Erlangen 1872 — Invarianti

Un invariante è semplicemente qualcosa che rimane costante. E fin qua.

Per capire qualcosa di più, dobbiamo tener presente che il concetto di invariante deve essere associato a quello di trasformazione. In pratica: la trasformazione mescola apparentemente gli oggetti di cui disponiamo, ma sotto sotto c'è qualcosa che rimane fisso. Si tratta di scoprirlo, e il gioco è fatto.

Giochino: abbiamo una scacchiera 8×8, e la vogliamo ricoprire con delle tessere del domino, di dimensione 1×2. Siamo capaci? Spero di sì, basta provare: in ogni riga mettiamo quattro tessere e siamo a posto. Bene, ora tagliamo via dalla scacchiera due caselle d'angolo opposte. Siamo ancora in grado di ricoprire la scacchiera con le tessere di prima? Se proviamo, non ci riusciamo. Ma, anche provando per molto tempo, non riusciremmo a verificare tutte le possibili configurazioni di tessere; però possiamo dimostrare l'impossibilità.

Indichiamo con n il numero di caselle nere visibili (cioè non coperte da nessuna tessera del domino), e con b il numero di caselle bianche visibili. Chiamiamo d la differenza n-b. Ora prendiamo la scacchiera completa: essa contiene 32 caselle bianche e 32 caselle nere, quindi d = 0. Che succede ogni volta che posizioniamo una tessera del domino?

Succede che copriamo una casella bianca e una casella nera, quindi sia n che b diminuiscono di 1; però la differenza d non varia, perché (n-1) - (b-1) è uguale a n-b. Quindi comunque noi posizioniamo una tessera del domino, la quantità d rimane costante. Ecco il nostro invariante.

Ora pensiamo alla scacchiera senza due caselle d'angolo. Se ci pensiamo un attimo, ci rendiamo conto del fatto che due caselle d'angolo hanno lo stesso colore: se le togliamo, il numero di caselle bianche sarà diverso da quello di caselle nere (diciamo di aver tolto due caselle bianche: in questo caso n-b = 2 — se togliamo due caselle nere allora n-b = -2). Ecco il motivo per cui è impossibile ricoprire questa scacchiera con le tessere del domino: il posizionamento di una tessera non fa variare d, che rimarrà sempre uguale a 2 (oppure a -2), eppure noi vorremmo arrivare a una situazione in cui tutte le caselle sono state coperte, cioè d = 0. Impossibile.

Gli invarianti sono bellissimi.