lunedì 15 settembre 2014

Una serie di fortunati eventi

Sei anni fa lui aveva 11 anni e io stavo leggendo La Strada. Dopo pochi giorni commentavo: "non ho mica ancora capito se mi è piaciuto o no".

Pochi giorni fa lui ha compiuto 18 anni e io ho assistito a una conferenza di Massimo Recalcati al festival della filosofia di Modena, dal titolo Il modello paterno.

Recalcati ha iniziato parlando dell'evaporazione del concetto di padre, così come lo si intendeva una volta. E fin qua ok. Ha poi aggiunto che la figura del padre è comunque ancora oggi necessaria perché è solo attraverso l'incontro con l'esperienza del limite che si può fare esperienza del desiderio. E qui i padri già cominciano a drizzare le orecchie per provare a capire il loro nuovo ruolo.

Poi è arrivato a parlare di Telemaco, che è il figlio che sa fare esistere il padre (al contrario di Edipo), come Cristo che salva Dio (citando Lacan che, io, ho sentito nominare per la prima volta in quel momento). Per me Cristo che salva Dio è un concetto molto illuminante, uno di quei pensieri sotto traccia che ti girano per la testa senza che tu te ne renda conto.

Poi, Recalcati ha paragonato questo capovolgimento teologico a quello che succede nella storia raccontata da La Strada, in cui la vita del bambino senza nome in un mondo senza Dio rende ancora possibile l'esistenza di Dio.

In quella storia è il figlio che salva il padre.

E questa frase, il figlio che salva il padre, dopo tutto quello che ti è successo da quando lui aveva 11 anni e tu leggevi La Strada, e vedevi proprio lui nel bambino senza nome, questa frase ha evitato tutti i filtri vulcaniani che ti eri fabbricato nel corso della vita, è andata diretta alla pancia, ti ha colpito come mai ti saresti aspettato, e ti ha commosso oltre ogni misura (e dignità di uomo adulto in piedi in mezzo a piazza Grande, ma vabbé).

Dunque buon compleanno, salame che non sei altro. Benvenuto nella maggiore età. E grazie.

domenica 7 settembre 2014

Ma chi l'ha detto che meno per meno fa più?

Eh, la famosa regola del prodotto (e della divisione) dei segni dice che meno per meno fa più, ma perché è così? Perché il prodotto di due numeri negativi deve essere positivo? Perché non negativo al quadrato, per dire? (No, ok, vabbé).

Emma Castelnuovo suggeriva una presentazione, ai fanciulli alle prese per la prima volta con questa domanda, fatta utilizzando un cartoncino colorato con due colori diversi sui due lati. Facciamo blu e rosso.

Interpretiamo la moltiplicazione 2×3 come il calcolo dell'area del suddetto cartoncino rettangolare: se la base è lunga 2 e l'altezza 3, allora l'area sarà 6, e fin qua è facile. Il cartoncino ha la faccia blu verso l'alto, e diciamo che blu = positivo. Mettiamolo su un riferimento cartesiano.



Adesso immaginiamo di sostituire 2 con −2. Cosa significa, dal punto di vista geometrico?

Significa che dobbiamo girare il cartoncino, tenendo fissa l'altezza, in modo che la base ora si estenda lungo la parte negativa dell'asse delle ascisse. Il cartoncino si è capovolto, e ora presenta l'altra faccia. Rosso = negativo. Quindi −2×3 = −6, meno per più fa meno.




Ovviamente se giriamo il cartoncino lungo l'altra direzione, tenendo quindi fissa la base, otteniamo il risultato di 2×(−3), che fa ancora −6, e la proprietà commutativa è assicurata.

Infine, cosa succede se ruotiamo il cartoncino due volte, una tenendo fisso l'asse orizzontale e l'altra tenendo fisso quello verticale? Facile, il cartoncino ruota due volte, andrà a finire nel terzo quadrante, e presenterà però nuovamente la faccia blu. Ecco la magia: −2×(−3)=6, meno per meno fa più.



Ok, questo per i fanciulli. Così si capisce, e probabilmente non si dimentica. Ma un Vero Matematico cosa dice? Mica si mette a giocare coi cartoncini, no? Dov'è il rigore? E poi cosa c'entra la geometria?

Ebbene, i Veri Matematici utilizzano un principio fondamentale, quello che dice la matematica è come il maiale: non si butta via niente (in realtà loro lo chiamano principio di permanenza, o principio di Henkel (questo l'ho scoperto ieri)).

In pratica funziona così: da bambini impariamo a contare, da grandi definiamo l'insieme dei numeri naturali (in pratica rifacciamo la stessa cosa in modo complicato), poi scopriamo delle belle proprietà, ci affezioniamo e vogliamo che esse continuino a essere valide anche quando allarghiamo le nostre definizioni. Definisco i numeri negativi? Bene, però attenzione, per essi devono valere le stesse proprietà che valevano prima, eh. Anzi, se definisco cose nuove devo stare bene attento a non introdurre eccezioni alle regole che già conoscevo prima. In matematica non esiste l'eccezione che conferma la regola, proprio no.

E quindi ora consideriamo la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, quella che dice che per calcolare 2×(3 + 4) si può calcolare 2×7 oppure 2×3 + 2×4. In formule:

a×(b + c) = a×b + a×c.

Questa proprietà vale nell'insieme dei numeri naturali, e quando introduciamo i numeri interi desideriamo che essa sia ancora valida. Anzi, estendiamo le regole per questi numeri in modo che sia valida: lo facciamo proprio volontariamente, con questo scopo. E ora applichiamo la proprietà distributiva a questa espressione:

a×(− b) [immaginamo per comodità a e b positivi, senza segni nascosti]

Conosciamo naturalmente già il risultato: sarà 0, dato che − b fa 0. Cosa succede però se applichiamo la proprietà distributiva? Vediamo:

0 = a×(− b) = a×b + a×(−b).

Ma allora a×b e a×(−b) devono essere opposti, dato che il risultato è nullo. Quindi, siccome sappiamo già che a×b è positivo (questi sono i vecchi numeri naturali), allora a×(−b) deve essere negativo. Più per meno deve fare meno.

Infine, consideriamo quest'altra operazione:

a×(− b).

Anche questa deve fare 0, e anche in questo caso, applicando la proprietà distributiva, abbiamo

0 = −a×(bb) = −a×b + (−a)×(−b). Dato che i due termini finali sono opposti, e dato che sappiamo già che −a×b è negativo, è necessario che (−a)×(−b) sia positivo. E così tutto funziona bene, non si può fare altrimenti.

(Poi non dite che i numeri sono creazione della mente umana, eh)

martedì 5 agosto 2014

Codici PIN di quattro cifre che potreste voler utilizzare

0042

Lo sapete tutti, è la risposta alla Domanda Fondamentale sulla Vita, sull'Universo e Tutto quanto.

"Quarantadue!" urlò Loonquawl. "Questo è tutto ciò che sai dire dopo un lavoro di sette milioni e mezzo di anni?"
"Ho controllato molto approfonditamente," disse il computer, "e questa è sicuramente la risposta. Ad essere sinceri, penso che il problema sia che voi non abbiate mai saputo veramente qual è la domanda."


1138

È il numero preferito da Lucas. Da quando esiste Jar Jar Binks, però, non so quanti possano seriamente desiderare di utilizzare questo numero.


1337

Nella codifica leet, si legge leet.


1701

NCC-1701 è il numero di matricola della nave stellare Enteprise, classe Constitution.


1969

Questo è l'unico numero naturale n minore di 4000000 per il quale la funzione standard di Ackermann modulo n non si stabilizza.

Ma è anche l'anno in cui l'uomo ha messo piede sulla luna, eh.


3435

È l'unico numero per il quale la somma delle sue cifre elevate a un esponente uguale a loro stesse è uguale al numero stesso. Si fa prima a scrivere la formula:

33 + 44 + 33 + 55 = 3435.

(No, non è vero, non è l'unico numero di questo tipo, l'altro è 1, ma vabbé. Comunque si chiamano numeri di Münchhausen, perché si elevano da soli, come l'omonimo barone)


5141

Questo è l'unico numero che, rovesciato e letto in esadecimale, rimane uguale a sé stesso.

514110 = 141516.


6174

È la costante di Kaprekar. Funziona così:

  1. prendete un numero qualsiasi di quattro cifre, usando almeno due cifre diverse,
  2. ordinate le cifre in ordine decrescente e in ordine crescente, ottenendo (altri) due numeri
  3. sottraete il più piccolo dal più grande
  4. ripetete i passi 2 e 3

Dopo al massimo sette passi si arriva a 6174, e da lì non ci si muove più.


(Via Facebook)

lunedì 28 luglio 2014

Particelle familiari



Recensione breve: ho letto il libro Particelle familiari di Marco Delmastro e mi è piaciuto, leggetelo.

Recensione lunga: Marco Delmastro è un fisico che lavora a ATLAS, uno degli esperimenti del CERN che ha osservato il (un?) bosone di Higgs. In questo libro racconta cosa fa un fisico sperimentale, come fa a osservare particelle così piccole e elusive che anche solo il termine "osservare" assume significati nuovi.

Il libro è dedicato a chi non sa niente di fisica e vorrebbe saperne qualcosa di più, vorrebbe capire: non contiene formule, non contiene figure, non contiene spiegoni complicati. Le figure, però, Marco le mette sul suo blog, assieme a spiegazione più dettagliate per i più curiosi (con anche qualche formula, sì). Più che una relazione scientifica (cosa che non vuole essere), è un racconto, che parla della famiglia e degli amici di Marco, cioè gente normale (nel senso positivo del termine, se esiste, e se non esiste ho sbagliato termine) che cerca di capire cose speciali. Speciali e stranissime come quelle descritte dalla meccanica quantistica, per la quale onde e particelle sono un po' la stessa cosa e tu, ogni volta che leggi questa cosa, continui a chiederti ma come è possibile, ma cosa vorrà poi dire davvero questa cosa qui?

E a te piacciono tanto, le domande di questo tipo, che vorresti sapere tutto, e vorresti anche che LHC, l'acceleratore di particelle che spacca tutto, non fosse mai spento, e vorresti che ne accendessero uno ancora più grande, e che le scoperte eccezionali venissero annunciate più spesso. Poi ti dici che non sarebbero più eccezionali, e quindi pazienza. E allora arrivi alla fine del libro, spinto da questo desiderio di conoscenza, e ti trovi un capitolo finale che si intitola A che cosa serve? e che ti spiega qual è il senso della ricerca fondamentale. Che assomiglia un po' al senso della ricerca in matematica (che, in effetti, matematica e fisica teorica non sono mica tanto diverse, poi i matematici vincono perché non hanno bisogno di verificare nessuna teoria, e il metodo scientifico lo lasciano ai fisici, appunto, che costruiscono macchine gigantesche e meravigliose per capire se le cose sono proprio così come pensavano oppure no, mentre i matematici li stanno a guardare sogghignando con aria di giusta superiorità). Assomiglia anche alle domande che ti fanno gli studenti, quando dicono prof ma a cosa ci serve questa roba nella vita di tutti i giorni? E, poi, qua non ti sbagli, passano le generazioni ma ti fanno sempre quell'esempio, non lo cambiano mai, ti chiedono a cosa serve il quadrato di binomio quando vai a fare la spesa, e tu tiri un sospiro e cominci la tua predica.

E ti fermeresti anche qua, in questa recensione un po' strana, ma poi è successo che prima che tu finissi di leggere il libro è arrivato Peppe che ha scritto pure lui una recensione, che ti ha stupito nella sua parte finale, perché in quel momento non la capivi del tutto. Poi hai finito anche tu il libro, e sarà magari per la tua particolare e strana situazione personale in cui ti trovi in questo momento, sarà l'anzianità che ormai si fa avanti e ti rende sensibile a cose che prima non ti facevano né caldo né freddo, sarà il caldo, sarà Ulisse, fatto sta che la parte più bella ti è sembrata proprio la fine, quella delle navi volanti che arrivano fino alle stelle, del respiro profondo e del sorriso, che prima o poi arriverà, sicuro.

Se non si è capito, pazienza, leggete il libro. Costa 13 euro e 60, da Amazon.

lunedì 30 giugno 2014

Il senso di Newton per le cose piccole (e in movimento)

Newton era uno di quelli che ha sviluppato le basi dell'analisi matematica senza utilizzare il calcolo dei limiti (e per questo andrebbe venerato da tutti gli studenti di matematica) — l'altro era Leibniz. Questi due signori giocavano in modo non tanto rigoroso con gli infinitesimi e gli infiniti, procurandosi anche qualche critica da parte di alcuni colleghi. Eppure le cose funzionavano, e anche bene.

Per esempio, dice Newton, prendiamo il Sole e un pianeta che gli orbita intorno: la Terra, se volete. E facciamo subito un disegnino. Ah, prima che mi dimentichi, sapete tutti che due triangoli che hanno la stessa base e la stessa altezza hanno anche la stessa area, vero?

Mh, no, l'avevamo soltanto accennato alle elementari, risponde uno studente casuale che passava di lì. Vabbé, adesso lo sai, risponde Newton fulminandolo con lo sguardo.

E, dato che conosce i suoi polli, Newton fa anche un disegno:



Ecco, siamo d'accordo? Il triangolo rosso e quello blu hanno la stessa area, giusto? Bé, no, dice lo studente che si è svegliato in quel momento, è evidente che quello blu è più grande.

Ma no! urla Newton, lanciandogli una copia degli Elementi di Euclide dritta sul naso, a occhio forse vedi che il perimetro del triangolo blu è maggiore, ma a scuola hai anche dimostrato che questi due triangoli hanno la stessa area! E senza tirare fuori le dimostrazioni di Euclide, ti ricorderai almeno come si calcola l'area di un triangolo, vero?

Ehm, certo, sì, base per altezza…



Ehm.

Diviso due!

Diviso due, stavo per dirlo!

Bene. Quindi se due triangoli hanno la stessa base e la stessa altezza, siamo d'accordo sul fatto che hanno la stessa area?

Eh, sì.

Stabilita questa importante verità matematica, Newton procede nel suo ragionamento, disegnando il Sole e la Terra. Poi continua dicendo ecco, vedete, noi dobbiamo immaginare che il Sole non eserciti in continuazione la sua forza attrattiva. Immaginiamo per un momento che il Sole agisca per impulsi.

Impulsi? Domanda il pubblico.

Sì, ogni tanto il Sole dà uno strattone alla Terra, zacchete, poi per un po' di tempo è come se non ci fosse, poi un nuovo strattone, e così via.

Ah, va bene, ma ogni quanto? Perché non è mica così che funziona, gli domandano.

Ogni poco, fate finta che il tempo tra un impulso e l'altro sia infinitesimo.

E cosa vuol dire? Cosa sono mai questi infinitesimi? Sono quantità reali? Sono zeri?

Senta, lei, signor vescovo, con tutto il rispetto, la battuta sui fantasmi di quantità defunte l'ha già fatta, mi lasci lavorare che le cose funzionano bene anche se la matematica che lei ha in mente non si è ancora adattata. Allora, guardate un po' questa figura: qui abbiamo la Terra che si muove per un po' di moto rettilineo uniforme, dato che su di essa non agiscono forze.



Dopo che ha percorso un po' di strada…

Un tratto infinitesimo, ah!

Sì, è così, un tratto infinitesimo, e la smetta di intervenire, sa? Dopo questo tratto il Sole manda il suo impulso, che disegno qua in rosso. Senza questo impulso la Terra proseguirebbe ancora di moto rettilineo uniforme, ma l'impulso fa deviare la traiettoria, che rappresento in questo modo. Ecco, vedete? La Terra finirebbe qui, dove la disegno in azzurro chiaro, ma la presenza della forza attrattiva la fa finire qui, dove disegno la freccia rossa.





E adesso? Domanda il pubblico.

E adesso vi disegno un po' di triangoli. Vedete questi due triangoli blu? Hanno la base uguale, formata dai due vettori blu, e la stessa altezza. Uhm, vedo dall'espressione spenta dello studente là nell'ultimo banco che non ha mica capito. Aspetta che disegno anche l'altezza comune. Si capisce, adesso?



Lo studente annuisce silenzioso, e Newton continua: bene, abbiamo quindi due triangoli con la stessa area. State attenti adesso, eh? Ora tengo in evidenza uno di questi due triangoli, quello più in alto, e ne disegno un altro, in arancione. Guardate bene: anche questi due triangoli hanno la stessa base e la stessa altezza. A beneficio del nostro studente che si è addormentato di nuovo disegno anche qui l'altezza (povero me): ecco fatto, questi due segmenti verdi sono uguali, e sono le due altezze dei triangoli.


Il triangolo arancione ha dunque la stessa area del triangolo blu. Riassumendo il tutto in questa nuova figura, possiamo dire che il triangolo blu inferiore e quello arancione hanno la stessa area:



Da cui possiamo dedurre la legge nota come seconda legge di Keplero: il segmento che unisce il centro del Sole con il centro della Terra (o di qualunque altra coppia di corpi celesti) descrive aree uguali in tempi uguali.

Perché, come potete ben immaginare, se noi ripetiamo questo procedimento per infiniti istanti di tempo infinitesimi, riusciamo a ricostruire tutta l'orbita del pianeta.

Argh!

Portate i sali al vescovo, mi sembra che sia svenuto.




Mi perdonino Newton e il vescovo Berkeley. Tutto questo post nasce dall'aver trovato un'animazione fatta da un mai abbastanza lodato wikipediano, LucasVB, che ho già citato in passato. Eccola qua, una bella dimostrazione senza parole.


sabato 31 maggio 2014

Sensori in tasca

Come accade ormai da alcuni anni, ho accompagnato una delle mie classi in visita di istruzione a Mirabilandia. Non ridete, ha davvero una parte istruttiva niente male.

Quest'anno la classe con cui ero io ha seguito il percorso matematico, applicando lo studio dell'ellisse alla ruota panoramica (con un po' di dispiacere da parte degli studenti, dato che la ruota non è che sia questa gran attrazione. Poco male, comunque, dato che i ragazzi hanno avuto tutto il tempo, sia prima che dopo la lezione, per divertirsi su tutte le attrazioni da giovani che volevano).

Bene, durante l'attività ho scoperto che a partire da quest'anno Mirabilandia offre anche un percorso di fisica utilizzando, come strumento di misura, il cellulare. Quindi ho subito installato l'app necessaria sul mio telefono e mi sono divertito a fare un po' di misure.

Ecco, ad esempio, il grafico della pressione in funzione del tempo, misurata da una cabina della ruota.


Una sinusoide niente male… Dice l'internet che una variazione di pressione 10 hPa corrisponde a una variazione di altitudine di 80 metri. In effetti i dati reali riportano, per la ruota, un diametro di circa 90 metri.

Mi sono divertito anche a misurare le accelerazioni su attrazioni un po' più movimentate (anche se quelle davvero movimentate non le ho fatte, temo per il mio stomaco). Ecco, ad esempio, il Divertical:



Questi non sono i dati grezzi: ho calcolato il modulo del vettore accelerazione a partire dai dati lungo tre direzioni ortogonali, e li ho integrati un po' con una media trascinata. Sull'asse verticale c'è l'accelerazione, e l'unità corrisponde a un g.

Una botta più secca (e successiva lavata) la si ha sul Niagara:


Qui probabilmente ci sono pochi dati sull'asse dei tempi, le oscillazioni che si vedono sono dovute anche alla troppa discretizzazione. La prossima volta provo a aumentare un po' la velocità di raccolta dei dati.

Se siete ardimentosi e avete fatto misure sul Katun o sull'Ispeed, sarei curioso di vederle…

sabato 10 maggio 2014

Su una fondamentale applicazione del Theorema Egregium

Il concetto di curvatura è facile da intuire, ma difficile da definire in una maniera gradita ai Veri Matematici.

Ecco un'idea semplice:

Grazie a ultimatemotorcycling.com

La curvatura di una curva corrisponde a quanto deve piegarsi un motociclista per percorrerla. Facile. I flessi sono i punti in cui il pilota cambia inclinazione e si piega dall'altra parte; se il pilota è poco inclinato la curvatura è piccola, se è molto inclinato la curvatura è grande.

Se il pilota mantenesse sempre la stessa inclinazione lo vedremmo descrivere una circonferenza, il cui raggio è tanto più piccolo quanto più il pilota è inclinato. Ecco allora che possiamo legare il concetto di curvatura a quello di circonferenza che meglio approssima (qualunque cosa ciò significhi, la spiegheranno i Veri Matematici) la curva, e quando parliamo di raggio di curvatura intendiamo parlare del raggio di quella particolare circonferenza.

Per esempio, qua sotto c'è una animazione fatta con GeoGebra (e inserita come html5 (credo), se non la vedete fatemi sapere) che mostra il grafico della funzione seno, un punto che si muove su di esso, e il cerchio avente come raggio il raggio di curvatura in quel punto.




Per calcolare la curvatura i Veri Matematici hanno naturalmente sviluppato metodi rigorosi che non fanno uso di piloti di moto, ma ora non ci addentriamo nella questione, perché vogliamo invece passare alle superfici.

Qui le cose si fanno più difficili, perché a seconda della direzione con cui percorriamo la superficie, la curvatura potrebbe cambiare. Ad esempio, prendiamo una superficie a forma di sella.



Possiamo immaginare che sia un passo di montagna: se partiamo da una valle, saliamo fino al valico e poi scendiamo dall'altra parte, la concavità del sentiero che stiamo percorrendo è rivolta verso il basso; viceversa, se partiamo da una cima montuosa e scendiamo fino al valico, per poi salire dall'altra parte, notiamo che la concavità è rivolta verso l'alto: il cerchio che meglio approssima il percorso si trova, in un caso, al di sotto della superficie, e nell'altro caso si trova invece al di sopra.

Bene, quindi come si misura la curvatura di una superficie? Bé, esistono alcuni modi diversi, che mettono in evidenza proprietà diverse delle superfici: ora ci concentriamo su uno solo di questi, detto della curvatura gaussiana.

Metodo che nasce da questo problema: come facciamo ad accorgerci se una superficie è curva oppure no? Capisco che questa domanda possa fare alzare un sopracciglio anche a un vulcaniano addormentato, perciò mi spiego meglio: come facciamo a capire se una superficie è curva o no senza uscire da essa, cioè senza guardarla dall'esterno?

Detto in altri termini: come fanno gli abitanti di Flatlandia a capire se il loro mondo è un piano euclideo, una sfera, oppure una sella come quella disegnata qua sopra? Loro non possono osservarlo dall'esterno, e quindi per loro non è così facile.

Bene, il buon Gauss ha trovato una soluzione (anche) a questo problema. Dopo essere diventato grande e aver smesso di calcolare somme di interi consecutivi, si è dedicato a questa faccenda della curvatura e, all'età di 50 anni, ha scritto un articolo intitolato Disquisitiones generales circa superficies curvas, nel quale si trova la seguente affermazione:

Si superficies curva in quamcumque aliam superficiem explicatur, mensura curvaturae in singulis punctis invariata manet.

Che significa: cari lettori, se noi prendiamo una superficie curva e la sviluppiamo su una qualunque altra superficie, il calcolo della curvatura come ve l'ho spiegato io nelle righe precedenti non cambia.

E i lettori rispondono: eh?

E Gauss allora spiega meglio: se io prendo questa superficie e riesco, piegandola senza deformazioni, a appiccicarla a un'altra superficie, la curvatura non cambia. Insomma, vedete questo cilindro? Ecco, se io lo taglio in modo da ottenere un rettangolo riesco a appiccicarlo su un piano, e quindi il cilindro e il piano hanno la stessa curvatura.

Grazie, caro Gauss, rispondono i lettori, l'hai tagliato!

Carissimi, riprende Gauss, l'ho tagliato perché le vostre semplici menti si sarebbero trovate in difficoltà con il concetto di isometria locale. Pezzo per pezzo il mio cilindro si può mettere su un piano, quindi pezzo per pezzo ha curvatura uguale a quella del piano: dato che il piano ha curvatura nulla, anche il cilindro ha curvatura nulla pezzo per pezzo. E quindi ha curvatura nulla sempre. Se ci provo con una sfera non ci riesco, nemmeno se taglio pezzi piccoli: devo comunque sempre deformarli per appiccicarli su un piano.

Ah, Gauss, sai che forse abbiamo capito? E come funziona questo tuo calcolo della curvatura?

Ecco, vedete, spiega Gauss, ho scoperto che se definisco come curvatura il prodotto delle due curvature principali, allora questo risultato è indipendente dalle osservazioni che si possono fare dall'esterno sulla superficie in questione. Insomma, è una misura che anche gli abitanti di Flatlandia potrebbero fare.

Bello, ma non sappiamo assolutamente cosa siano le curvature principali, sai?

Avete ragione: si chiamano curvature principali misurate in un punto il massimo valore e il minimo valore della curvatura di una curva contenuta nella superficie e passante per il punto.

Uhm.

Avete presente quella sella di prima? Se vado da una valle all'altra, salgo e poi scendo. Quindi la circonferenza che meglio approssima si trova al di sotto della superficie. Se invece vado da una montagna all'altra, prima scendo e poi salgo: in questo modo la circonferenza che meglio approssima si trova al di sopra della superficie. Ora non sto a tediarvi con questioni di segno, ma capite anche voi che una delle due circonferenze avrà curvatura positiva, l'altra negativa. Quindi il loro prodotto sarà negativo.

E quindi la sella ha una curvatura negativa?

Esattamente. Più precisamente, ha curvatura negativa nel punto in cui la stiamo misurando. Se cambio punto la curvatura potrebbe cambiare. Ma non ci addentriamo troppo in questi discorsi, perché mi è venuta fame. Avete ancora un po' di pizza?

Ehm, certo.

Ecco, bene, perché è con la pizza che il mio teorema trova una fondamentale applicazione.

Eh?

Certo, certo. Osservate questa bella pizza, che superficie occupa?

È un cerchio, no?

Sì, il pizzaiolo è stato molto abile, quando le faccio io sembrano dei frattali.

Eh?

Non importa, qualcosa che studieranno bene in futuro… Dicevo, questa pizza è un cerchio, certo, ma vedete che è appoggiata su un piano, no?

Ovvio.

E quindi ha la stessa curvatura del piano.

Che, secondo quanto hai detto, dovrebbe essere zero, vero?

Esattamente. Allora, secondo il mio egregio teorema, se anche la deformo senza stirarla la curvatura non cambia.

Certo, Gauss, a meno che non sia fatta di gomma.

Questa è un'ottima pizza, non è per niente gommosa. Allora, guardate, ne taglio una bella fetta…

Isometria locale?

Bene, bene, vedo che mi seguite. Questo bello spicchio che ho appena tagliato ha curvatura zero, come l'intero cerchio, e come l'intero piano.

Ok, quindi?

Quindi ora lo piego lungo un raggio con le mani, e lo sollevo dal piatto, vedete?

Cosa?

Vedete che ora ho in mano una superficie curva, no? Che secondo il mio teorema ha ancora curvatura zero.

E quindi?

E quindi io l'ho piegata per tenerla in mano, e allora una delle due curvature principali è aumentata.

Quella lungo la direzione perpendicolare alla piega, che ora assomiglia a una conca, una specie di cilindro.

Proprio così. E dunque, se la mia curvatura, ehm, se la curvatura gaussiana deve rimanere zero, l'altra curvatura principale che valore dovrà avere?

Eh, dovrà essere zero, no? Solo moltiplicando per zero otteniamo zero.

Esatto. Ecco perché piegando uno spicchio di pizza la punta non cade verso il basso: se la curvatura principale in quella direzione deve rimanere zero, la pizza deve stare su. Così ce la possiamo mangiare comodamente con le mani. Gnam.