Erlangen 1872 — Retta impropria

Che cosa rappresenta l'equazione x=0?

È quella retta avente tutti i punti con ascissa uguale a zero, cioè è l'asse delle y.

Come si trasforma l'equazione se la mettiamo in coordinate omogenee?

Dato che non ci sono termini noti, in coordinate omogenee l'asse delle y ha sempre equazione x=0. Facile.

Cosa possiamo dire riguardo l'equazione y=0? Analogamente a quanto detto prima, y=0 è l'equazione dell'asse delle x, scritta sia in coordinate non omogenee che in coordinate omogenee. Facile.

Se ci mettiamo in coordinate omogenee, cosa rappresenta l'equazione z=0?

Ecco la novità: z=0 è una equazione di primo grado, e dunque siamo autorizzati a chiamarla retta. Ma qual è la caratteristica comune di tutti i suoi punti? Hanno tutti la terza coordinata uguale a zero, quindi sono tutti punti impropri. La retta di equazione z=0 viene detta retta impropria, e non è disegnabile sul piano cartesiano. Molti dicono che assomiglia a una circonferenza con raggio infinito e centro nell'origine, e in un certo senso hanno ragione.

Esiste però un modo per visualizzarla: basta cambiare punto di vista.

Nella realtà le righe blu del quadro qua sopra sarebbero parallele, eppure si incontrano tutte in un punto. Bene, quello è il punto improprio comune a tutte le rette blu. Dove si trova? Sulla linea dell'orizzonte: ecco, quella è la retta impropria. Ogni punto della linea dell'orizzonte rappresenta una diversa direzione.

Queste considerazioni ci consentono di aprire le porte della geometria proiettiva.