mercoledì 3 febbraio 2016

Dopo quanto spazio Achille riesce a raggiungere la signorina Tartaruga?

Ovvero: a quanto converge una serie geometrica convergente? Ecco una dimostrazione geometrica senza parole, che usa la similitudine dei triangoli.




venerdì 8 gennaio 2016

Il metodo Cramer, infine

“E insomma, ormai è ora di capire perché funziona la magia del metodo di Cramer”.

“Oh, finalmente”.

“Riassunto delle puntate precedenti: primo, il determinante di un sistema è l'area di un parallelogramma generato da due vettori, che a loro volta sono visibili nelle colonne della matrice”.

“Ricordo”.

Secondo, un sistema di equazioni può essere visto come la risoluzione del seguente problema: di quanto devo moltiplicare due vettori in modo tale che la somma dei risultati dia un terzo vettore?”.

“Ricordo anche questo”.

“E allora ormai è fatta, basta fare qualche considerazione geometrica. Faccio un po' di figure, prendendo come esempio il sistema che abbiamo considerato l'altra volta, cioè questo:”.



“Ricordo che l'avevi scritto in forma vettoriale in questo modo:”.



“Esatto. Allora, qua sotto ho messo in evidenza il parallelogramma generato dai due vettori (2,1) e (1,3). Nella figura però scrivo una formula generale, considerando i vettori (a,b) e (c,d)”.



“Ok, l'area del parallelogramma è il determinante della matrice”.

“Sì. Sto continuando a usare le parentesi tonde per non complicare la notazione[*], immagino che si capisca dal contesto quando è necessario considerare la matrice e quando, invece, il suo determinante, no?”.

“Sì, direi di sì, capisco senza problemi per adesso”.

“Bene. Ora moltiplico per x, una delle due incognite, il vettore u”.

“E non moltiplichi u per y?”.

“Ancora no”.

“Ma così non ottieni la soluzione, però”.

“Infatti, no, ma non mi interessa. Voglio considerare questo parallelogramma:”.



“Ah. Ma si può raccogliere quella x?”.

“Pensa alle aree: moltiplicando la base di un parallelogramma per x, che succede all'area?”.

“Viene moltiplicata pure lei per x”.

“Quindi l'area del parallelogramma evidenziato è x volte l'area del parallelogramma iniziale”.

“Bene, ci sono”.

“Ora guarda, modifico la figura in questo modo:”.



“Mh, come mai hai scritto che anche questo nuovo parallelogramma ha la stessa area del precedente?”.

“Perché questo e quello di prima hanno la stessa base e la stessa altezza”.

“Non riesco a vederlo…”.

“Ruota un po' la testa”.

“Ehm”.

“Sì, guarda bene: i due parallelogrammi hanno un lato congruente”.

“Il vettore v”.

“Esatto: quello è la base. E hanno la stessa altezza perché i lati opposti a v, sia quello del primo parallelogramma sia quello del secondo, stanno sulla stessa retta”.

“Ah! Ora ho capito. E adesso?”.

“E adesso osserva come è fatto questo nuovo parallelogramma: quali sono i suoi lati?”.

“Uno è v, abbiamo detto”.

“Certo. E l'altro?”.

“Boh? Vedo che è la diagonale del parallelogramma grande”.

“Esatto, e quanto è lunga?”.

“Come faccio a saperlo?”.

“Pensa a come si sommano i vettori, no? Non c'è una regola che si chiama proprio regola del parallelogramma?”.

“Ah, ma sì, certo! È la somma di x(2,1) + y(1,3)”.

“E tu sai già quanto vale questa somma, no?”.

“Perché?”.

“Beh, è il testo del sistema”.

“Uh. Ma allora quella diagonale è il vettore (7,11)”.

“Già. Ora traduci il ragionamento nel caso generale: il sistema iniziale è questo:”.



“In questo caso la diagonale è (e,f)”.

“E, quindi, in che altro modo puoi scrivere l'area del parallelogramma avente due lati lunghi (e,f) e v?”.

“Posso scriverla come determinante avente come colonne i due vettori! Così:”.



“Ottimo. Vedi quindi che ci sono due modi per esprimere quell'area, da cui puoi ricavare un'equazione”.

“Certo, eccola:”.




“Ricava la x ed è fatta”.

“Ah, ma è vero, è proprio il calcolo che si fa con questo metodo per ricavare la x, mi ricordo!”.



“Molto bene, la regola dice proprio così: per ricavare la x devi costruire una frazione fatta in questo modo. E cioè: al denominatore devi mettere il determinante della matrice dei coefficienti, mentre al numeratore devi mettere il determinante della matrice che si ottiene a partire da quella dei coefficienti, sostituendo però al posto della colonna delle x quella dei termini noti. Per ricavare la y si procede in modo analogo, costruendo però un altro parallelogramma”.

“Suppongo che sia quello che si ottiene moltiplicando il vettore v per y”.

“Già. Ed ecco il risultato di tutta questa fatica:”.



“Molto bene. Immagino che tutto questo si generalizzi con sistemi aventi più equazioni e più incognite, no?”.

“Esatto, il concetto di determinante nasce proprio per generalizzare tutto ciò. Naturalmente invece di parlare di aree si parlerà di volumi, ipervolumi, cose così”.

“Naturalmente”.

“Ma l'idea di base è comunque questa. Concludo con una animazione, che dovrebbe aiutarti a capire meglio come sono fatti i parallelogrammi di cui abbiamo parlato finora”.




“Oh, ora i due parallelogrammi che hanno la stessa area si vedono bene!”.

venerdì 11 dicembre 2015

E quindi, Cramer?

“Cramer! Chi era costui? — ruminava tra sé il Vero Matematico seduto sul suo seggiolone, in una stanza del piano superiore, con un libricciolo aperto davanti…”.

“Ma cosa stai dicendo?”.

Avevi iniziato a parlare dei determinanti, pensavo che prima o poi mi avresti raccontato anche del misterioso metodo di Cramer per la risoluzione dei sistemi”.

“Hai ragione, rimedio subito! Cosa significa risolvere un sistema?”.

“Eh, significa trovare i valori delle incognite che rendono vere entrambe le equazioni, se non mi sbaglio”.

“Giusto, è così. Ma adesso vorrei mostrarti la cosa da un altro punto di vista”.

“Capirai, fai sempre così!”.

“Guarda che è questo il bello della matematica, vedere le cose da diversi punti di vista, riconoscere analogie, creare collegamenti, ed essere felici per questo”.

“…”.

“Comunque, ti propongo un nuovo punto di vista sui sistemi, e lo faccio con un esempio, così abbiamo dei numeri con cui giocare. Eccoti il testo di un esercizio:”.



“Ok, non mi sembra difficile, fammi fare un po' di conti… mi pare che risulti = 2 e = 3”.

“Bene, fin qua ci siamo. Adesso permettimi di scrivere il sistema in un modo leggermente diverso, ecco:”.



“Uh? Ma che roba è”.

“Possiamo vederla come una scrittura in forma vettoriale del sistema di prima: quei numeri scritti tra le parentesi sono le componenti dei vettori”.

“Quindi, per capire, all'inizio sto moltiplicando x per il vettore avente componenti 2 e 1?”.

“Esatto. Per dirla in un altro modo, stiamo considerando la prima riga del sistema come una descrizione di quello che succede nel mondo delle ascisse di certi vettori, e la seconda riga, invece, come una descrizione di quello che succede nel mondo delle ordinate”.

“Ma le ascisse sono le x, che compaiono sia nella prima che nella seconda riga. E anche le ordinate, eh”.

“Non fare confusione, le x e le y che vedi nel sistema non c'entrano con le ascisse e le ordinate di cui ti sto parlando. Tu hai un vettore, che ha componenti 2 e 1…”.

“Ascissa 2 e ordinata 1”.

“Esatto. Lo moltiplichi per x, cioè ne vari la lunghezza, e ottieni un altro vettore…”.

“Di ascissa 2x e ordinata x?”.

“Proprio così. Poi hai un secondo vettore, di componenti 1 e 3. Questo lo moltiplichi per y”.

“E ottengo un vettore di componenti y e 3y”.

“Sì. Adesso li sommi: ti ricordi come si fa la somma tra due vettori?”.

“Si fa componente per componente. Il risultato dovrebbe essere il vettore di ascissa 2x + y e di ordinata x + 3y”.

“E queste sono le due righe del sistema. Cioè, le due parti a sinistra dell'uguale”.

“Ah, ho capito. E il sistema quindi ci domanda quanto devono valere x e y perché il vettore risultante sia quello di componenti 7 e 11?”.

“Ottimo, hai detto bene: traducendo in linguaggio geometrico, il sistema ci domanda di quanto devo allungare i due vettori (2,1) e (1,3) perché il risultato sia il vettore (7,11)”.

“E quindi potrei fare anche un disegnino, con questi vettori? Giusto per vedere meglio le cose”.

“Naturalmente. Puoi giocare con la figura qua sotto: in rosso sono indicati i vettori u e v, che sono i vettori (2,1) e (1,3). Puoi trascinare il punto viola dove vuoi, e osservare come devono essere modificati i due vettori dati perché la loro somma dia il vettore che termina sul punto viola”.



“Mh, carino, ma il punto rosso cosa sarebbe?”.

“È il punto di coordinate (7,11), cioè il punto dove tu vorresti fare andare la punta del vettore”.

“Beh, posso trascinarcela sopra, no?”.

“Certo. Se lo fai, puoi vedere come devono essere modificati i vettori u e v in modo tale che la loro somma finisca proprio su (7,11)”.

“Provo… a occhio mi sembra che il vettore u raddoppi…”.

“Eh eh”.

“Cosa c'è da ridere?”.

“Magari ti sembra anche che il vettore v triplichi?”.

“Mh, non riesco a vederlo bene a occhio, ma potrebbe essere. Continuo a non capire perché ridacchi, però”.

“Perché hai già risolto il sistema prima! Non avevi trovato = 2 e = 3?”.

“Sì, ma cosa c'entra… Ah! Ma certo! Il fatto che x sia uguale a 2 significa che devo moltiplicare il vettore u per 2, e il fatto che y sia uguale a 3 significa che devo moltiplicare v per 3, e il risultato è proprio (7,11). Ma guarda un po', non avevo mai visto un sistema risolto in questo modo”.

“Bello, vero? In pratica abbiamo interpretato il sistema come un'equazione vettoriale. Se diamo un nome anche al vettore risultante, cioè (7,11)…”.

“A questo punto chiamiamolo w”.

“Bene, se poniamo allora = (7,11), il sistema che abbiamo scritto prima può essere riscritto così:”.

xu + yv = w.

“Molto semplice”.

“E però non possiamo mica sempre trovare x e y a occhio, no?”.

“Eh, no. Ma questa visualizzazione ci aiuterà molto nella ricerca di un metodo risolutivo”.

“Il famoso metodo di Cramer?”.

“Proprio lui”.

lunedì 9 novembre 2015

Il determinante di una matrice, che rimane sempre un concetto misterioso

Tempo fa avevo scritto del determinante visto come volume orientato, e di come la sua definizione fosse necessariamente complicata (cioè: se vuoi una formula che funzioni in un certo modo, con determinate proprietà, allora deve essere fatta così).

Possiamo affrontare il problema anche in un altro modo: invece di elencare le proprietà e vedere come va a finire, facciamo il conto una volta per tutte. Lo facciamo in un caso particolare, quello bidimensionale, che riusciamo a visualizzare bene, perché spesso un disegnino spiega più di mille parole (se non sarà una dimostrazione generale da Veri Matematici, pazienza).

Quindi: cosa vogliamo fare? Vogliamo calcolare l'area di un parallelogramma conoscendo i due vettori che lo generano.


Ecco, questa immagine è una dimostrazione senza parole (quasi, via) del fatto che il determinante di una matrice quadrata rappresenta l'area di un parallelogramma generato dai due vettori (a,b) e (c,d), che nel disegno sono scritti in verticale così come si fa di solito in algebra lineare/geometria.

Ecco la spiegazione:


  • Il rettangolo blu ha il lato orizzontale lungo a e quello verticale lungo d, quindi la sua area vale ad.
  • Trasporto il triangolo rettangolo avente cateti a e b (quello con il tratteggio arancione) in alto.
  • Trasporto il triangolo rettangolo avente cateti c e d (quello con il tratteggio viola) a destra.
  • Osservo che in questo modo copro tutto il parallelogramma e anche qualcosa in più, e più precisamente il rettangolino in alto a destra, di dimensioni c e b, e quindi di area bc.
  • Concludo quindi che l'area del parallelogramma si ottiene sottraendo l'area del rettangolino bc dall'area del rettangolone ad, cioè ad − bc.
  • (Noto che devo sottrarre tutto il rettangolino bc e non solo la parte esterna al parallelogramma, perché la parte interna viene contata due volte (e infatti presenta un doppio tratteggio), mentre devo contarla una volta sola)
  • Concludo che va tutto bene, quindi l'area del parallelogramma è proprio uguale al determinante della matrice.


Questo disegnino serve anche per capire perché funziona la misteriosa regola di Cramer per risolvere i sistemi lineari, ma questa è un'altra storia.

P.S. Questo è il millesimo post di questo blog. Incredibile.

mercoledì 14 ottobre 2015

Uso privato di blog privato

Qualche giorno fa ho partecipato alla Quinta Giornata Nazionale di Analisi Non Standard (sì, c'è gente strana al mondo) e, siccome non sono mica abituato a parlare in pubblico — a gente che ascolta davvero, voglio dire — ero molto nervoso e per questo alla fine del mio intervento ero così provato che, quando una persona è venuta da me a dirmi complimenti professore tirando fuori il mio libro e chiedendomi di firmarglielo, io l'ho fatto quasi meccanicamente, un po' drogato dal fatto che avevo finito di parlare senza aver fatto errori clamorosi e anche dal fatto che qualcuno mi era venuto a cercare col mio libro. Poi, alla fine di tutto, quando ci si saluta e ognuno se ne torna a casa, quella persona è tornata e molto educatamente ha salutato, e io credo di aver detto grazie e arrivederci, ma insomma, non le ho nemmeno chiesto il nome, chi fosse, come mai avesse deciso di partecipare a questa roba non standard.

Ecco, allora, grazie ancora, gentile sconosciuto, e se volesse palesarsi nei commenti mi farebbe molto piacere.

martedì 15 settembre 2015

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 4. Cosa c'è da dire ancora?

“Non so immaginare cosa ci sia ancora da dire, però fammi vedere qualche altra terna pitagorica oltre a (3,4,5)”.

“Certo. Ti ricordo il teorema:”.

x = 2st
y = s2 - t2
z = s2 + t2

con s > t > 0, s e t primi tra loro, s e t hanno diversa parità.

“Ricordo”.

“Ed eccoti una tabella, con s minore o uguale di 10”.

  s  t     x   y   z
 -------------------
  2  1 |   4   3   5
  3  2 |  12   5  13
  4  1 |   8  15  17
  4  3 |  24   7  25
  5  2 |  20  21  29
  5  4 |  40   9  41
  6  1 |  12  35  37
  6  3 |  36  27  45
  6  5 |  60  11  61
  7  2 |  28  45  53
  7  4 |  56  33  65
  7  6 |  84  13  85
  8  1 |  16  63  65
  8  3 |  48  55  73
  8  5 |  80  39  89
  8  7 | 112  15 113
  9  2 |  36  77  85
  9  4 |  72  65  97
  9  6 | 108  45 117
  9  8 | 144  17 145
 10  1 |  20  99 101
 10  3 |  60  91 109
 10  5 | 100  75 125
 10  7 | 140  51 149
 10  9 | 180  19 181

“Uh, la prima è proprio (3,4,5)”.

“Sì, ordinata in modo diverso perché abbiamo deciso di chiamare con x il cateto pari”.

“Vero”.

“Ora, avendo scritto un po' di numeri con cui poter giocare, ecco un paio di proprietà. Prima: x è divisibile per 3, oppure y è divisibile per 3”.

“Fammi controllare… sembra vero”.

“Lo è. Però facciamo una dimostrazione, non un controllo su un esiguo numero di terne”.

“Che sono infinite, no?”.

“Appunto, quindi controllarne solo alcune non dimostra nulla”.

“Ok. Come lo dimostriamo?”.

“Se 3 divide x, siamo già a posto, fine del problema”.

“Bé, ma che dimostrazione è?”.

“È un pezzo di dimostrazione, porta pazienza. Primo caso: se 3 divide x, il teorema è già dimostrato e siamo a posto”.

“Ma non è detto che 3 divida x, no?”.

“No, infatti, e questo è il secondo caso: se 3 non divide x vuole dire che non divide né st, dato che x = 2st”.

“Ah, ho capito, stai analizzando separatamente i due casi. Il primo è ovvio, il secondo invece mi sembra meno semplice”.

“Certo. Se 3 non divide s e non divide t, come possiamo scriverli in modo tale da mettere in evidenza questa proprietà?”.

“Possiamo dire che s = 3+ 1, per esempio”.

“Molto bene, ma non è l'unica possibilità”.

“Giusto, s potrebbe anche essere uguale a 3+ 2”.

“Certo, ci sono tre possibilità: o un numero è divisibile per 3 (e quindi lo possiamo scrivere come 3h), o ha resto 1 nella divisione per 3 (e lo possiamo scrivere come 3+ 1), o ha resto 2 (e lo scriviamo come 3+ 2). Non ci sono altri casi”.

“Ok. Stessa cosa per t: potrebbe essere 3+ 1 oppure 3+ 2”.

“Giusto. A questo punto calcola s2”.

“In entrambi i casi?”.

“Sì”.

“Allora, nel primo caso, quello in cui s = 3+ 1, se elevo al quadrato ottengo s2 = 9h+ 6+ 1”.

“Cosa puoi dire per quanto riguarda la divisione per 3?”.

“Che questo è ancora un numero del tipo 3+ 1, cioè dà ancora resto 1”.

“Perfetto. Controlla l'altro caso”.

“Darà come resto 2”.

“Controlla bene”.

“Mh. Allora, se = 3+ 2, si ha che s= 9h+ 12+ 4, quindi è del tipo 3+ 4. No, 4 è troppo, come faccio?”.

“Ricordati che 4 è uguale a 3 più 1”.

“Ah, ma certo, s= 3+ 4 = 3+ 3 + 1 = 3(+ 1) + 1, cioè 3K+1. È ancora dello stesso tipo!”.

“Già. Hai scoperto che i quadrati di numeri non divisibili per 3 hanno sempre resto 1 nella divisione per 3”.

“Non lo sapevo”.

“Eh, ora possiamo concludere: dato che y è uguale a s- t2, quanto sarà il resto della divisione di y per 3?”.

“Bé, si può scrivere y = (3+ 1) - (3+ 1), quindi y = 3- 3K. Ehi, y è divisibile per 3”.

“Ecco dimostrata la proprietà: o x è divisibile per 3, oppure lo è y”.

“Bello. Avevi parlato di un paio di proprietà?”.

“Sì, eccone un'altra: in una terna pitagorica primitiva almeno uno tra gli interi x, y e z è divisibile per 5”.

“Ah. Si ragiona allo stesso modo?”.

“Più o meno, sì. Se un numero non è divisibile per 5 puoi scriverlo in quattro modi diversi, a seconda del resto della sua divisione per 5”.

“Esattamente come prima. Se il numero… lo chiamo a, non è divisibile per 5, posso scriverlo così:”.

a = 5+ 1
a = 5+ 2
a = 5+ 3
a = 5+ 4

“Giusto. Ora eleva al quadrato, ma non stare a fare tutti i calcoli. Tieni presente che quando svolgi i calcoli del quadrato di binomio, il quadrato del primo termine contiene 25, mentre il doppio prodotto contiene 5”.

“Ah, vero! Allora la somma dei primi due termini è sempre divisibile per 5, mi rimane da controllare cosa succede al quadrato del secondo termine”.

“Esatto. Scrivi l'elenco dei quadrati dei secondi termini”.

“Sarebbe questo:”.

1
4
9
16

“Giusto. Come si comportano questi numeri nella divisione per 5?”.

“Vediamo… 1 dà resto 1, naturalmente, 4 dà resto 4, 9 dà resto ancora 4, e 16 dà resto 1”.

“Riassunto: il quadrato di un numero non divisibile per 5 dà resto 1 oppure 4 nella divisione per 5”.

“Ok, e adesso?”.

“E adesso abbiamo, come prima, due casi. O z è divisibile per 5…”.

“E abbiamo già dimostrato quello che vogliamo dimostrare”.

“Oppure non lo è. In questo caso il suo quadrato dà resto 1 oppure 4 nella divisione per 5. Se non fossero divisibili per 5 nemmeno x e y, anche i loro quadrati darebbero resto 1 oppure 4”.

“Bene”.

“Ma la somma di x+ y2 che resto darebbe?”.

“Ci sono vari casi, non so”.

“Prova a elencarli, non sono tanti. Fai direttamente le somme con i resti”.

“Ho queste possibilità”.

1 + 1
1 + 4
4 + 1
4 + 4

“Giusto. Il primo caso dà un resto di 2, il secondo un resto di 0…”.

“Di cinque! Uno più quattro fa cinque”.

“Ma no, in una divisione per 5 non puoi avere resto 5: il fatto che venga 5 significa semplicemente che il numero è divisibile per 5, cioè il resto è 0”.

“Ah già”.

“Il terzo caso dà ancora 0, e il quarto caso…”.

“Non 8, ma 3”.

“Giusto, 8 - 5 = 3. Quindi la somma dei quadrati di x e y darebbe resto 0, oppure 2, oppure 3 nella divisione per 5, mentre il quadrato di z può solo dare 1 oppure 4”.

“Allora è impossibile che sia x che y e z non siano divisibili per 5, uno almeno deve esserlo”.

“Proprio così”.

“Abbiamo finito?”.

“Sì. Ti faccio solo notare un'ultima proprietà: l'unica terna pitagorica formata da tre numeri consecutivi è la tua amica (3,4,5)”.

“Ah. Dimostriamo anche questo?”.

“No, te lo lascio per esercizio. Basta svolgere i calcoli”.

venerdì 11 settembre 2015

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 3. Come sono fatte?

“Allora, oggi mi dici come sono fatte le terne pitagoriche primitive?”.

“Sì. Vediamo di costruirle pian piano. Abbiamo detto che se vale l'equazione x2 + y2 = z2 allora x è pari, y è dispari, z è dispari”.

“A meno di uno scambio tra x e y”.

“Esatto, è solo una questione di nomi. Il triangolo rettangolo ha due cateti, uno pari e uno dispari. Quello pari si chiama x”.

“Perfetto”.

“Inoltre, in una terna primitiva non ci sono fattori comuni tra x, y e z”.

“Nemmeno se li si prende a due a due”.

“Vero anche questo. Infine, possiamo anche sottolineare il fatto che z è maggiore di y”.

“Certamente, è l'ipotenusa”.

“Quindi y è una quantità positiva”.

“Vero anche questo, ma perché me lo dici?”.

“Perché ci serve saperlo tra un attimo. Dato che x2 è uguale a z2-y2, utilizzando la formuletta della differenza tra due quadrati possiamo scrivere:”.

x2 = (- y)(+ y)

“Ok, ci sono”.

“(- y) è una quantità positiva, perché z è maggiore di y, come abbiamo detto poco fa”.

“Ah, ecco perché me l'hai fatto notare”.

“E naturalmente anche (+ y) è positiva”.

“Certo”.

“Sono anche entrambe quantità pari”.

“Questo perché…”.

“La somma e la differenza di due numeri dispari danno un numero pari”.

“Giusto”.

“Quindi possiamo indicare (- y) con 2u e (+ y) con 2v”.

“Va bene, così è evidente che sono numeri pari”.

“E dunque x2 = (- y)(+ y) = 4uv”.

“Fin qua ci sono”.

“Allora (x/2)2 sarà uguale a uv.”.

“Va bene, anche se mi piace poco quella frazione”.

“Ma in realtà non è una frazione, perché abbiamo detto che x è pari, quindi stiamo sempre lavorando con numeri interi”.

“Ah, giusto! Ci sono, allora, andiamo avanti”.

“Ragioniamo un momento su questi due numeri u e v. Voglio dimostrare che sono primi tra loro”.

“E come fai?”.

“Intanto ti faccio notare che si possono esprimere in funzione di y e z. Cosa si può ricavare, infatti, da queste due relazioni?”.

+ y = 2v
- y = 2u

“Cosa si può ricavare?”.

“Se le sommi, ottieni che 2z = 2(+ u), no?”.

“Vero. Quindi z = + u”.

“E se le sottrai?”.

“Se faccio la prima meno la seconda ottengo 2y = 2(- u). Quindi y = - u. Ah, allora z e y si possono esprimere facilmente in funzione di u e v:”.

z = + u
y = - u

“Molto bene. Allora possiamo dimostrare quello che abbiamo detto un momento fa: u e v sono primi tra loro perché, se avessero un fattore comune, questo sarebbe comune anche a + u e a - u, e di conseguenza sarebbe comune a z e y”.

“Che però devono essere primi tra loro”.

“Esattamente, l'abbiamo dimostrato l'altra volta, è quella che abbiamo chiamato proprietà 3.”.

“E adesso?”.

“Adesso torniamo all'uguaglianza (x/2)2 = uv. Abbiamo un prodotto di due numeri primi tra loro che dà come risultato un quadrato, quindi…”.

“Quindi, applicando la proprietà 4, possiamo dire che quei due numeri sono due quadrati!”.

“Perfetto, quindi possiamo indicare u con t2 e v con s2”.

“Molto bene”.

“Dato che - u è uguale a y, numero positivo, questo significa che v è maggiore di u, e quindi che s è maggiore di t”.

“Giusto anche questo”.

“E allora abbiamo finito, ecco come sono fatte le terne pitagoriche:”.

x = 2st
y = s2 - t2
z = s2 + t2

“Ah, ecco. Un momento, la prima uguaglianza da dove viene?”.

“Bè, avevamo detto che x= 4uv, cioè 4s2t2”.

“Ah, ok, facciamo la radice. Ma possiamo assegnare a s e t tutti i valori che vogliamo?”.

“No. Abbiamo già detto che s deve essere maggiore di t, perché y deve risultare positivo”.

“Vero”.

“Inoltre s e t devono essere uno pari e uno dispari”.

“Provo a capire perché, ormai ci ho preso la mano… Allora, se fossero entrambi pari, vediamo, la loro somma e la loro differenza sarebbero pari, ma allora y e z sarebbero entrambi pari, e non va bene”.

“Stessa cosa se fossero entrambi dispari, no?”.

“Ah, certo, la somma e la differenza di due numeri dispari sono pari, quindi si fa esattamente lo stesso ragionamento”.

“Infine: è possibile che s e t abbiano fattori comuni?”.

“No, questo è facile: se li avessero li avrebbero anche x, y e z”.

“Benissimo. Questo è il teorema, che non è ancora completo però”.

“Cosa manca?”.

“Il viceversa. Cioè adesso abbiamo detto che se abbiamo una terna pitagorica allora la si può scrivere in funzione di s e t come detto poco fa. Viceversa, dati s e t con le caratteristiche dette sopra, è sempre vero che generano una terna pitagorica?”.

“Ah. Boh, e come si fa a saperlo?”.

“Qui è facile, si fa il calcolo. È vero che x2 + y2 = z2? Prova a calcolarlo”.

“Allora, x2 sarebbe 4s2t2, mentre y2 sarebbe s4 - 2s2t2 + t4. Se li sommo ottengo s4 + 2s2t2 + t4”.

“Che, guarda un po', è proprio il quadrato di z”.

“Ah, bene, allora abbiamo finito”.

“Quasi”.

“Ma come? Cosa c'è ancora?”.

“Eh, quella che hai ottenuto è effettivamente una terna pitagorica, l'hai appena dimostrato. Ma è anche primitiva?”.

“Uffa. Allora, vediamo, se x, y e z avessero un fattore comune…”.

“Chiamalo p, e supponi che sia primo”.

“Se avessero un fattore comune avrebbero anche un fattore primo comune, lo chiamo p, ok”.

“Questo p dovrebbe dividere anche + y”.

“Certo”.

“E + y è uguale a 2s2”.

“Fammi controllare… ok, giusto, basta sommarli”.

“E ragionando allo stesso modo, p dovrebbe dividere anche - y”.

“Giusto. Ti anticipo dicendo che - y è uguale a 2t2”.

“Perfetto. E osserva anche il fatto che p non è uguale a 2”.

“Uh, allora, p non è 2 perché…”.

“Perché divide x e anche y, ma uno è pari e uno è dispari”.

“Giusto”.

“Quindi p divide 2s2, p divide 2t2, p non è 2”.

“E allora p dividerà s2 e t2”.

“E dunque, siamo alla fine, p divide s e anche t. Ma s e t erano…”.

“Primi tra loro! Impossibile! Ah, finalmente, abbiamo dimostrato che quella è davvero la formula per ottenere tutte e sole le terne pitagoriche”.

“Te la riassumo qua sotto:”.



Tutte e sole le terne pitagoriche primitive con x pari sono date dalle formule seguenti:

x = 2st
y = s2 - t2
z = s2 + t2

con s > t > 0, s e t primi tra loro, s e t hanno diversa parità.



“Uff. Finito?”.

“Sì. Bé, la prossima volta concludiamo con qualche proprietà poco nota, e poi magari scriviamo anche qualche terna diversa dalla solita (3,4,5)”.

“Molto bene”.