lunedì 23 agosto 2010

Erlangen 1872 — Che cosa è la geometria?

Che cosa è la geometria? Se lo chiediamo a un bimbo delle elementari, probabilmente ci risponderà che non lo sa spiegare bene, perché a volte si confonde un po' con la geografia. Un ragazzino delle medie ci risponderà che è quella materia scolastica in cui si studiano le figure e le misure. Se arriviamo alle superiori, un ragazzo del biennio si metterà le mani nei capelli pensando alla geometria euclidea, ai suoi teoremi e alle sue dimostrazioni senza numeri. Un ragazzo del triennio farà altrettanto, pensando invece alla geometria analitica e alle sue formule. Infine, uno studente universitario risponderà che la geometria è la materia più difficile del primo anno, perché è piena di formule, matrici, determinanti, autovettori, trasformazioni lineari, ma di figure non se ne vede una.

Se andiamo a dare un'occhiata alla voce Geometria di Wikipedia, troviamo elencate almeno dieci geometrie diverse, tanto per dire.

Poi nel 1872 è arrivato Felix Klein, che ha proposto di vedere tutte queste geometrie da un unico, nuovo, punto di vista. Nel suo programma di Erlangen Klein ha spiegato che una geometria consiste nello studio delle proprietà di uno spazio che sono invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni.

Eh?, diranno tutti gli studenti di ogni ordine e grado.

Si tratta di capire i termini della questione, spiegare cosa significano invariante, gruppo, trasformazione. Poi è facile.

6 commenti:

ilcomiziante ha detto...

Manca di spiegare cosa sia lo spazio. Che non è esattamente una camera o una stella nel cielo. :-)

zar ha detto...

Mh, ma no, lo spazio lo sanno tutti cos'è :-)

Corby ha detto...

il 15 settembre si avvicina sempre di più...

zar ha detto...

Tremate tremate

tetrapharmakon ha detto...

> Eh?, diranno tutti gli studenti di > ogni ordine e grado.

Beh, io no (per fortuna). :P A me lo hanno spiegato esattamente cosi':

sacrificando un certo amore per l’immediatezza, ma guadagnando il potente strumento della generalita', l’opera di Felix Klein e del suo Erlangenprogramme ci hanno insegnato che una “Geometria” e' null’altro che l’azione di un gruppo di trasformazioni (funzioni invertibili) su un insieme di oggetti (che per dirla con Hilbert, possono assumere la foggia che piu' ci piace, diventando tanto punti e rette quanto boccali di birra e stecche da biliardo). Detta C la classe degli oggetti che vogliamo trasformare, e G il gruppo che agisce su C, due di tali oggetti (T e T`) si diranno
equivalenti nel momento in cui esiste una g ∈ G tale che T`= g(T). Una Geometria e' essenzialmente determinata dalle caratteristiche del quoziente C/G, e le sue caratteristiche dipendono solo da quelle di G: la conquista intellettuale maggiore di questo nuovo punto di vista e' pensare in modo nuovo lo “spazio”, come determinato unicamente dalle trasformazioni che su di esso sono permesse: la geometria e' ora lo studio di quelle “figure” che sono invarianti rispetto all’azione di G: l’equivalenza di cui prima smembra l’insieme C in classi che sono le “figure geometriche” che si vogliono studiare.

zar ha detto...

E' così, è così.