Su un particolare insieme numerico - altri numeri

“Vai, ho capito, dato che ora abbiamo a disposizione un numero, possiamo costruirne altri secondo la tua regola, così:”.

{∅|∅}, {∅|0}, {0|∅}, {0|0}.

“Uhm, siamo sicuri che siano numeri?”.

“Eh?”.

“Secondo la definizione, dovresti verificare che nessun elemento dell'insieme di sinistra sia maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra”.

“Ah. Ehm, non possiamo usare quelle meravigliose proprietà dell'insieme vuoto?”.

“Dipende. Vediamo un po': il primo dei tuoi numeri l'abbiamo già visto, è lo zero”.

“Sì, l'ho scritto solo per completezza, quelli nuovi sono quelli dopo”.

“Ok. Prendiamo allora {∅|0}. È un numero? Vale la definizione?”.

“Mi pare proprio di sì: secondo quanto hai detto tu, nell'insieme di sinistra non ci sono elementi maggiori o uguali di qualche elemento dell'insieme di destra. In effetti, non ci sono proprio elementi”.

“Ottimo. Hai dimostrato una proprietà generale: qualunque sia x, {∅|x} è un numero”.

“Giusto”.

“Ora prendi {0|∅}. È un numero?”.

“Uhm, qui nell'insieme di sinistra c'è effettivamente un numero. No, un momento, forse ho sbagliato qualcosa: l'insieme di sinistra non è un insieme!”.

“Sì, hai ragione, avresti dovuto scrivere {{0}|∅}; questo è il motivo per cui usiamo la barra verticale invece della virgola per dividere i due insiemi di sinistra e di destra: tutto ciò che sta da una parte o dall'altra della barra è da considerarsi un insieme. Insomma, invece di scrivere {{x₁,x₂,x₃,...},{y₁,y₂,y₃,...}} scriviamo {x₁,x₂,x₃,...|y₁,y₂,y₃,...}”.

“Ah, ok. Sì, effettivamente semplifica un po'”.

“Bene. Allora, prova a vedere se {0|∅} è un numero”.

“Allora, nell'insieme di sinistra questa volte c'è un numero, è 0. Però è vero che 0 non è maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra: l'insieme di destra è vuoto”.

“Perfetto. Anche in questo caso, hai dimostrato un caso generale: qualunque sia x, {x|∅} è un numero”.

“Rimane {0|0}. Uhm, è vero che 0 (l'unico elemento dell'insieme di sinistra), non è maggiore o uguale di 0 (l'unico elemento dell'insieme di destra)? Boh, mi pare di no, 0 è uguale a 0”.

“Ecco, in questo caso dovremmo sapere cosa significa essere maggiore o uguale”.

“Non lo sappiamo?”.

“Eh, no. Finora non abbiamo dato la definizione, e dato che questi numeri sono del tutto nuovi, e stiamo partendo da zero (anzi, stiamo partendo da ∅), dobbiamo definire tutto, anche l'ordinamento”.

“Uh, ho paura che non sarà una cosa semplice”.

“Sì, effettivamente la definizione è un po' arzigogolata. Ma è fatta in modo tale da sfruttare ancora una volta le proprietà dell'insieme vuoto. La vediamo la prossima volta”.

Su un particolare insieme numerico - il primo numero

“Ma se ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri creati precedentemente, all'inizio con quali numeri partiamo? I naturali?”.

“No, no, niente naturali: all'inizio non esistono numeri”.

“Ma allora? Se precedentemente non esiste niente, come si fa?”.

“All'inizio non esistono numeri, ma c'è un oggetto che esiste sempre: è l'insieme vuoto”.

“Che non è un numero, però”.

“Ma è un insieme di numeri”.

“Di numeri? Ma se non contiene niente!”.

“Appunto: puoi forse dire che contiene oggetti che non sono numeri?”.

“Uh, se la metti così allora l'insieme vuoto è anche un insieme di banane”.

“Certamente. L'insieme vuoto può essere visto come insieme di qualsiasi tipo di elementi”.

“Bella roba: è un insieme che può contenere tutto ma che in realtà non contiene nulla”.

“E, però, esiste”.

“Va bene, esiste. È una scatola vuota”.

“Ci accontentiamo: ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri (ce li abbiamo, sono entrambi l'insieme vuoto) creati precedentemente (non ci sono numeri dentro all'insieme vuoto, quindi non abbiamo il problema del regresso all'infinito). Siamo a posto”.

“Però la tua definizione specifica anche che nessun elemento dell'insieme di sinistra deve essere maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra”.

“E infatti è così: vedi forse qualche elemento nell'insieme di sinistra che sia maggiore uguale a qualche elemento dell'insieme di destra?”.

“Ma cosa vuol dire insieme di sinistra o di destra?”.

“Allora, usiamo qualche simbolo, così ci capiamo. La definizione dice che ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri, giusto?”.

“Sì”.

“Allora, scriviamo i due insiemi in questo modo: {A|B}”.

“Uhm, perché metti una barretta verticale invece di una virgola?”.

“Per non confondermi quando elencherò gli elementi di A o B. E poi per ricordare, in modo grafico, le sezioni di Dedekind”.

“Ah, ecco perché hai voluto parlarmi delle sezioni di Dedekind, anche se era evidente che non ti andava molto...”.

“Già. Questa costruzione le ricorda un po'. Comunque, dato che scriviamo i numeri come coppia di insiemi in questo modo, {A|B}, risulta abbastanza naturale chiamare A insieme di sinistra e B insieme di destra. Potremmo anche indicare i numeri con {S|D} o, se vogliamo fare gli inglesi, {L|R}”.

“Va bene, fino a questo livello di naturalità ci arrivo”.

“Allora, noi abbiamo a disposizione, all'inizio, solo l'insieme vuoto”.

“E questo l'ho capito”.

“Quindi l'unico numero che possiamo costruire è {∅|∅}”.

“E questo è un numero?”.

“Secondo la definizione, lo è se è vero che nessun elemento dell'insieme di sinistra è maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra”.

“Insisto, l'insieme di sinistra non ha elementi”.

“E insisto anche io: è forse vero che l'insieme di sinistra contiene elementi maggiori o uguali di qualche elemento dell'insieme di destra?”.

“No, assolutamente no. L'insieme di sinistra non. contiene. elementi”.

“Allora siamo a posto. È un numero”.

“Non ci posso credere”.

“Le infinite e meravigliose proprietà dell'insieme vuoto ti danno il benvenuto in questo nuovo mondo”.

“Povero me. Che numero sarebbe, allora?”.

“Direi che, per cominciare, potremmo chiamarlo 0”.

“Zero?”.

“Già. Si parte da qui: 0 = {∅|∅}”.

Su un particolare insieme numerico - in principio

Ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri creati precedentemente, in modo tale che nessun elemento dell'insieme di sinistra sia maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra. Tutti i numeri vengono costruiti in questo modo.

“E questo cosa sarebbe?”.

“Una nuova definizione”.

“Di un qualche insieme numerico?”.

“Sì”.

“Quali numeri?”.

“Tutti”.

“Tutti insieme?”.

“Tutti insieme, tutti in una volta, e molti di più di quelli che pensi”.

“E come si chiama, questo insieme?”.

“Su”.

“Eeh?”.

“Non hai notato il titolo di questa serie di nostre conversazioni?”.

“Su un particolare insieme numerico?”.

“Già. Puoi anche leggerlo in un altro modo, però. E cioè Su: un particolare insieme numerico”.

“Un gioco di parole?”.

“Bello, eh?”.

“Me. Ra. Vi. Glio. So. Ma cosa significherebbe Su?”.

“Bè, è una mia traduzione di un gioco di parole inglese”.

“Sempre meglio. Com'era, in originale?”.

“Allora, parto dall'inizio. Conway (ti ricordi di lui, vero?) ha definito una particolare classe di numeri in un testo intitolato On Numbers and Games”.

“E vabbè, in italiano sarebbe Riguardo ai numeri e ai giochi, o qualcosa del genere”.

“Infatti. All'interno del testo, però, l'insieme di numeri che Conway definisce viene indicato con il simbolo On”.

“Ah, ecco. Quindi il titolo potrebbe essere anche tradotto (un po' liberamente) come Numeri e Giochi dell'insieme On”.

“Esatto, ecco quindi il gioco di parole originale. Così come si dice Real Numbers, Conway dice On Numbers”.

“E i Games?”.

“Bè, quelli sono un'altra storia: ammorbidendo un po' la definizione, si possono definire dei Giochi”.

“Ok, per adesso lasciamola così. E quindi la tua traduzione di On sarebbe Su?”.

“Già, ma non è una semplice traduzione. È successo che Knuth, dopo aver letto il testo di Conway, si è entusiasmato per la definizione di questi nuovi numeri e ha scritto un breve racconto, in forma di dialogo, che narra di due ragazzi che, trovandosi soli su un'isola deserta, scoprono un antico scritto riguardante la creazione dei numeri e si mettono a studiarne le proprietà, scoprendo così i piaceri della matematica”.

“Solo un Vero Matematico può pensare che due ragazzi soli su un'isola deserta si mettano a esplorare i piaceri della matematica”.

“Bè, comunque, Knuth ha coniato anche un nome per questi nuovi numeri, li ha chiamati numeri surreali”.

“Carino”.

“Capito il gioco di parole? Su-reali, oltre i reali, al di sopra dei reali. Bello, eh?”.

“Rabbrividisco”.

“E quindi ecco il mio gioco di parole: Su è l'insieme dei numeri surreali”.

“Sì, direi che questa situazione sia veramente surreale”.

Pace eterna

Avevo già parlato di Guerra Eterna, un romanzo molto bello di Joe Haldeman che fa da contraltare a Fanteria dello spazio. Bene, oggi ho finito di leggere Pace Eterna, un secondo romanzo che vorrebbe ricollegarsi, almeno nel titolo, al primo.



L'autore tiene a precisare che la decisione di scrivere questa specie di seguito (che, però, non è un vero seguito) è stata della casa editrice: bene, il risultato è di molti livelli inferiore rispetto a Guerra Eterna. La trama non è tanto avvincente, il tema principale (quello, appunto, della pace) non è molto sviluppato, e la traduzione sembra fatta da babelfish. Leggere le pagine di questo romanzo è irritante.

Un esempio per tutti: uno dei protagonisti riceve alcuni file per posta elettronica, ne apre uno, lo guarda, e lo mette da parte sul tavolo.

Autocitazione

La disgustosa ostentazione di plutocratica sicumera ha colpito ancora.

(L'immagine proviene da Topolino 2796, del 30 giugno 2009, ed è una meravigliosa autocitazione)

Su un particolare insieme numerico - costruzione dei numeri complessi

“Ora che sono stati definiti i numeri reali, le cose tornano ad essere facili. I numeri complessi possono essere definiti in modo molto semplice, per esempio”.

“Oh, bene. Anche qua si può usare il trucchetto?”.

“Sì, basta che ti ricordi come funzionano i numeri complessi”.

“Ricordo che un numero complesso si può scrivere nella forma a+ib, dove a e b sono numeri reali, e i è la radice di -1”.

“Quale radice?”.

“Come quale? Quante ce ne sono?”.

“Dimmi tu: quanti sono i numeri che elevati al quadrato danno come risultato -1?”.

“Uhm, intendi i e -i?”.

“Sì. Quale dei due è la radice di -1?”.

“Non è i?”.

“E non potrebbe essere -i?”.

“Boh, penso di sì”.

“Allora non è proprio corretto dire che i è la radice di -1”.

“Cos'è, una sottigliezza da Vero Matematico?”.

“Già: i è uno dei due numeri che, elevato al quadrato, dà come risultato -1. Ne esiste anche un altro, che è -i, indistinguibile dal primo”.

“In che senso, indistinguibile? Uno è positivo, l'altro è negativo, no?”.

“Assolutamente no, non esistono numeri complessi positivi o negativi (per la gioia degli studenti non esistono quindi le disequazioni tra numeri complessi)”.

“Ma come? E allora, quel segno negativo messo davanti a -i?”.

“È solo un modo per distinguere +i da -i, ma non dobbiamo pensare che uno dei due numeri sia privilegiato rispetto all'altro. L'unico modo per definire quei due numeri è l'equazione x²+1=0, la quale ha due soluzioni immaginarie, che sono +i e -i”.

“Mah, va bene, prendo atto di questa faccenda. Comunque posso continuare a usare i segni davanti a i, per distinguere i due numeri?”.

“Certo, certo. Esistono due numeri che elevati al quadrato danno -1, e per distinguerli li indichiamo con +i e -i, ma se li avessimo indicati con -i e +i non sarebbe cambiato nulla: sono sempre loro due”.

“Va bene. Allora, possiamo tornare alla definizione di numero complesso?”.

“Sì, hai detto che è un numero fatto così: a+ib”.

“Infatti. Ora come costruisco l'insieme dei numeri complessi?”.

“Semplice: è l'insieme delle coppie di numeri reali (a,b)”.

“Tutto qua?”.

“Tutto qua. Il prodotto cartesiano R×R è l'insieme C dei numeri complessi. Invece di scrivere a+ib puoi scrivere (a,b)”.

“Mi pare troppo facile”.

“Naturalmente dobbiamo definire le operazioni”.

“Ah, ecco”.

“Ma qua puoi usare il trucchetto: fai prima le operazioni con la notazione solita, poi trasforma le formule utilizzando il linguaggio delle coppie”.

“D'accordo. Allora, la somma di due numeri complessi dovrebbe essere questa:”.

(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d).

“Ottimo. Come diventa nella nuova notazione?”.

“Diventa (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)”.

“Benissimo, questa è la somma. Ora prova il prodotto”.

“Allora, (a+ib)(c+id) = ac-bd+i(ad+bc)”.

“Bene. Trasforma anche questa, adesso”.

“Uhm, ecco: (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc)”.

“Ecco fatto”.

“Tutto qua?”.

“Sì, molto facile. Fai una prova: come diventa i, nella notazione con le coppie?”.

“i da solo?”.

“Sì”.

“Uhm, non ha parte reale, quindi dovrebbe essere (0,1)”.

“Bene, utilizzando la regola della moltiplicazione, calcola i²”.

“Ecco: i² = (0,1)(0,1) = (0-1,0+0) = (-1,0). Ehi, ma questo è -1, funziona!”.

“Avevi dei dubbi?”.

“Mah, a volte ho l'impressione che voi Veri Matematici confidiate molto sul fatto che tanto nessuno va mai a controllare”.

“Comunque sia, l'insieme dei numeri complessi è stato ben definito, e ha anche alcune interessanti proprietà”.

“Quali?”.

“Per esempio, è un insieme algebricamente chiuso”.

“Cosa significa?”.

“Significa che qualunque polinomio in una variabile di grado maggiore o uguale a 1, a coefficienti in C, ha una radice in C”.

“Mmmh, puoi espandere un po' il concetto?”.

“Tutte le equazioni polinomiali hanno almeno una soluzione in C”.

“Ah”.

“E dato che, appena trovi una soluzione di un'equazione di grado n, puoi abbassare di 1 il grado dell'equazione, ti rimane una nuova equazione di grado n-1. Anch'essa ha almeno una soluzione in C”.

“Ah. Quindi posso andare avanti fino a che non arrivo a un'equazione di primo grado?”.

“Sì. In pratica ogni equazione polinomiale di grado n a coefficienti in C ha sempre n soluzioni in C”.

“Bé, bello. Non esistono le equazioni impossibili”.

“Esatto. Questo risultato prende il nome di teorema fondamentale dell'algebra”.

“Ah. E lo dimostriamo?”.

“No, no. In realtà avevo pensato di non parlare proprio dei numeri complessi”.

“E perché?”.

“Perché il mio problema era fare vedere come si riempie la retta dei numeri, e per questo sono sufficienti i numeri reali. I numeri complessi sono solo due rette messe in croce”.

“Ehm, questa non mi sembra una definizione da Vero Matematico”.

“No, infatti, hai ragione”.

“Ma se non volevi parlare dei numeri complessi, che intenzioni avevi?”.

“Volevo ricominciare tutto da capo”.

Sono il migliore in quello che faccio

Poi dicono che hanno fascino quelli alti, belli e levigati: Wolvie però è il nodo dal quale si diramano più rami.

(Via uncannyxmen.net)

Su un particolare insieme numerico - tedioso

“La definizione che abbiamo dato di sezione di Dedekind è sovrabbondante”.

“Cioè?”.

“A cosa ci serve specificare entrambi gli insieme della sezione? Perché definire una sezione di Dedekind con una coppia di insiemi (A,B)? Non serve, se conosciamo A è automaticamente determinato anche B. Quindi potremmo limitarci a dire che la sezione di Dedekind di un certo insieme è un insieme A, non vuoto, chiuso verso il basso, che non contiene massimo”.

“Dopo, però, non sembra più una sezione. Il lettore può rimanere disorientato nel leggere sezione e non vedere le due parti in cui l'insieme è stato sezionato”.

“E tu pensi che ai Veri Matematici importi qualcosa del disorientamento di chi legge?”.

“Ah, già. Non ci avevo pensato”.

“Qualche maligno potrebbe pensare che il limitare la definizione di sezione di Dedekind al solo primo insieme potrebbe essere una complicazione voluta, perché in fondo non è un gran spreco di tempo e di spazio specificare anche il secondo insieme”.

“Ma noi non siamo maligni”.

“Infatti. Anche perché io ti ho prima dato la definizione con i due insiemi, e solo adesso ti sto dicendo che possiamo evitare di specificare il secondo”.

“La tua maestria didattica mi sbalordisce”.

“Uhm”.

“Ma vai pure avanti, pendo dalle tue labbra”.

“Mh. Allora, ci sarebbero da definire le operazioni tra numeri reali”.

“Eh, dato che i numeri reali sono determinati da una coppia di insiemi — anzi, da un unico insieme, ma pur sempre un insieme contenente infiniti valori — non deve essere facile”.

“Più che altro è noioso. Utilizziamo, per evitare un po' di noia, la notazione con un unico insieme. Cosa significa sommare due numeri x e y?”.

“Cosa significa?”.

“Ricordiamo che x è associato a una sezione di Dedekind, indichiamola con X”.

“E allora indichiamo con Y la sezione di Dedekind relativa a y”.

“Bene. Allora x+y è definito come la sezione di Dedekind formata dal seguente insieme:”.

{x+y | x∈X, y∈Y}

“Ehm, dunque... L'insieme formato da tutte le possibili somme tra un elemento di X e uno di Y?”.

“Esatto. Si somma tutto e si ottiene una nuova sezione di Dedekind”.

“Siamo sicuri che l'insieme che si ottiene sia una sezione di Dedekind?”.

“Bella domanda. Te la lascio come esercizio, però”.

“Mh, vabbé. Si fa così anche la moltiplicazione?”.

“Sì, però c'è il problema dei segni che complica ulteriormente le cose. Quindi si parte considerando due numeri x e y positivi, e si definisce il loro prodotto come quel numero associato alla seguente sezione:”.

{xy | x∈X, x≥0, y∈Y, y≥0} ∪ {a∈Q, a<0}

“Bruttina”.

“Concordo. Se poi c'è qualche numero negativo, si usa la solita regola dei segni per fare tornare tutto”.

“In che senso?”.

“Nel senso che se devi calcolare, ad esempio, 5×(-3), con la regola dei segni stabilisci che il segno del risultato è negativo, dopodiché calcoli 5×3 con la regola precedente”.

“Va bene, ma è proprio necessario stare a definire tutte queste operazioni?”.

“Bé, necessario lo è certamente, perché altrimenti non sai come fare per fare i conti. Tieni presente che, nell'insieme dei numeri reali, si possono scrivere anche operazioni strane come e^π: noi siamo abituati a farle con la calcolatrice, e non ci poniamo nessun tipo di problema, ma se ci pensi un momento non è proprio ovvio il significato di quell'esponente irrazionale”.

“Sì, in effetti non ha molto senso dire che e^π è uguale a e moltiplicato per sé stesso π volte”.

“No, infatti. L'estensione del concetto di potenza ai numeri reali non è una cosa ovvia. E poi ci sarebbero anche tutte le altre proprietà dell'insieme dei numeri reali da dimostrare”.

“Quali?”.

“Ricordi? I numeri reali sono l'unico campo ordinato archimedeo completo”.

“Gulp! Bisogna dimostrare che tutte quelle proprietà valgono per la nostra costruzione?”.

“Eh già, bisognerebbe”.

“Non lo facciamo?”.

“Guarda, se vai a dare un'occhiata alla pagina di wikipedia che parla delle varie costruzioni dei numeri reali, trovi tante cose già scritte. Oltre all'approccio assiomatico, di cui abbiamo già parlato, ci sono le sezioni di Dedekind, le successioni di Cauchy, le espansioni decimali, i numeri iperreali, i numeri surreali, i quasi omomorfismi. La cosa più interessante comunque è l'ultima frase”.

“Cosa dice?”.

“Dice che esistono molti approcci diversi per la definizione dei numeri reali, che ogni tanto qualche matematico ne propone una nuova, in cui the details are all included, but as usual they are tedious and not too instructive”.

Su un particolare insieme numerico - sezioni di Dedekind

Una sezione di Dedekind in un campo ordinato è una partizione di tale campo, (A,B), tale che A è non vuoto e chiuso verso il basso, B è non vuoto e chiuso verso l'alto, e A non contiene massimo. I numeri reali possono essere costruiti come sezioni di Dedekind dei numeri razionali.

“Vabbé, dai, ho capito che non ne hai voglia”.

“Che problema c'è?”.

“Dimmi se ti sembra una cosa comprensibile. Sembra che con questa definizione i Veri Matematici abbiano raggiunto l'apice della incomprensibilità”.

“Mh, forse esistono definizioni più complicate di queste”.

“Non ne parliamo nemmeno, eh?”.

“Va bene. Questa non è proprio intuitiva, vero?”.

“Eh, direi”.

“Provo a spiegartela così: cosa diresti se tu fossi un mio studente e io ti dicessi che in pagella ti ho messo un voto che sta tra due insiemi, il primo dei quali contiene tutti i numeri minori di cinque, il secondo tutti i numeri maggiori o uguali di cinque?”.

“Ti chiederei se sei venuto a scuola in macchina”.

“Perché?”.

“Perché se sei in macchina posso bucarti quattro gomme, se sei in bicicletta soltanto due”.

“Ehm. Ho capito. Potevo scegliere sei invece di cinque come esempio, vero?”.

“Già”.

“Comunque hai capito come funziona?”.

“Direi di sì, è il solito metodo demenziale di complicare le cose semplici. Invece di dire cinque, hai detto tutto ciò che non è cinque, ordinando tutto in due parti. Una contiene tutti i numeri minori di cinque, l'altra tutti quelli maggiori di cinque”.

“Eh, l'idea è questa, anche se c'è qualche precisazione da fare”.

“Capirai”.

“Se, come hai detto tu, dividiamo i numeri in minori di cinque e maggiori di cinque, lasciamo fuori un valore, che è proprio cinque. Questo non va bene, perché noi vogliamo fare una partizione”.

“Cosa sarebbe una partizione?”.

“Una suddivisione di un insieme in sottoinsiemi fatta in modo tale che, riunendo tutte le parti, si ottiene l'insieme di partenza”.

“Ah, ok. Se riunisco le mie parti non riottengo l'insieme di partenza, perché lascio fuori cinque”.

“Esatto, ecco perché nel mio esempio ho specificato che il primo insieme contiene tutti i numeri minori di cinque, il secondo tutti quelli maggiori o uguali a cinque”.

“Potevi anche fare il contrario?”.

“No, perché la definizione specifica che il primo insieme non ha massimo. Se metto cinque nel primo insieme, diventa il massimo”.

“Invece il secondo insieme può avere minimo?”.

“Sì, la definizione non dice nulla riguardo a questo”.

“E perché questa asimmetria?”.

“Perché da qualche parte il cinque dobbiamo pur metterlo, e se non specifichiamo nulla abbiamo due modi diversi per fare la partizione. Siccome non ci piace questa ambiguità, decidiamo arbitrariamente di metterlo nell'insieme di destra”.

“Va bene. Ora passiamo a quel chiuso verso il basso e chiuso verso l'alto. Cosa significano quelle specificazioni?”.

“Allora, un insieme è chiuso verso il basso se esso contiene tutti i numeri minori di qualunque suo elemento”.

“Non è mica tanto chiaro, sai?”.

“Te lo spiego con un esempio. Scegli a caso un numero all'interno del primo insieme, quello che contiene tutti i numeri minori di cinque”.

“Tre”.

“Bene. È vero che l'insieme contiene tutti i numeri minori di tre?”.

“Sì, è vero”.

“Questa proprietà è vera perché tre è un qualche elemento particolare? Oppure vale per qualsiasi scelta tu faccia?”.

“Direi che vale sempre”.

“Esatto. Questo significa che il tuo insieme è chiuso verso il basso”.

“Praticamente è una semiretta che va verso sinistra”.

“Benissimo”.

“E suppongo che chiuso verso l'alto significhi che, per ogni elemento del secondo insieme, è vero che tutti i numeri maggiori di esso sono contenuti nell'insieme”.

“Sì. È più difficile da dire che da capire”.

“Ho capito. Cosa ce ne facciamo di queste sezioni di Dedekind?”.

“Ci servono per definire i numeri reali, ma facciamo un passo alla volta: per prima cosa vediamo che tutti i numeri razionali, che abbiamo già definito, possono essere visti come sezioni di Dedekind”.

“Bé, questa credo di averla capita anche io. Si può fare come hai fatto tu con il cinque: basta che tu sostituisca al posto di cinque un qualunque numero razionale”.

“Giusto. Quindi come sarebbe la sezione di Dedekind relativa a 1/2, per esempio?”.

“Direi che sarebbe una coppia di insiemi (A,B) fatta così: A contiene tutti i numeri razionali minori di 1/2, B contiene tutti quelli maggiori o uguali a 1/2”.

“Perfetto”.

“Mi pare semplice. E devo dire che non capisco l'utilità: è davvero una complicazione inutile”.

“Sì, devo darti ragione. È difficile capire il senso di questa costruzione, e quando provi a spiegarla agli studenti l'unica domanda che riescono a farti è: prof, ma ce la chiede questa roba?”.

“Poveretti”.

“A parte il fatto che gli studenti non sono mai poveretti per definizione, andiamo avanti. Quello che dovresti capire è che ogni numero razionale è associato a una sezione di Dedekind”.

“Sì, questo l'ho capito. Immagino che valga anche il contrario”.

“Cioè che ogni sezione di Dedekind è associata a un numero razionale? Certo che no, altrimenti sarebbero davvero inutili”.

“Ah. Uhm... no, non ho capito bene: esistono sezioni di Dedekind che non sono associate a nessun numero razionale? Come è possibile? Non basta prendere, come numero, il minimo del secondo insieme?”.

“No, la definizione non parla di minimo del secondo insieme. Dice solo che il primo insieme non ha massimo”.

“Perché il secondo ha minimo, è sottinteso”.

“Invece no, è possibile che il primo insieme non abbia massimo e il secondo non abbia minimo”.

“Impossibile”.

“Ti faccio un esempio, anche se sarà un pochino più complicato di quello che ti ho fatto col cinque”.

“Va bene, provo a seguirti”.

“Allora, nel primo insieme ci mettiamo, per prima cosa, tutti i numeri negativi”.

“Ok”.

“Poi ci mettiamo anche lo zero, e tutti i numeri positivi il cui quadrato sia minore di 2”.

“Uhm, va bene. Perché poi complicare le definizioni così?”.

“Aspetta e vedrai”.

“Nel secondo insieme ci metto invece tutti i numeri positivi il cui quadrato sia maggiore di 2”.

“Ehi, non va bene! Dovresti dire il cui quadrato sia maggiore o uguale di 2”.

“Siamo sicuri?”.

“Eh, sì, altrimenti non è più una partizione, l'hai detto prima! Lasci fuori un numero”.

“Quale?”.

“Bé, quello il cui quadrato è uguale a 2”.

“Che non esiste”.

“Non esiste? Come non esiste? È la radice di 2, no?”.

“La radice di 2 non è razionale, caro il mio Ippaso di Metaponto”.

“Uffa, ma cosa c'entra adesso?”.

“C'entra eccome: noi stiamo facendo sezioni di Dedekind sui numeri razionali. Radice di due non è razionale, non esiste ancora. Nella definizione del secondo insieme puoi anche dire, se vuoi, che esso contiene tutti i numeri il cui quadrato sia maggiore o uguale di 2, ma non devi ingannarti: quell'insieme non ha minimo. Quell'insieme contiene, ad esempio, 2, poi 15/10, poi ancora 142/100, 1415/1000, 14143/10000, e così via. Puoi andare avanti così, spostandoti verso il basso, quanto vuoi. Quindi non esiste minimo, e specificare che il quadrato di questi numeri deve essere maggiore o uguale di 2 è inutile: puoi limitarti a dire che deve essere maggiore di 2”.

“Gulp, ho capito. Credevo fosse una cosa semplice, invece no”.

“No, neanche un po'. Ora riassumiamo: è vero che ogni numero razionale corrisponde a una sezione di Dedekind?”.

“Sì, questo l'ho capito”.

“Ed è vero che ogni sezione di Dedekind corrisponde a un numero razionale?”.

“Eh, stando a quanto hai detto adesso, no. La sezione che hai definito prima non corrisponde a nessuna frazione: corrisponderebbe a radice di 2, ma hai detto che non esiste”.

“Perfetto. Allora possiamo dire che abbiamo due tipi di sezioni di Dedekind: il primo tipo è quello che corrisponde a un numero razionale”.

“Ok”.

“E il secondo tipo è quello che non corrisponde a nessun numero razionale”.

“Va bene”.

“Allora siamo a posto: le sezioni di Dedekind del secondo tipo le chiamiamo numeri irrazionali. Le altre continuiamo pure a chiamarle numeri razionali — anche se in realtà abbiamo immerso i vecchi numeri razionali in questa nuova struttura più ricca. L'insieme di tutte le sezioni di Dedekind dei razionali viene chiamato invece insieme dei numeri reali”.

“Wow. Non si può dire che sia una definizione semplice e intuitiva. E poi, scusa, come faccio a capire com'è fatto un numero reale?”.

“In che senso?”.

“Per esempio, radice di 2. Hai detto che corrisponde a quella sezione di Dedekind formata dai numeri il cui quadrato è minore oppure maggiore di 2, ma quali sono questi numeri? Cosa c'è in mezzo ai due insiemi? Sono insiemi infiniti, come faccio a esaminarli tutti?”.

“Ah, certamente non puoi”.

“Ma allora non è una gran definizione”.

“Bé, la definizione è fatta bene, il problema nasce dal fatto che non sai con esattezza come sia fatto l'oggetto che stai definendo”.

“E ti sembra poco?”.

“Ma questo è il problema dei numeri reali. Quando scrivi radice di 2, oppure π, oppure e, in realtà scrivi solo simboli, ma non sai con esattezza cosa siano. Sai che sono numeri decimali illimitati non periodici, e proprio per questo non li potrai mai conoscere”.

“Non ci avevo mai pensato”.

“È una beffa: noi chiamiamo reali degli oggetti che non conosciamo, e che certamente non potremo mai conoscere. Però sappiamo che esistono, e tanto basta”.

“Magra consolazione”.

“Bisogna anche dire che è vero che non conosceremo mai tutte le cifre di un numero irrazionale, ma comunque potremo sempre approssimarlo, bene quanto vogliamo, con delle frazioni. È quello che fanno sempre le calcolatrici, del resto”.

“Giusto: se dovessero maneggiare davvero dei numeri reali, avrebbero bisogno di una memoria infinita”.

“E allora, invece di usare numeri reali, usano le sezioni di Dedekind”.

“In che senso?”.

“Nel senso che i due insiemi A e B di una sezione di Dedekind relativa a un numero irrazionale sono proprio gli insiemi delle frazioni che approssimano per difetto oppure per eccesso quel numero. Le calcolatrici usano una approssimazione, e l'utente non può controllare l'errore, ma esistono programmi di calcolo più specifici che ti dicono, in ogni momento, quale è l'approssimazione che stanno usando. Invece di darti un numero, ti danno un intervallo: non potendo gestire gli infiniti elementi degli insiemi A e B, tengono in memoria solo il più grande elemento di A e il più piccolo di B. Il tuo numero reale è compreso tra essi, e la loro differenza rappresenta quindi il tuo margine d'errore”.

“Ma guarda... Quindi alla fine anche questa definizione ha un suo senso e una sua applicazione”.

“Bé, come tutte le definizioni della matematica, no?”.

“Hai detto che sei in macchina?”.