Giochi proiettivi — 5. Quali piani proiettivi finiti esistono?

“Quindi non esistono piani proiettivi finiti di ogni ordine, ho capito bene?”.

“Hai capito bene”.

“Che strano. E quali ordini vanno bene, allora?”.

“Se vuoi sapere una regola, ti dico subito che ancora non è stata trovata. Cioè, si sa che esistono piani proiettivi di ordine n, se n è una potenza di un numero primo. Per altri valori di n non si sa quasi nulla”.

“Eh? Stai dicendo che da dei postulati così semplici possono nascere teorie che ancora sono oggetto di studio?”.

“Esatto. Gli ordini dal 2 al 5 sono stati studiati, esiste un unico piano proiettivo per ognuno di quegli ordini”.

“In che senso uno? Potrebbero essercene di più?”.

“Sì, con strutture diverse, ma servono più punti”.

“Però un piano di ordine 5 ha già 5² + 5 + 1, cioè 31 punti”.

“Sì, ma sono ancora troppo pochi. Dell'ordine 6 abbiamo già detto”.

“Sì: non esiste”.

“Anche quelli di ordine 7 e 8 sono unici. Per l'ordine 9, invece, ne esistono quattro tipi diversi”.

“Addirittura”.

“Già. Poi se ne conosce uno di ordine 11, qualcun altro di ordine superiore, per esempio ce ne sono 193 di ordine 25, ma non si conosce una regola generale, e per ora la storia finisce qua”.

“Basta? E l'ordine 10? L'hai saltato”.

“L'ordine 10 ha messo a dura prova i matematici. La ricerca di un piano proiettivo di ordine 10 ha avuto inizio nel 1980 e, dopo circa duemila ore di tempo macchina su un Cray e più di duecento giorni su vari VAX, si è conclusa il 29 novembre 1988”.

“E l'hanno trovato?”.

“No”.

“Ma allora!”.

“Mi ricordo che ci raccontarono della scoperta mentre eravamo a lezione, all'università. Hanno dimostrato che non esistono piani proiettivi di ordine 10, ammesso di poter usare il verbo dimostrare per una situazione come questa”.

“Perché?”.

“Perché nessuno controlla i calcoli del computer e, prima che tu dica che è impossibile che un computer sbagli, ti dirò che hanno calcolato anche quale fosse la probabilità di errore”.

“Perché, i computer sbagliano?”.

“Ecco quello c'è scritto nel lavoro che annuncia la fine della cosiddetta dimostrazione:”.

There is, moreover, the possibility of an undetected hardware failure. A common error of this type is the random changing of bits in a computer memory, which could mean the loss of a branch of the search tree. This is the worst kind of hardware error, because we might lose solutions without realizing it. The CRAY-1A is reported to have such errors at the rate of about one per one thousand hours of computing. At this rate, we expect to encounter two to three errors! We did discover one such error by chance. After a hardware problem, Patterson reran the 1,000 A2's just before the failure and the statistics have changed for the A2 processed just prior to the malfunction. How should one receive a "proof" that is almost guaranteed to contain several random errors?

“Un errore ogni mille ore? Non è mica tanto trascurabile, no?”.

“No, infatti. Facendo poi alcuni controlli incrociati, gli autori hanno concluso che la probabilità di aver perso dei dati che avrebbero potuto portare, forse, alla scoperta di un piano di ordine 10, è minore di 10^-5”.

“Insomma, è molto piccola, ma non è zero”.

“No, non lo è. D'altra parte, se la dimostrazione fosse scritta su carta e contenesse un errore, quale sarebbe la probabilità che, leggendola, qualcuno se ne accorga?”.

“Dici che non è certo che, prima o poi, qualcuno si accorga di un errore?”.

“Eh, chissà”.