Bene, prendiamo le macchinette-trasformazioni e le mettiamo dentro a un insieme (infinito, naturalmente). Poi definiamo un'operazione su questo insieme, e la chiamiamo composizione. La composizione di due trasformazioni a e b è semplicemente quella trasformazione che si ottiene applicando nell'ordine prima a e poi b. Tutto qua.
L'unica cosa strana è che questa operazione non agisce su numeri, come normalmente ci si aspetta da un'operazione come si deve, ma agisce su trasformazioni geometriche.
Esempio: le traslazioni. Tutti quanti dovrebbero conoscere il termine: una traslazione è una trasformazione del piano che prende tutti i punti e li sposta di una distanza fissa nella medesima direzione.
La figura rossa viene trasformata in quella blu (il che significa che ogni punto della figura viene trasformato, naturalmente). Non è che gli altri punti siano fermi, beninteso. La traslazione agisce su tutti i punti del piano: noi ne abbiamo evidenziati alcuni, formanti una figura, e abbiamo analizzato cosa è successo a quelli.
Primo fatto: sulle traslazioni è possibile effettuare una operazione, quella che abbiamo chiamato composizione. Comporre due traslazioni significa applicarne prima una e poi l'altra. In questo caso non è importante specificare l'ordine, ma con altri tipi di trasformazioni lo sarà (questo significa che, in generale, la composizione non è una operazione commutativa). Per trovare il risultato della composizione ci basta sommare i due vettori, come abbiamo imparato a fare alle medie (con la regola del parallelogrammo, per esempio).
Ecco, in questa figura si vede la composizione di due traslazioni (indicate con le frecce tratteggiate), che possono essere viste come un'unica traslazione (indicata con la freccia continua). In alto, i due vettori corrispondenti alle due traslazioni vengono sommati con la regola del parallelogrammo, e il risultato è proprio il vettore che congiunge la figura rossa con quella verde, in basso.
Possiamo parlare di gruppo delle traslazioni? Per farlo, dobbiamo verificare che esista l'elemento neutro e che per ogni traslazione esista quella opposta. Allora, l'elemento neutro è la traslazione di vettore nullo, cioè la traslazione che lascia tutto fermo. L'opposto, invece, è quella traslazione che si ottiene girando il vettore: mettendo cioè la punta al posto della coda, e viceversa.
Quindi le traslazioni formano un gruppo. Possiamo già parlare di geometria, secondo Klein? In teoria potremmo, in pratica però questa geometria è un po' troppo povera: bisogna allargare un po' di più l'insieme delle operazioni per poter ritrovare una geometria ben nota.
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