Erlangen 1872 — Coniche e retta impropria

Le rette sono tutte rappresentabili da equazioni di primo grado nelle due incognite x e y; viceversa, ogni equazione in due incognite rappresenta una retta (purché l'equazione non sia una roba strana e impossibile come 1=0).

Quindi le rette sono fatte così: ax+by+c=0 (con a e b non contemporaneamente uguali a zero).

Ora passiamo alle equazioni di secondo grado. Prima di tutto: come sono fatte? Ricordando che le incognite sono due, e che quindi esiste anche il termine xy, di secondo grado, una generica equazione è fatta così:

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0.

Bene: le coniche sono tutte equazioni di secondo grado. Vale anche il viceversa se consideriamo coniche anche oggetti strani come x²+y²=-1, che è una equazione che non rappresenta niente (non esistono valori di x e di y che la soddisfano) e che ci permettiamo dunque di chiamare circonferenza immaginaria. Ci sono anche oggetti un po' meno strani, come per esempio x²-y²=0, che si trasforma in (x+y)(x-y)=0, e che geometricamente è interpretabile come l'insieme di due rette: la chiamiamo iperbole degenere — in pratica è una iperbole coincidente con i propri asintoti, è come se noi prendessimo un cono e lo tagliassimo con un piano che lo attraversa e passa anche per il suo vertice.

Ecco un'immagine che ci mostra una iperbole degenere:

E, già che ci siamo, ecco una parabola degenere (cioè due rette coincidenti):

Ed ecco una ellisse, o circonferenza, degenere (in pratica è un punto solo soletto):

Ora la domanda è: come riconosciamo se una generica equazione di secondo grado rappresenta una iperbole, una parabola o una ellisse? Qui ci viene in aiuto la retta impropria.

La sostanza è questa: una ellisse è una curva tranquilla, chiusa, la vediamo tutta, non fugge lontano: la retta impropria non sa neanche cosa sia. Una iperbole, al contrario, va all'infinito, e ci va oltretutto lungo due direzioni diverse: quindi incontra la retta impropria, e lo fa in due punti. Una parabola è una via di mezzo: va all'infinito, ma ci va lungo la stessa direzione, per così dire: tocca cioè la retta impropria in un solo punto.

Ora vediamo i calcoli.