sabato 14 maggio 2016

Carnevale della Matematica numero 97

Buongiorno e benvenuti al Carnevale della Matematica numero 97, il carnevale che rompe con le tradizioni. Tradizioni che vorrebbero, infatti, che la parte iniziale del Carnevale fosse dedicata alle proprietà del numero che caratterizza il carnevale stesso — ma, diciamocelo, vogliamo davvero un copia-incolla della voce presente in Wikipedia? Ebbene, no.

Quindi, celebriamo il più grande numero primo di due cifre (quando scritto in base 10) declamando il verso ad esso associato nella poesia gaussiana, e cioè sul pino, per poi passare direttamente ai contributi, tutti rigorosamente scritti avendo presente il tema di oggi, che è I Giochi.



Sapevate che esiste una rivista di storia della scienza su Medium redatta da autori italiani? Ebbene, esiste. Si chiama Through the optic glass, ci scrive sopra anche Dioniso, che ci segnala una revisione, o una nuova edizione, dei primi articoli della sua serie sulla storia della matematica. Eccoli qua:

I primi passi del pensiero matematico

Talete

Pitagora I - La nascita e i viaggi

Pitagora II - Crotone e la scuola: matematici e acusmatici

Pitagora III - la famiglia, Muia, Teano e il ruolo delle donne nella scuola

Pitagora IV - Qual è la scoperta più importante dei pitagorici?

Pitagora V - Ippaso, l’incommensurabile e il crollo della scuola

Infine, Dioniso ha anche scritto Musica e numeri per Voltalacarta, una relazione sul legame tra musica e numeri fatta per l'associazione culturale Voltalacarta di Heidelberg.


Nel 1878 il giovane matematico francese François Proth pubblicò una breve nota contenente quattro teoremi sui numeri primi: uno di questi è oggi conosciuto come teorema di Proth e riguarda numeri nella forma × 2+ 1. Come succede sempre in matematica, i teoremi che portano il nome di un matematico non sono stati dimostrati da quel matematico. O, meglio, in questo caso Proth scrisse di possedere la dimostrazione, ma non la pubblicò. Dato che si sta parlando di una dimostrazione che sta in meno di cinque righe, i Veri Matematici sono propensi a credergli, anche se la prima dimostrazione scritta sembra essere quella di Robinson, pubblicata nel 1957. Comunque siano andate le cose, il teorema di Proth può essere usato come test per trovare numeri primi grandi, e sappiamo bene quanto questi numeri piacciano ai matematici e ai crittografi. Dato che 3 × 25 + 1 fa 97, possiamo dire che 97 è uno dei numeri primi di Proth. Il più grande di questi numeri ad oggi noto è 19249 · 213018586 + 1, che è composto da 3,918,990 cifre ed è il più grande numero primo noto non facente parte della categoria degli enormi numeri di Mersenne.

Annalisa Santi ha scritto, per Matetango, un post che parla di uno dei più antichi indovinelli matematici, e cioè il problema numero 79 del papiro di Rhind. Sarà un caso il fatto che il numero del problema si ottiene invertendo le cifre di 97?


Ma parliamo ora di cose inutili (non che finora si sia fatto altro, ma non sottilizziamo). C'è un giochino matematico che funziona in questo modo: si parte dal numero 1, e poi si generano nuovi numeri seguendo questa regola: ogni nuovo numero che aggiungiamo deve essere tale per cui tutte le somme che si possono fare con i numeri che abbiamo scritto devono essere tutte distinte.

Per capirci: se ho un numero solo, e cioè 1, posso calcolare solo la somma di 1 con sé stesso, che è ovviamente unica. Se aggiungo il numero 2 alla lista si possono formare le seguenti somme: 1 + 1, 1 + 2, 2 + 2, che danno tre risultati distinti. Se ora provassi ad aggiungere 3 alla lista, scoprirei che due somme si ripetono: 1 + 3 = 2 + 2. Quindi 3 non può appartenere alla lista, mentre 4 invece funziona: le somme 1 + 1, 1 + 2, 1 + 4, 2 + 2, 2 + 4, 4 + 4 sono tutte distinte.

La successione prosegue con 8, 13, 21, eccetera, e ci pare bello notare il fatto che l'undicesimo termine sia 97.

Juhan ha analizzato, dal punto di vista dei linguaggi di programmazione, ma non solo, un giochino giapponese che è diventato famoso in breve tempo. In sostanza si tratta di capire se 3:1:3 e 3:1/3 siano o no la stessa espressione. Dopo averci pensato un po', andate a vedere cosa fanno alcuni software molto famosi.


Tutti conoscono la dimostrazione di Euclide sull'infinità dei numeri primi, ma riprendiamola un momento per chi avesse un momentaneo lapsus. Supponiamo che i numeri primi siano in numero finito, dice Euclide, consideriamo il loro prodotto, e sommiamo 1. Il numero che otteniamo dovrebbe essere composto, dato che i numeri primi li abbiamo già usati tutti e non ce ne sono più, ma se fosse davvero composto per quale numero sarebbe divisibile? Non per il primo dei nostri numeri primi, dato che il resto della divisione sarebbe uguale a 1. Nemmeno per il secondo, anche in questo caso il resto sarebbe uguale a 1. Ma allora nemmeno per il terzo, il quarto, e così via. E dunque? Dunque il numero che abbiamo ottenuto dovrebbe essere un nuovo numero primo, ah, ma avevamo detto che non ce n'erano più, assurdo.

Proviamo: partiamo da 2, numero primo. Aggiungiamo 1, otteniamo 3, non è divisibile per 2, è un nuovo numero primo. Ora moltiplichiamo 2 per 3, aggiungiamo 1, otteniamo 7, altro numero primo. Andiamo avanti:

2 × 3 × 7 + 1 = 43, primo.

2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1807, ehi, non è primo, Euclide si è sbagliato! No, in effetti 1807 è uguale a 13 × 19, nessuno dei quali fa parte della nostra lista di numeri primi. Allora aggiungiamo il minore: 13.

2 × 3 × 7 × 43 × 13 + 1 = 23479 = 53 × 443, aggiungiamo 53.

2 × 3 × 7 × 43 × 13 × 53 + 1 = 1244335 = 5 × 248867, aggiungiamo 5.

2 × 3 × 7 × 43 × 13 × 53 × 5 + 1 = 6221671, primo, aggiungiamolo.

E, insomma, avete capito, si va avanti così generando nuovi primi alla maniera di Euclide. Questa successione si chiama successione di Euclide-Mullin, di cui non si sa tanto. Per esempio, non si sa se contiene 41; si sa invece che al ventiseiesimo posto possiamo trovare il numero 97.

.mau. ha scritto come al solito una buona percentuale di tutto il Carnevale. Ecco allora, pubblicati sul Post, Ausilii per le moltiplicazioni, che racconta di quando non esistevano le calcolatrici e si faceva tutto a mano; e Quante cifre di pi greco ci servono davvero? Non tante, in realtà.

Sulle Notiziole ha invece questa notevole lista: Conferenze per matematici girelloni dove segnala due conferenze internazionali di matematica ricreativa; un ricordo di Solomon Golomb, l'uomo dei pentamini e dei regoli omonimi; una notiziola di povera matematica, "stimati con precisione". I quizzini della domenica sono Case gialle e case blu e Attraversare un fiume; le recensioni sono Leonardo's Mirror and Other Puzzles di Ivan Moskovich (recensione breve: molto colorato, alcuni giochi carini) e Uncommon Mathematical Excursion di Dan Kalman (recensione breve: a livello universitario, ma molto interessante per la prospettiva non standard sui temi di analisi trattati nel testo).



Un tale di nome Martin Gardner — uno che di giochi ne sapeva un po' — scrisse, tempo fa, un libro intitolato Time Travel and Other Mathematical Bewilderments in cui presentava il seguente problema, intitolato Self Numbers. Il problema ha una presentazione, ovviamente. Eccola.

D. R. Kaprekar, dice Martin, è un matematico minuto, ma con un grande cervello e un grande cuore, che vive in India (o, meglio, viveva ai tempi in cui l'articolo è stato scritto, perché è morto nel 1986). Per più di quarant'anni ha scritto contributi originali nel campo della teoria dei numeri ricreativa (dice proprio così, chissà se esistono corsi universitari sulla teoria dei numeri ricreativa), ha pubblicato articoli su riviste specializzate indiane, e ha anche pubblicato un elevato numero di libretti scritti in inglese un po' traballante.

Kaprekar è conosciuto, fuori dall'India, sopratutto per la scoperta della cosiddetta costante di Kaprekar, che possiamo presentare in questo modo. Partiamo da un qualunque numero di quattro cifre in cui non tutte le cifre sono uguali. Riordiniamo le cifre in ordine decrescente, poi creiamo un nuovo numero invertendo le cifre appena scritte. Sottraiamo il nuovo numero dal primo numero, e ripetiamo il procedimento. In un massimo di otto passi si arriva a 6174, la costante di Kaprekar.

Per esempio, partiamo da 2111, creiamo 1112, sottraiamo 2111 − 1112 = 0999
Ora calcoliamo 9990 − 0999 = 8991
Proseguiamo: 9981 − 1899 = 8082
8820 − 0288 = 8532
8532 − 2358 = 6174
Ed ecco fatto: 7641 − 1467 = 6174.

Ma veniamo alla nuova scoperta di Kaprekar: i self-numbers, numeri che si fanno da sé, di cui si è parlato per la prima volta fuori dall'India nell'aprile del 1974, sul The American Mathematical Monthly (pagina 407). Per capire cosa siano questi numeri che si fanno da sé, è opportuno prima di tutto comprendere un procedimento detto digitadition (digitaddizione? addigitazione? fate voi). Funziona così: preso un qualunque intero positivo, lo si deve sommare alla somma delle sue cifre. Per esempio, a partire da 47 si deve calcolare 47+4+7=58. Il numero 58 viene detto generato da 47, e 47 è detto generatore. Il processo può poi essere ripetuto: 58+5+8 fa 71, 71+7+1 fa 79, eccetera. Non è ancora stata trovata una formula non ricorsiva che generi la successione dei numeri digitaggiunti.

Possiamo (ovviamente) porci alcune domande: possono esistere più generatori per uno stesso numero? La risposta è sì, ma non fino a che i numeri non superano 100: il primo numero con due generatori è 101, generato da 91 e 100. Esistono numeri non generati da nessun altro numero, cioè numeri che si fanno da sé? Ebbene, sì, ne esistono infiniti, e se li mettiamo in ordine crescente al tredicesimo posto troviamo 97.

Roberto Natalini ha mandato una serie quasi infinita di interventi, scritti da varie persone. Facciamo un po' di ordine:

Il nuovo Comics&Science: Lupo Alberto, materia oscura.
Il 12 maggio al Salone del libro di Torino (clic qui per l'evento) è stato presentato il nuovo albo Comics&Science, contenente tra l'altro un fumetto originale di Lupo Alberto, con testi di Francesco Artibani e disegni di Silver.

Anteprima Archimede: Matematica alla Maturità, raccolta dei temi assegnati all'esame di Stato di Liceo Scientifico (ndz: è la raccolta più completa che io abbia mai visto, sfogliatela).
Nel numero 2/2016 di Archimede, che uscirà alla fine del mese di giugno, ci sarà questo articolo di Luciano Battaia, che presenta una raccolta completa dei temi di matematica assegnati all'esame di stato dei Licei Scientifici a partire dal 1923 (sic!), curata dallo stesso Battaia e da Ercole Suppa. Viene pubblicato in anteprima esclusiva su MaddMaths!, sperando di fare cosa gradita a tutti gli studenti e insegnanti interessati.

Il problema non è la matematica, ma il modo in cui viene insegnata.
Alcuni critici, tra cui Simon Jenkins, pensano che la matematica (eccetto quella di base) non serva assolutamente a nulla. Questo è il risultato di curricula scolastici privi di fantasia. Un articolo della medaglia Fields Tim Gowers, comparso su The Guardian e tradotto da Elena Toscano.

La matematica e il Piano Nazionale della ricerca: un appello al ministro Giannini.
Maddmaths! pubblica una lettera dei presidenti di alcune tra le maggiori società matematiche italiane al Ministro Giannini a proposito del nuovo Piano Nazionale della Ricerca.

Documento di riflessione dell'Unione Matematica Italiana sui risultati OCSE-PISA 2012.
Il Consiglio Scientifico dell'Unione Matematica Italiana ha approvato un documento di riflessioni sui risultati degli studenti italiani nella parte matematica dei test OCSE-PISA. L’UMI ritiene infatti opportuno utilizzare questa occasione per una riflessione su quanto è emerso nella passata edizione che vada al di là di un’impressione, o di un titolo, più o meno allarmistici, con l’obiettivo di individuare indicazioni significative per l'importante dibattito sulla formazione matematica dei nostri studenti.

La matematica umida dell'evoluzione #9. "The Last Woman, volume I.
Benvenuto nel primo volume di un progetto a cui tengo molto, che mi rappresenta come madre, moglie e donna. Il mio nome è Mary Shelley… Uno spin-off de "La matematica umida dell'evoluzione", a cura di Davide Palmigiani.

Madd-Spot #2, 2016 - "Cellular Potts Model" e applicazioni biomediche.
Gli individual cell-based models (IBM) sono modelli matematici che riproducono individui biologici, caratterizzati dalle dimensioni tipiche di una cellula, che sono in grado di rivelare come comportamenti anomali di singole cellule possono portare a malformazioni di interi aggregati. Il Cellular Potts Model (CPM) è un metodo stocastico di tipo Monte Carlo, in cui l’evoluzione del sistema biologico in esame è guidata da un principio di minimizzazione di energia. Negli ultimi anni il CPM è stato applicato a specifici problemi biologici e biomedici, originati dalla collaborazione con centri sperimentali. In particolare, sono stati riprodotti esperimenti di tubulogenesi tumorale. Capiamone di più nel Madd-Spot firmato da Marco Scianna, ricercatore in Fisica Matematica presso il Dipartimento di Scienze Matematiche “G. L. Lagrange” del Politecnico di Torino. Una rubrica a cura di Emiliano Cristiani.

Nicola Ciccoli: I miei libri di matematica.
Leggere un libro di matematica non è come leggere un libro di letteratura. Non si inizia necessariamente da pagina uno, non si finisce necessariamente all’ultima pagina. Nicola Ciccoli ci conduce tra le sue letture giovanili di matematica. Qui la prima puntata e qui la seconda.

Sapiens vs Neanderthal: ne rimarrà solo uno.
Gli archeologi sostengono che l'estinzione dei Neanderthal a causa degli umani moderni fu legata alla competizione interspecifica per differenze nel livello culturale. Vediamo di capire meglio cosa può essere successo con un po’ di matematica, in base ad un articolo recentemente apparso su PNAS. Di Davide Palmigiani.

Infine, due articoli sulla quintessenza dei giochi matematici:

Olimpiadi di Matematica — Finali nazionali 2016.
Nello scorso fine settimana si è tenuto su MaddMaths! l'appuntamento con le finali delle Olimpiadi di matematica. Il primo appuntamento è stato con il liveblogging dei momenti salienti delle semifinali delle gare a squadre, venerdì 6 maggio a partire dalle 15, mentre sabato 7 maggio dalle 9 la finale a squadre è stata seguita minuto per minuto.

EGMO 2016: tre medaglie per l'Italia alle Olimpiadi Femminili Europee di Matematica.
Dal 10 al 16 aprile si è tenuta a Busteni, Romania, la quintaEuropean Girls' Mathematical Olympiad (EGMO). Hanno partecipato 147 concorrenti in rappresentanza di 39 nazioni (31 europee e 8 ospiti). La squadra italiana, accompagnata da Alessandra Caraceni e Giada Franz, si è fatta onore. Di Luigi Amedeo Bianchi.




Doctor Who è una serie televisiva molto famosa che io non ho mai visto, ahimé, lo so, prima o poi dovrò porre rimedio alla cosa. Ho letto che nel 2007 andò in onda un episodio, intitolato 42 (già questo dovrebbe bastare) in cui una sequenza di numeri primi felici venne usata come codice per aprire una certa porta su un'astronave. Nessuno su quell'astronave, a parte il Dottore, sapeva cosa fossero questi fantomatici numeri felici, al che il nostro eroe si domandò se per caso non venisse più insegnata nelle scuole la materia matematica ricreativa. Ebbene, se non volete trovarvi a disagio davanti alla porta chiusa di un'astronave, forse dovreste sapere che un numero si dice felice quando il processo di prendere le sue cifre, elevarle al quadrato, sommarle, e ripetere tutto, converge al numero 1.

Per esempio, se partite da 2, ottenete 4, poi 16, poi 37 (uguale a 1+ 62), poi 58 (3+ 72), poi 89, 145, 42, 20, e si ricomincia. La successione non arriva mai a 1, e quindi il numero 2 si dice triste (già).

Se invece partite da 97, ecco quello che succede: 130, 10, 1. Quindi 97 è un numero felice.


Gianluigi Filippelli ha scritto Le partizioni cicliche del Cappellaio Matto: per la serie dei Rompicapi di Alice un metodo, tratto dal numero speciale dedicato a Martin Gardner del College Mathematical Journal del 2012, per calcolare alcune particolari partizioni che possono venire in mente durante un classico tea party.



Il periodo decimale di 1/97 raggiunge il massimo della lunghezza, pari a 96. Alexander Aitken, un calcolatore fulmineo che era anche professore di matematica all'Università di Edimburgo, lo conosceva a memoria.

Certamente non lo aiutava granché il fatto che iniziasse con le potenze di 3 (in quanto 97 = 100 − 3):

1/97 = 0.010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567…


Annarita Ruberto in Math Mahjong Game: Gioca con le Quattro Operazioni ci racconta, invece, di una variante del Mahjong in cui, per progredire nel gioco, occorre eseguire alcune operazioni.



L'Hebdarole (termine che probabilmente ha anche una traduzione in italiano, che io non conosco) è un oscillatore di periodo 7 che vive nella matrice di Life. Non sapete di cosa si stia parlando? Leggete le prossime righe, allora (non prima di aver contato il numero di celle di cui è composto l'Hebdarole stesso: sono 97).



Leonardo Petrillo ha scritto, sul Tamburo Riparato, un post che ci racconta gli aspetti fondamentali e molte curiosità sul Gioco della Vita, ideato da John Horton Conway nel 1970.



“Perché mai Kurt Russell, che nell’originale si chiama Snake e che ha un colossale cobra tatuato, mostrando una inoppugnabile coerenza tra nome e tatuaggio, in italiano l’hanno chiamato Iena? Perché? Perché? Perché? Non lo saprò mai…” — Piotr, commentando un film che parla del '97.

E veniamo infine ai Rudi Mathematici, che mi hanno mandato il materiale poco meno di 24 ore fa, 'sti disgraziati.

L’enigma della Monaca: continua la serie dei Canterbury Puzzles.

Il compleanno del grande Kolmogorov.

Per la tradizionale soluzione al problema del mese ecco quel che è emerso in “L’egocentrismo di Teseo”.

Breve interludio puramente enigmistico: una crittografia (però del tutto irrisolvibile da un enigmista che non abbia almeno sfiorato le gioie del calcolo differenziale).

Per la lunga serie dei Paraphernalia, si procede ancora un po’ con la teoria dei giochi.

E chiudiamo in bellezza con la prestigiosa rivista di matematica ricreativa: RM208.



Grazie a tutti, anche ai ritardatari; il Carnevale finisce qua, il prossimo sarà ospitato da .mau. sul Post e avrà, come tema, le curiosità.

sabato 9 aprile 2016

Gli orologi di Fourier — 1. Homer Simpson destrutturato



“Guarda che bello!”.

“Ma cos'è?”.

“Un orologio…”.

“…con le lancette che vanno al contrario”.

“Eh, vabbé, è un orologio matematico. L'importante è che abbia almeno due lancette che si muovono a velocità diversa”.

“Almeno? Quante lancette vuoi?”.

“Un numero qualsiasi, basta che ruotino a velocità diverse”.

“Un orologio complicato”.

“Oh, sì, e lo complichiamo ulteriormente. Immagina di sommare, in un certo senso, le lancette”.

“E come si fa?”.

“Come se tu dovessi sommare dei vettori. In realtà quelle che tu chiami lancette dell'orologio sono vettori rotanti”.

“Ah. E come li sommo? Con la regola del parallelogramma?”.

“Quello è un modo, altrimenti potresti sommarli mettendoli in sequenza, la coda del secondo vettore parte dalla punta del primo. Quello che i fisici chiamano metodo punta-coda”.

“Vediamo: se li sommo con la regola del parallelogramma, otterrei una figura del genere”.



“Molto bene”.

“Non saprei come fare una figura in movimento col metodo punta coda, però”.

“Ecco qua:”.



“Ahh, ma è bellissimo! Epiciclo e deferente, vero?”.

“Esatto”.

“E adesso?”.

“E adesso sporchiamo un po' la figura: vediamo che traccia lascia la somma delle due lancette”.



“Molto bella”.

“E immagina i disegni che si possono fare con tre lancette, o quattro, o molte di più”.

“Chissà che complicazioni”.

“Guarda qua:”.



“!”.

“Bello, eh?”.

“Meraviglioso, ma come hanno fatto?”.

“Con una tecnica scoperta da Fourier”.

“E come funziona? Non saranno andati per tentativi, no?”.

“Eh, no, hanno preso l'immagine che volevano ottenere e hanno fatto andare le lancette al contrario”.

mercoledì 3 febbraio 2016

Dopo quanto spazio Achille riesce a raggiungere la signorina Tartaruga?

Ovvero: a quanto converge una serie geometrica convergente? Ecco una dimostrazione geometrica senza parole, che usa la similitudine dei triangoli.




venerdì 8 gennaio 2016

Il metodo Cramer, infine

“E insomma, ormai è ora di capire perché funziona la magia del metodo di Cramer”.

“Oh, finalmente”.

“Riassunto delle puntate precedenti: primo, il determinante di un sistema è l'area di un parallelogramma generato da due vettori, che a loro volta sono visibili nelle colonne della matrice”.

“Ricordo”.

Secondo, un sistema di equazioni può essere visto come la risoluzione del seguente problema: di quanto devo moltiplicare due vettori in modo tale che la somma dei risultati dia un terzo vettore?”.

“Ricordo anche questo”.

“E allora ormai è fatta, basta fare qualche considerazione geometrica. Faccio un po' di figure, prendendo come esempio il sistema che abbiamo considerato l'altra volta, cioè questo:”.



“Ricordo che l'avevi scritto in forma vettoriale in questo modo:”.



“Esatto. Allora, qua sotto ho messo in evidenza il parallelogramma generato dai due vettori (2,1) e (1,3). Nella figura però scrivo una formula generale, considerando i vettori (a,b) e (c,d)”.



“Ok, l'area del parallelogramma è il determinante della matrice”.

“Sì. Sto continuando a usare le parentesi tonde per non complicare la notazione[*], immagino che si capisca dal contesto quando è necessario considerare la matrice e quando, invece, il suo determinante, no?”.

“Sì, direi di sì, capisco senza problemi per adesso”.

“Bene. Ora moltiplico per x, una delle due incognite, il vettore u”.

“E non moltiplichi u per y?”.

“Ancora no”.

“Ma così non ottieni la soluzione, però”.

“Infatti, no, ma non mi interessa. Voglio considerare questo parallelogramma:”.



“Ah. Ma si può raccogliere quella x?”.

“Pensa alle aree: moltiplicando la base di un parallelogramma per x, che succede all'area?”.

“Viene moltiplicata pure lei per x”.

“Quindi l'area del parallelogramma evidenziato è x volte l'area del parallelogramma iniziale”.

“Bene, ci sono”.

“Ora guarda, modifico la figura in questo modo:”.



“Mh, come mai hai scritto che anche questo nuovo parallelogramma ha la stessa area del precedente?”.

“Perché questo e quello di prima hanno la stessa base e la stessa altezza”.

“Non riesco a vederlo…”.

“Ruota un po' la testa”.

“Ehm”.

“Sì, guarda bene: i due parallelogrammi hanno un lato congruente”.

“Il vettore v”.

“Esatto: quello è la base. E hanno la stessa altezza perché i lati opposti a v, sia quello del primo parallelogramma sia quello del secondo, stanno sulla stessa retta”.

“Ah! Ora ho capito. E adesso?”.

“E adesso osserva come è fatto questo nuovo parallelogramma: quali sono i suoi lati?”.

“Uno è v, abbiamo detto”.

“Certo. E l'altro?”.

“Boh? Vedo che è la diagonale del parallelogramma grande”.

“Esatto, e quanto è lunga?”.

“Come faccio a saperlo?”.

“Pensa a come si sommano i vettori, no? Non c'è una regola che si chiama proprio regola del parallelogramma?”.

“Ah, ma sì, certo! È la somma di x(2,1) + y(1,3)”.

“E tu sai già quanto vale questa somma, no?”.

“Perché?”.

“Beh, è il testo del sistema”.

“Uh. Ma allora quella diagonale è il vettore (7,11)”.

“Già. Ora traduci il ragionamento nel caso generale: il sistema iniziale è questo:”.



“In questo caso la diagonale è (e,f)”.

“E, quindi, in che altro modo puoi scrivere l'area del parallelogramma avente due lati lunghi (e,f) e v?”.

“Posso scriverla come determinante avente come colonne i due vettori! Così:”.



“Ottimo. Vedi quindi che ci sono due modi per esprimere quell'area, da cui puoi ricavare un'equazione”.

“Certo, eccola:”.




“Ricava la x ed è fatta”.

“Ah, ma è vero, è proprio il calcolo che si fa con questo metodo per ricavare la x, mi ricordo!”.



“Molto bene, la regola dice proprio così: per ricavare la x devi costruire una frazione fatta in questo modo. E cioè: al denominatore devi mettere il determinante della matrice dei coefficienti, mentre al numeratore devi mettere il determinante della matrice che si ottiene a partire da quella dei coefficienti, sostituendo però al posto della colonna delle x quella dei termini noti. Per ricavare la y si procede in modo analogo, costruendo però un altro parallelogramma”.

“Suppongo che sia quello che si ottiene moltiplicando il vettore v per y”.

“Già. Ed ecco il risultato di tutta questa fatica:”.



“Molto bene. Immagino che tutto questo si generalizzi con sistemi aventi più equazioni e più incognite, no?”.

“Esatto, il concetto di determinante nasce proprio per generalizzare tutto ciò. Naturalmente invece di parlare di aree si parlerà di volumi, ipervolumi, cose così”.

“Naturalmente”.

“Ma l'idea di base è comunque questa. Concludo con una animazione, che dovrebbe aiutarti a capire meglio come sono fatti i parallelogrammi di cui abbiamo parlato finora”.




“Oh, ora i due parallelogrammi che hanno la stessa area si vedono bene!”.

venerdì 11 dicembre 2015

E quindi, Cramer?

“Cramer! Chi era costui? — ruminava tra sé il Vero Matematico seduto sul suo seggiolone, in una stanza del piano superiore, con un libricciolo aperto davanti…”.

“Ma cosa stai dicendo?”.

Avevi iniziato a parlare dei determinanti, pensavo che prima o poi mi avresti raccontato anche del misterioso metodo di Cramer per la risoluzione dei sistemi”.

“Hai ragione, rimedio subito! Cosa significa risolvere un sistema?”.

“Eh, significa trovare i valori delle incognite che rendono vere entrambe le equazioni, se non mi sbaglio”.

“Giusto, è così. Ma adesso vorrei mostrarti la cosa da un altro punto di vista”.

“Capirai, fai sempre così!”.

“Guarda che è questo il bello della matematica, vedere le cose da diversi punti di vista, riconoscere analogie, creare collegamenti, ed essere felici per questo”.

“…”.

“Comunque, ti propongo un nuovo punto di vista sui sistemi, e lo faccio con un esempio, così abbiamo dei numeri con cui giocare. Eccoti il testo di un esercizio:”.



“Ok, non mi sembra difficile, fammi fare un po' di conti… mi pare che risulti = 2 e = 3”.

“Bene, fin qua ci siamo. Adesso permettimi di scrivere il sistema in un modo leggermente diverso, ecco:”.



“Uh? Ma che roba è”.

“Possiamo vederla come una scrittura in forma vettoriale del sistema di prima: quei numeri scritti tra le parentesi sono le componenti dei vettori”.

“Quindi, per capire, all'inizio sto moltiplicando x per il vettore avente componenti 2 e 1?”.

“Esatto. Per dirla in un altro modo, stiamo considerando la prima riga del sistema come una descrizione di quello che succede nel mondo delle ascisse di certi vettori, e la seconda riga, invece, come una descrizione di quello che succede nel mondo delle ordinate”.

“Ma le ascisse sono le x, che compaiono sia nella prima che nella seconda riga. E anche le ordinate, eh”.

“Non fare confusione, le x e le y che vedi nel sistema non c'entrano con le ascisse e le ordinate di cui ti sto parlando. Tu hai un vettore, che ha componenti 2 e 1…”.

“Ascissa 2 e ordinata 1”.

“Esatto. Lo moltiplichi per x, cioè ne vari la lunghezza, e ottieni un altro vettore…”.

“Di ascissa 2x e ordinata x?”.

“Proprio così. Poi hai un secondo vettore, di componenti 1 e 3. Questo lo moltiplichi per y”.

“E ottengo un vettore di componenti y e 3y”.

“Sì. Adesso li sommi: ti ricordi come si fa la somma tra due vettori?”.

“Si fa componente per componente. Il risultato dovrebbe essere il vettore di ascissa 2x + y e di ordinata x + 3y”.

“E queste sono le due righe del sistema. Cioè, le due parti a sinistra dell'uguale”.

“Ah, ho capito. E il sistema quindi ci domanda quanto devono valere x e y perché il vettore risultante sia quello di componenti 7 e 11?”.

“Ottimo, hai detto bene: traducendo in linguaggio geometrico, il sistema ci domanda di quanto devo allungare i due vettori (2,1) e (1,3) perché il risultato sia il vettore (7,11)”.

“E quindi potrei fare anche un disegnino, con questi vettori? Giusto per vedere meglio le cose”.

“Naturalmente. Puoi giocare con la figura qua sotto: in rosso sono indicati i vettori u e v, che sono i vettori (2,1) e (1,3). Puoi trascinare il punto viola dove vuoi, e osservare come devono essere modificati i due vettori dati perché la loro somma dia il vettore che termina sul punto viola”.



“Mh, carino, ma il punto rosso cosa sarebbe?”.

“È il punto di coordinate (7,11), cioè il punto dove tu vorresti fare andare la punta del vettore”.

“Beh, posso trascinarcela sopra, no?”.

“Certo. Se lo fai, puoi vedere come devono essere modificati i vettori u e v in modo tale che la loro somma finisca proprio su (7,11)”.

“Provo… a occhio mi sembra che il vettore u raddoppi…”.

“Eh eh”.

“Cosa c'è da ridere?”.

“Magari ti sembra anche che il vettore v triplichi?”.

“Mh, non riesco a vederlo bene a occhio, ma potrebbe essere. Continuo a non capire perché ridacchi, però”.

“Perché hai già risolto il sistema prima! Non avevi trovato = 2 e = 3?”.

“Sì, ma cosa c'entra… Ah! Ma certo! Il fatto che x sia uguale a 2 significa che devo moltiplicare il vettore u per 2, e il fatto che y sia uguale a 3 significa che devo moltiplicare v per 3, e il risultato è proprio (7,11). Ma guarda un po', non avevo mai visto un sistema risolto in questo modo”.

“Bello, vero? In pratica abbiamo interpretato il sistema come un'equazione vettoriale. Se diamo un nome anche al vettore risultante, cioè (7,11)…”.

“A questo punto chiamiamolo w”.

“Bene, se poniamo allora = (7,11), il sistema che abbiamo scritto prima può essere riscritto così:”.

xu + yv = w.

“Molto semplice”.

“E però non possiamo mica sempre trovare x e y a occhio, no?”.

“Eh, no. Ma questa visualizzazione ci aiuterà molto nella ricerca di un metodo risolutivo”.

“Il famoso metodo di Cramer?”.

“Proprio lui”.

lunedì 9 novembre 2015

Il determinante di una matrice, che rimane sempre un concetto misterioso

Tempo fa avevo scritto del determinante visto come volume orientato, e di come la sua definizione fosse necessariamente complicata (cioè: se vuoi una formula che funzioni in un certo modo, con determinate proprietà, allora deve essere fatta così).

Possiamo affrontare il problema anche in un altro modo: invece di elencare le proprietà e vedere come va a finire, facciamo il conto una volta per tutte. Lo facciamo in un caso particolare, quello bidimensionale, che riusciamo a visualizzare bene, perché spesso un disegnino spiega più di mille parole (se non sarà una dimostrazione generale da Veri Matematici, pazienza).

Quindi: cosa vogliamo fare? Vogliamo calcolare l'area di un parallelogramma conoscendo i due vettori che lo generano.


Ecco, questa immagine è una dimostrazione senza parole (quasi, via) del fatto che il determinante di una matrice quadrata rappresenta l'area di un parallelogramma generato dai due vettori (a,b) e (c,d), che nel disegno sono scritti in verticale così come si fa di solito in algebra lineare/geometria.

Ecco la spiegazione:


  • Il rettangolo blu ha il lato orizzontale lungo a e quello verticale lungo d, quindi la sua area vale ad.
  • Trasporto il triangolo rettangolo avente cateti a e b (quello con il tratteggio arancione) in alto.
  • Trasporto il triangolo rettangolo avente cateti c e d (quello con il tratteggio viola) a destra.
  • Osservo che in questo modo copro tutto il parallelogramma e anche qualcosa in più, e più precisamente il rettangolino in alto a destra, di dimensioni c e b, e quindi di area bc.
  • Concludo quindi che l'area del parallelogramma si ottiene sottraendo l'area del rettangolino bc dall'area del rettangolone ad, cioè ad − bc.
  • (Noto che devo sottrarre tutto il rettangolino bc e non solo la parte esterna al parallelogramma, perché la parte interna viene contata due volte (e infatti presenta un doppio tratteggio), mentre devo contarla una volta sola)
  • Concludo che va tutto bene, quindi l'area del parallelogramma è proprio uguale al determinante della matrice.


Questo disegnino serve anche per capire perché funziona la misteriosa regola di Cramer per risolvere i sistemi lineari, ma questa è un'altra storia.

P.S. Questo è il millesimo post di questo blog. Incredibile.