Si parlava di studio delle proprietà di uno spazio che sono invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni. Allora, quando diciamo spazio possiamo intendere anche piano, e questo non perché i matematici non conoscano la differenza tra le due parole, ma perché con spazio si intende un po' tutto. Insomma, quello che la gente normale considera spazio, i matematici lo chiamano spazio a tre dimensioni. E così il piano diventa lo spazio a due dimensioni, la retta lo spazio a una dimensione, e abbiamo spazio (appunto) per generalizzare a quattro, cinque, n dimensioni.
Fermiamoci a due dimensioni, che i disegni sono più facili.
Il piano è fatto di punti, che ora dobbiamo immaginare come mobili: come la superficie del mare, per esempio, ma di un mare senza onde. Immergiamo la mano e diamo una mescolata: abbiamo effettuato una trasformazione geometrica. Ovvero abbiamo preso dei punti e li abbiamo spostati da un'altra parte. Un oggetto matematico che prende i punti del piano e li muove si chiama trasformazione geometrica.
Esempi pratici: scriviamo le formule che ci interessano su un foglio, lo inseriamo in un fotocopiatore e produciamo un meraviglioso francobollo che contiene tutto quello che ci serve. Abbiamo stabilito una trasformazione geometrica tra i punti del foglio e quelli della fotocopia (non importa molto se i due fogli sono diversi, possiamo immaginarli come sovrapposti e trattarli come uno solo).
Oppure: un telefilm in formato 4:3 viene proiettato su un televisore in formato 16:9 senza bande nere ai lati: il quadro è deformato, e abbiamo fatto una trasformazione che prende i punti del piano (dello schermo televisivo) e li dilata.
E infine: prendiamo un foglio e, semplicemente, lo capovolgiamo. Ciò che era in alto ora è in basso, e viceversa: abbiamo nuovamente spostato i punti del piano; ma non tutti, se ci pensiamo bene: il centro del foglio, ad esempio, è rimasto fermo.
E così abbiamo chiarito il primo termine: trasformazione.
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