Tangenti comuni a due circonferenze

Nel risolvere un quesito dell'ultimo Rudi Mathematici mi sono imbattuto in un problema carino: la ricerca delle tangenti comuni a due circonferenze. È un problema che si può risolvere con la geometria analitica, ma ero curioso di sapere se si potesse risolvere solo con riga e compasso, come facevano i greci di una volta.

Ho chiesto ai miei studenti di prima: loro sostenevano che si potesse fare, che il loro insegnante di tecnologia e disegno l'avesse spiegato, ma quando sono venuti alla lavagna a mostrarmi il procedimento ho capito che non sapevano bene quello che stavano disegnando...

Allora sono andato direttamente alla fonte (il collega), e mi sono fatto raccontare come si fa.

Ecco qua. Cominciamo da due circonferenze come in figura:



Scegliamo una direzione casuale, tracciamo due rette parallele passanti per i due centri e aventi la direzione scelta. Nella prima circonferenza scegliamo uno dei due punti di intersezione, nella seconda scegliamo quello che si trova dalla parte opposta rispetto alla retta congiungente i due centri.



Ora congiungiamo i due punti trovati e intersechiamo la nuova retta con la congiungente i due centri: identifichiamo così un nuovo punto. A questo punto non ci interessano più le rette tracciate in precedenza, ma ci interessano solo i tre punti sulla retta che congiunge i due centri.



Questi tre punti delimitano due segmenti: troviamo i loro punti medi (segnati in rosso).



Tracciamo le due circonferenze (rosse) aventi i centri nei due punti rossi, e passanti per il punto blu esterno alle due circonferenze date. Esse intersecano le circonferenze blu in quattro punti — ne mettiamo in evidenza solo due, in verde, da parti opposte rispetto alla congiungente i due centri. Questi sono i punti di tangenza.



Eccoci arrivati: la retta passante per i due punti verdi è una delle tangenti cercate.



Il lettore volonteroso saprà trovare anche l'altra tangente che passa tra le due circonferenze. Poi, con procedimento analogo, saprà anche trovare le altre due tangenti comuni (perché in tutto ce ne sono quattro, in effetti). Volendo, saprà anche dimostrare che il procedimento è corretto.

[Nota tecnica: le figure sono state fatte con kseg, un programma free per linux simile a Cabri (correzione: vedo che ci sono port per Mac e Windows)]