Erlangen 1872 — Un modello per il piano proiettivo

Non è facile visualizzare il piano proiettivo. Facciamo fatica non solo perché i punti impropri sono all'infinito, e ci riesce difficile vedere fin là, ma anche a causa di una strana proprietà di cui godono questi benedetti punti.

La sostanza è questa: una retta possiede un solo punto improprio, ma va all'infinito seguendo due direzioni opposte. Detto in altri termini, due persone che si trovano su una retta e camminano verso l'infinito andando verso due direzioni opposte, arrivano allo stesso punto. È come se le rette possedessero una natura circolare.

Il disegno in prospettiva non ci aiuta nel visualizzare il piano proiettivo nella sua totalità: effettivamente ci permette di vedere la retta impropria, perché essa diventa la linea di orizzonte, ma questo non basta. Se la retta impropria è diventata propria, assumendo il ruolo di orizzonte, un'altra retta che prima era propria ha preso il suo posto. Insomma, una proiettività non può far diventare propria la retta impropria senza trovare un'altra retta che la sostituisca.

Se il piano proiettivo è formato dal piano euclideo usuale più la retta impropria, noi avremmo bisogno di qualcosa che comprima il tutto nella zona finita, e che non lasci nulla all'infinito. Un modello del piano proiettivo in cui tutto è visibile da occhi umani.

Bene, modelli di questo tipo esistono, ma sono molto strani.

Prima di tutto, abbiamo bisogno di una dimensione in più: per vedere il piano proiettivo abbiamo bisogno dello spazio normale (cioè euclideo). In secondo luogo, l'apparente natura circolare propria di ogni retta viene esplicitata utilizzando una sfera.

Siccome l'animazione aiuta molto di più di qualche disegnino, ecco un filmato che mostra come associare i punti di un piano a quelli di una sfera.



Le rette diventano cerchi massimi di una sfera (cioè circonferenze che stanno sulla sfera e hanno, come centro, il centro della sfera), e due cerchi massimi si incontrano sempre: anche se le corrispondenti rette sono parallele, essi si intersecano comunque, purtroppo in due punti. Dico purtroppo perché noi ne vorremmo uno solo, di punti di intersezione. Dato che invece ne abbiamo due (che sono sempre antipodali), dobbiamo compiere un'ulteriore operazione di astrazione: i punti antipodali sulla sfera devono essere identificati. Li dobbiamo immaginare come se fossero lo stesso punto: siamo ancora di fronte a quella apparente circolarità della retta di cui abbiamo parlato prima.

Se riusciamo a immaginare i punti antipodali come un solo punto, e i cerchi massimi come rette, siamo a posto: quello della sfera è un modello del piano proiettivo.

Altrimenti, se non ci piace il fatto di avere due punti che dobbiamo identificare mentalmente, possiamo costruire una figura in cui questi punti vengono effettivamente identificati.

Prendiamo la sfera e tagliamola a metà: in questo modo gettiamo via quasi tutti i punti doppi. Ci rimangono solo quelli del bordo, che devono essere identificati a due a due.

Cominciamo a prendere il bordo e a piegarlo, in modo da fare corrispondere ogni punto con quello diametralmente opposto.

E alla fine richiudiamo il tutto: purtroppo, per poter fare coincidere ogni punto con quello antipodale, è necessario che la superficie si autointersechi.

La figura che otteniamo si chiama cross-cap. Se andate sulla pagina di mathworld, trovate una applicazione java che vi permette di esaminare il cross-cap girandolo come vi pare.

Insomma, non si scappa: o ci immaginiamo la sfera in cui due punti sono uno solo, o ci prendiamo il cross-cap con la superficie che interseca sé stessa. Oppure passiamo in quattro dimensioni. TANSTAAFL.

(Direi che possiamo fermarci qua, con il programma di Erlangen)