martedì 14 gennaio 2020

Carnevale della Matematica #136

Un gruppo di infiniti matematici entra in un bar. Il primo ordina una birra, il secondo due birre, il terzo tre birre. Dopo aver servito il sedicesimo, il barista si ferma dicendo: “Siete sempre degli idioti. Finitela con queste barzellette che fanno ridere solo i matematici!”. Quante birre ha servito?

“Scusi, signor barista?”.
“Cosa c'è ancora? Basta birre, eh?”.
“No, no, basta birre, vorremmo qualcosa di meno leggero”.
“Mh, non so se sia il caso”.
“Vedo lassù una discreta collezione di grappe”.
“Sì, è una specialità del nostro locale, ne abbiamo diciassette tipi”.
“E noi siamo rimasti in quindici. Vede, quello che prima ha preso sedici birre si è dovuto assentare un momento”.
“Immagino”.
“Mi chiedevo, lei ha idea di quanti modi ci siano, per noi che siamo rimasti qua, di scegliere quindici delle sue diciassette grappe, giusto per fare un assaggino?”.
“Via! Via, fuori di qua!”.


“Ehi, ci hanno cacciati dal bar”.
“Già”.
“Io stavo giocando con i tappini delle bottiglie di birra, adesso come faccio?”.
“Che gioco stavi facendo?”.
“Ho messo un tappino al centro del tavolo, e ho immaginato che fosse un poligono di 24 lati”.
“Complimenti per la fantasia”.
“Poi ho allungato il lato del mio poligono, facendo in modo che risultasse lungo due tappini”.
“Ah, quindi hai messo 24 tappini”.
“Ne ho aggiunti 23, per la precisione, in modo da arrivare a 24”.
“Certo”.
“Poi ho allungato ancora il lato, in modo che fosse composto da tre tappini”.
“E hai sempre costruito un poligono di 24 lati?”.
“Sì. E poi ho allungato il lato un'altra volta, in modo da farlo lungo quattro tappini”.
“Ah, però. Quanti tappini hai usato in tutto?”.

“Ehi, guardate, un ingegnere!”.
“È da solo?”.
“Sembra di sì, proprio al centro di quella piazza”.
“Vai, andiamo a fare un po' di bullismo”.
“Mah, non so se sia il caso”.
“Perché?”.
“Anche se è da solo, un ingegnere è sempre pericoloso. Loro sanno usare le pinze”.
“Oh”.
“Addirittura i cacciavite”.
“Ooh!”.
“Una volta ne ho visto uno piantare un chiodo in un muro!”.
“Un bruto, orrore!”.
“Però potremmo dileggiarlo usando la nostra conoscenza superiore”.
“In che modo?”.
“Senti che idea: nove di noi lo accerchiano, in silenzio”.
“Perché proprio nove?”.
“Perché gli ingegneri pensano che nove sia un numero primo”.
“Ah ah, che scherzone!”.
“Ma non è finita! Chiamiamo i nostri amici, e ne mettiamo 18 intorno ai nove di prima”.
“E poi?”.
“E poi altri ventisette”.
“Che sagoma!”.
“Poi ancora, altri due giri di multipli di nove”.
“Chissà quante persone riempiranno la piazza, alla fine”.

“Ehi, cosa stai leggendo?”.
PlayMath, la rivista per Veri Matematici”.
“Ooh”.
“Guarda qui, c'è un articolo su un informatico…”.
“Bleah”.
“No, aspetta. C'è questo informatico, Simon Colton, che ha scritto un software che inventa definizioni matematiche e poi le studia”.
“Ma dai, sul serio?”.
“Sì, sì. Il programma si chiama Hardy Ramanujan”.
“Capirai”.
“Eh. Guarda cosa dice l'autore: The research of the author includes understanding and automating the processes at work when mathematicians invent new concepts, specifically in finite group theory. This has culminated in the HR system, named after Hardy and Ramanujan, to emphasize both a theory-driven and a data-driven approach to concept formation. HR starts with only the axioms of group theory and ends with definitions and models of concepts it has derived, such Abelian groups, cyclic groups, orders of elements and so on”.
“Roba da matti. E funziona?”.
“Sì. Leggi qua: The first time HR was tried in number theory, it invented the refactorable numbers. When we first saw this sequence, we did not know how it was found, but it looked interesting - it had a mix of odd and even numbers, sufficiently many terms between one and a hundred, and no obvious pattern. Therefore we looked it up in the Online Encyclopedia, and were surprised to find that it was not listed. Only then did we look at the output from HR to see its definition (expecting an unintuitive, complicated explanation), and were then even more surprised that this sequence was missing from the Encyclopedia”.
“Sono Pazzi Questi Matematici. Un numero sufficiente di termini compresi tra uno e cento? Tra un po' troveremo un trattato sulle successioni interessanti”.
A meno che non esista già”.
“Argh”.
“Beh, comunque sia, la definizione di numero rifattorizzabile è questa: si tratta di quei numeri che sono divisibili per la somma dei loro divisori”.
“Una interessantissima e utilissima definizione, vedo”.
“…”.
“Dai, su, ammettiamolo”.
“Non lo ammetterò mai, naturalmente. Comunque, questo è l'elenco dei primi numeri rifattorizzabili: 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96, 104, 108, 128, 132”.
“Ah. E cosa viene dopo?”.

“Questa piazza mi sembra un po' strana”.
“Sarà colpa delle birre, o delle grappe”.
“O dell'ingegnere che ci ha minacciati con quel compasso che aveva in tasca”.
“Non credevo che esistessero compassi veri, pensavo che fossero soltanto idee astratte di Euclide”.
“Santo cielo. Beh, non sembra strana anche a voi, la piazza? Ci sono delle decorazioni a forma di triangolo rettangolo, vero? O sono mie allucinazioni?”.
“No, no, è vero. Ma ce ne sono di varie forme. Vedo che i lati sono costruiti con delle tessere da mosaico, aspetta che provo a cercare di fare qualche misura”.
“Sì, dai, vediamo di smaltire un po' di alcool. Questo triangolo ha l'ipotenusa lunga 170 tessere e un cateto lungo 102”.
“Questo invece ha l'ipotenusa lunga 289 e un cateto lungo 255”.
“Questo 305 e 273”.
“Questo invece 586 e 570”.
“Questo è ancora più grande: 1160 e 1152”.
“Questo ancora di più: 2314 e 2310”.
“Questo è il più grande: 4625 e 4623”.

“Mi hanno regalato questo ottimo libro motivazionale”.
“Uh, che libro è?”.
Parlare con qualcuno guardandogli le scarpe: storie di persone che ci sono riuscite”.
“Ah, interessante. Te l'hanno regalato per Natale?”.
“Sì”.
“Quindi il 31 OCT”.
“Eh?”.
“31 OCT = 25 DEC”.
“Santo cielo, una battuta sui cambiamenti di base. Tanto vale aggiungere 19 HEX”.
“Ma così non fa ridere!”.
“Ah perché l'altra battuta fa ridere?”.
“Ehm. Stavo pensando, però, che ci si possono porre delle interessantissime domande sui cambiamenti di base”.
“Per esempio?”.
“Per esempio, oggi è il 14 gennaio, che potremmo scrivere 141”.
“Volendo”.
“E 141 è un numero palindromo, in base 10”.
“Certo”.
“E se cambiamo base? Quanto valgono i numeri che sono palindromi in una base diversa da 10 quando li convertiamo in base 10?”.
“Per esempio?”.
“Per esempio, 161 in base 9 come diventa, se lo converto in base 10? Oppure 88 in base 16?”.


“Bene, finiamola con questa farsa, stanno finalmente arrivando i contributi per il Carnevale della Matematica”.
“Molto bene”.
“Il verso della poesia gaussiana di questo Carnevale è: canta, canta, canta zampettando”.
“Certo”.
“E questa, invece, è la cellula melodica:”.



“Ovviamente”.
“Un intervallo piuttosto moderno e dissonante. Direi un po' da café chantant: la settima maggiore.”.
“Ma infatti”.
“Ora siamo pronti per il Carnevale”.
“Finalmente”.
“E cominciamo con un ospite speciale”.
“Una guest star?”.
“Sì, un fisico”.
“Ehi, attenzione, non sarà pericoloso?”.
“No, no, di solito no. Ha scritto molte cose in giro per l'internet, ma poi le ha cancellate, le ha riscritte, le ha sistemate, le ha ricancellate”.
“E perché?”.
“Mah, è inquieto. Sai, i fisici”.
“Ah, capisco”.
“Beh, questa volta gli ho estorto un po' di cose che ha scritto e le ho messe in un posto sicuro”.
“Uh, non si arrabbierà?”.
“Direi di no, mi ha proprio detto fanne quello che vuoi”.
“Benissimo, allora. Chi è questo fisico un po' Scrooge?”.
Peppe Liberti”.
“Ahh, benissimo!”.
“E cosa ha scritto?”.
Piccole storie di fisici”.
“Molto bene”.
“Molto molto bene”.

“Adesso c'è Annalisa Santi, che propone un contributo legato al vino”.
“E questa sarebbe matematica?”.
“Beh, il vino va bene con tutto, se facciamo finta di niente per quanto riguarda le birre e le grappe di prima”.
“Senza dubbio”.
“E noi siamo del partito di Goethe”.
“Ovviamente”.
“Che diceva: La vita è troppo breve per bere vini mediocri”.
“Ah, ma guarda. Dovrei rivalutarlo, allora”.
“Ed ecco qua: Il vino perfetto… matematico?”.

“E ora arriva .mau.”.
“Pronti!”.
“Guarda che elenco, a partire da quello che ha scritto sul Post:”.
“Filosofie, certo”.
“Sai com'è, anche i matematici non sono tutti d'accordo su alcune cose”.
“Certo”.
“Ed ecco la lista dei contributi sulle Notiziole. Prima i quizzini:”.

“Molto bene”.
“Poi ci sono due recensioni, accompagnate da due commenti al volo”.
“Vediamo”.
“E infine un articolo di Povera matematica: I biscotti Misura e le tabelline”.
“Tabelline e biscotti, ottimo”.
“A furia di mettere informazioni non troppo utili nella confezione, dice .mau., sono riusciti a dimostrare di non saper fare le divisioni”.
“Ahia”.

“Ora c'è Davide Passaro, che ci manda un po' di cose pubblicate su Math is in the Air”.
“Avanti!”.
“E adesso c'è un elenco enorme”.
“Oh, e chi lo manda?”.
Roberto Natalini, con tutti i contributi di MaddMaths! Guarda qua:”.
  • I 10 post più letti su MaddMaths! nel 2019.
    Finisce il 2019, ed è il momento di tirare le somme di un anno pieno di notizie guardando quali sono i 10 post più letti tra quelli apparsi nel 2019 (ci sono alcuni evergreen degli anni precedenti, cherimangono molto alti in classifica, a partire dal n. 1 in assoluto il post sul metodo analogico di Bortolato con oltre 50.000 visitatori e il solito "Una versione elementare della congettura di Riemann" di Alessandro Zaccagnini, che ha superato i 28.000 lettori). E come ogni top 10 che si rispetti, partiamo dal numero 10 (e attenzione, seguono un paio di “bonus” ripescati dalla redazione!).
  • Buon 2020 con l’Almanacco MaddMaths!
    Con questo Almanacco MaddMaths! 2019 continuiamo una tradizione che ci sta accompagnando da qualche anno, tanto che oramai abbiamo persino una pagina in cui potete trovare tutti gli Almanacchi fino al 2010. Come ogni anno, vi proponiamo una piccola selezione degli articoli che riteniamo siamo particolarmente significativi di come abbiamo provato a fare MaddMaths! in questo anno appena trascorso. Gli articoli sono stati scelti dalla redazione e non sono necessariamente i più visti dai lettori.
  • Dai poligoni alle funzioni… e ritorno.
    Con il nuovo anno ritorna la rubrica Esperienze Transdisciplinari di Matematica curata da Gianluigi Boccalon. In questa nuova puntata, Gianluigi ci propone, attraverso gli appunti dei suoi studenti, un percorso di introduzione alle funzioni a partire dall'osservazione delle proprietà dei poligoni regolari.
  • Psico-Analisi 1-3.
    A inizio settembre 2019, Nicola Arcozzi, analista dell’Università di Bologna, ha iniziato a pubblicare su Facebook una serie di post pubblici, dal titolo Psico-Analisi. Il sottotitolo del primo post recitava Appunti per una “Psicopatologia del tuo docente di analisi matematica”, rivolto agli studenti del primo anno dei corsi STEM. I vari post, via via più elaborati, psicoanalizzano le idiosincrasie del docente di analisi (ma più in generale di matematica) così come appare agli studenti delle materie scientifiche. In questo modo Nicola Arcozzi, in maniera molto auto-ironica, spiega tutti i retroscena che spesso portano noi docenti di matematica a comportarci in un certo modo. Li stiamo riproponendo a puntate su MaddMaths!
  • Riflessioni sui risultati OCSE-PISA 2018
    Lo scorso 3 dicembre si è svolto a Roma il seminario di presentazione dei risultati dell’indagine internazionale OCSE-PISA 2018 sulle competenze in Lettura, Matematica, Scienze e ambito Finanziario di 600 mila quindicenni di 79 Paesi del mondo. Vi proponiamo una riflessione di Stefania Pozio, prima ricercatrice dell’INVALSI, sull'utilità dei risultati di questo tipo di indagine. Stefania conosce bene le prove OCSE PISA in quanto, oltre a lavorare per l’INVALSI, ha fatto parte tra le altre cose della commissione che ha costruito le prove del prossimo PISA 2021, quello dedicato alla matematica.
  • Proud of You – L’educazione matematica contro la dispersione scolastica: intervista a Maria Mellone.
    Pochi giorni fa, in concomitanza con la presentazione del progetto alla cittadinanza, alcuni quotidiani (La Repubblica, Il Mattino), hanno dato ampio spazio alla seconda edizione del progetto “Proud of You”, un progetto educativo con un obiettivo inclusivo particolarmente significativo, sviluppato in aree urbane ad alto rischio di dispersione, in scuole che spesso vengono denominate “di frontiera” perché incluse in contesti socio-culturali di forte disagio. Pietro Di Martino ha intevistato per MaddMaths! la coordinatrice scientifica del progetto Maria Mellone.
  • La grande sfida della Matematica per il clima: intervista con Anne-Laure Dalibard e Sabrina Speich.
    Dal 9 settembre al 13 dicembre 2019, l’Istitut Henri Poincaré (IHP) di Parigi ha organizzato un programma eccezionale di tre mesi sulla matematica del clima e dell’ambiente. Vi proponiamo un’intervista realizzata da Adrien Rossille con Anne-Laure Dalibard e Sabrina Speich, e pubblicata il 18 dicembre scorso sul sito Images des Mathématiques, e qui riproposto con il permesso del sito e degli autori nella traduzione di Roberto Natalini.
  • Algoritmi di Machine Learning: guardiamoci dentro!
    Marco Verani, professore associato di Analisi Numerica presso il Laboratorio MOX del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano, ha recensito per MaddMaths! il volume L’Algoritmo Definitivo di Pedro Domingos, che tratta un argomento che è di estrema attualità per la comunità matematica, ma non solo.
  • Intervista a Giulio Sandini, il papà di iCub.
    Giulio Sandini è Direttore di Ricerca presso l’Istituto Italiano di Tecnologia (IIT) – dove ha fondato il dipartimento di Robotics, Brain and Cognitive Sciences – e professore ordinario di Bioingegneria all’Università di Genova. Ha coordinato diversi progetti internazionali nelle aree della visione artificiale, delle scienze cognitive e della robotica e in particolare lo sviluppo della piattaforma umanoide iCub. Lo intervista per noi Massimo Ferri.
  • Esce il terzo volume di “La matematica e la sua storia” di Bruno D’Amore e Silvia Sbaragli.
    Dal 2017 è iniziata la pubblicazione, presso le Edizioni Dedalo, dell’opera in quattro volumi di Bruno D’Amore e Silvia Sbaragli “La matematica e la sua storia“. Il primo volume, uscito appunto nel 2017, narrava le vicende matematiche, dalle origini della disciplina fino al periodo greco (con prefazione di Umberto Bottazzini). L’anno successivo è continuato questo avvincente viaggio nella storia, giungendo alle soglie del Rinascimento, con il volume che trattava del periodo dal tramonto greco al Medioevo (con prefazione di Paolo Freguglia). Ora è uscito il terzo volume, dedicato al periodo che va dal Rinascimento al XVIII secolo. Il prossimo volume, l’ultimo della quadrilogia, uscirà a ottobre 2020. Per l’occasione vi proponiamo, con il permesso degli autori, la prefazione al volume terzo, scritta da Luigi Pepe.
  • Archimedia 3/2019: “D’amore, di pesci e altre sciocchezze”
    A cominciare dalla sua prima uscita del 2016, Archimede ospita Archimedia, una rubrica di fumetti e altri media curata da Andrea Plazzi. Nel n. 3/2019 trovate “D’amore, di pesci e altre sciocchezze”, un fumetto di Dario Grillotti in cui si riparla di Vito Volterra immaginando la sua conversazione con il cognato Umberto D’Ancona a proposito dei pesci dell’Adriatico. Sul sito presentiamo come al solito la prefazione di Andrea Plazzi accompagnata da alcune belle immagini.
“Quanta roba. E adesso?”.
“Adesso c'è Gianluigi Filippelli, con contributi da due diversi blog”.
“Uno dei due è Dropsea, vero?”.
“Esatto, ecco qua:”.
  • Per la serie de Le grandi domande della vita, Speciale astronomo risponde 2019 c'è questo, con un paio di risposte su un viaggio interstellare sulla stella più grande dell'universo conosciuto
  • Il ritratto di Carl Ludwig Siegel, matematico tedesco che sognava di fare l'astronomo, e quello di  Walther Bothe, fisico tedesco che costruì il primo ciclotrone della Germania.
  • In più Il volo dei corvi di Odino dove, partendo da una canzone del gruppo death metal Amon Amarth, Gianluigi racconta un paio di cose sul paradosso logico del corvo.

“Molto bene. E l'altro blog?”.
“È Al Caffè del Cappellaio Matto, in cui ha scritto Il coding a Paperopoli, recensione/approfondimento di una storia tratta da Topolino #3345 e dedicata al coding.

“Ora abbiamo finito?”.
“Sembra di sì”.
“Non manca qualcuno?”.
“Uhm, credo di no”.
“Eppure, mi sembra che manchi qualcuno”.
“Controllo meglio… Ah!”.
“Cosa?”.
Piotr”.
“Ecco!”.
“Mi ha mandato un po' di cose solo adesso”.
“Capirai”.
“Profondendosi in profonde scuse”.
“Ottimo”.
“Ecco qua, senti cosa scrive:”.
  • Uno dei soliti problemi classici, di sezionamento geometrico, ma con un titolo che doveva essere abbastanza complicato ai tempi delle crociate (e pure adesso, mah…).
  • Un brillante Paraphernalia Mathematica del GC, e pure questo che – tra citazioni vanvogtiane e commenti, rischia il politically uncorrect (e noi manco ce ne eravamo accorti).
  • Un compleannuccio che, originariamente, si intitolava “Etimologia particolare”, perché aveva l’intenzione di fare l’appello etimologico dei nomi delle particelle (più o meno) elementari. Nasceva, più che altro, dalla constatazione che quasi tutti parlavano del “Bosone di Higgs” parlando di Higgs, e quasi nessuno sembrava far caso al poveretto che aveva dato origine alla parola “bosone”.
  • Un Quick&Dirty non fa mai male, specie se di tratta di ingannevole cinematica.
“Oh, bene. Non c'è anche il nuovo numero di Rudi Mathematici?”.
“Ancora no. Ci sarà, ma avrà (cito) un ritardo fantasmagorico. Quando uscirà, se mai uscirà, sarà a questo indirizzo”.
“Quindi abbiamo finito davvero?”.
“Sì. Appuntamento al mese prossimo, col Carnevale numero 137, dai Rudi Mathematici”.
“137, un numero primo”.
“Sì”.
“Chissà a quale verso della poesia Gaussiana corrisponde”.
“Chissà”.

martedì 10 dicembre 2019

Giochi proiettivi — 7. Dobble (finalmente)

“E quindi possiamo creare un gioco di carte usando i piani proiettivi?”.

“Sì. E l'abbiamo già fatto, in una versione semplice”.

“Quella del piano proiettivo con sette punti?”.

“Proprio quella. Riguardiamo la figura”.



“Vedo che hai preso la figura duale rispetto alla prima che avevamo disegnato”.

“Solo perché in questa si leggono già le carte da gioco, ma le due versioni sono equivalenti”.

“Come si fa a leggere già le carte? Dove sono, queste carte?”.

“Le carte sono i punti di questa figura, ogni carta contiene tre simboli. Guarda, te le elenco:”.

123
145
167

“Queste hanno tutte il numero 1 in comune”.

“Mentre gli altri simboli sono tutti diversi: potremmo dire che sono tre punti appartenenti alla retta 1”.

“Sì, quello che abbiamo fatto la volta scorsa. Poi ci sono queste:”.

256
247

“Che, assieme a 123, formano la retta 2, e così via. Guardiamo l'elenco completo:”.

123
145
167
256
247
346
357


“Sette carte, sette simboli diversi, tre simboli per carta”.

“Esatto. E due carte qualsiasi hanno un solo simbolo in comune”.

“Perché per due punti passa una sola retta, vero?”.

“Esatto. O, anche, perché due rette si intersecano in un sol punto”.

“Ah, certo, sempre grazie alla dualità”.

“Già. Ora, per ogni piano proiettivo potresti costruire un mazzo di carte da gioco riportanti un certo numero di simboli, con la certezza che due carte qualsiasi hanno sempre un solo simbolo in comune”.

“Ed esistono giochi di questo tipo?”.

“Sì, ce n'è uno che si chiama Dobble, e che ha un mazzo con più di 50 carte”.

“Ah. Che piano proiettivo è stato usato?”.

“Il piano di ordine 7”.

“Oh. Secondo quanto abbiamo detto, ogni carta dovrebbe contenere 8 simboli”.

“Proprio così”.

“E ci dovrebbero essere 72 + 7 + 1 = 57 simboli diversi”.

“Giusto”.

“E anche 57 carte”.

“Purtroppo no”.

“Ma come?”.

“Eh, per motivi che non sono noti ci sono solo 55 carte”.

“Ma che senso ha?”.

“Qualcuno dice che sia per ragioni di stampa: 55 carte le puoi stampare su un foglio che ha 11 righe e 5 colonne, 57 invece potresti farlo solo con un foglio 19 × 3, e forse le macchine che vengono usate per la stampa non permettono di farlo”.

“Peccato, però”.

“Eh, sì. Guarda, questo sarebbe l'elenco completo di tutte le 57 carte, in cui i simboli sono i numeri che vanno da 0 a 56”.

0  1  2  3  4  5  6  7
0  8  9 10 11 12 13 14
0 15 26 27 28 29 30 31
0 16 21 32 41 42 43 44
0 17 22 36 40 50 54 56
0 18 23 33 37 46 51 55
0 19 24 34 38 45 49 53
0 20 25 35 39 47 48 52
1  8 15 16 17 18 19 20
1  9 26 32 33 34 35 36
1 10 22 27 41 45 46 47
1 11 21 31 39 50 53 55
1 12 23 28 38 43 52 54
1 13 25 29 37 42 49 56
1 14 24 30 40 44 48 51
2  8 27 32 37 38 39 40
3  8 23 26 41 48 49 50
4  8 21 30 34 46 52 56
5  8 22 29 35 43 51 53
6  8 24 28 36 42 47 55
7  8 25 31 33 44 45 54
2  9 15 21 22 23 24 25
2 11 17 26 42 45 51 52
2 12 18 29 34 44 47 50
2 10 16 30 35 49 54 55
2 14 20 28 33 41 53 56
2 13 19 31 36 43 46 48
4  9 18 27 42 48 53 54
5  9 17 28 39 44 46 49
3  9 16 31 38 47 51 56
7  9 19 29 40 41 52 55
6  9 20 30 37 43 45 50
5 12 15 32 45 48 55 56
4 11 15 33 40 43 47 49
3 10 15 36 37 44 52 53
7 14 15 35 38 42 46 50
6 13 15 34 39 41 51 54
5 13 16 24 27 33 50 52
3 14 17 25 27 34 43 55
6 11 19 23 27 35 44 56
7 12 20 21 27 36 49 51
4 13 20 22 26 38 44 55
5 14 19 21 26 37 47 54
6 12 16 25 26 40 46 53
7 10 18 24 26 39 43 56
4 10 19 25 28 32 50 51
3 11 20 24 29 32 46 54
7 13 17 23 30 32 47 53
6 14 18 22 31 32 49 52
4 12 17 24 31 35 37 41
4 14 16 23 29 36 39 45
5 11 18 25 30 36 38 41
5 10 20 23 31 34 40 42
3 12 19 22 30 33 39 42
3 13 18 21 28 35 40 45
7 11 16 22 28 34 37 48
6 10 17 21 29 33 38 48

“Uh, quanta roba. C'è un modo per disegnarlo?”.

“Eh, ci sarebbe, ma sarebbe poco comprensibile, con 57 rette. Guarda:”.



“Argh”.

“Bella roba, eh? Viene da Wolfram Alpha, ripreso da questo post che ha tante belle figure, compresa un'analisi delle carte di Dobble (che è stato pubblicato anche con un altro nome, Spot It!)”.

“Uh, che bellezza”.

“Io mi limito a mettere le carte in una griglia, ordinate in modo tale che si possano intuire le rette, un po' come abbiamo fatto quando abbiamo costruito il piano proiettivo di ordine 3 partendo dal piano affine e aggiungendo la retta impropria. I buchi vuoti, purtroppo, corrispondono alle due carte mancanti”.





“Oh, ecco tutte le carte. Come faccio a intuire le rette?”.

“Non sono ancora tutte le carte: mancano quelle che compongono la retta impropria, che ti mostro tra un po'. Adesso osserva, per esempio, la prima riga. Vedi che tutte le carte hanno in comune uno stesso simbolo?”.

“Sì, il clown”.

“Ecco, tutte le righe orizzontali, cioè le rette orizzontali, sono identificate da un simbolo”.

“Vedo: il punto interrogativo nella seconda riga, il fantasmino nella terza, e così via”.

“Sì. Ora pensa che tutte le rette orizzontali dovranno convergere verso un unico punto, un punto della retta impropria”.

“Che, quindi conterrà i sette simboli relativi alle sette rette”.

“Esatto. In più, conterrà un ottavo simbolo, quello della retta impropria”.

“E gli altri sette punti della retta impropria, come sono fatti?”.

“Ci sono tutte le rette verticali, per esempio, che si intersecano in uno di quei punti. Poi ci sono le diagonali, sia ascendenti che discendenti. Poi viene il difficile”.

“Benissimo”.

“Immagina una diagonale che parta dal primo vertice in alto a sinistra, e che poi prosegua spostandosi di due carte a destra e una sola in basso”.

“Ah, una diagonale non inclinata di 45 gradi”.

“Esatto. Poi immagina un'altra diagonale che si muova di tre carte a destra e una in basso, e così via, mettendo tutte le combinazioni possibili.”.

“Uh, ecco perché il disegno completo ha tante rette”.

“Eh, sì, le rette sono tante quante i punti: 57. Tieni presente che le diagonali possono uscire da un lato e rientrare dall'altro”.

“Uh? In che senso?”.

“Guarda, questa è una diagonale:”.

# . . . . . .
. . . . # . .
. # . . . . .
. . . . . # .
. . # . . . .
. . . . . . #
. . . # . . .

“Ah. Avanti di uno, giù di due. Quando esco da un lato, rientro dall'altro”.

“Proprio così”.

“E quindi, abbiamo otto punti per la retta impropria?”.

“Sì, eccoli:”.



“Vedo. Il loro simbolo è la bomba”.

“Esatto, e gli altri simboli invece corrispondono ai gruppi di rette parallele che si intersecano in quel particolare punto”.

“Capito. Beh, niente male per un giochetto di carte”.

“C'è tanta matematica sotto, già.”.

“Se volessi creare un gioco analogo con più carte, dovrei passare all'ordine 8, vero?”.

“Sì, con 73 carte. Mentre se tu ne volessi meno, dovresti passare all'ordine 5, perché l'ordine 6 non esiste”.

“Ah, già. Con l'ordine 5 avrei solo 31 carte. Beh, chi l'avrebbe mai detto che con la matematica si costruiscono giochi da tavolo?”.

“E questo non è l'unico”.



Alcuni riferimenti:

Lo scettico — con l'elenco di tutte le carte e di tutti i simboli di Dobble.

Puzzlewocky — con delle meravigliose figure.

Ericmoorehouse — con tutto quello che sappiamo oggi sui piani proiettivi finiti.

domenica 10 novembre 2019

Giochi proiettivi — 6. Dualità

“Ricordi che abbiamo parlato della dualità?”.

“Sì, varie volte”.

“Bene. Ne riparliamo ancora, ponendo l'accento su un particolare”.

“Quale?”.

“Finora avevamo ragionato sui postulati: abbiamo detto che se scambiamo la parola punto con la parola retta, otteniamo un altro postulato. Per esempio, il postulato che afferma che per due punti passa una sola retta diventa il postulato che afferma che due rette si intersecano in un solo punto”.

“Certo, ricordo”.

“Bene, ora ti mostro un'altra conseguenza di questa dualità: nei modelli di geometrie finite che abbiamo considerato, possiamo scambiare i punti con le rette e viceversa e otteniamo ancora modelli di geometrie finite”.

“Ma come facciamo a scambiare i punti con le rette? Sono diversi, non li possiamo mica disegnare allo stesso modo”.

“Eh, no, non li devi disegnare allo stesso modo. Ti faccio un esempio, prendendo un piano proiettivo con pochi punti, per comodità. Ricordi il primo esempio che abbiamo visto? Il piano con con sette punti e sette rette?”.

“Sì, quello a triangolo”.

“Quello. Lo ridisegno, cambiando un po' i nomi dei punti: metto dei numeri”.



“Vedo. Ma come facciamo a dire che quei punti diventano rette, e quelle rette diventano punti? Non capisco”.

“Non è difficile, una volta capito il meccanismo. Prendiamo per esempio i tre punti etichettati con 1, 2 e 3”.

“Quelli rossi che stanno sulla retta di sinistra”.

“Esatto. Allora trasformo quella retta in un punto, che chiamo 123. Lo disegno in blu, per ricordare la sua precedente natura di retta”.

“Ah”.

“In questo piano proiettivo tutte le rette contengono tre punti, giusto?”.

“Vero”.

“E allora per ogni terna di punti abbiamo una retta a cui assegniamo un nome formato dai nomi dei tre punti”.

“Mh. Ma come li disegno questi punti? Sono collegati da rette?”.

“Certo: prendi per esempio il punto 1, che dovrà diventare una retta. A quali rette appartiene?”.

“Uhm, il punto 1 sta su tre rette: quella che passa per 1, naturalmente, e poi per 2 e per 3; quella che passa per 1, 4 e 5, e quella che passa per 1, 6 e 7”.

“Bene, per dualità allora la retta 1 contiene tre punti: 123, 145 e 167”.

“Ahh, quindi nel mio disegno collego quei punti con una retta. Questa dovrebbe essere la retta che si chiama 1”.



“Esatto”.

“Ora credo di aver capito: i punti vengono etichettati con tre numeri, e le rette con un numero solo”.

“Proprio così. Se prima potevamo dire che per il punto 1 passano tre rette, e cioè la 123, la 145 e la 167, ora possiamo dire che la retta 1 contiene tre punti, e cioè 123, 145 e 167”.

“Bellissimo, ecco il disegno completo”.



“Ottimo, ora hai capito”.

“E cosa ce ne facciamo di questa dualità?”.

“Ci serve per capire meglio un gioco di carte”.

“Oh, finalmente un gioco”.

“Esiste un gioco da tavolo, che si chiama Dobble, formato da un mazzo di carte contenenti vari simboli, con questa caratteristica: comunque prendi due carte, queste hanno sempre un solo simbolo in comune”.

“Uh? È possibile? Saranno due o tre carte e, boh, pochi simboli, no?”.

“No, no, sono tante, e anche i simboli sono tanti”.

“Ma com'è possibile? Sempre un solo simbolo in comune? Non succede mai che ce ne siano due o che non ce ne sia nemmeno uno?”.

“Mai”.

“Mi sembra incredibile”.

“Eppure ci hai lavorato fino a poco fa”.

“Eh?”.

“Certo: guarda qua”.


  • Due rette si intersecano in un unico punto
  • Per due punti passa una sola retta
  • Due carte hanno un unico simbolo in comune



“Oh”.

“Eh”.

mercoledì 9 ottobre 2019

Giochi proiettivi — 5. Quali piani proiettivi finiti esistono?

Quindi non esistono piani proiettivi finiti di ogni ordine, ho capito bene?”.

“Hai capito bene”.

“Che strano. E quali ordini vanno bene, allora?”.

“Se vuoi sapere una regola, ti dico subito che ancora non è stata trovata. Cioè, si sa che esistono piani proiettivi di ordine n, se n è una potenza di un numero primo. Per altri valori di n non si sa quasi nulla”.

“Eh? Stai dicendo che da dei postulati così semplici possono nascere teorie che ancora sono oggetto di studio?”.

“Esatto. Gli ordini dal 2 al 5 sono stati studiati, esiste un unico piano proiettivo per ognuno di quegli ordini”.

“In che senso uno? Potrebbero essercene di più?”.

“Sì, con strutture diverse, ma servono più punti”.

“Però un piano di ordine 5 ha già 52 + 5 + 1, cioè 31 punti”.

“Sì, ma sono ancora troppo pochi. Dell'ordine 6 abbiamo già detto”.

“Sì: non esiste”.

“Anche quelli di ordine 7 e 8 sono unici. Per l'ordine 9, invece, ne esistono quattro tipi diversi”.

“Addirittura”.

“Già. Poi se ne conosce uno di ordine 11, qualcun altro di ordine superiore, per esempio ce ne sono 193 di ordine 25, ma non si conosce una regola generale, e per ora la storia finisce qua”.

“Basta? E l'ordine 10? L'hai saltato”.

“L'ordine 10 ha messo a dura prova i matematici. La ricerca di un piano proiettivo di ordine 10 ha avuto inizio nel 1980 e, dopo circa duemila ore di tempo macchina su un Cray e più di duecento giorni su vari VAX, si è conclusa il 29 novembre 1988”.

“E l'hanno trovato?”.

“No”.

“Ma allora!”.

“Mi ricordo che ci raccontarono della scoperta mentre eravamo a lezione, all'università. Hanno dimostrato che non esistono piani proiettivi di ordine 10, ammesso di poter usare il verbo dimostrare per una situazione come questa”.

“Perché?”.

“Perché nessuno controlla i calcoli del computer e, prima che tu dica che è impossibile che un computer sbagli, ti dirò che hanno calcolato anche quale fosse la probabilità di errore”.

“Perché, i computer sbagliano?”.

“Ecco quello c'è scritto nel lavoro che annuncia la fine della cosiddetta dimostrazione:”.

There is, moreover, the possibility of an undetected hardware failure. A common error of this type is the random changing of bits in a computer memory, which could mean the loss of a branch of the search tree. This is the worst kind of hardware error, because we might lose solutions without realizing it. The CRAY-1A is reported to have such errors at the rate of about one per one thousand hours of computing. At this rate, we expect to encounter two to three errors! We did discover one such error by chance. After a hardware problem, Patterson reran the 1,000 A2's just before the failure and the statistics have changed for the A2 processed just prior to the malfunction. How should one receive a "proof" that is almost guaranteed to contain several random errors?


“Un errore ogni mille ore? Non è mica tanto trascurabile, no?”.

“No, infatti. Facendo poi alcuni controlli incrociati, gli autori hanno concluso che la probabilità di aver perso dei dati che avrebbero potuto portare, forse, alla scoperta di un piano di ordine 10, è minore di 10-5”.

“Insomma, è molto piccola, ma non è zero”.

“No, non lo è. D'altra parte, se la dimostrazione fosse scritta su carta e contenesse un errore, quale sarebbe la probabilità che, leggendola, qualcuno se ne accorga?”.

“Dici che non è certo che, prima o poi, qualcuno si accorga di un errore?”.

“Eh, chissà”.

giovedì 12 settembre 2019

Giochi proiettivi — 4. Il problema dei 36 ufficiali di Eulero

“Finalmente un gioco?”.

“Sì, ma non quello di cui ti parlerò fra un po', per il quale abbiamo fatto questo studio sui piani proiettivi finiti”.

“Ah”.

“Ricordi che l'altra volta abbiamo calcolato il numero di punti e di rette di un piano proiettivo di ordine n?”.

“Sì, sono n2 + n + 1”.

“Ammesso che esista, questo piano”.

“Non capisco come faccia a non esistere”.

“Per questo ti propongo un giochino: ci sono 36 ufficiali che appartengono a 6 reggimenti. Un'immagine (presa dal sito dell'AMS) ci mostra la situazione: i reggimenti sono identificati dai colori, i gradi degli ufficiali da una pedina degli scacchi”.



“Ok”.

“Il gioco consiste nel riallineare i 36 ufficiali in modo tale che ogni riga e ogni colonna contenga ufficiali di reggimenti diversi e di rango diverso”.

“Ah, una specie di doppio sudoku?”.

“Più o meno l'idea è quella. Per esempio, se gli ufficiali e i reggimenti fossero solo cinque, questa sarebbe una soluzione:”.



“Ok, chiaro”.

“Se invece fossero sette, ecco come si potrebbe fare:”.



“Bene. Provo con sei, allora?”.

“Puoi provare, ma non ce la farai”.

“Ma come?”.

“Eh, non ci si riesce”.

“Ma se ci si riesce con cinque, con sei si avranno più possibilità, no?”.

“E invece, non si può”.

“Mah. E Eulero l'ha dimostrato?”.

“No, Eulero ha congetturato che non si potesse, ma non è riuscito a dimostrarlo”.

“Ah! Ma allora è certamente un problema difficile”.

“Sì, e anche la dimostrazione è molto difficile. Il primo a dimostrare l'impossibilità è stato Tarry, nel 1900”.

“Tarry? Non l'ho mai sentito nominare”.

“Infatti non era un matematico. O, meglio, non era un matematico professionista: è famoso fondamentalmente per questa dimostrazione”.

“Ma pensa. Quindi non vediamo la dimostrazione, vero?”.

“No. Tarry ha fatto una serie di calcoli lunghi e laboriosi, poi ci sono stati tentativi successivi di semplificare la dimostrazione, qualcuno anche sbagliato”.

“Andiamo bene”.

“Nel 1936 è stata addirittura pubblicata una lista completa di tutti questi sudoku, come li chiami tu, e che in realtà si chiamano quadrati latini, e si è potuto verificare che nessuno di questi soddisfaceva la doppia condizione del problema: colori diversi e simboli diversi su ogni riga”.

“Un doppio quadrato latino?”.

“Sì, che viene chiamato quadrato greco-latino. Nel 1960 è arrivata una dimostrazione definitiva”.

“Ehi, il 1960 non è tanto tempo fa”.

“Eh, no”.

“E perché la chiami dimostrazione definitiva?”.

“Perché, utilizzando un sacco di matematica che serve per fare tutt'altro, per esempio la teoria dei codici, è stato finalmente dimostrato che esistono quadrati greco-latini di ogni ordine superiore al 2, tranne che per l'ordine 6”.

“Ah! Quindi Eulero aveva visto lontano”.

“Come al solito, direi. Ora, grazie all'uso dei computer, puoi andare su internet e trovare una lista con tutti i quadrati greco-latini fino all'ordine 8, assieme a tanti altri tipi di quadrati latini”.

“Si è persa un po' la magia, però”.

“Oppure no, se questo ci fa rendere conto di quali abilità possedessero quelli nati in un mondo senza computer”.

“Eh, vero. Ma non ho ancora capito cosa c'entri questo problema con gli spazi proiettivi”.

“La dimostrazione si basa su questo fatto: esiste un piano proiettivo di ordine n se e solo se esiste un insieme di n − 1 quadrati latini di ordine n che, a due a due, possono essere combinati per fare un quadrato greco-latino. Tutto questo a partire da n = 3, però”.

“Santo cielo”.

“Non mi addentro troppo nella dimostrazione, ti mostro solo un esempio con il caso più piccolo, il piano proiettivo di ordine 3. Ripartiamo da qui:”.



“Una vecchia conoscenza”.

“Già. Scegliamo una riga, per esempio quella verde, e scegliamo due punti su di essa, per esempio quello più in alto e quello più in basso, che chiameremo X e Y”.

“Ok”.

“Avevamo n + 1 punti sulla retta verde, due li abbiamo usati, ne rimangono n − 1”.

“Sì, nel nostro caso 2”.

“Li chiameremo Q1 e Q2”.

“Bene”.

“Le rette che escono dai due punti X e Y le numeriamo da 1 fino a n (escludiamo quindi la retta verde, quella da cui siamo partiti con la costruzione)”.

“Bene”.

“Mentre le rette che escono dai vari punti Qi le etichettiamo con A, B e C”.

“Ok”.

“In tutto avevamo n2 + n + 1 punti, abbiamo già dato un nome a n + 1, ne rimangono n2”.

“Giusto”.

“Questi li etichettiamo con una coppia di numeri. Ognuno di essi, infatti, si trova su una retta che passa per X e su una seconda retta che passa per Y”.

“Sì, perché comunque scelgo due punti c'è una retta che passa per essi”.

“Bene. Allora ognuno di questi punti viene etichettato con il numero corrispondente alle due rette che passano per X e Y”.

“Ah, ecco perché si chiamano così: servono per darci delle coordinate”.

“Esattamente. Ora la situazione è questa:”.



“Vedo”.

“Ogni punto Qi ci permette di creare un quadrato latino: quindi potremo avere n − 1 quadrati latini”.

“In che modo?”.

“Prendiamo per esempio il punto Q2: da esso escono tre rette, che si chiamano A, B e C, che passano per tutti i nove punti con la coppia di coordinate. Per esempio, la retta A passa per (2,3), (1,2) e (3,1)”.

“Sì, vero”.

“Allora noi creiamo una tabella 3 × 3, e nelle caselle di coordinate (2,3), (1,2) e (3,1) scriviamo A”.

“Ahh! Così?”.

+---+---+---+
|   | A |   |
+---+---+---+
|   |   | A |
+---+---+---+
| A |   |   |
+---+---+---+

“Esatto. Poi facciamo la stessa cosa con la riga B, che passa per (3,3), (2,2) e (1,1), e infine con la riga C, che passa per (1,3), (3,2) e (2,1)”.

“Mi viene un quadrato fatto così:”.

+---+---+---+
| B | A | C |
+---+---+---+
| C | B | A |
+---+---+---+
| A | C | B |
+---+---+---+

“Che, come vedi, è un quadrato latino: ogni simbolo si ripete una sola volta su ogni riga e su ogni colonna”.

“Giusto. Poi si potrà fare la stessa cosa anche con Q1, vero?”.

“Sì. Basta osservare la figura e vedere quali punti attraversano le tre righe etichettate con A, B e C. Risulta un quadrato fatto così:”.

+---+---+---+
| C | A | B |
+---+---+---+
| A | B | C |
+---+---+---+
| B | C | A |
+---+---+---+

“Confermo. Ma il quadrato greco-latino dov'è?”.

“Basta combinare i due quadrati che abbiamo trovato:”.

+----+----+----+
| BC | AA | CB |
+----+----+----+
| CA | BB | AC |
+----+----+----+
| AB | CC | BA |
+----+----+----+

“Ahh, bellissimo!”.

“Vedi che ci sono tutte le possibili coppie: ogni lettera in prima posizione si trova una volta sola su ogni riga e su ogni colonna, e la stessa cosa fanno le lettere in seconda posizione”.

“E questo metodo funziona sempre?”.

“Se hai un piano proiettivo riesci sempre a costruire un quadrato associato al punto Qi, perché ogni retta che lo contiene interseca una sola volta le due rette X e Y. Quindi ogni riga e ogni colonna del quadrato latino avranno esattamente ogni simbolo una sola volta. Inoltre, comunque tu prenda due di questi quadrati latini, potrai sempre costruire un quadrato greco-latino combinandoli insieme perché ogni retta che esce da uno dei Qi interseca ogni altra retta che esce da un altro Qj in un solo punto: quindi nel quadrato otterrai tutte le possibili coppie”.

“Che bello”.

“E funziona anche all'inverso: se hai n − 1 quadrati latini che, a due a due, possono formare un quadrato greco-latino, facendo questa costruzione al contrario potrai sempre costruire un piano proiettivo”.

“Molto bene”.

“Ora, il fatto che si sia riusciti a dimostrare che il problema degli ufficiali di Eulero non ha soluzione, significa che non è possibile avere un piano proiettivo di ordine 6: niente quadrati greco-latini, niente piani proiettivi”.

“Oh”.

“Quindi sappiamo che, se un piano proiettivo esiste, ha certamente n2 + n + 1 punti, e altrettante rette. Ma non è detto che esista: per esempio, quello di ordine 6 non esiste”.

“E gli altri ordini?”.

“Mah”.



N.B. Per saperne di più sul legame tra quadrati magici e piani proiettivi, qui c'è un bell'articolo.

Qui, invece, l'esempio fatto anche in questo post, ma con più colori.

venerdì 16 agosto 2019

Intermezzo autoreferenziale

Questa frase scritta da Roberto Zanasi contiene diciannove A, due B, nove C, tredici D, ventitré E, due F, una G, una H, diciannove I, una J, una K, una L, una M, ventidue N, undici O, una P, due Q, sette R, otto S, sedici T, diciotto U, sei V, una W, una X, una Y e due Z.

sabato 22 giugno 2019

Giochi proiettivi — 3. Qualche calcolo

“Ora facciamo un po' di conti”.

“Con gli spazi proiettivi?”.

“Sì, proviamo a contare i punti, le rette, e proviamo a capire se c'è qualche relazione interessante”.

“Bene”.

“Supponiamo quindi di avere un piano proiettivo che contiene almeno una retta”.

“Giusto, non vogliamo strutture degeneri”.

“Esatto. E supponiamo che esista una retta che contiene n + 1 punti”.

“Perché n + 1 e non semplicemente n?”.

“Perché è più comodo”.

“Allora non discuto”.

“Con n almeno 2, per evitare i casi degeneri”.

“Bene. Quindi questa retta ha almeno tre punti”.

“Esatto, come nel primo esempio che abbiamo visto”.

“Quello a triangolo: ricordo”.

“Ricordi anche che abbiamo inserito un postulato che evita i casi degeneri?”.

“Sì, quello che dice che esistono almeno 4 punti distinti, a 3 a 3 non allineati”.

“Che si può esprimere anche in forma duale: esistono almeno 4 rette distinte, che a 3 a 3 non passano per lo stesso punto”.

“Giusto”.

“Quindi, oltre alla nostra retta che contiene n + 1 punti, ci sono altre rette e altri punti fuori da essa”.

“Ancora giusto”.

“Consideriamo un qualsiasi punto al di fuori della nostra retta, e chiamiamolo P”.

“Ok”.

“Ora possiamo considerare tutte le rette che passano per uno dei punti della nostra retta e per P”.

“Sono n + 1, dato che abbiamo n + 1 punti, giusto?”.

“Dimmi tu: sono davvero tutte diverse, oppure qualcuna di queste è sempre la stessa?”.

“Uh. Mi sembra che non sia possibile che due di queste rette siano la stessa retta”.

“Prova a spiegare”.

“Provo: indico con r la retta data, quella che non contiene P, e chiamo A e B due suoi punti. Poi considero le due rette PA e PB”.

“Quindi la domanda diventa: è possibile che PA e PB siano la stessa retta? I postulati ce lo consentono?”.

“Il primo dice che per due punti distinti passa una sola retta”.

“Giusto”.

“Quindi se PA e PB fossero la stessa retta, essa dovrebbe contenere i tre punti P, A e B. Ah, ho capito! La retta che passa per A e per B è proprio r, quindi anche questa retta dovrebbe essere r”.

“E perché non è possibile?”.

“Perché dovrebbe contenere quindi anche P, ma abbiamo detto all'inizio che P è un punto esterno”.

“Ottimo. Quindi, riassumendo: abbiamo la retta r che contiene n + 1 punti, abbiamo un punto P esterno, e abbiamo n + 1 rette che passano per P e intersecano r in n + 1 punti diversi”.

“Ci sono”.

“Ora facciamo un disegno che ci faccia vedere le cose:”.



“Oh, benissimo”.

“Ora, l'ultimo postulato dice che esistono quattro rette distinte che a tre a tre non passano per uno stesso punto”.

“In questo disegno di rette ce ne sono anche di più di quattro”.

“Però non rispettano il postulato”.

“Ma come?”.

“Se ne prendi quattro che passano per P, evidentemente passano tutte per lo stesso punto e quindi il postulato è falso”.

“E fin qua ci siamo”.

“Se ne prendi solo tre che passano per P, e come quarta retta prendi quella viola, le tre che passano per P non rispettano il postulato”.

“Ah, già. E allora? C'è qualcosa di sbagliato?”.

“No, semplicemente il disegno non è completo: deve esistere un'altra retta, che non passa per P”.

“Ah-ha!”.

“E dovrà passare per uno dei punti della retta viola”.

“Perché non esistono rette parallele: due rette si intersecano sempre in un punto: ho capito. Facciamo il disegno, però”.

“Sì, immagino che questa nuova retta passi per A:”.



“Vedo. Ma cosa sono quei punti arancioni?”.

“Beh, se la nuova retta disegnata passa per A, non può passare per gli altri punti della prima retta”.

“Giusto, altrimenti sarebbe coincidente con essa”.

“E, però, deve intersecare le altre rette”.

“Perché non esistono parallele, giusto?”.

“Sì. Quindi devono esistere altri punti di intersezione, quelli che ho segnato in arancione”.

“Ok, ci sono”.

“Allora quanti punti avrà la nuova retta?”.

“Dunque, contiene A, e contiene i punti arancioni… i punti arancioni sono uno in meno rispetto alle rette che avevamo, cioè n… ah, certo! La nuova retta contiene n + 1 punti”.

“Allora abbiamo dimostrato un teorema importante: se in un piano proiettivo c'è una retta che contiene n + 1 punti, allora tutte le rette contengono n + 1 punti”.

“Ah, ecco”.

“E, grazie alla magia del principio di dualità, possiamo immediatamente dire, senza fare altre figure o considerazioni, che per tutti i punti passano n + 1 rette”.

“Bello”.

“Ora contiamo tutti i punti del piano”.

“Oh. Proviamo”.

“Fissiamone uno, e chiamiamolo P”.

“Fin qua è facile, uno l'abbiamo contato”.

“Ora, per esso e per ognuno di tutti gli altri punti passa una e una sola retta: ce lo assicurano i postulati”.

“Giusto”.

“Ci sono n + 1 rette che passano per P, e ognuna di esse contiene n punti diversi da P”.

“Vero. Quindi in tutto ci sono n(n + 1) punti?”.

“No: hai dimenticato di contare P”.

“Giusto: allora possiamo dire che ci sono n(n + 1) + 1 punti”.

“O, anche, n2 + n + 1 punti”.

“Ok, è la stessa cosa. Ehi, possiamo usare la dualità anche qui, vero?”.

“Certo”.

“Allora ci sono anche n2 + n + 1 rette!”.

“Certo”.

“Quindi ci siamo riusciti: un piano proiettivo di ordine n contiene n2 + n + 1 punti e n2 + n + 1 rette”.

“Se esiste”.

“Come se esiste?”.

“Eh”.