un piano in maniera molto facile: il numero + ib corrisponde al punto di coordinate (a,b). Ti faccio notare che in questo modo risolviamo anche il problema di non avere numeri al di fuori della retta: adesso ci possiamo riempire un intero piano. Ma non stiamo a fare la solita trattazione che si fa a scuola e che tu conosci già”.

“Certo, no, non facciamola, so già tutto”.

“Bene”.

“STAVO SCHERZANDO”.

“Ah, eh, ecco. Ma va bene lo stesso, non ci interessa davvero ora ripercorrere tutta la storia. Vorrei concentrarmi su un aspetto, quello delle rotazioni. Usando i numeri complessi possiamo riempire tutto il piano, e possiamo anche definire l'unità immaginaria i in modo alternativo, cioè non come si fa di solito a scuola. Possiamo dire che ogni numero complesso, oltre a essere associato a un punto del piano di coordinate (a,b), è anche associato a un vettore che parte dall'origine e arriva in (a,b)”.

“Fin qua posso essere d'accordo, invece di disegnare un punto posso disegnare tranquillamente una freccia”.



“Bene, quindi hai capito che punti del piano, numeri complessi e vettori sono tre aspetti dello stesso ente”.

“Diciamo di sì”.

“Perfetto, allora i sarebbe quell'unico numero che moltiplicato per un vettore lo fa ruotare di 90 gradi in senso antiorario”.

“Ma come fa un numero a fare ruotare un vettore?”.

“Lo fa così come il numero −1 fa ruotare di 180 gradi un numero reale, cioè un vettore orizzontale”.

“Ma il numero −1 fa ruotare i vettori perché è così che funzionano le operazioni!”.

“Benissimo, e qui noi facciamo il contrario. Definiamo le operazioni tra i numeri complessi in modo tale che funzionino come le rotazioni, e siamo a posto”.

“Ma… ma… ma si può? Ma non è come barare? Davvero i Veri Matematici fanno così?”.

“I Veri Matematici fanno un po' quello che vogliono. Se scoprono che le cose funzionano, sono felici e pubblicano i loro risultati, dopo averli ripuliti e circondati da un'aura di mistero. Se invece le cose non funzionano, buttano via tutto e non dicono niente a nessuno. Storicamente i numeri complessi non sono nati così come ti sto raccontando: hanno avuto un'altra origine. È una storia nota: provando a risolvere le equazioni di terzo grado si è visto che se si usavano questi numeri di cui nessuno conosceva il significato (e di cui molti dubitavano pure l'esistenza), le cose funzionavano meglio. Poi è successo che studiando le operazioni tra i vettori nello spazio altri Veri Matematici hanno scoperto altri numeri, che sono poi stati chiamati quaternioni, che rappresentavano molto bene i rapporti tra vettori nello spazio. Prendere un vettore e moltiplicarlo per un quaternione significa allungarlo o accorciarlo e ruotarlo nello spazio. La cosa meravigliosa è che poi, se si studiano le stesse operazioni tra vettori nel piano, i quaternioni in un certo senso si semplificano e diventano i numeri complessi. E allora, volendo, i numeri complessi si potrebbero ridefinire non seguendo la strada classica, ma come quozienti tra vettori nel piano. In generale, quindi, moltiplicare un vettore per un numero complesso significa allungarlo (o accorciarlo, o anche lasciarlo così com'è, naturalmente) e ruotarlo”.

“Che roba. Ho capito una parola ogni dieci, ma mi sembra di intuire che ci siano due modi diversi per vedere le stesse cose, e questo ti fa andare in brodo di giuggiole, vero?”.

“Sì, lo confesso. Aver studiato i numeri complessi a scuola, dove i era la famosa radice di meno uno, e aver rivisto tutta la loro costruzione a partire dal rapporto tra due vettori, mi ha entusiasmato”.

“Mah. E questi numeri complessi servono poi per risolvere il problema del tesoro?”.

“Anche, sì. Ma prima di farlo, se ti interessa questo modo alternativo di definire i numeri complessi, e se vuoi anche sapere qualcosa anche sui quaternioni, ti consiglio di dare un'occhiata a uno dei libri di Giorgio Goldoni. Fa parte della collana Il professor Apotema insegna…, e si intitola proprio I numeri complessi del piano e dello spazio”.




“Ah, un altro libro della collana, bello!”.

“Sì. La prossima volta parliamo poi del problema del tesoro”.

giovedì 11 dicembre 2014

Il problema del tesoro nascosto di Gamow risolto senza parole

Una vecchia pergamena, che descriveva il posto in cui era sepolto un tesoro di pirati su un'isola deserta, dava le seguenti istruzioni. Sull'isola ci sono solo due alberi, A e B, e i resti di una forca.

Partendo dalla forca contate il numero di passi necessari per raggiungere l'albero A camminando in linea retta. Arrivati all'albero, giratevi di 90 gradi a sinistra e procedete per lo stesso numero di passi. Nel punto in cui vi siete fermati piantate un bastone nel terreno.

Tornate ora alla forca e camminate in linea retta fino all'albero B contando i passi. Raggiunto l'albero, voltatevi di 90 gradi verso destra e procedete per lo stesso numero di passi, piantando un altro bastone nel punto in cui vi fermate. Scavate nel punto che si trova esattamente a metà strada tra i due bastoni e troverete il tesoro.

Un giovane, trovata la pergamena con queste istruzioni, affittò una barca e navigò fino all'isola. Non ebbe difficoltà a trovare i due alberi, ma con suo grande disappunto la forca era scomparsa e il tempo ne aveva fatto sparire ogni traccia. Non conoscendo la posizione della forca, non riuscì a trovare alcun modo per individuare il tesoro e se ne tornò a mani vuote.

Ah, se fosse stato un po' più pratico nel calcolo con i numeri complessi, sarebbe tornato a casa ricco!



(Poi vediamo anche le parole che servono per risolvere, eh)
(Se cliccate sulla forca, potete muoverla)