venerdì 19 ottobre 2007

Il problema del fabbricante di lattine

Il fabbricante di una famosa bibita in lattina ha deciso di progettare una lattina cilindrica che costi il meno possibile, e cioè che utilizzi la minor quantità di materiale possibile.

In termini matematici, il fabbricante si chiede quale sia, fra tutti cilindri aventi lo stesso volume, quello con la minor superficie totale.

Supponiamo dunque di avere un cilindro di volume V. Se indichiamo con x il raggio di base, avremo che Vhx2, e quindi h=V/(πx2).

L'area della superficie totale si calcola sommando l'area del fondo, quella del coperchio (sono uguali) e quella della superficie laterale:

S=2πx2+2πxh=2(πx2+V/x).

Ebbene, questa funzione non è costante: ci sono tipi di cilindro che usano più materiale, e altri che ne usano meno. Ecco il grafico:



Sull'asse x c'è il raggio di base della lattina, sull'asse y la superficie totale del cilindro (cioè la quantità di materiale utilizzata). Le unità di misura sono abbastanza inutili, sono comunque riferite a una lattina di volume unitario.

Per trovare il valore minimo servono le derivate, e il risultato è questo: il raggio di base deve essere uguale alla radice cubica di V/(2π). Questa formula dice poco, ma se uno fa due conti scopre che il cilindro avente superficie totale minima è quello a sezione quadrata. Detto in un altro modo: si ha la minima quantità di materiale quando, tagliando la lattina verticalmente con un piano passante per l'asse, si ottiene una sezione quadrata.

Il motivo per cui le lattine di una famosa bibita siano state allungate e smagrite, invece di essere state abbassate e allargate, mi è ignoto.

13 commenti:

Cassa ha detto...

Caro Professore, questo era uno dei quesiti del mio tema di maturità.

Amarcord.

professore ha detto...

Ma pensa... Che anno era?

Ronkas ha detto...

Semplicemente perché prima del risparmio e di tutti i bei calcoletti, a questo mondo vige una legge ben più importante, il cui grafico, ahimé mi sfugge.

Mi riferisco alla legge dell'estetica ovviamente.
Bere da una lattina alta e magra richiama sicuramente di più il trend attuale delle cose, sembrano cavolate, la gente non ci pensa "volontariamente" ma ne rimane irrimediabilmente attratta.
Come sarebbe invece bere da una lattina bassa e panciuta? Sicuramente poco "alla moda", in quanto, più che ricordare un freschissimo e vitalizzante energy drink, sembrerebbe di bersi una scatoletta di tonno con la cannuccia.
Oltre a questo, rimane sempre lo stesso discorso fatto in precedenza, contrario, ovviamente.


La cosa che mi sorprende invece, è come questa e tante altre cose si possano "spiegare" semplicemente aprendo gli occhi, e non essendo delle persone passive e vittime di una società alla scascio.

Ah dimenticavo, un'ultima cosa: le bottigilie di birra non soffrono di questo problema. Sono secoli che i monaci belghi imbottigliano nelle medesime basse, tozze e gradevolemente formose, bottigliette.
-zucchero schifo
+birra.

professore ha detto...

Mi dicono che, assieme al cambio di forma, abbiano cambiato anche il materiale con cui fanno le lattine (pare che ne usino uno meno costoso, ora, al posto dell'alluminio).

Ronkas ha detto...

Sì, è così.
Adesso sono in acciaio, non più in alluminio.

professore ha detto...

Ecco risolto il problema della maggior spesa...

Ronkas ha detto...

Così sembrerebbe.

grenadier ha detto...

Io ed un fido compagno abbiamo fatto questo calcolo quest'estate, sulle tovagliette di carta di una pizzeria, mossi da identico spunto (perchè la nota marca eccetera).
Lo sguardo del cameriere al quale abbiamo chiesto in prestito la penna era di pura commiserazione.
Ahinoi, la legge di Ronkas è completamente sfuggita alla nostra attenzione in quel momento. Ma, è evidente, non a quella del cameriere...

Cassa ha detto...

Era la maturità del 2005

Ricciele ha detto...

Secondo me le hanno assottigliate per diffonderle ancor di piu' tra i bambini (si afferrano meglio) e aggravare la situazione di una generazione di piccoli obesi.

luckybrak@gmail.it ha detto...

E la cosa più triste è che l'acciaio è molto meno riciclabile dell'alluminio. Quindi non solo è aumentato il materiale utilizzato, ma è anche diminuita la quantità riciclabile!

Anonimo ha detto...

Pesa di più un chilo di piume o un chilo di piombo?

Le lattine alte e magre sembrano contenere più prodotto di quelle basse e tozze.

Tutto qui.
TUTTO QUI???
Tutto qui.

zar ha detto...

Dici?