Carnevale della matematica #111

Il merlo gorgheggiando.

“Ma cos'è questa storia del merlo? In tutti i Carnevali della Matematica scrivete cose assurde su un povero merlo”.

“È colpa del teorema fondamentale dell'aritmetica”.

“Teorema che parla di merli, ovviamente”.

“In realtà parla di numeri naturali ma, volendo, lo si può anche far parlare di merli”.

“Cioè, decidiamo noi se un teorema parla di numeri o parla di merli?”.

“Diciamo che decidiamo noi come chiamare i numeri”.

“Ancora peggio! Adesso non mi dirai che se un 3 diventa un 2 tutto funziona come prima”.

“Non è che il 3 diventi davvero un 2: decidiamo semplicemente di dargli un altro nome, ma sarà sempre un 3. Cosa c'è in un nome? Ciò che chiamiamo 3 anche con un altro nome conserva sempre il suo valore di brutto voto”.

“…”.

“Suvvia, conosci certamente il teorema fondamentale dell'aritmetica”.

“Che domande”.

“È quel teorema che dice che ogni numero naturale, a parte 1, o è un numero primo…”.

“…ok, i numeri primi so cosa sono”.

“Oppure, se non è un numero primo, si può scomporre in un prodotto di numeri primi e, cosa molto importante, questa scomposizione è unica. Ovviamente non dobbiamo tenere conto dell'ordine in cui scriviamo i fattori”.

“Quando i Veri Matematici dicono ovviamente significa che bisogna leggersi almeno un paio di libri prima di capire cosa ci sia di tanto ovvio”.

“Potresti aver ragione, ma in questo caso è facile: prendiamo ad esempio il numero di questo carnevale, il 111”.

“Non credo che sia primo. No, non lo è, la somma delle sue cifre è 3, quindi è divisibile per 3”.

“Esatto. Quindi 111 è uguale a 3×37, oppure 37×3”.

“Ma è la stessa cosa”.

“Certo, i due fattori sono 3 e 37, e il loro prodotto non dipende dall'ordine in cui essi vengono scritti”.

“Ah, ecco cosa volevi dire quando dicevi che non dobbiamo tenere conto dell'ordine in cui scriviamo i fattori. Se invece ne tenessimo conto, è ovvio (ah, l'ho detto!) che la scomposizione non è detto che sia unica”.

“Molto bene”.

“E com'è invece che se non teniamo conto dell'ordine la scomposizione è unica? Cioè, è una cosa che si impara alle medie, e dopo la si dà sempre per scontata, ma se ci penso non è mica del tutto ovvio. Cioè, per la somma le cose non funzionano così, io posso scrivere 111 come somma di due, o anche più addendi, in tanti modi diversi”.

“Eh, non è una cosa semplice. I miei ricordi di anziano ormai vacillano, ma io credo di aver visto una dimostrazione, o almeno un'idea di dimostrazione, alle medie. Adesso nessuno lo fa più”.

“Uhm, l'avevo detto che le cose che sembrano scontate sono quelle difficili”.

“Tutto parte da Euclide. Proposizione 30 del libro VII: se un numero primo divide il prodotto di due numeri, allora divide almeno uno dei due”.

“Oserei dire che è ovvio”.

“Eh, siamo alle solite. Se vuoi dimostrarlo, devi ragionare un po'. Euclide, tradotto in linguaggio moderno, dice questo: supponi che p sia un numero primo che divide ab”.

“Ok”.

“Supponi ora che esso non divida a. Questo significa che non ha fattori comuni con a, cioè che è primo rispetto ad a”.

“Giusto”.

“Però p divide ab, quindi si può calcolare ab/p, che è un numero naturale che indichiamo con c”.

“Bene”.

“Ma allora è come dire che a/p = c/b”.

“Sì, giusto, mi basta portare b al denominatore a destra”.

“E, dato che a e p sono primi tra loro, la frazione a/p è ridotta ai minimi termini”.

“Bene, vero, non si può semplificare di più, altrimenti a e p avrebbero fattori comuni”.

“E allora la frazione c/b, che deve essere uguale a a/p, si otterrà da essa moltiplicando numeratore e denominatore per un certo numero. In sostanza, b è multiplo di p o, detto al contrario, p divide b”.

“Ah, quindi se p non divide a, allora deve dividere b. Ok, la proposizione 30 è vera”.

“Poi serve la proposizione 31: ogni numero che non sia primo è divisibile per almeno un numero primo”.

“E anche questa sembra ovvia”.

“Certo. Quindi la dimostrazione non lo è”.

“Capirai”.

“Considera un numero composto a. Significa che è il prodotto di almeno due numeri”.

“Certo”.

“Chiama uno dei suoi fattori b. Puoi calcolare certamente a/b”.

“Naturalmente. Immagino che chiameremo c il risultato”.

“Molto bene. Ora, se c è primo, abbiamo dimostrato la proposizione”.

“E se non lo è?”.

“Se non lo è andiamo avanti. Ripetiamo il procedimento con c”.

“E prima o poi questo procedimento avrà fine”.

“Certo. Euclide lo dà per scontato, ma volendo ci sarebbe da dimostrare persino questa affermazione, che dice che ogni successione decrescente di numeri naturali è finita”.

“Vabbé, dai, questo è vero, i numeri naturali non vanno sotto lo zero, santo cielo”.

“Va bene, va bene, diamolo per dimostrato. Ora ci serve la proposizione 32, che dice: ogni numero o è primo o è divisibile per un numero primo”.

“Questa è davvero ovvia, dai”.

“Sì, è vero, diciamo che è un riassunto di quanto detto in precedenza. Ora cambiamo libro, andiamo alla proposizione 14 del libro IX: il minimo comune multiplo tra due o più numeri primi è divisibile solo per ciascuno di quei numeri primi”.

“Mi sembra evidente”.

“E ora lo dimostriamo: immagina che a sia il prodotto dei due numeri primi p e q. Supponiamo per assurdo che esista un numero primo e diverso da p e q che divida a”.

“Va bene. Facciamo la divisione, suppongo?”.

“Esatto: facciamo la divisione a/e, che è un numero naturale che chiamiamo f. In altri termini, a = ef. Ora, per quanto abbiamo dimostrato in precedenza, uno dei due numeri primi p oppure q deve dividere almeno e oppure f”.

“L'abbiamo detto, vero”.

“Non possono dividere e, perché è primo”.

“E allora divideranno f”.

“Ma f è minore di a, dato che è il risultato della divisione a/e”.

“Vero, quindi?”.

“Quindi non va bene, perché a è il minimo comune multiplo tra p e q, e quindi f non può essere un multiplo ancora più piccolo”.

“Ah! Bene, quindi anche questa proposizione è vera”.

“E questa proposizione dice, in sostanza, che la decomposizione in fattori primi è unica: il minimo comune multiplo tra due o più numeri primi è il loro prodotto, ed esso è divisibile solo per quei numeri primi, non ci sono altri modi”.

“Molto bene”.

“Ora, questa è una dimostrazione antica, con un po' di cose lasciate al lettore. Per esempio, in questa dimostrazione di unicità non si parla di potenze con cui compaiono in vari fattori primi. Ma la dimostrazione più rigorosa non è molto più difficile, è solo scritta in linguaggio più moderno e preciso”.

“Va bene. Ancora non mi hai spiegato però cosa c'entri il merlo”.

“Ecco, a ogni numero primo viene associato un verso di una poesia. Quindi a ogni numero d'ordine del Carnevale della Matematica, tramite la sua scomposizione in fattori primi, vengono associati uno o più versi. Quello che corrisponde al 3, per esempio, è proprio Il merlo”.

“Stai scherzando”.

“No, no. Al carnevale numero 81, che è 3 elevato alla 4, è associato il verso il merlo, il merlo, il merlo, il merlo”.

“No, dai”.

“A 64 sarebbe associato il verso canta, canta, canta, canta, canta, canta, ma l'idea geniale della poesia Gaussiana è nata dopo quel carnevale, e quindi nessuno ha mai scritto un commento su quei versi immortali”.

“Bene, siete impazziti”.

“Ma molto poliedrici”.

“Santo cielo. E, per questi carnevali, fate anche altro o vi mettete soltanto a declamare poesie?”.

“Oh, no, ogni partecipante può scrivere post di argomento matematico e inserirli nel carnevale. Per esempio, tanto per cominciare, abbiamo Annalisa Santi, che scrive sul blog Matetango”.

“Ah, un nome che promette bene”.

“Il titolo del suo post è: La matematica diventa magia… nel laberinto”.

“E cos'è questo laberinto?”.

“Ecco la presentazione, scritta direttamente da Annalisa: un curioso libro del XVII secolo, il Laberinto, ideato dal nobile veneziano Andrea Ghisi, sembrerebbe un gioco pensato per Internet con quattrocento anni di anticipo e fa capire come usavano i numeri per leggere nel pensiero quattro secoli fa. Grazie al certosino lavoro di Mariano Tomatis, all'interno dell'articolo si trova anche il link per accedere al gioco o meglio alla lettura del pensiero, un'esperienza che si potrebbe definire appunto di tecno spiritismo!”.

“Benissimo, lo spiritismo”.

“Poi abbiamo .mau., che ha scritto un sacco di roba. Perché per l'estate il Carnevale è stato sospeso, ma lui non ha smesso di scrivere. Intanto comincia col dire che di quizzini ce ne sono stati troppi, e quindi ci indica soltanto la categoria che raccoglie tutto quello che ha scritto a riguardo: http://xmau.com/wp/notiziole/category/giochi/”.

“Perfetto”.

“Poi, ecco un po' di recensioni di libri che ha letto:”.

• Marco Malvaldi, L'infinito tra parentesi - come i poeti abbiano raccontato poeticamente i concetti matematici 
• Alex Bellos, Can you solve my problems? - problemini vecchi e nuovi, con la storia dietro di essi 
• Ivan Moscovich, The Puzzle Universe - relativamente poca matematica ma tanti giochi 
• Mattia Monga, Turing: la nascita dell'intelligenza artificiale - il padre dell'informatica è molto matematico 
• William R. Shea, Cartesio: la magia dei numeri e del moto - biografia di Cartesio vista dal punto di vista della matematica 
• Paolo Canova e Diego Rizzuto, Fate il nostro gioco - imprescindibile se volete capire quando si può giocare d'azzardo (risposta: mai, se volete vincere soldi) 
• Dick Hess, Golf on the Moon - raccolta di problemini (spesso un po' stancante) 
• Peter M. Higgins, Nets, Puzzles and Postmen - la teoria delle reti spiegata in modo accattivante 
• James Owen Weatherall, La fisica del nulla - come il concetto fisico di "nulla" sia diventato nei secoli sempre più complesso.

“Non si può dire che sia uno che non legge”.

“Decisamente no. Passiamo poi alla categoria povera matematica:”.

• Aritmetica lombarda - in Padania le unità diventano centinaia senza problemi 
• Le multe calano o crescono? - a Torino hanno qualche problema con le proporzioni 
• Numeroni - se uno sa fare i conti, certi allarmi appaiono ingiustificati... 

“Ah, divide pure le cose che scrive in categorie”.

“Eh sì, c'è un sacco di roba. Per la categoria matematica light ha scritto Invalsi e terza media - qualche considerazione sui test dati e sulla loro applicabilità; e infine un obituary per la matematica Maryam Mirzakhani”.

“Uh, ne avevo sentito parlare: mi dispiace”.

“Già, è una notizia che ha rattristato molto il mondo dei matematici. E, suppongo, anche di chi non è matematico ma la conosceva, qualche giornale ne aveva parlato”.

“Meno male”.

“Ma andiamo avanti, c'è poi tutta la parte di interventi scritti sul Post”.

“Ancora?”.

“Certo, eccoli qua. Ha parlato per due volte del compito di matematica alla maturità: La bicicletta a ruote quadrate, e Ancora sulla bicicletta a ruote quadrate. Il suo punto di vista (e anche il mio, a dirla tutta) è che il problema non era difficile per come era stato proposto (teleguidato...) ma solo spiazzante, il che non è poi così male visto che c'era un secondo problema che si poteva scegliere. In 4 chilometri cubi di rifiuti mostra come alcuni giornalisti si siano dimenticati le equivalenze, forse per l'euforia relativa al concerto di Vasco Rossi; Un quizzino non proprio così facile racconta di uno di quei quizzini di Facebook che non era esattamente alla portata di chi non avesse studiato teoria dei numeri parecchio avanzata; Perché il meteoterrorismo non funziona, dice di non credere alle previsioni a lunga durata perché sono intrinsecamente impossibili se non come possibilità; infine ci sono gli usuali Problemini per ferragosto con relative risposte”.

“Nient'altro?”.

“Per quanto riguarda .mau., basta così. Ma ora arrivano quei disgraziati dei Rudi Mathematici”.

“Perché disgraziati, poverini?”.

“Perché durante l'estate, con l'eccezionale sospensione della pubblicazione del Carnevale, loro ne hanno fatto uno che celebra proprio il Carnevale, sulle pagine della loro prestigiosa rivista di matematica ricreativa”.

“Un meta-carnevale”.

“Già. E adesso, belli tranquilli, mi hanno mandato un lungo elenco di contributi per questo Carnevale. Non faccio nemmeno la parafrasi della letterina che mi hanno mandato, ma la scrivo qua sotto così come mi è arrivata”.

“Fermeremo il calcolo sulla battigia” è un brillante articolo della serie dei PM (Paraphernalia Mathematica) originato come al solito dalla tastiera di Rudy. Ci si arrabatta alla grande col Diagramma di Voronoi, e naturalmente nel bel mezzo dell’articolo fa la sua comparsa anche la battigia (non il bagnasciuga) che dà il titolo al post.

Invece, “Mentalis” è tutta un’altra roba, dacché appartiene alla prodigiosa collana dei giochi che un bel dì decidemmo di chiamare Zugzwang! (termine germanico che tutti gli scacchisti conoscono e odiano). Questo era un vero e proprio gioco commercializzato negli Anni Settanta, con tanto di pedine e di scacchiera (che assomiglia tantissimo alla bandiera della Guinea, peraltro).

Siamo pronti a scommettere che sono tanti quelli che non conoscono Karen Keskulla Uhlenbeck, e ciò è male. Per fortuna, nonostante la calura agostana, c’è stata la nostra Alice che si è erta (come sempre fa) a paladina delle matematiche – nel senso delle studiose di matematica, non delle varie discipline della matematica – e così i “tanti” di cui sopra potranno rapidamente rimediare alla lacuna.

Tutti i post che scriviamo sul blog li scriviamo esclusivamente per il puro gusto di intrattenere/infastidire (barrare la voce che non interessa) i lettori, e per puro ludibrio personale. Esiste una sola eccezione canonica, ovvero il celebre “post di soluzione” in cui siamo contrattualmente tenuti a discettare del problema che viene (miracolosamente e magicamente) ancora pubblicato con le nostre firme sull'augusta “Le Scienze”. Questo mese il problema si intitolava “Di scacchiere, di note e di robot”, e va da sé che il post relativo abbia il medesimo titolo.

Non è ancora finita, ahimè (e soprattutto ahitè); in quel di Settembre, si è librato per l’etere un post della serie dei Canterbury Puzzles, che parlava di un contadino in ambasce. Il titolo esatto è in realtà “L’enigma del(l’altro) Contadino”, e siccome siamo tanto originali eviteremo con cura le trite battute sulle scarpe grosse e il cervello fino.

Ci siamo quasi, la fine del tunnel è vicina! Resta solo da menzionare un altro brillante PM, in cui il GC e CG (leggasi Carl Gauss) discettano su curve e curvature, e lo fanno senza tirare in ballo né playmate né velocità ultraluce di Star Trek. Si trova tutto in “Dato un pianeta, non necessariamente sferico…”.

Et de hoc satis, dicevano i centurioni assestando piattonate di gladio sull'elmo dei legionari ‘mbriachi. La piantiamo qui, con la solita, ormai canonica dichiarazione di intenti: il settembrino RM224 non è ancora pronto, ma è quasi pronto; probabilmente non ce la farà ad uscire prima del CdM, ma probabilmente ce la farà ad uscire molto poco dopo. Forse. Insomma, il link http://www.rudimathematici.com/archivio/224.pdf può essere un triste accelerato che porta gli sfortunati lettori del tuo CdM alla mesta stazione dell’errore 404, o un Millennium Falcon che in men che non si dica li sbarcherà verso i prestigiosi lidi della Matematica Arruffata. Tutto da dipende da quale sia il giorno e l’ora in cui ci cliccano sopra (e dalla pigrizia dei tenutari del link).

“Eheheh, molto bene. Vedo comunque che il link funziona già, sono stati bravi”.

“Abbastanza bravi, sì. E ora arriva l'onda anomala dei MaddMaths!”.

“I matematici matti? I mattematici?”.

“Eh, più o meno. Madd sta per matematica, divulgazione e didattica, ma anche mattematici mi pare molto appropriato. Guarda un po' quanta roba. Anche in questo caso non tento nemmeno la parafrasi, lascio parlare direttamente Roberto Natalini”.

Fake papers #4: Gira che ti rigira
In matematica bisogna distinguere in maniera chiara tra articoli che presentano errori di tipo matematico sfuggiti alla peer review (e può succedere!) da articoli che sono invece frutto di comportamenti quanto meno poco attenti da parte del comitato editoriale. In questo numero parliamo di un articolo uscito nel 2017 a nome del Prof. Asset Durmagambetov della “L.N. Gumilyov” Eurasian National University di Astana, in Kazakhstan che dice di aver dimostrato la congettura di Riemann. Sarà vero? Scopriamolo con Claudio Bonanno.

Guido De Philippis e... la regolarità delle soluzioni
Guido De Philippis, classe 1985, è attualmente Professore Associato alla SISSA di Trieste e si occupa di Calcolo Delle Variazioni, Equazioni alle Derivare Parziali e Teoria Geometrica della Misura. Nel 2016 ha vinto il premio EMS (European Congress of Mathematics) ed è di pochi giorni fa la notizia che è stato invitato a tenere una conferenza di sessione al prossimo Convegno Internazionale dei Matematici ICM2018 di Rio di Janeiro. Intervista raccolta da Maya Briani.


Fantamatematica

La bicicletta con le ruote quadrate: forse non tutti sanno che...
Uno dei problemi di matematica della Maturità di quest'anno aveva per protagonista una bicicletta con le ruote quadrate. Un mezzo di locomozione che può sembrare insolito... a cura di Stefano Pisani


Uno sguardo oltre la superficie

Sui boomerang, triangoli e la curvatura dell’universo

Siamo alla terza puntata della rubrica "Uno sguardo oltre la superficie", a cura di Giuseppe Tinaglia. Uno spazio dove si osserva la geometria che ci circonda, ma anche oltre.

3D lo spazio: il teatro geometrico
Continua la rubrica "Spazio agli Spazi", a cura di Sandra Lucente, che si occupa di dimensioni. Ogni mese un piccolo racconto per visitare mondi dimensionalmente diversi. Questo mese Sandra ci parla della Dimensione 3.

Le origini del popolo malgascio, alcune certezze e qualche mistero
Con imbarcazioni simili a quelle della foto qui a lato (a bilanciere dell'etnia Vezo in Madagascar) ma molto più grandi, gli antenati dei malgasci arrivarono dall'Indonesia. Ma chi erano veramente questi antenati? E quando sono arrivati? Maurizio Serva ci racconta come, con l'uso di alcuni algoritmi lessicostatistici, sia possibile fare un po' di luce su questi misteri

Di alberi, passeri e dell’ora del tramonto
Esistono in natura i problemi computazionalmente difficili? E se esistono, come vengono risolti? Di questo, ma anche di alberi e passeri, e di tramonti, ce ne parla Manlio Gaudioso.

Angolo arguto

Possibile che funzioni continue siano discontinue? E viceversa?
Dopo una ventina di anni con studenti del primo anno di Analisi Matematica, nella speranza di rimuovere un errore troppo frequente, Sandra Lucente ha indossato una t-shirt con la scritta “la funzione f(x) = 1/x è continua senza se e senza ma”. La foto di quella maglietta apparsa sui social ha innescato un dibattito sulla presentazione didattica del concetto di continuità. Questo articolo di Sandra Lucente riassume le varie perplessità emerse e invita ad una lettura critica dei libri di testo delle scuole superiori, spesso imprecisi su questo argomento.

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È uscito il numero 2/2017 di Archimede



È da poco stato stampato il n. 2/2017 della rivista Archimede. E come al solito, leggiamo il sommario del direttore Roberto Natalini: "Questo numero si apre con Giuseppe Pirillo, che indaga sulla affascinante possibilità che la Scuola Pitagorica possa essersi imbattuta nella successione di Fibonacci. Continuiamo con una riflessione di Giuliano Mazzanti, Valter Roselli e Luigi Tomasi su una proprietà della parabola a cavallo fra geometria e analisi e con l'articolo di Maria Chiara Nasso su come si calcola la superficie della sfera (è meno banale di quanto pensiate). Alberto Saracco ha letto l'ultimo saggio dedicato alla matematica di Marco Malvaldi, lo scrittore pisano diventato famoso con i gialli del BarLume: gli è piaciuto molto. La copertina è di Onofrio Catacchio ed è dedicata a Omar Khayyām, matematico, astronomo, filosofo e poeta persiano vissuto all'inizio dello scorso millennio. A lui è dedicata la storia di Archimedia, “Un kebab con Khayyām” di Giovanni Eccher e Onofrio Catacchio, che si svolge a cavallo tra presente e passato. Tra le rubriche segnaliamo in Archimede logica un articolo di Daniele Porello sulle possibili incoerenze nei giudizi collettivi."   

Le due teste del tiranno, un libro di Marco Malvaldi

Marco Malvaldi è conosciuto dal grande pubblico come autore dei gialli della serie del BarLume, ma di formazione è un ricercatore in chimica industriale. Non sorprende quindi che la sua formazione scientifica lo abbia spinto ad occuparsi di matematica, scrivendo brillanti saggi divulgativi. L'ultimo di questi è quello che viene recensito in questo articolo da Alberto Saracco. Questa recensione è già apparsa nel numero 2/2017 di Archimede.

Archimedia 2/2017: Un kebab con Khayyām
A cominciare dalla sua prima uscita del 2016, Archimede ospita Archimedia, una rubrica di fumetti e altri media curata da Andrea Plazzi. Nel n. 2/2017 trovate "Un kebab con Khayyām", un fumetto di Giovanni Eccher e Onofrio Catacchio. Qui sul sito presentiamo come al solito la prefazione di Andrea Plazzi.

Curiosità olimpiche 4 - In sei a mensa
Dopo una lunga pausa, riprende la rubrica Curiosità olimpiche, con una curiosità riguardante le finali nazionali delle Olimpiadi della Matematica, tenutesi a inizio maggio a Cesenatico. A cura di Alberto Saracco


Ripetizioni, di Davide Palmigiani

Puntata 16: "Orologio"
Che cos'è il doomsday di un anno? E perché è importante saper contare modulo 7? Scopriamolo nella nuova puntata di Ripetizioni

Puntata 17: "Gioco dell'Oca"
Sono riprese le ripetizioni di matematica. Questa volta si parla dei giochi: finiti, infiniti, chissà?

Per finire, non dimentichiamo che nel mese di Agosto abbiamo allietato grandi e piccini con MaddMaths! Estate 2017, ripubblicazione di post più o meno vintage.

“Finito?”.

“Finito, sì. Ed è finito anche il Carnevale di settembre: ci risentiamo a ottobre, proprio da MaddMaths!”.

“E anche per questo mese di roba da leggere ce n'è”.

“Al Carnevale 112, canta melodioso, canta, canta, canta”.

“Santo cielo”.