mercoledì 6 maggio 2015

Allora, questi angoli retti sono congruenti o no?

“Ma allora com'era la soluzione del paradosso degli angoli retti diversi?”.

“Hai provato a studiare il problema?”.

“Eh, sì, però non ho mica capito quale fosse l'errore: i due triangoli coi lati rosso, verde e viola sono effettivamente congruenti”.



“E questo è giusto”.

“Ma allora? Non è possibile!”.

“L'errore, questa volta, sta nella figura”.

“Ma come? La figura è corretta, non capisco”.

“La figura è sbagliata. Tu hai guardato quella che ho fatto io e non hai provato a costruirtela in autonomia, vero?”.

“Mah, a dir la verità ho provato a fare qualche scarabocchio, però non ho ottenuto nessun risultato. In fondo, che senso ha rifare una figura che ho già davanti?”.

“Se la figura è fatta bene potrei darti ragione, e però in questo caso non era fatta bene. Prova a farla utilizzando qualche strumento un po' preciso, senza pensare alla figura che già hai davanti”.

“Boh, proviamo pure”.

“Ti descrivo la procedura, poi tu esegui le varie operazioni, in questo modo non ti fai ingannare dalla figura che hai in mente”.

“OK”.

“Allora, disegna il rettangolo ABCD”.

“Fatto”.

“Ruota il segmento AB intorno al punto A, in senso orario, di un angolo scelto da te, a piacere. Il segmento ruotato lo puoi chiamare AE”.

“Bene”.



“Congiungi C con E, poi traccia gli assi dei due segmenti DA e CE. Chiama F il loro punto di intersezione”.

“Fatto. Oh”.




“Capisci, adesso?”.

“Capisco, i triangoli sono congruenti ma non sono disegnati come pensavo io. Ma forse se ruoto un po' di meno il primo segmento…”.

“Prova pure, questa non è un'immagine, puoi trascinare il punto E dove vuoi”.

“Uh. Ci deve essere una morale, in questa storia”.

“Già. Non fidarti dei disegni fatti dagli altri”.

“Pensavo a qualcosa un po' più zen”.

Non fidarti, pensa”.

“OK”.

martedì 5 maggio 2015

Scienziaggini

Mix, allonimo di Cristiano Micucci, non lo conoscevo mica prima di iniziare a frequentare l'ex socialino dell'odio (che dopo la chiusura è rinato e ogni giorno ha qualcosa di nuovo e tu lo guardi crescere come se fosse un bambino, poi ti rendi conto di stare per cadere nel ridicolo e allora smetti, ma non per molto).

Dicevo, Mix non lo conoscevo, e quando ho saputo che sarebbe uscito un suo elettrolibro per i tipi di 40k mi sono detto: ma pensa, non sapevo che fosse un matematico.

E infatti non lo è.

In realtà a Mix piace scrivere, e in questo libro lo fa parlando di cose di scienza, ma non come lo farebbe un Vero Scienziato. Lo fa in modo umoristico, che quando leggi ti sembra che sia una cosa seria e poi, zac, ti trovi in un altro universo in cui è possibile viaggiare nel tempo (ma solo in modalità base base), in cui abbiamo avuto un primo contatto con una specie extraterrestre, in cui la siepe di cui Leopardi parla nella sua L'infinito è… beh, oh, non posso mica dire tutto sennò spoilero troppo.

Bene, il titolo del libro è Scienziaggini, lo potete trovare su amazon o bookrepublic, costa 1.99 euro. Leggetelo, ha anche una prestigiosa prefazione scritta da un Vero Scienziato.


venerdì 24 aprile 2015

Non tutti gli angoli retti sono congruenti


A colori uguali corrispondono oggetti uguali. Dunque un angolo maggiore di un angolo retto è congruente a un angolo retto. Ehm.



Edit: siccome dal disegno non si capisce la costruzione, la esplicito qua, anche se non ho lettere sui vertici della figura.

Dato un rettangolo (quello coi lati blu e rossi in alto), ruotare di un certo angolo uno dei suoi lati (quello rosso in alto a destra). Costruire l'asse del lato lungo del rettangolo e l'asse del segmento arancione: si formano due triangoli isosceli (quello coi lati viola e quello coi lati verdi).

I due triangoli coi lati rosso, viola e verde risultano così congruenti.

martedì 7 aprile 2015

Il determinante di una matrice, questo sconosciuto (per non parlare dei parallelotopi)

Qualcuno ricorderà, dalle scuole superiori, di avere già sentito nominare la parola determinante. Magari legata a un magico metodo per risolvere i sistemi di equazioni, il metodo di Cramer (che, tra parentesi, non si scrive con la K). Un metodo che aveva a che fare con le matrici, che sono poi griglie di punti — per la precisione, le matrici di cui si può calcolare il determinante sono griglie quadrate di punti.

Chi, all'università, studia matematica, o fisica, o qualche ingegneria, probabilmente incontra le matrici per la prima volta nel corso di geometria, l'unica materia che si studia senza fare nemmeno una figura (è così, sembra assurdo ma è così). La definizione di determinante di una matrice è del tutto incomprensibile: provo a scriverla in italiano.

Il determinante di una matrice quadrata n×n è dato dalla somma, fatta su tutte le permutazioni di n elementi, dei prodotti tra il segno della permutazione considerata e gli elementi di ogni riga (o di ogni colonna) riordinati secondo la permutazione stessa.

In formule:



La prima domanda che mi sono fatto io quando ho visto questa definizione è stata: ma come hanno fatto a pensarci? Quale mente malata può produrre una roba del genere? Nessuno te lo spiega, naturalmente, e tu rimani lì a bocca aperta in balia di sentimenti contrastanti: ammirazione per chi ha potuto pensare a una cosa del genere (che funziona, eh, non è scritta a caso) e odio per chi ha potuto pensare a una cosa del genere (che funziona, ma come è possibile che funzioni, santo cielo?).

Prima di provare a dare una spiegazione, ecco una citazione di un famoso matematico, Arnold, uno che faceva disegnini per ogni cosa (disegnava anche gattini) (per spiegare la matematica):

The determinant of a matrix is an (oriented) volume of the parallelepiped whose edges are its columns. If the students are told this secret (which is carefully hidden in the purified algebraic education), then the whole theory of determinants becomes a clear chapter of the theory of poly-linear forms. If determinants are defined otherwise, then any sensible person will forever hate all the determinants, Jacobians and the implicit function theorem.

Ecco. Visto cosa dice sul segreto indicibile riguardante il determinante?

Bene, proviamo allora a capire la definizione geometrica, quella con i disegnini. Partiamo da un parallelogramma:



Potete giocare un po' con l'applet trascinando le punte dei vettori: si vede bene che l'area dipende da quanto sono lunghi i vettori e dall'angolo compreso tra essi (se l'angolo diventa molto piccolo anche l'area diventa piccola). Se i due vettori sono sovrapposti (collineari, come dicono i Veri Matematici), l'area diventa nulla, e in effetti la figura non è più bidimensionale, ma è un segmento.

La stessa cosa vale in tre dimensioni e, se siete capaci di astrarre e diventare Veri Geometri, anche in un numero maggiore di dimensioni.



Il volume diventa uguale a zero quando almeno due dei tre vettori diventano collineari (se ci provate con la figurina qua sopra non è detto che ci riusciate, perché spostare con il mouse una proiezione bidimensionale di un oggetto tridimensionale non è facile. Insomma, il software fa quello che può (e che vuole)).

Ora, quello che vogliamo fare è definire un Coso Matematico che ci permetta di calcolare volumi di oggetti definiti come quelli qui sopra (cioè se parallelogrammi, con due vettori; se parallelepipedi, con tre vettori; se n-parallelotopi (pare che si chiamino così), con n vettori). Come fare?

Prima di tutto, la notazione: immaginiamo che i vettori partano tutti dall'origine, e quindi per definirli ci bastano le coordinate della loro punta. Due coordinate se siamo sul piano, tre coordinate se siamo nello spazio, n coordinate se siamo in spazi di dimensione n. Ecco, queste coordinate le mettiamo in colonna, formando una matrice (se decidessimo di metterle in riga non cambierebbe nulla, ma per fissare le idee pensiamo alle coordinate dei punti scritte in colonna).

Prima regola: un (iper)cubo di lato 1 deve avere area 1. In 2 dimensioni il cubo si chiama quadrato, definito dai vettori aventi estremi in (1,0) e (0,1), e quindi vogliamo definire il determinante in modo che dia come risultato 1 se applicato alla matrice avente come colonne (1,0) e (0,1). Insomma, in formule:



Questo deve valere in generale: in tre dimensioni, ad esempio, avremmo una matrice con tre righe e tre colonne così fatte: (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

Insomma, abbiamo la

Regola 1: il determinante di una matrice avente 1 sulla diagonale che va dall'alto a sinistra al basso a destra e 0 in tutte le altre caselle deve valere 1. E fin qua ci siamo, andiamo avanti.

D'ora in poi indico con A1, A2, …, An le colonne della matrice (cioè le coordinate delle punte dei vettori).

Poco sopra abbiamo detto che se due vettori sono uguali allora il determinante deve dare zero. Quindi ecco la

Regola 2: det(A1, …, Ai, …, Aj, …, An) = 0 se Ai = Aj per qualche coppia di valori i, j con i diverso da j.

Andiamo avanti: se moltiplichiamo un lato del parallelepipedo per un fattore λ (ai matematici che giocano con le matrici piace molto la lambda, chissà perché), allora il volume deve essere moltiplicato anch'esso per lo stesso valore. Quindi ecco la

Regola 3: det(λA1, …, An) = λdet(A1, …, An) — e questo deve valere per tutte le colonne della matrice, non solo per la prima.

Ora arriva una specie di proprietà distributiva. Cerchiamo di capirla prima con una figura (bidimensionale, così la vediamo meglio, eh):



Anche qua potete spostare le punte dei vettori. L'idea è questa: la somma delle aree dei due parallelogrammi azzurri è uguale a quella di quello rosso (i due triangoli che si formano sopra e sotto sono congruenti, in sostanza)(non fate commenti sui colori). Da qui deduciamo la

Regola 4: det(A1 + B1, …, An) = det(A1, …, An) + det(B1, …, An), e questo deve valere per tutte le colonne, non solo per la prima.

Ebbene, queste quattro regole ci permettono di definire il determinante e di arrivare alla Formulaccia Incomprensibile scritta lassù, basta fare un po' di giochini. Per esempio:

det(A1 + A2, A1 + A2, …, An) deve essere uguale a 0 per la regola 2 (ci sono due colonne uguali), ma se applichiamo per tre volte di seguito la regola 4 abbiamo che

det(A1 + A2, A1 + A2, …, An) =
= det(A1, A1 + A2, …, An) + det(A2, A1 + A2, …, An)
= det(A1, A1, …, An) + det(A1, A2, …, An) + det(A2, A1, …, An) + det(A2, A2, …, An)
= 0 + det(A1, A2, …, An) + det(A2, A1, …, An) + 0,

da cui ricaviamo che det(A1, A2, …, An) + det(A2, A1, …, An) = 0. Ed ecco la

Proprietà 1: scambiando di posto due colonne si inverte il segno del determinante (qui sono state scambiate le prime due, ma potete tranquillamente scambiare quelle che volete). E cambiare l'ordine di due vettori significa cambiare l'orientazione, ecco perché il determinante è il volume orientato del parallelepipedo. Insomma, diamo un significato anche al segno negativo.

Queste regole definiscono il determinante in modo non ambiguo, cioè lo caratterizzano. Vediamo per esempio come si fa per calcolare


Con la notazione usata qui (più comoda per un blog che usa l'html e non il LaTeX), i calcoli sono questi:

A = det((a,c), (b,d)) = det( a(1,0) + c(0,1), b(1,0) + d(0,1))

(applicando la regola 4:)
= det(a(1,0), b(1,0)) + det(a(1,0), d(0,1)) + det(c(0,1), b(1,0)) + det(c(0,1), d(0,1))

(applicando la regola 3;)
= ab[det((1,0), (1,0))] + ad[det((1,0), (0,1)] + bc[det((0,1), (1,0)] + cd[det((0,1), (0,1))]

(applicando la regola 2:)
= ab0 + ad[det((1,0), (0,1)] + bc[det((0,1), (1,0)] + cd0

(applicando la proprietà 1:)
= ad[det((1,0), (0,1)] − bc[det((1,0), (0,1)]
= (adbc)[det((1,0),(0,1)]

(applicando la regola 1:)
= adbc.

Ecco qua. Come si diceva a scuola: diagonale principale meno diagonale secondaria.

Se si applicano le stesse regole a matrici di ordine superiore ecco che salta fuori la somma fatta sulle permutazioni degli indici di cui si parlava all'inizio. Ora, almeno, c'è un perché che dà un'idea del motivo per cui la definizione sia fatta in quel modo.

Questo non è il percorso storico che ha portato alla definizione di determinante, e si può fare tanta matematica senza avere presente questo aspetto geometrico. Conoscerlo, però, secondo me è meglio.



Credits a Quora, che ogni tanto ha cose interessanti.

giovedì 19 marzo 2015

La ricetta definitiva dei tortellini

Mia suocera non era come le suocere delle barzellette: mi voleva bene e mi faceva sentire come uno di famiglia. Una volta ogni due settimane ci invitava a casa sua per il pranzo della domenica, e la scena tipica era questa: annunciava di aver preparato una certa ricetta, alla quale però aveva apportato alcune modifiche, perché magari non aveva in casa il tal ingrediente e allora lo aveva sostituito con un altro, perché una volta il piatto non era venuto bene e allora aveva aggiunto, tolto, modificato qualcosa, sentite un po' se è buono, non sarà troppo insipido, secondo me adesso è meglio. Cose così.

In pratica quando una ricetta entrava nella sua cucina veniva provata, modificata, migliorata, a volte stravolta, con un procedimento di approssimazioni successive che portava verso la perfezione.

Si chiamava Giuseppina, ma in realtà tutti l'hanno sempre chiamata Pina (potrei sottolineare quel tutti narrando la leggenda su mia moglie che pare abbia conosciuto il nome vero di sua mamma solo molto tardi (per molto tardi intendo verso i sedici anni) (ma è solo una leggenda, appunto, quindi non lo farò)); comunque da quando ha iniziato ad avere nipoti era nota come la nonna Pina — come quella della canzone, esatto, ma la canzone è venuta dopo.

La nonna Pina ora non c'è più, se n'è andata improvvisamente due settimane fa. I suoi figli il giorno della festa del papà erano soliti festeggiare, assieme a suo marito, anche il suo onomastico.

E io, oggi, la ricordo così, con il suo capolavoro culinario frutto di sperimentazioni e esperienza: i tortellini. Non so se esista una ricetta ufficiale, un qualche documento depositato, un marchio dop, igp, stg, boh. Non mi interessa: i migliori tortellini li ho mangiati a casa sua, e questo basta.

Dunque, ecco la sua ricetta, così come è stata raccolta da un'amica che è stata a casa sua a lezione di tortellini.






Prodotto finito: 130 g a testa (adulti)

RIPIENO per 2 kg finiti:

600 g polpa di maiale (prosciutto) a pezzi, sbollentata e poi tritata con:
1 hg di mortadella
1 hg di prosciutto crudo
2.5 hg parmigiano reggiano grattugiato
2 uova
noce moscata e sale (se serve)

BRODO: mezza gallina + 8 hg di manzo. Bollire per 2 ore circa. Segreto: mettere anche un dado. (Questo non me l'aveva mai detto, sapeva che io e il dado non andiamo molto d'accordo)

NB: Se i tortellini avanzano dopo il pasto, separarli dal brodo. Poi, la volta seguente, riscaldare solo il brodo.




Breaking news: un recente ritrovamento (bigliettino giallo scritto a matita), di datazione più recente rispetto alla ricetta riportata sopra, riporta un rapporto carne/mortadella/prosciutto pari a 4/1/1 e non 6/1/1. Provate e guardate un po' cosa vi piace di più.



Per quanto riguarda il ripieno: la procedura di sbollentare la polpa e poi tritarla è stata sostituita dalla seguente. Si trita la polpa di maiale, la si cuoce in pentola, la si trita nuovamente assieme al prosciutto crudo e alla mortadella.

sabato 28 febbraio 2015

Polinomi e dadi

“Mi hanno proposto un quesito che mi sembrava facile, e invece…”.

“Eh, succede spesso con le cose che sembrano facili. Uno dice dai, è semplice, si farà così e cosà, poi quando prova a risolvere si pianta”.

“Già”.

“Ma il quesito in questione qual è?”.

“Questo: abbiamo dei dadi a sei facce numerate in un modo non standard, cioè con i numeri 0, 0, 1, 2, 3, 4. Ne lanciamo cinque e sommiamo le cifre che vediamo: quali sono le probabilità di ottenere i numeri da 0 a 20?”.

“Hai ragione, non è per niente facile. Esiste un metodo per provare a risolvere quesiti del genere, metodo che fornisce una soluzione semplice da scrivere ma comunque difficile da calcolare”.

“Andiamo bene”.

“Eh, lo so, alcuni problemi sono proprio difficili, non si riescono a trovare (o non esistono, chissà) formule semplici per risolverli.”.

“Ma quindi questo si risolve o no?”.

“In un certo senso, sì”.

“Uhm”.

“Ma il bello non è tanto il risultato, quanto la strada percorsa per arrivarci”.

“Ti sento molto zen”.

“Quando la strada ti permette di vedere un problema da tanti punti di vista che apparentemente sembrano scollegati uno dall'altro, nel momento in cui scopri un filo conduttore che li lega tutti quanti ecco che ti sembra di raggiungere l'illuminazione”.

“Sempre più zen”.

“Provo a spiegarti il metodo, ok?”.

“Vai”.

“Partiamo da un caso semplice, però”.

“Mi sembra giusto”.

“Prendiamo un dado a due facce…”.

“Una moneta, insomma”.

“Sì, ma numeriamo le facce con i due numeri 0 e 1, poi lanciamo un po' di monete e cerchiamo di calcolare quello che succede”.

“Va bene”.

“Con una moneta è facile, puoi ottenere solo 0 e 1”.

“E vabbé”.

“Con due monete puoi ottenere i valori 0, 1 e 2”.

“Ma non con la stessa probabilità, no?”.

“Esattamente. Facciamo uno schema di quello che può succedere:”.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 2

“È più facile ottenere 1 che non 0 oppure 2”.

“Certo. Se riportiamo questo problema al tuo problema, hai solo molti più conti da fare, ma compilando uno schema come questo ce la fai sempre”.

“Grazie! Ma uno schema come questo è lunghissimo da fare. Ho provato, sai? Ma poi ho lasciato lì in fretta, i valori intermedi tra 0 e 20 si possono ottenere in un'infinità di modi diversi, ci si perde”.

“Perfetto, questo è esattamente il problema: troppi conti da fare senza nessuna regola semplice che ci permetta di evitarli”.

“Eh, e quindi?”.

“Quindi adesso cambio completamente problema, te ne propongo un altro che non ha niente a che fare con questo, e poi scopriremo invece che non è così”.

“Sono curioso, sentiamo”.

“Sai calcolare il quadrato di un binomio?”.

“Uh, ma cosa c'entra… ok, ok, come non detto. Sì, se mi ricordo bene, sì: quadrato del primo più doppio prodotto del primo per il secondo più quadrato del secondo”.

“Ricordi bene. Sai applicarlo a questo binomio?”.

(1 + x)2

“Direi proprio di sì, viene 1 + 2x + x2”.

“Ok. Ora, dimmi, perché si fa il doppio prodotto?”.

“Eh, uh, perché… perché sì!”.

“…”.

“Ok, ora non ricordo bene, ehm. Ma, boh, probabilmente uno ha provato una volta a fare la moltiplicazione e si sarà accorto che va bene così”.

“Vuoi provare tu?”.

“A calcolare il quadrato come se fosse (1 + x)(1 + x)?”.

“Sì”.

“Ah, va bene, allora: 1 + x + x + x2. I due termini di primo grado si sommano e risulta quello che avevo detto”.

“Bene. Come potresti spiegare il motivo per cui risultano due termini di primo grado che si sommano e uno solo di secondo grado?”.

“Beh, i due termini di primo grado sarebbero uno 1·x, l'altro x·1. Insomma, una volta moltiplico l'uno che si trova nella prima parentesi con la x che si trova nella seconda, l'altra invece moltiplico la x che si trova nella prima parentesi con l'uno che si trova nella seconda”.

“E il termine di secondo grado, invece?”.

“Per quello è ancora più semplice: c'è un solo modo di ottenerlo”.

“Quale?”.

“Moltiplicare la x della prima parentesi con la x della seconda”.

“Quindi, riassumendo: nel risultato hai tre termini, uno di grado 2, uno di grado 1, e un termine noto che è di grado 0”.

“Giusto”.

“Il termine di grado 0 lo puoi ottenere soltanto moltiplicando due termini di grado 0”.

“Certo”.

“In simboli: 0 + 0 = 0”.

“Già”.

“Il termine di grado 2 lo puoi ottenere in un solo modo, moltiplicando due termini di grado 1”.

“Vero anche questo”.

“In simboli: 1 + 1 = 2”.

“Uh, ma questa è la tabella che hai fatto prima coi possibili risultati dei dadi!”.

“Già: concludi tu”.

“Il termine di grado 1 lo posso ottenere in due modi, moltiplicando un termine di grado 0 per uno di grado 1, oppure viceversa, moltiplicando un termine di grado 1 per uno di grado 0. In simboli: 0 + 1 = 1 e anche 1 + 0 = 0”.

“Ecco il filo conduttore: nel lancio di due dadi con i numeri 0 e 1 sulle facce e nel calcolo dello sviluppo del quadrato di (1 + x) si fanno gli stessi calcoli”.

“Roba da matti”.

“Proviamo a farlo con tre dadi?”.

“Sempre con due facce?”.

“Per adesso sì. Facciamo prima una tabellina coi risultati possibili, con tre dadi ci si riesce ancora”.

“Faccio subito, dovrebbe essere questa:”.

0 + 0 + 0 = 0

1 + 0 + 0 = 1
0 + 1 + 0 = 1
0 + 0 + 1 = 1

1 + 1 + 0 = 2
1 + 0 + 1 = 2
0 + 1 + 1 = 2

1 + 1 + 1 = 3

“Bene, quindi hai un modo per fare 0, tre modi per fare 1 oppure 2, e un modo per fare 3”.

“Ok. E il quadrato di binomio?”.

“Questo non sarà più un quadrato, perché puoi anche ottenere 3 come risultato. Prima hai calcolato il quadrato perché il risultato più alto che potevi ottenere lanciando due dadi era 2, e analogamente il grado più alto che puoi ottenere facendo il quadrato di (1 + x) è 2”.

“Adesso quindi devo fare il cubo, dato che ho un massimo uguale a 3?”.

“Esatto”.

“Vediamo, ehm, non ricordo bene, mumble mumble, uno più x al quadrato, poi ancora per uno più x, puff pant…”.

“Tutto bene?”.

“Ehh, sì, ecco, due più uno, fatto! Mi viene così: 1 + 3x + 3x2 + x3”.

“Perfetto. Hai capito la corrispondenza tra questo polinomio e la tabella che abbiamo fatto prima?”.

“Sì, sì! Molto bella! Quell'uno che ho trovato corrisponde all'unico modo che ho di ottenere 0”.

“E osserva che 0 è proprio il grado del monomio 1”.

“Giusto. Invece 3x corrisponde ai 3 modi di ottenere 1. In effetti 3x è 3x1, il grado della x corrisponde al risultato”.

“Molto bene. Poi hai visto che hai altri tre modi di ottenere 2”.

“E questo fatto si traduce nella presenza del monomio 3x2. Alla fine poi ho un solo modo di ottenere 3, e infatti nello sviluppo del cubo di binomio ho proprio un solo termine x3”.

“Perfetto. Ora generalizziamo in un'altra direzione”.

“In che senso?”.

“Abbiamo due dadi, questa volta con tre facce”.

“E come sono fatti?”.

“Beh, non importa, fai finta che esistano. Nella pratica puoi prendere un dado a sei facce e numerate 0, 0, 1, 1, 2, 2, ma non complichiamo le cose, vorrei ragionare proprio su tre sole facce”.

“Ah, va bene. Numerate da 0 a 2, allora?”.

“Esatto. Fai la tabellina dei possibili risultati?”.

“Pronti.”.

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1
0 + 1 = 1

2 + 0 = 2
1 + 1 = 2
0 + 2 = 2

2 + 1 = 3
1 + 2 = 3

2 + 2 = 4

“Ora pensiamo a come costruire il polinomio che corrisponde a questo dado”.

“Uhm, tre facce, come si fa?”.

“Pensa a dove memorizzavi, nel caso precedente, i valori scritti sulle facce”.

“Erano gli esponenti della x, i gradi dei singoli monomi, insomma”.

“Ora hai tre facce…”.

“E quindi tre valori, allora devo scrivere un trinomio questa volta?”.

“Esatto”.

“Va bene (1 + x + x2)?”.

“Va benissimo, è lui. Il numero di lanci, invece, dove lo utilizzavi?”.

“Era l'esponente del polinomio. Quindi adesso dovrei calcolarmi (1 + x + x2)2?”.

“Già”.

“Eh, ehm, devo farlo a mano?”.

“Permettimi di ricordarti la formula, così facciamo prima”.

“Ne hai facoltà”.

“Devi calcolarti tre quadrati e poi aggiungere i tre possibili doppi prodotti”.

“Ah. Allora faccio i conti”.

(1 + x + x2)2 = 1 + x2 + x4 + 2x + 2x2 + 2x3.

“Bene, ma non hai finito, metti insieme i termini simili”.

“Ah, già. Ecco:”.

(1 + x + x2)2 = 1 + 2x + 3x2 + 2x3 + x4.

“E, come vedi, i conti tornano, il risultato corrisponde alla tabella di prima”.

“Devo dire che questa connessione tra dadi e polinomi è affascinante. Quindi potrei risolvere in questo modo anche il mio problema originale?”.

“Esatto. Ma, per fare un'analisi completa, lasciami fare prima un'altra domanda: cosa succederebbe se le facce del nostro dado non avessero la stessa probabilità di uscire?”.

“Uh?”.

“Supponi che il dado a due facce non sia equilibrato, ma che 2 volte su 3 esca lo zero, mentre 1 volta su 3 esca l'uno. Come facciamo l'analisi?”.

“Boh?”.

“Fai una tabella…”.

“Eh, ma con probabilità diverse come si fa?”.

“Fai finta che il dado abbia tre facce”.

“Ah! Un dado con le facce numerate così: 0, 0, 1”.

“Già. Prova a lanciarlo due volte”.

“Ok, ecco la tabella:”.

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1
0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

“Siamo sicuri?”.

“Eh, in effetti mi viene uguale a quella del dado a due facce. Come faccio a tener conto del fatto che ci sono due facce uguali?”.

“Fai finta, inizialmente, che siano diverse. Invece di numerarle con 0, 0, 1 usa un'altra simbologia, in modo da distinguere i due zeri”.

“Ah, allora numero i due zeri in modo diverso, li chiamo 01 e 02. Ecco quello che potrei ottenere”.

01 + 01 = 0
01 + 02 = 0
02 + 01 = 0
02 + 02 = 0

01 + 1 = 1
02 + 1 = 1
1 + 01 = 1
1 + 02 = 1

1 + 1 = 2

“Ok, quindi hai quattro modi per fare 0, quattro modi per fare 1 e un solo modo per fare 2”.

“E coi polinomi come faccio?”.

“Prova a calcolare il quadrato di (2 + x)”.

“Ah! Risulta 4 + 4x + x2”.

“Come vedi, tutto torna”.

“Ma quindi uso (2 + x) invece di (1 + x) perché ci sono due facce uguali?”.

“Puoi ragionare in due modi diversi. Il primo è questo: usi 2 al posto di 1 perché hai 2 casi in cui esce il numero 0, e non uno solo. Altrimenti puoi sempre immaginare di avere una faccia in più, e quindi in realtà quello che stai calcolando è il quadrato del trinomio (1 + 1 + x) ”.

“Perfetto”.

“In sostanza, i coefficienti delle incognite nel polinomio sono legati alla probabilità di uscita della corrispondente faccia del dado”.

“Mentre il valore presente sulla faccia corrisponde all'esponente dell'incognita in ogni monomio”.

“È così. Tutto si basa sulla regola che trasforma la moltiplicazione di potenze con la stessa base in una somma di esponenti”.

“E questa è la somma dei valori delle facce”.

“Sì, mentre la probabilità di uscita di ogni faccia può essere vista come un peso assegnato al valore corrispondente: nel nostro esempio lo zero pesa più dell'uno, perché ha più probabilità di uscita”.

“E allora di zeri ce ne mettiamo due”.

“Già. Volendo potresti mettere come coefficiente della x proprio la probabilità di uscita di quella faccia, in questo caso avresti a che fare con coefficienti frazionari, ma siccome essi avrebbero tutti lo stesso denominatore, potresti raccoglierlo a fattor comune e portarlo fuori dalla parentesi”.

“In sostanza farei gli stessi calcoli”.

“Sì, si tratta di vedere se preferisci lasciare sottinteso il denominatore, o se invece vuoi esplicitarlo: non cambia niente. E ora sei pronto a risolvere il problema del tuo dado”.

“Provo, eh. Allora, sei facce, quindi devo costruire un… esanomio?”.

“Facciamo un polinomio di sei termini”.

“Forse è meglio, sì. Le facce hanno valore 0, 0, 1, 2, 3, 4: questi sono gli esponenti dell'incognita”.

“E sono anche tutte equiprobabili”.

“Giusto, quindi i coefficienti sono uguali a 1. Il polinomio dovrebbe essere questo: (1 + 1 + x + x2 + x3 + x4)”.

“E siccome lanci il dado cinque volte…”.

“Devo elevare il polinomio alla quinta. Ecco la formula finale:”.

(1 + 1 + x + x2 + x3 + x4)5

“Bene”.

“Sì, ma, ehm, quanto fa?”.

“Ah, boh, bisogna farsi tutti i calcoli. Ricordi che all'inizio di questo discorso avevamo detto che il quesito si risolve in un certo senso?”.

“Eh”.

“Beh, in teoria è risolto, devi solo metterti lì a fare i conti. Rispetto a farsi tutta la tabella con tutte le possibili combinazioni dei risultati è comunque un passo avanti”.

“Questo è vero, però è una soluzione deludente”.

“Non si può fare di meglio, i calcoli sono proprio brutti. Un punto chiave del problema è capire in quanti modi puoi ottenere un numero, per esempio 8, sommando cinque valori presi dall'insieme che contiene 0, 1, 2, 3, 4”.

“È proprio quello il problema, avevo cominciato a fare i conti ma sono tantissimi”.

“Già: sono 905”.

“Cosa? Così tanti? E come hai fatto a calcolarlo?”.

“Beh, oggi certi calcoli possiamo farli fare alle macchine. Ecco qua lo sviluppo del tuo polinomio elevato alla quinta:”.

x20 + 5x19 + 15x18 + 35x17 + 75x16 + 141x15 + 235x14 + 355x13 + 505x12 + 655x11 + 781x10 + 865x9 + 905x8 + 855x7 + 745x6 + 601x5 + 450x4 + 280x3 + 160x2 + 80x + 32.

“Santo cielo”.

“Pensa a quando questi conti si facevano tutti a mano”.

“Mo'c lavòr”.



[EDIT: ho dimenticato di inserire i ringraziamenti a chi ha partecipato alla risoluzione del problema. La discussione è iniziata sul socialino dell'amore, raggiungibile (finché dura) a questo link]

mercoledì 28 gennaio 2015

Soluzione al quizzino del sabato sera (in cui si mostra come, a volte, si possano davvero sfruttare evidenti ragioni di simmetria)

Il problema chiedeva di colorare una scacchiera quadrata con due colori, in modo tale che qualunque rettangolo contenuto in essa (non degenere) abbia i quattro angoli colorati con entrambi i colori.

Per scacchiere piccole ci si riesce, il post forniva degli esempi. Per scacchiere grandi, invece, che succede?

Primo fatto: se per un certo valore di n la scacchiera n×n non è colorabile, allora non lo sono nemmeno quelle il cui lato ha una lunghezza maggiore di n, dato che non siamo in grado di colorarne nemmeno una loro parte. Quindi il problema diventa: n può essere grande quanto si vuole, oppure esiste un valore massimo?

Bene, si dimostra che se = 5 la scacchiera non è colorabile come richiesto, e se invece n = 4 ci si riesce.

Prima la parte facile: ecco una possibile colorazione di una scacchiera 4×4:


Ora vediamo cosa succede con una scacchiera 5×5. Essa è composta da 25 caselle, quindi se la colorazione richiesta fosse possibile, dovremmo essere in grado di colorarne almeno 13. Questa affermazione è giustificata da evidenti ragioni di simmetria: se non fossimo in grado di colorare 13 caselle di giallo quel colore che ho usato nel disegno qua sopra, ce ne sarebbero almeno 13 bianche. Bene, allora coloriamo quelle bianche e facciamo diventare bianche le altre, e siamo da capo.

E quindi il problema si è ridotto a questo: riusciamo a colorare almeno 13 caselle?

Se nella prima riga ne colorassimo cinque (ricordiamo che non è importante che sia proprio la prima riga):



nella seconda ne potremmo mettere soltanto una, e così pure nella terza, nella quarta e nell'ultima: se ne mettessimo di più, avremmo dei rettangoli con gli angoli monocolore. In questo modo saremmo in grado di colorare solo 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9 caselle, poche.

Proviamo con quattro caselle colorate nella prima riga:


In questo caso potremmo colorarne due nelle righe successive, e non di più. In questo modo otterremmo 4 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 caselle: troppo poche.

Se poi la prima riga avesse solo tre caselle colorate, ne potremmo inserire tre anche nella seconda:


e poi però nelle righe successive non potremmo inserirne più di due, una in una delle prime tre caselle, e l'altra in una delle altre due. Se ne inserissimo di più, formeremmo un rettangolo con gli angoli monocolore.


Quindi in questo caso il massimo numero di caselle colorate sarà 3 + 3 + 2 + 2 + 2 = 12, ancora troppo poche.

Fine della dimostrazione: 13 caselle non si possono colorare, quindi le uniche scacchiere colorabili nel modo richiesto sono quelle aventi n uguale a 2, 3 oppure 4.