Erlangen 1872 — Gruppi

Un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da una operazione binaria associativa, dotata di elemento neutro e per la quale ogni elemento della struttura possiede elemento inverso.

Ecco, già dalla definizione si capisce che quello di gruppo è un concetto un po' più complicato.

Partiamo dall'inizio: struttura algebrica lo possiamo tradurre con mucchio di roba. Non specifichiamo altro: è un insieme di oggetti matematici che servono a qualcosa, il cosa è spiegato in seguito dalle proprietà che devono essere soddisfatte dagli oggetti.

Operazione binaria associativa è abbastanza facile: si tratta di una operazione che prende due elementi del gruppo e ne produce un terzo. Se pensiamo alle normali operazioni che conosciamo, va bene. Dobbiamo però tenere presente che il concetto di gruppo è molto generale, e quindi l'operazione potrebbe non essere una operazione tra numeri. Insomma, il gruppo è un insieme di oggetti, che potrebbero anche non essere numeri, ma sui quali si deve poter operare. L'operazione deve poi essere associativa, cioè deve essere una operazione decente. Se indichiamo l'operazione col generico simbolo ∗, la proprietà associativa è questa:

a∗(b∗c) = (a∗b)∗c.

Un esempio di operazione non associativa? Eccolo qua: la media tra due numeri. Se a∗b è uguale alla media tra a e b (cioè (a+b)/2) allora ci basta un esempio per capire che non gode della proprietà associativa: 1∗(2∗3) = 1∗2.5 = 1.75, mentre (1∗2)∗3 = 1.5∗3 = 2.25.

Elemento neutro è molto semplice: è come 1 per la moltiplicazione o 0 per l'addizione; deve cioè esistere un oggetto, all'interno del gruppo, il quale non produce effetti se inserito nell'operazione. In simboli, se si indica con e l'elemento neutro, questo è tale per cui:

a∗e = e∗a = a.

Arriviamo all'inverso di un elemento. L'inverso di a si indica con -a ed è tale per cui:

a∗(-a) = (-a)∗a = e.

Esempio: se consideriamo la somma di due numeri, abbiamo che l'elemento neutro è lo 0, e l'inverso di a è quel numero, che si indica con -a, tale per cui a + (-a) = 0. Insomma, l'inverso di 3 è -3, quello che normalmente si chiama opposto.

Se invece consideriamo il prodotto di due numeri, in questo caso l'elemento neutro è 1, e l'inverso di a è quel numero, che si indica con 1/a, tale per cui a × (1/a) = 1. Insomma, l'inverso di 3 è 1/3, quello che normalmente si chiama reciproco.

Basta, il gruppo non ha altre proprietà, queste sono quelle di base.

Naturalmente l'astuto lettore avrà notato che se si prendono, ad esempio, i numeri naturali, gli esempi fatti sopra non funzionano: -3 e 1/3 non appartengono all'insieme dei numeri naturali. Quindi quando si definisce un gruppo bisogna specificare bene anche l'insieme che stiamo considerando, e non solo l'operazione. Dunque potremmo dire che l'insieme dei numeri interi, con l'operazione di somma, è un gruppo. Oppure che l'insieme dei numeri razionali senza lo zero, con l'operazione di moltiplicazione, è un gruppo. Insomma, occorre che l'insieme considerato sia chiuso rispetto all'operazione, il che significa che ogni operazione tra due elementi qualsiasi deve dare un risultato che appartiene ancora all'insieme.

Se si è precisi, tutto fila liscio.