Erlangen 1872 — Rotazioni

Parliamo di rotazioni intorno all'origine.

Anche la rotazione è una trasformazione del piano, ed è certamente diversa da una traslazione. Cioè: è impossibile, anche utilizzando un numero qualsiasi di traslazioni, ottenere una rotazione. Capire il perché è molto semplice: nella traslazione tutti i punti si spostano, non ce n'è nemmeno uno che rimane fermo. Nella rotazione, invece, esiste un punto che sta fermo: il centro della rotazione. Nel linguaggio delle trasformazioni i punti che rimangono invariati sotto l'azione di una trasformazione si dicono punti uniti.

Quindi le rotazioni non stanno all'interno del gruppo delle traslazioni. A loro volta, però, esse formano un gruppo. Infatti esiste l'elemento neutro, che è la rotazione di un angolo nullo, ed esiste l'inverso: la rotazione nel verso opposto. Si adotta la convenzione di far corrispondere agli angoli positivi le rotazioni in senso antiorario, e agli angoli negativi quella in senso orario. La matrice associata a una rotazione in senso antiorario intorno all'origine di un angolo α è la seguente:

Stiamo sempre utilizzando la notazione utilizzata per le traslazioni, e cioè stiamo (per ora misteriosamente) associando a un punto del piano le coordinate (x,y,1) e non (x,y), come normalmente si fa.

Concludendo: il gruppo delle rotazioni e quello delle traslazioni sono due gruppi diversi. Entrambi danno luogo a due geometrie che, però, sono ancora troppo magre. Dobbiamo ingrassarle ancora un pochino.