Abbiamo detto che contare gli elementi di un insieme significa creare una corrispondenza biunivoca tra un insieme di numeri e l'insieme dato. Abbiamo anche detto che la logica vorrebbe cominciare a contare partendo da 1, mentre i Veri Matematici partono da 0.
Poi abbiamo accennato velocemente al concetto di cardinalità. Riprendiamolo, perché è importante. Si dice che due insiemi hanno la stessa cardinalità se esiste una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi. Non è importante sapere quale sia questa corrispondenza: può essere una qualunque funzione, purché sia biunivoca.
La definizione è sottile: non dico quanto vale la cardinalità di un insieme, dico solo che due insiemi hanno la stessa cardinalità, ma non specifico quanto sia.
Esempio: gli insiemi {a,b,c} e {Pippo, Pluto, Paperino} hanno la stessa cardinalità. Per dimostrarlo mi serve far vedere che esiste una funzione biunivoca tra i due. Eccola qua: a-Pippo, b-Pluto, c-Paperino. Facile. Notate che non ho mai detto che gli insiemi hanno 3 elementi.
Per parlare di numero cardinale, e quindi per associare un valore alla cardinalità, entrano in ballo le classi di equivalenza. E qui possono succedere Cose Brutte.
“Quanto brutte?”.
“Eh, molto”.
“Paradossi?”.
“Peggio”.
“Buchi neri super...”.
“Non dirlo, ti prego”.
“Va bene. Cosa, allora?”.
“Antinomie”.
“Wow! Racconta”.
“Ricordi la parabola dei Lego?”.
“Come potrei dimenticarla? Avevi spiegato che le relazioni di equivalenza estraggono, in qualche modo, una proprietà da un insieme di oggetti, e ci permettono di raggruppare quegli oggetti in base alla proprietà”.
“Bene, nell'esempio fatto, la proprietà era la forma dei Lego. Ogni scatolina conteneva un certo tipo di mattoncino, c'era la scatolina dei pezzi da uno, quella dei quadrati, eccetera. Ogni scatolina è una classe di equivalenza”.
“Bene, e adesso, con la cardinalità, come facciamo?”.
“Possiamo fare anche qui una relazione di equivalenza. Anzi, la relazione è proprio quella che abbiamo già definito: due insiemi sono in relazione se hanno la stessa cardinalità, cioè se esiste una corrispondenza biunivoca tra di loro”.
“E questa è una relazione di equivalenza?”.
“Certo. Prova a verificare le tre proprietà. Quella riflessiva è valida?”.
“Dunque, dovrebbe essere questa: un insieme ha la stessa cardinalità di sé stesso. Mi sembra stupida”.
“Se vuoi, possiamo dire che esiste una corrispondenza biunivoca tra un insieme e sé stesso”.
Bè, è vero. La corrispondenza è facile da trovare: ad ogni elemento associo sé stesso“”.
“Giusto. Vediamo la seconda proprietà, quella simmetrica”.
“Se esiste una corrispondenza biunivoca tra A e B, allora esiste una corrispondenza biunivoca tra B e A. Facile, è vero. Basta invertire il senso delle frecce”.
“Bene. E la proprietà transitiva?”.
“Se posso costruire una corrispondenza biunivoca tra A e B, e una seconda corrispondenza biunivoca tra B e C, allora ne posso fare una direttamente tra A e C. Vero anche questo, ci sarà una freccia che parte da un elemento di A e va a finire su un elemento di B, da cui parte una seconda freccia che parte da lì e va su un elemento di C. Mi basta collegare le due frecce e sono a posto”.
“Perfetto. Hai fatto un'operazione che i Veri Matematici chiamano composizione di funzioni”.
“Va bene. E adesso?”.
“Adesso abbiamo delle classi di equivalenza, che raggruppano tra di loro gli insiemi aventi la stessa cardinalità. Per esempio, assieme a {a,b,c} ci sarà {Pippo, Pluto, Paperino}, ma anche {Emy, Ely, Evy}, oppure {Spennacchiotto, Filo Sganga, Dinamite Bla}”.
“Certo che potevi usare degli esempi migliori...”.
“Allora ti dico che ci sarà anche l'insieme {0,1,2}”.
“Ho capito! Se come rappresentante della classe di equivalenza prendo {Pippo, Pluto, Paperino}, ottengo poco. Ma se prendo {0,1,2} posso parlare di numeri associati alla cardinalità”.
“Esatto. La cardinalità di {Pippo, Pluto, Paperino} è 3 perché quell'insieme si trova nella stessa classe di equivalenza di {0,1,2}”.
“Bene, mi sembra tutto a posto. Dove salta fuori l'antinomia?”.
“Eh, salta fuori proprio qua. Ricordi la scatola dei Lego?”.
“Certo. Era il nostro insieme da suddividere in classi”.
“E adesso qual è il nostro insieme?”.
“Eh. Ehm. La cardinalità si calcola su un insieme, quindi devo avere un contenitore di insiemi”.
“Sì. Un insieme di insiemi. Quali insiemi?”.
“Boh, non hai detto nulla sul tipo di insiemi sui quali si può calcolare la cardinalità, quindi direi tutti”.
“Perfetto: l'insieme di tutti gli insiemi”.
“Cosa c'è che non va nell'insieme di tutti gli insiemi?”.
“Il solo nominarlo fa crollare le basi di tutta la matematica”.
sabato 6 settembre 2008
venerdì 5 settembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - classi di equivalenza
Di nuovo si mise a insegnare alla cattedra, e si riunì intorno a lui una folla di studenti.
C'era un uomo, disse loro, che aveva un figlio. Al figlio piaceva molto giocare con i Lego, che teneva tutti raccolti in una valigetta. L'uomo entrò nella camera del figlio, e vide che sul pavimento della stanza erano sparse centinaia di mattoncini, di ogni forma e colore.
Il figlio era disperato. “Perché piangi?”, gli domandò il padre. “Perché sto diventando matto a trovare i pezzi che mi servono, sono tutti mescolati! Per costruire questo piccolo pezzo di muro ho sprecato tutto il pomeriggio!”. Nella valigetta il figlio teneva tutti i suoi Lego: ne aveva veramente tanti, e sarebbe stato impensabile conservare tutte le scatole originali. Al figlio, poi, piaceva anche inventare nuove costruzioni, prendendo a prestito dei pezzi dalle varie scatole.
“Ti aiuto”, gli disse il padre, e, dopo essersi procurato alcuni piccoli contenitori, si inginocchiò vicino a lui. Rovesciò la valigetta sul pavimento e iniziò a catalogare i piccoli pezzi colorati. In un contenitore ripose tutti i pezzi da uno, di qualunque colore. In un altro, quelli di dimensione 2×1, poi quelli quadrati, e così via.
Non importava la loro provenienza: alcuni pezzi erano, in origine, nella scatola della casetta, altri in quella dell'aereo, altri ancora facevano parte della Ferrari, o del Nottetempo di Harry Potter. Alcuni erano bianchi, altri rossi, blu, grigi, viola: non faceva differenza. Ciò che contava, per la catalogazione, era soltanto la forma.
Alla fine, della montagna di pezzi colorati rimase un piccolo gruppo di scatolette. Il figlio sorrise, felice.
“Noto evidenti segni di megalomania”.
“Perché?”.
“Non so, fare lezione per parabole?”.
“Ehm”.
“Non stavi per fare una battuta sul prof di matematica che racconta parabole, vero?”.
“Assolutamente no!”.
“Mh. E cosa vorrebbe dire, questa parabola?”.
“In verità ti dico...”.
“Allora ho ragione!”.
“Ok, scherzavo. L'esempio dei mattoncini dei Lego divisi per forma mi serve per parlare di classi di equivalenza”.
“Un'altra roba per Veri Matematici?”.
“Eh, sì. Ricordi le relazioni?”.
“Certo. Associazioni di coppie di elementi”.
“Bene. Gli elementi delle coppie venivano da due diversi insiemi, giusto?”.
“Sì, avevamo un insieme di partenza, che avevi chiamato A, e uno di arrivo, che avevi chiamato B”.
“Perfetto. Questa volta invece abbiamo un insieme solo”.
“E come facciamo ad accoppiare gli elementi? Da dove li prendiamo?”.
“Da due copie dello stesso insieme”.
“Oh mamma. Vorrei un esempio”.
“Eccolo qua: prendi l'insieme {a,b,c}. Ora associa gli elementi in questo modo: (a,a), (a,b), (b,c). Si dice anche, relativamente alla prima coppia, che a è in relazione con a. Per la seconda, che a è in relazione con b. Per la terza, che b è in relazione con c”.
“Comincio a capire. In effetti, hai definito una relazione. Avevi detto che una relazione è un insieme di coppie”.
“E infatti quello che ti ho elencato è un insieme di coppie. Solo che gli elementi provengono dallo stesso insieme. In effetti, non avevamo mai detto che A e B dovessero essere diversi”.
“Mh, sottigliezze da Vero Matematico. E adesso cosa ce ne facciamo di questa roba?”.
“Ci sono delle relazioni speciali che si chiamano relazioni di equivalenza”.
“Se dici che sono speciali, vorrà dire che hanno delle particolari caratteristiche”.
“Sì. Soddisfano a tre proprietà. Te le elenco?”.
“Vai”.
“La prima si chiama proprietà riflessiva. Dice che ogni elemento è in relazione con sé stesso”.
“Ok. Vorrebbe dire, per esempio, che esiste la coppia (a,a) dentro alla relazione. In effetti, nell'esempio che hai fatto c'è. Però mancano le coppie (b,b) e (c,c)”.
“Esatto. La seconda proprietà si chiama proprietà simmetrica. Dice che se un elemento a è in relazione con b, allora anche b deve essere in relazione con a”.
“Traducendo nel linguaggio delle coppie dovrebbe essere così: se la relazione contiene la coppia (a,b), allora deve contenere anche la coppia (b,a)”.
“Benissimo. La terza proprietà si chiama proprietà transitiva. Dice che se a è in relazione con b, e se b è in relazione con c, allora a è in relazione con c. Prova a tradurre questa”.
“Dunque: se (a,b) e (b,c) fanno parte della relazione, allora ne fa parte anche (a,c)”.
“Bene”.
“E cosa c'entrano i Lego?”.
“Allora: l'insieme A sul quale costruiamo la nostra relazione è la valigetta contenente tutti i pezzi. La relazione che consideriamo è definita così: due pezzi sono in relazione se si possono incastrare perfettamente uno sull'altro, senza lasciare buchi vuoti”.
“Ok. Dici che è una relazione di equivalenza?”.
“Prova tu a vedere se sono soddisfatte le tre proprietà. La prima è vera?”.
“Un elemento è in relazione con sé stesso, cioè un pezzo di Lego si può incastrare su sé stesso. Forse è meglio dire su un altro pezzo identico. Sì, è giusto”.
“La seconda?”.
“Se un pezzo a si può incastrare con b, anche b si può incastrare con a. Certo, è vero”.
“La terza?”.
“Se posso incastrare a con b, e se posso incastrare b con c, allora posso incastrare a con c direttamente. Certo, hanno la stessa forma”.
“Bravo, hai colto il punto”.
“Quale?”.
“La forma. Tutti gli elementi aventi la stessa forma si possono incastrare insieme”.
“E quindi sono tutti in relazione tra di loro, ho capito!”.
“E li mettiamo tutti nella stessa scatola. Le scatole rappresentano una proprietà comune a tutti i pezzi contenuti, in questo caso la loro forma. Ogni volta che ti trovi di fronte a una relazione di equivalenza, riesci a mettere in evidenza una particolare proprietà. E riesci a suddividere l'insieme in scatole”.
“Ho capito. E quindi i matematici fanno queste scatole di equivalenza”.
“Già. Naturalmente non le chiamano così”.
“Capirai. Come si chiamano?”.
“Classi di equivalenza”.
“Ah, l'avevi detto all'inizio. E a cosa ci servono?”.
“Stai pronto, con le lampade accese, e attendi”.
“Argh!”.
C'era un uomo, disse loro, che aveva un figlio. Al figlio piaceva molto giocare con i Lego, che teneva tutti raccolti in una valigetta. L'uomo entrò nella camera del figlio, e vide che sul pavimento della stanza erano sparse centinaia di mattoncini, di ogni forma e colore.
Il figlio era disperato. “Perché piangi?”, gli domandò il padre. “Perché sto diventando matto a trovare i pezzi che mi servono, sono tutti mescolati! Per costruire questo piccolo pezzo di muro ho sprecato tutto il pomeriggio!”. Nella valigetta il figlio teneva tutti i suoi Lego: ne aveva veramente tanti, e sarebbe stato impensabile conservare tutte le scatole originali. Al figlio, poi, piaceva anche inventare nuove costruzioni, prendendo a prestito dei pezzi dalle varie scatole.
“Ti aiuto”, gli disse il padre, e, dopo essersi procurato alcuni piccoli contenitori, si inginocchiò vicino a lui. Rovesciò la valigetta sul pavimento e iniziò a catalogare i piccoli pezzi colorati. In un contenitore ripose tutti i pezzi da uno, di qualunque colore. In un altro, quelli di dimensione 2×1, poi quelli quadrati, e così via.
Non importava la loro provenienza: alcuni pezzi erano, in origine, nella scatola della casetta, altri in quella dell'aereo, altri ancora facevano parte della Ferrari, o del Nottetempo di Harry Potter. Alcuni erano bianchi, altri rossi, blu, grigi, viola: non faceva differenza. Ciò che contava, per la catalogazione, era soltanto la forma.
Alla fine, della montagna di pezzi colorati rimase un piccolo gruppo di scatolette. Il figlio sorrise, felice.
“Noto evidenti segni di megalomania”.
“Perché?”.
“Non so, fare lezione per parabole?”.
“Ehm”.
“Non stavi per fare una battuta sul prof di matematica che racconta parabole, vero?”.
“Assolutamente no!”.
“Mh. E cosa vorrebbe dire, questa parabola?”.
“In verità ti dico...”.
“Allora ho ragione!”.
“Ok, scherzavo. L'esempio dei mattoncini dei Lego divisi per forma mi serve per parlare di classi di equivalenza”.
“Un'altra roba per Veri Matematici?”.
“Eh, sì. Ricordi le relazioni?”.
“Certo. Associazioni di coppie di elementi”.
“Bene. Gli elementi delle coppie venivano da due diversi insiemi, giusto?”.
“Sì, avevamo un insieme di partenza, che avevi chiamato A, e uno di arrivo, che avevi chiamato B”.
“Perfetto. Questa volta invece abbiamo un insieme solo”.
“E come facciamo ad accoppiare gli elementi? Da dove li prendiamo?”.
“Da due copie dello stesso insieme”.
“Oh mamma. Vorrei un esempio”.
“Eccolo qua: prendi l'insieme {a,b,c}. Ora associa gli elementi in questo modo: (a,a), (a,b), (b,c). Si dice anche, relativamente alla prima coppia, che a è in relazione con a. Per la seconda, che a è in relazione con b. Per la terza, che b è in relazione con c”.
“Comincio a capire. In effetti, hai definito una relazione. Avevi detto che una relazione è un insieme di coppie”.
“E infatti quello che ti ho elencato è un insieme di coppie. Solo che gli elementi provengono dallo stesso insieme. In effetti, non avevamo mai detto che A e B dovessero essere diversi”.
“Mh, sottigliezze da Vero Matematico. E adesso cosa ce ne facciamo di questa roba?”.
“Ci sono delle relazioni speciali che si chiamano relazioni di equivalenza”.
“Se dici che sono speciali, vorrà dire che hanno delle particolari caratteristiche”.
“Sì. Soddisfano a tre proprietà. Te le elenco?”.
“Vai”.
“La prima si chiama proprietà riflessiva. Dice che ogni elemento è in relazione con sé stesso”.
“Ok. Vorrebbe dire, per esempio, che esiste la coppia (a,a) dentro alla relazione. In effetti, nell'esempio che hai fatto c'è. Però mancano le coppie (b,b) e (c,c)”.
“Esatto. La seconda proprietà si chiama proprietà simmetrica. Dice che se un elemento a è in relazione con b, allora anche b deve essere in relazione con a”.
“Traducendo nel linguaggio delle coppie dovrebbe essere così: se la relazione contiene la coppia (a,b), allora deve contenere anche la coppia (b,a)”.
“Benissimo. La terza proprietà si chiama proprietà transitiva. Dice che se a è in relazione con b, e se b è in relazione con c, allora a è in relazione con c. Prova a tradurre questa”.
“Dunque: se (a,b) e (b,c) fanno parte della relazione, allora ne fa parte anche (a,c)”.
“Bene”.
“E cosa c'entrano i Lego?”.
“Allora: l'insieme A sul quale costruiamo la nostra relazione è la valigetta contenente tutti i pezzi. La relazione che consideriamo è definita così: due pezzi sono in relazione se si possono incastrare perfettamente uno sull'altro, senza lasciare buchi vuoti”.
“Ok. Dici che è una relazione di equivalenza?”.
“Prova tu a vedere se sono soddisfatte le tre proprietà. La prima è vera?”.
“Un elemento è in relazione con sé stesso, cioè un pezzo di Lego si può incastrare su sé stesso. Forse è meglio dire su un altro pezzo identico. Sì, è giusto”.
“La seconda?”.
“Se un pezzo a si può incastrare con b, anche b si può incastrare con a. Certo, è vero”.
“La terza?”.
“Se posso incastrare a con b, e se posso incastrare b con c, allora posso incastrare a con c direttamente. Certo, hanno la stessa forma”.
“Bravo, hai colto il punto”.
“Quale?”.
“La forma. Tutti gli elementi aventi la stessa forma si possono incastrare insieme”.
“E quindi sono tutti in relazione tra di loro, ho capito!”.
“E li mettiamo tutti nella stessa scatola. Le scatole rappresentano una proprietà comune a tutti i pezzi contenuti, in questo caso la loro forma. Ogni volta che ti trovi di fronte a una relazione di equivalenza, riesci a mettere in evidenza una particolare proprietà. E riesci a suddividere l'insieme in scatole”.
“Ho capito. E quindi i matematici fanno queste scatole di equivalenza”.
“Già. Naturalmente non le chiamano così”.
“Capirai. Come si chiamano?”.
“Classi di equivalenza”.
“Ah, l'avevi detto all'inizio. E a cosa ci servono?”.
“Stai pronto, con le lampade accese, e attendi”.
“Argh!”.
Verso l'infinito, ma con calma - contare
Anche l'atto del contare quanti sono ha una definizione matematica. Ora, ci si potrebbe domandare se c'è proprio bisogno di dare una definizione a un'attività che si impara intorno ai due anni, ma i Veri Matematici son tipi molto precisi.
Quindi, cosa significa contare? Dice il De Mauro: numerare progressivamente persone, animali o cose per determinarne la quantità. Numerare. Cioè segnare con numeri progressivi.
Eccoci al punto: per contare si associano dei numeri progressivi agli oggetti. E siamo anche in grado di formalizzare questa frase in termini matematici.
“E come si fa?”.
“Beh, abbiamo già parlato di oggetti che permettono di fare associazioni, cioè permettono di mettere in relazione elementi appartenenti a due diversi insiemi”.
“Ah, certo, le relazioni, appunto”.
“Sì. Però una relazione non va bene, in generale, per contare. Immagina di avere un insieme composto da quattro elementi. Per esempio, le prime quattro lettere dell'alfabeto: {a,b,c,d}”.
“Ok. Ora serve una relazione che leghi dei numeri a queste quattro lettere”.
“Sì. Te ne propongo una: 1-a, 2-b, 1-c”.
“Cosa significa?”.
“Ho associato 1 alla a. Poi 2 alla b, e di nuovo 1 alla c”.
“Non mi sembra un gran bel modo di contare, questo”.
“No, infatti. Riesci a scoprire quali sono i problemi?”.
“Vediamo... Prima di tutto, hai ripetuto 1 due volte. Non si può contare in questo modo. A 1 deve corrispondere un solo elemento”.
“Giusto. Ma una relazione mi permette di associare 1 a quanti elementi voglio”.
“Ho capito! Non va bene usare una relazione. Serve una funzione”.
“Perfetto. Poi, noti altri problemi?”.
“Sì. Non hai associato nessun numero a d”.
“Esattamente. Ma è possibile che una funzione non prenda in considerazione tutti gli elementi dell'insieme di arrivo”.
“Ok, ci sono: serve una funzione suriettiva”.
“Bene. Nient'altro? Può, questa funzione, non essere iniettiva?”.
“Mh, vediamo. Basta provare, forse. Una funzione non iniettiva ma suriettiva potrebbe essere 1-a, 2-b, 3-a, 4-c, 5-d. No, non va bene: Ho contato a due volte. Ok, ci sono. Per contare serve una funzione sia iniettiva che suriettiva, cioè biunivoca!”.
“Molto bene. Contare, allora, significa mettere in corrispondenza biunivoca un insieme numerico con l'insieme di cui vogliamo contare gli elementi”.
“Ho capito. Eh, però bisogna essere precisi”.
“Vedo che stai entrando nella mentalità del Vero Matematico. Cosa dovremmo precisare?”.
“Qual è l'insieme numerico”.
“Bravo. Non possiamo contare un insieme di tre elementi partendo, che so, dal cinque. Se al primo elemento associamo 5, al secondo 6 e al terzo 7, arriveremmo a concludere che l'insieme è composto da 7 elementi”.
“Dobbiamo dire, allora, che l'insieme numerico è quello dei primi n numeri naturali. Si parte da 1, e si va avanti fino a che ci sono elementi nell'altro insieme”.
“Ottimo”.
“I Veri Matematici fanno proprio così?”.
“Ehm”.
“Cosa, ehm?”.
“Non proprio”.
“Ma come? Prima mi spieghi tutte queste cose, dici che bisogna contare, che non si può partire da cinque, io dico che bisogna partire da uno, tu dici ottimo, e poi dici che i matematici fanno in un altro modo? E come fanno, di grazia?”.
“Ecco, hai presente quell'insieme che abbiamo preso come esempio all'inizio?”.
“Quale? L'insieme {a,b,c,d}?”.
“Quello. I Veri Matematici contano così: zero, uno, due, tre”.
“...”.
“Il numero di elementi dell'insieme è il primo numero non nominato, cioè quattro”.
“Sono Pazzi Questi Matematici”.
“E non è tutto qua”.
“Cosa c'è ancora?”.
“Eh, in effetti ci sono due modi di contare, anche nella vita normale”.
“Hai fatto bene a dire normale, vedo che qua si stanno complicando a dismisura cose semplici, non mi sembra mica tanto normale questa cosa. Quali sarebbero questi due modi?”.
“Allora, se io ti dico che l'insieme {a,b,c,d} ha quattro elementi, intendo descrivere una proprietà dell'insieme che potremmo chiamare grandezza”.
“Non oso chiedere come la chiamano i Veri Matematici”.
“Cardinalità. Questo è il primo modo di contare”.
“Ok, pensavo peggio”.
“I numeri usati per contare in questo modo li chiamo numeri cardinali”.
“E l'altro modo?”
“Ecco, con l'altro modo voglio anche tener conto dell'ordine con cui compaiono gli elementi che sto contando. Non mi accontento di dire che {a,b,c,d} ha quattro elementi, ma li conto e li ordino uno per uno. In questo caso, dico che sto utilizzando dei numeri ordinali”.
“Credo di aver capito. In pratica diresti che a è il primo elemento, b il secondo, c il terzo, e d il quarto?”.
“Ecco, quasi”.
“Uffa. Cosa ho sbagliato?”.
“Direi che a è il zeresimo elemento, b il primo, c il secondo, d il terzo. Totale, quattro elementi”.
“Roba da matti. E poi non esiste la parola zeresimo”.
“Invece sì”.
Quindi, cosa significa contare? Dice il De Mauro: numerare progressivamente persone, animali o cose per determinarne la quantità. Numerare. Cioè segnare con numeri progressivi.
Eccoci al punto: per contare si associano dei numeri progressivi agli oggetti. E siamo anche in grado di formalizzare questa frase in termini matematici.
“E come si fa?”.
“Beh, abbiamo già parlato di oggetti che permettono di fare associazioni, cioè permettono di mettere in relazione elementi appartenenti a due diversi insiemi”.
“Ah, certo, le relazioni, appunto”.
“Sì. Però una relazione non va bene, in generale, per contare. Immagina di avere un insieme composto da quattro elementi. Per esempio, le prime quattro lettere dell'alfabeto: {a,b,c,d}”.
“Ok. Ora serve una relazione che leghi dei numeri a queste quattro lettere”.
“Sì. Te ne propongo una: 1-a, 2-b, 1-c”.
“Cosa significa?”.
“Ho associato 1 alla a. Poi 2 alla b, e di nuovo 1 alla c”.
“Non mi sembra un gran bel modo di contare, questo”.
“No, infatti. Riesci a scoprire quali sono i problemi?”.
“Vediamo... Prima di tutto, hai ripetuto 1 due volte. Non si può contare in questo modo. A 1 deve corrispondere un solo elemento”.
“Giusto. Ma una relazione mi permette di associare 1 a quanti elementi voglio”.
“Ho capito! Non va bene usare una relazione. Serve una funzione”.
“Perfetto. Poi, noti altri problemi?”.
“Sì. Non hai associato nessun numero a d”.
“Esattamente. Ma è possibile che una funzione non prenda in considerazione tutti gli elementi dell'insieme di arrivo”.
“Ok, ci sono: serve una funzione suriettiva”.
“Bene. Nient'altro? Può, questa funzione, non essere iniettiva?”.
“Mh, vediamo. Basta provare, forse. Una funzione non iniettiva ma suriettiva potrebbe essere 1-a, 2-b, 3-a, 4-c, 5-d. No, non va bene: Ho contato a due volte. Ok, ci sono. Per contare serve una funzione sia iniettiva che suriettiva, cioè biunivoca!”.
“Molto bene. Contare, allora, significa mettere in corrispondenza biunivoca un insieme numerico con l'insieme di cui vogliamo contare gli elementi”.
“Ho capito. Eh, però bisogna essere precisi”.
“Vedo che stai entrando nella mentalità del Vero Matematico. Cosa dovremmo precisare?”.
“Qual è l'insieme numerico”.
“Bravo. Non possiamo contare un insieme di tre elementi partendo, che so, dal cinque. Se al primo elemento associamo 5, al secondo 6 e al terzo 7, arriveremmo a concludere che l'insieme è composto da 7 elementi”.
“Dobbiamo dire, allora, che l'insieme numerico è quello dei primi n numeri naturali. Si parte da 1, e si va avanti fino a che ci sono elementi nell'altro insieme”.
“Ottimo”.
“I Veri Matematici fanno proprio così?”.
“Ehm”.
“Cosa, ehm?”.
“Non proprio”.
“Ma come? Prima mi spieghi tutte queste cose, dici che bisogna contare, che non si può partire da cinque, io dico che bisogna partire da uno, tu dici ottimo, e poi dici che i matematici fanno in un altro modo? E come fanno, di grazia?”.
“Ecco, hai presente quell'insieme che abbiamo preso come esempio all'inizio?”.
“Quale? L'insieme {a,b,c,d}?”.
“Quello. I Veri Matematici contano così: zero, uno, due, tre”.
“...”.
“Il numero di elementi dell'insieme è il primo numero non nominato, cioè quattro”.
“Sono Pazzi Questi Matematici”.
“E non è tutto qua”.
“Cosa c'è ancora?”.
“Eh, in effetti ci sono due modi di contare, anche nella vita normale”.
“Hai fatto bene a dire normale, vedo che qua si stanno complicando a dismisura cose semplici, non mi sembra mica tanto normale questa cosa. Quali sarebbero questi due modi?”.
“Allora, se io ti dico che l'insieme {a,b,c,d} ha quattro elementi, intendo descrivere una proprietà dell'insieme che potremmo chiamare grandezza”.
“Non oso chiedere come la chiamano i Veri Matematici”.
“Cardinalità. Questo è il primo modo di contare”.
“Ok, pensavo peggio”.
“I numeri usati per contare in questo modo li chiamo numeri cardinali”.
“E l'altro modo?”
“Ecco, con l'altro modo voglio anche tener conto dell'ordine con cui compaiono gli elementi che sto contando. Non mi accontento di dire che {a,b,c,d} ha quattro elementi, ma li conto e li ordino uno per uno. In questo caso, dico che sto utilizzando dei numeri ordinali”.
“Credo di aver capito. In pratica diresti che a è il primo elemento, b il secondo, c il terzo, e d il quarto?”.
“Ecco, quasi”.
“Uffa. Cosa ho sbagliato?”.
“Direi che a è il zeresimo elemento, b il primo, c il secondo, d il terzo. Totale, quattro elementi”.
“Roba da matti. E poi non esiste la parola zeresimo”.
“Invece sì”.
mercoledì 3 settembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - le funzioni
Tutti, a scuola, hanno sentito parlare di funzioni. Anche gli studenti.
Ma se domandi: “allora, che cosa è esattamente una funzione?”, tutti mostrano di essere intensamente impegnati a fare altro.
Bene, una volta capito cosa sia una relazione, è molto semplice passare alle funzioni: infatti una funzione è un particolare tipo di relazione. Una funzione è una relazione per la quale ad ogni elemento del primo insieme corrisponde un unico elemento del secondo insieme. La differenza è tutta qua, nel sottolineare che il corrispondente deve essere uno solo.
In pratica, non ci sono elementi del primo insieme dai quali possano partire due o più frecce: da ogni elemento ne parte una sola.
Ecco un disegnino:
Come si vede, da ogni elemento di A parte una sola freccia, mentre non esiste nessuna regola che riguarda gli elementi di B: ci sono elementi sui quali arriva una sola freccia, elementi sui quali ne arrivano due, elementi sui quali non ne arriva nemmeno una.
“E non vogliamo specificare niente sugli elementi di B? Ai matematici va bene tutto?”.
“Certo che no. I matematici fanno alcune distinzioni. Per esempio, osserva questo disegno”.
“Ah, vedo che qua non ci sono elementi di B sui quali arrivano due o più frecce”.
“Bene, giusto. Anche se esistono elementi di B sui quali non arriva nulla, cioè elementi che non hanno un corrispondente in A”.
“Vedo. Diciamo che al massimo arriva una freccia. Queste funzioni hanno un nome particolare?”.
“Sì. Si chiamano funzioni iniettive”.
“Ok. E una funzione fatta così, ha un nome anche lei?”.
“Vuoi dire una funzione che ricopre tutto il secondo insieme? Cioè una funzione tale che su ogni elemento di B arriva almeno una freccia?”.
“Esatto. Prima hai fatto l'esempio delle funzioni con al massimo una freccia su ogni elemento di B, pensavo che magari potesse esistere una definizione per funzioni con al minimo una freccia su ogni elemento di B”.
“Sì, in questo caso si parla di funzione suriettiva”.
“E magari si possono combinare le due richieste? Al massimo una freccia e al minimo una freccia? So che i matematici dicono una e una sola freccia”.
“Esattamente. Una funzione che è sia iniettiva che suriettiva si dice biunivoca (o anche biiettiva, qualcuno addirittura scrive bijettiva). Ecco un disegnino”.
“Ok, ho capito. Delle corrispondenze biunivoche me ne avevano parlato anche alle elementari. Ma i matematici parlano davvero di frecce?”.
“Beh, no, quasi mai. Invece di dire che la funzione f collega con una freccia l'elemento a con l'elemento b, scrivono semplicemente f(a)=b”.
“Questo mi ricorda qualcosa...”.
“Già. Tieni presente che spesso si dimentica che per definire una funzione non serve solo la legge (cioè il modo in cui le frecce collegano gli elementi), ma serve anche conoscere quali sono gli insiemi A e B”.
“Perché?”.
“Prendi per esempio la funzione f(x)=x2, cioè la funzione che prende un elemento e lo eleva al quadrato. È chiara la legge? Sapresti trovare il corrispondente di un qualunque numero?”.
“Direi di sì, non è difficile”.
“Bene. Allora, questa funzione è iniettiva?”.
“Mh, direi di sì. Sì. Se per esempio elevo 3 al quadrato, ottengo 9. Se elevo un altro numero al quadrato non ottengo 9”.
“Che mi dici di -3 al quadrato?”.
“Oh oh, non avevo pensato ai numeri negativi”.
“Vedi dunque l'importanza di conoscere l'insieme A. Se A contiene solo numeri maggiori o uguali a zero, la funzione è iniettiva. Se A contiene anche numeri negativi, allora non lo è”.
“Ho capito. E per quanto riguarda l'insieme B?”.
“Dimmi tu. La funzione che eleva al quadrato è suriettiva? Cioè, ricopre tutto l'insieme di arrivo?”.
“Ah, ho capito! Dipende da come è fatto l'insieme di arrivo! Se contiene solo numeri maggiori o uguali a zero, la funzione lo ricopre tutto. Se contiene anche i numeri negativi, no. Non esiste nessun numero che elevato al quadrato mi dia -4, per esempio”.
“Se non prendiamo numeri immaginari nell'insieme di partenza, è vero”.
“Numeri immaginari?”.
“Vabbè, questa è un'altra storia”.
Ma se domandi: “allora, che cosa è esattamente una funzione?”, tutti mostrano di essere intensamente impegnati a fare altro.
Bene, una volta capito cosa sia una relazione, è molto semplice passare alle funzioni: infatti una funzione è un particolare tipo di relazione. Una funzione è una relazione per la quale ad ogni elemento del primo insieme corrisponde un unico elemento del secondo insieme. La differenza è tutta qua, nel sottolineare che il corrispondente deve essere uno solo.
In pratica, non ci sono elementi del primo insieme dai quali possano partire due o più frecce: da ogni elemento ne parte una sola.
Ecco un disegnino:
Come si vede, da ogni elemento di A parte una sola freccia, mentre non esiste nessuna regola che riguarda gli elementi di B: ci sono elementi sui quali arriva una sola freccia, elementi sui quali ne arrivano due, elementi sui quali non ne arriva nemmeno una.
“E non vogliamo specificare niente sugli elementi di B? Ai matematici va bene tutto?”.
“Certo che no. I matematici fanno alcune distinzioni. Per esempio, osserva questo disegno”.
“Ah, vedo che qua non ci sono elementi di B sui quali arrivano due o più frecce”.
“Bene, giusto. Anche se esistono elementi di B sui quali non arriva nulla, cioè elementi che non hanno un corrispondente in A”.
“Vedo. Diciamo che al massimo arriva una freccia. Queste funzioni hanno un nome particolare?”.
“Sì. Si chiamano funzioni iniettive”.
“Ok. E una funzione fatta così, ha un nome anche lei?”.
“Vuoi dire una funzione che ricopre tutto il secondo insieme? Cioè una funzione tale che su ogni elemento di B arriva almeno una freccia?”.
“Esatto. Prima hai fatto l'esempio delle funzioni con al massimo una freccia su ogni elemento di B, pensavo che magari potesse esistere una definizione per funzioni con al minimo una freccia su ogni elemento di B”.
“Sì, in questo caso si parla di funzione suriettiva”.
“E magari si possono combinare le due richieste? Al massimo una freccia e al minimo una freccia? So che i matematici dicono una e una sola freccia”.
“Esattamente. Una funzione che è sia iniettiva che suriettiva si dice biunivoca (o anche biiettiva, qualcuno addirittura scrive bijettiva). Ecco un disegnino”.
“Ok, ho capito. Delle corrispondenze biunivoche me ne avevano parlato anche alle elementari. Ma i matematici parlano davvero di frecce?”.
“Beh, no, quasi mai. Invece di dire che la funzione f collega con una freccia l'elemento a con l'elemento b, scrivono semplicemente f(a)=b”.
“Questo mi ricorda qualcosa...”.
“Già. Tieni presente che spesso si dimentica che per definire una funzione non serve solo la legge (cioè il modo in cui le frecce collegano gli elementi), ma serve anche conoscere quali sono gli insiemi A e B”.
“Perché?”.
“Prendi per esempio la funzione f(x)=x2, cioè la funzione che prende un elemento e lo eleva al quadrato. È chiara la legge? Sapresti trovare il corrispondente di un qualunque numero?”.
“Direi di sì, non è difficile”.
“Bene. Allora, questa funzione è iniettiva?”.
“Mh, direi di sì. Sì. Se per esempio elevo 3 al quadrato, ottengo 9. Se elevo un altro numero al quadrato non ottengo 9”.
“Che mi dici di -3 al quadrato?”.
“Oh oh, non avevo pensato ai numeri negativi”.
“Vedi dunque l'importanza di conoscere l'insieme A. Se A contiene solo numeri maggiori o uguali a zero, la funzione è iniettiva. Se A contiene anche numeri negativi, allora non lo è”.
“Ho capito. E per quanto riguarda l'insieme B?”.
“Dimmi tu. La funzione che eleva al quadrato è suriettiva? Cioè, ricopre tutto l'insieme di arrivo?”.
“Ah, ho capito! Dipende da come è fatto l'insieme di arrivo! Se contiene solo numeri maggiori o uguali a zero, la funzione lo ricopre tutto. Se contiene anche i numeri negativi, no. Non esiste nessun numero che elevato al quadrato mi dia -4, per esempio”.
“Se non prendiamo numeri immaginari nell'insieme di partenza, è vero”.
“Numeri immaginari?”.
“Vabbè, questa è un'altra storia”.
Si fa presto a dire cina /2
Alice Riddle, quella dei tre che beve birra quanto un uomo, si è appassionata alla vicenda delle medaglie e ha compilato uno schema con tutte le nazioni e tutte le medaglie vinte in tutte le olimpiadi. Eccola qua.
martedì 2 settembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - le relazioni
Tutto comincia dalle relazioni.
Se domandate a un matematico cosa sia una relazione, lui vi risponderà che una relazione tra due insiemi A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A×B. Con questo il matematico se la cava, il non matematico non capisce niente.
In questi casi non bisogna partire da una definizione rigorosa, ma da qualcosa di molto più intuitivo: potremmo dire che una relazione tra due insiemi è una legge che lega gli elementi del primo insieme a quelli del secondo. Una cosa così, per esempio:
Questa è una relazione: il primo elemento dell'insieme A è legato al primo dell'insieme B, il secondo dell'insieme A è legato al secondo e al terzo dell'insieme B, e così via. In questo modo dovrebbe essere più chiaro. Potremmo anche prendere il concetto di relazione come concetto primitivo, e finirla qua (in matematica i concetti primitivi sono quelli che non si possono definire a partire da altri concetti più semplici: sono cioè i mattoni con cui si costruisce tutto il resto).
I Veri Matematici, però, basano tutto sul concetto di insieme, e quindi anche la relazione è definita a partire dagli insiemi. Dire sottoinsieme del prodotto cartesiano è un modo pomposo per dire insieme di coppie ordinate composte da un elemento di A e uno di B (anche il concetto di coppia ordinata non è primitivo, ma può essere definito utilizzando esclusivamente gli insiemi; i Veri Matematici danno per scontato che tutti lo sappiano e fanno finta di niente).
Esempietto: abbiamo gli insiemi A = {1,2,3} e B = {a,b,c,d}.
Ecco una relazione: R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,c)}.
“Ehi, ma a 3 non è associato niente!”.
“Non importa”.
“E come la mettiamo col fatto che a 1 sono associati due elementi?”.
“Va bene, non c'è problema”.
“E il prodotto cartesiano cosa sarebbe?”.
“L'insieme di tutte le possibili coppie ordinate. Nel nostro esempio quante ce ne sono?”.
“Dodici?”.
“Esatto”.
“Ok. E come fai a definire una coppia ordinata (a,b) utilizzando solo il concetto di insieme?”.
“Faccio così: (a,b) è, per definizione, l'insieme {{a},{a,b}}”.
“Ma è una cosa orribile!”.
“Già. E non sto a dirti come si definisce una terna (a,b,c). È per questo che i Veri Matematici fanno finta di niente”.
Se domandate a un matematico cosa sia una relazione, lui vi risponderà che una relazione tra due insiemi A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A×B. Con questo il matematico se la cava, il non matematico non capisce niente.
In questi casi non bisogna partire da una definizione rigorosa, ma da qualcosa di molto più intuitivo: potremmo dire che una relazione tra due insiemi è una legge che lega gli elementi del primo insieme a quelli del secondo. Una cosa così, per esempio:
Questa è una relazione: il primo elemento dell'insieme A è legato al primo dell'insieme B, il secondo dell'insieme A è legato al secondo e al terzo dell'insieme B, e così via. In questo modo dovrebbe essere più chiaro. Potremmo anche prendere il concetto di relazione come concetto primitivo, e finirla qua (in matematica i concetti primitivi sono quelli che non si possono definire a partire da altri concetti più semplici: sono cioè i mattoni con cui si costruisce tutto il resto).
I Veri Matematici, però, basano tutto sul concetto di insieme, e quindi anche la relazione è definita a partire dagli insiemi. Dire sottoinsieme del prodotto cartesiano è un modo pomposo per dire insieme di coppie ordinate composte da un elemento di A e uno di B (anche il concetto di coppia ordinata non è primitivo, ma può essere definito utilizzando esclusivamente gli insiemi; i Veri Matematici danno per scontato che tutti lo sappiano e fanno finta di niente).
Esempietto: abbiamo gli insiemi A = {1,2,3} e B = {a,b,c,d}.
Ecco una relazione: R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,c)}.
“Ehi, ma a 3 non è associato niente!”.
“Non importa”.
“E come la mettiamo col fatto che a 1 sono associati due elementi?”.
“Va bene, non c'è problema”.
“E il prodotto cartesiano cosa sarebbe?”.
“L'insieme di tutte le possibili coppie ordinate. Nel nostro esempio quante ce ne sono?”.
“Dodici?”.
“Esatto”.
“Ok. E come fai a definire una coppia ordinata (a,b) utilizzando solo il concetto di insieme?”.
“Faccio così: (a,b) è, per definizione, l'insieme {{a},{a,b}}”.
“Ma è una cosa orribile!”.
“Già. E non sto a dirti come si definisce una terna (a,b,c). È per questo che i Veri Matematici fanno finta di niente”.
lunedì 1 settembre 2008
Matematica in cucina
Parmigiano reggiano, prosciutto di Modena, salame, mortadella, coppa di testa, ciccioli, zampone, cotechino, gnocco fritto, crescentina (ma noi pianurani diciamo tigella), pesto modenese, tortellino, borlengo, aceto balsamico, lambrusco, nocino, bensone.
Tutto questo (mancano i tortelloni di ricotta e spinaci, mh) e altro ancora sull'ultimo numero di Rudi Mathematici.
Ah, c'è anche un matematico modenese.
Tutto questo (mancano i tortelloni di ricotta e spinaci, mh) e altro ancora sull'ultimo numero di Rudi Mathematici.
Ah, c'è anche un matematico modenese.
martedì 26 agosto 2008
Si fa presto a dire Cina
Dicono che la Cina si trova in testa al medagliere perché ha vinto cento medaglie, di cui cinquantuno d'oro. Mi pare però che sia facile trovare atleti da medaglia in un paese che ha più di un miliardo di abitanti, e quindi vi propongo una nuova classifica, in cui ciò che conta non è il totale assoluto delle medaglie, bensì il numero di medaglie rapportato ai miliardi di abitanti.
Vince la Giamaica, con quasi 4000 medaglie, seguita da Australia e Bielorussia.
Medaglie Abitanti Medaglie/abitanti
Cina 100 1306313813 76,55
Stati Uniti 110 302713700 363,38
Russia 72 146400000 491,80
Gran Bretagna 47 60609155 775,46
Germania 41 82438000 497,34
Australia 46 19855188 2.316,77
Corea del Sud 31 49044790 632,08
Giappone 25 127435000 196,18
Italia 28 58876835 475,57
Francia 40 61875822 646,46
Ucraina 27 46372700 582,24
Olanda 16 16408557 975,10
Giamaica 11 2804332 3.922,50
Spagna 18 45200737 398,22
Kenya 14 34707817 403,37
Bielorussia 19 9689800 1.960,82
Vince la Giamaica, con quasi 4000 medaglie, seguita da Australia e Bielorussia.
mercoledì 20 agosto 2008
Ebbene sì. Torinesi, ho bisogno di voi!
Qualcuno di voi conosce questa cupola? È in san Lorenzo a piazza Castello, nel cuore di Torino. Sicuramente un posto magico, una costruzione che mette in seria crisi gli studiosi di storia dell'architettura — soprattutto quelli che amano le etichette, le categorie. Guarino Guarini le etichette non le rispettava proprio e lo dimostra proprio qui, sotto alla cupola di san Lorenzo.
Tra coloro che conoscono questa creatura dell'architetto di origine modenese, c'è qualcuno che mi saprebbe dire se le semicolonne che si incurvano nella cupola sono lesene (cioè elementi puramente decorativi) o paraste (quindi pilastri poco aggettanti dalla muratura ma con funzione portante)? Grazie a tutti anticipatamente.
martedì 19 agosto 2008
Paradossi
Oggi Eriadan presenta il paradosso dell'impiccagione imprevedibile, applicato agli schifidi lavoretti.
sabato 16 agosto 2008
Feed dei commenti
Ho scoperto che blogger fornisce anche un feed per tutti i commenti in tutti i post. Per chi è interessato, c'è il link nella barra a destra, in basso.
giovedì 14 agosto 2008
Carnevale della Matematica 4
È uscito da Chartitalia, con interessanti legami musicali e una playlist.
mercoledì 13 agosto 2008
Il lavoro di una vita
Esiste un teorema che è stato dimostrato nell'arco di tempo che va dal 1955 al 1983, è composto da un numero di pagine stimato tra le diecimila e le quindicimila, distribuite in circa cinquecento articoli composti da circa cento autori diversi. Si tratta del teorema di classificazione dei gruppi semplici finiti, detto anche teorema enorme.
Qualche matematico si è anche azzardato a sollevare dubbi sulla correttezza della dimostrazione, e allora un gruppo di studiosi si è rimesso in moto per produrre un risultato più semplice e più facilmente controllabile: si parla delle dimostrazioni di seconda generazione. Ora si è giunti ad una conclusione certa: la tesi principale del teorema è corretta, i gruppi semplici finiti sono solo quelli e proprio quelli.
Nell'elenco si trovano chicche come il baby monster e il monster (ci sarebbe anche il Tits group, ma qua non ci sono giochi di parole: Tits è semplicemente il cognome del matematico che l'ha studiato).
Bene, un matematico ha annunciato oggi l'uscita di un suo libro: si tratta di una dimostrazione di un singolo teorema relativo alla classificazione dei gruppi semplici finiti, al quale ha lavorato per 25 anni. Nel frattempo, racconta l'autore, tre generazioni di studenti di dottorato, molti dei quali sono diventati in seguito colleghi, hanno contribuito al lavoro. Nel frattempo si è formata la sua famiglia: anche suo figlio quest'anno compie 25 anni.
È difficile anche trovare fondi di ricerca per progetti di così ampio respiro, pochi enti di ricerca finanziano progetti così lunghi. In effetti il nostro autore è stato finanziato dalla London Mathematical Society, che fornisce fondi alle persone, e non ai progetti.
La conclusione del suo post vale la pena di essere riportata così com'è:
I believe it is important for us in our mathematical community to remember that our work is measured not in man-months and not even in man-years (or, using management speak, CMEs, Contract Man-Year Equivalents), but in man-lives.
Qualche matematico si è anche azzardato a sollevare dubbi sulla correttezza della dimostrazione, e allora un gruppo di studiosi si è rimesso in moto per produrre un risultato più semplice e più facilmente controllabile: si parla delle dimostrazioni di seconda generazione. Ora si è giunti ad una conclusione certa: la tesi principale del teorema è corretta, i gruppi semplici finiti sono solo quelli e proprio quelli.
Nell'elenco si trovano chicche come il baby monster e il monster (ci sarebbe anche il Tits group, ma qua non ci sono giochi di parole: Tits è semplicemente il cognome del matematico che l'ha studiato).
Bene, un matematico ha annunciato oggi l'uscita di un suo libro: si tratta di una dimostrazione di un singolo teorema relativo alla classificazione dei gruppi semplici finiti, al quale ha lavorato per 25 anni. Nel frattempo, racconta l'autore, tre generazioni di studenti di dottorato, molti dei quali sono diventati in seguito colleghi, hanno contribuito al lavoro. Nel frattempo si è formata la sua famiglia: anche suo figlio quest'anno compie 25 anni.
È difficile anche trovare fondi di ricerca per progetti di così ampio respiro, pochi enti di ricerca finanziano progetti così lunghi. In effetti il nostro autore è stato finanziato dalla London Mathematical Society, che fornisce fondi alle persone, e non ai progetti.
La conclusione del suo post vale la pena di essere riportata così com'è:
I believe it is important for us in our mathematical community to remember that our work is measured not in man-months and not even in man-years (or, using management speak, CMEs, Contract Man-Year Equivalents), but in man-lives.
sabato 9 agosto 2008
martedì 5 agosto 2008
Rapporto peso-potenza
La potenza esercitata da un muscolo dipende dalla sua sezione: un quadricipite di raggio venti centimetri è più forte di uno che ha un diametro di soli dieci centimetri.
Il peso invece dipende dal volume (a parità di pianeta sul quale si misura il peso, naturalmente).
Ora, se noi prendiamo un adulto che, rispetto a un bambino, è in scala 2:1, osserviamo che il suo peso sarà 8 volte quellodella piccola peste del caro frugoletto, mentre la potenza dei suoi muscoli sarà soltanto 4 volte maggiore.
Il risultato di questa disquisizione è il seguente: mentre l'adulto ansimerà nel percorrere una salita, il bambino gli correrà davanti, tornerà indietro, ripercorrerà la salita un'altra volta e, in pratica, farà il doppio del percorso dell'adulto. Una volta arrivato a casa, l'adulto si stenderà sul letto sperando che venga presto la notte, mentre il bambino uscirà di nuovo di casa per andare un po' a correre.
(Anche se il calendario di riferimento non lo segnala, oggi su molte cime montuose si festeggia la Madonna della neve, e io sono salito sulla montagna più alta, e più brutta, dell'appennino tosco-emiliano)
Il peso invece dipende dal volume (a parità di pianeta sul quale si misura il peso, naturalmente).
Ora, se noi prendiamo un adulto che, rispetto a un bambino, è in scala 2:1, osserviamo che il suo peso sarà 8 volte quello
Il risultato di questa disquisizione è il seguente: mentre l'adulto ansimerà nel percorrere una salita, il bambino gli correrà davanti, tornerà indietro, ripercorrerà la salita un'altra volta e, in pratica, farà il doppio del percorso dell'adulto. Una volta arrivato a casa, l'adulto si stenderà sul letto sperando che venga presto la notte, mentre il bambino uscirà di nuovo di casa per andare un po' a correre.
(Anche se il calendario di riferimento non lo segnala, oggi su molte cime montuose si festeggia la Madonna della neve, e io sono salito sulla montagna più alta, e più brutta, dell'appennino tosco-emiliano)
lunedì 4 agosto 2008
giovedì 31 luglio 2008
Vienna giorno 10 - The sport where you are the search engine
Si torna a casa.
Ma che fa il saggio campeggiatore, dopo aver smontato la tenda e utilizzato i migliori algoritmi greedy per impacchettare tutto nel bagagliaio, sapendo di avere davanti a sé almeno sette ore di viaggio, senza contare le soste e gli imprevisti?
No, non si sbriga a partire, ma attraversa tutta Vienna per andare a cercare una geocache.
I bimbi vanno matti per questo nuovo tipo di caccia al tesoro, e io, beh, diciamo che non sono contrario al loro entusiasmo...
Avevamo con noi una medaglietta, in termini più rigorosi un geocoin. Si tratta di un oggetto rintracciabile sul sito del geocaching, un oggetto che ha lo scopo di viaggiare da un nascondiglio all'altro. L'avevamo trovato in Italia, in una precedente spedizione, e avevamo letto che il suo scopo era tornare in Danimarca. Quindi dovevamo rimanere qualche ora in più, per cercargli una nuova casa.
Non è stato facile: la cache che avevamo scelto si trova nel Donau Park, e nei pressi della grande croce d'acciaio installata nel 1985 in occasione della visita di Giovanni Paolo II alla città. Ora la croce è recintata, e tutt'intorno si è sviluppata una vegetazione simile a quella della foresta vergine.
Quando arriviamo sotto alla croce, vediamo delle persone all'interno del recinto. Muovendoci disinvolti le aggiriamo, cercando un punto per entrare. Troviamo un modo di passare all'interno di un boschetto, dove il recinto termina perché chi lo ha messo non pensava che qualcuno si potesse addentrare tanto nella vegetazione.
Ci facciamo strada verso la croce, e arriviamo al basamento di cemento, alto circa un metro e mezzo, forse un po' di più. Mio figlio grande si arrampica, si mette ad esplorare la base della croce e trova la scatoletta.
Ma da lassù vede anche che c'è una persona che si sta avvicinando. Dico a tutti di fare silenzio, lo faccio scendere, sono già lì che penso al fatto che dovrò contattare l'ambasciata italiana, chiedere asilo, telefonare agli avvocati, chiamare casa dicendo che sono in carcere, quando arriva una ragazza con un gps al collo che ci saluta.
Anche lei stava cercando la stessa geocache, solo che non riusciva ad arrampicarsi sulla croce. Quando ci ha visti (ma non ci stavamo muovendo in modo disinvolto?) è tornata lì sperando che qualcuno di più agile di lei trovasse la scatoletta.
Le abbiamo lasciato il nostro geocoin (che ora è arrivato vicino ad Amburgo) e finalmente siamo partiti per tornare a casa.
Riassunto breve di tutte le puntate: Vienna non è un gran che.
Tutte le foto sono qui.
Ma che fa il saggio campeggiatore, dopo aver smontato la tenda e utilizzato i migliori algoritmi greedy per impacchettare tutto nel bagagliaio, sapendo di avere davanti a sé almeno sette ore di viaggio, senza contare le soste e gli imprevisti?
No, non si sbriga a partire, ma attraversa tutta Vienna per andare a cercare una geocache.
I bimbi vanno matti per questo nuovo tipo di caccia al tesoro, e io, beh, diciamo che non sono contrario al loro entusiasmo...
Avevamo con noi una medaglietta, in termini più rigorosi un geocoin. Si tratta di un oggetto rintracciabile sul sito del geocaching, un oggetto che ha lo scopo di viaggiare da un nascondiglio all'altro. L'avevamo trovato in Italia, in una precedente spedizione, e avevamo letto che il suo scopo era tornare in Danimarca. Quindi dovevamo rimanere qualche ora in più, per cercargli una nuova casa.
Non è stato facile: la cache che avevamo scelto si trova nel Donau Park, e nei pressi della grande croce d'acciaio installata nel 1985 in occasione della visita di Giovanni Paolo II alla città. Ora la croce è recintata, e tutt'intorno si è sviluppata una vegetazione simile a quella della foresta vergine.
Quando arriviamo sotto alla croce, vediamo delle persone all'interno del recinto. Muovendoci disinvolti le aggiriamo, cercando un punto per entrare. Troviamo un modo di passare all'interno di un boschetto, dove il recinto termina perché chi lo ha messo non pensava che qualcuno si potesse addentrare tanto nella vegetazione.
Ci facciamo strada verso la croce, e arriviamo al basamento di cemento, alto circa un metro e mezzo, forse un po' di più. Mio figlio grande si arrampica, si mette ad esplorare la base della croce e trova la scatoletta.
Ma da lassù vede anche che c'è una persona che si sta avvicinando. Dico a tutti di fare silenzio, lo faccio scendere, sono già lì che penso al fatto che dovrò contattare l'ambasciata italiana, chiedere asilo, telefonare agli avvocati, chiamare casa dicendo che sono in carcere, quando arriva una ragazza con un gps al collo che ci saluta.
Anche lei stava cercando la stessa geocache, solo che non riusciva ad arrampicarsi sulla croce. Quando ci ha visti (ma non ci stavamo muovendo in modo disinvolto?) è tornata lì sperando che qualcuno di più agile di lei trovasse la scatoletta.
Le abbiamo lasciato il nostro geocoin (che ora è arrivato vicino ad Amburgo) e finalmente siamo partiti per tornare a casa.
Riassunto breve di tutte le puntate: Vienna non è un gran che.
Tutte le foto sono qui.
Razionalismo scientifico
Non puoi pensare di montare uno stendibiancheria se non hai una completa fiducia nei teoremi della teoria dei nodi.
Vienna giorno 9 - Senti come viene giù
Piove come non era mai piovuto nei giorni scorsi: ci chiudiamo dentro al Leopoldmuseum, la più grande collezione universale di opere di Schiele (ma non c'è solo Schiele, naturalmente).
Dopo aver benedetto quell'aria calda delle stazioni più profonde della metropolitana ce ne torniamo in tenda, accompagnati da un costante sciaf-sciaf prodotto dai nostri piedi.
mercoledì 30 luglio 2008
Pulaster!
Ricordati che usare il trapano nella stanza che hai imbiancato poche ore prima è Male. Pistola!
Vienna giorno 8 - Sempre più in alto
“Non dovevamo andare a casa?”.
“No, dobbiamo ancora vedere il museo della tecnica”.
“Non è che voi potete andarci mentre io vado a vedere quel museo che...”.
“No, mamma!”.
Il Technisches Museum di Vienna non è niente di speciale: se avete visto il Deutsches Museum di Monaco (di Baviera), avete già visto tutto. Se non l'avete visto, andateci.
Divertente fare rotolare la pallina nel modello dell'attrazione gravitazionale, comunque:
E, caso unico in tutta Vienna, il ristorante del museo non ha prezzi proibitivi.
Nel pomeriggio visita alla Karlskirche: gli affreschi sulla cupola sono stati da poco restaurati e all'interno della chiesa hanno lasciato le impalcature. Un ascensore trasporta i visitatori a una piattaforma (non proprio stabilissima, i tubi d'acciaio sono un po' flessibili) che arriva a livello della base della cupola, poi si prosegue a piedi lungo una scalinata che sale fino ad entrare nella lanterna: bellissimo. Non ci sono molte occasioni di vedere da vicino gli affreschi di una cupola, e quel sottile terrore che ti accompagna durante la traballante salita ti fa pensare a quando, lì, c'era il pittore che lavorava a testa in su...
Infine, passaggio per la stazione Jugendstil della metropolitana di Karlsplatz. Notare il colore del cielo nella foto, di lì a poco pioggia torrenziale:
Nota di colore: i controllori della metropolitana sono spettacolari. Salgono due personaggi un po' trasandati, pantaloni e giubbotto di jeans, barba di qualche giorno. Attendono che le porte si chiudano e che la metro parta, poi si slacciano il giubbotto e, mostrando il cartellino d'identificazione, dicono: “Buonasera, signori. Stiamo controllando i biglietti, potete mostrarceli?”.
Sul nostro vagone ne hanno beccata una senza, l'hanno fatta scendere e multata.
“Allora domani si parte, mamma?”.
“Beh, no, c'è ancora il Leopoldmuseum da vedere. Siamo rimasti oggi, rimaniamo anche domani”.
“No, dobbiamo ancora vedere il museo della tecnica”.
“Non è che voi potete andarci mentre io vado a vedere quel museo che...”.
“No, mamma!”.
Il Technisches Museum di Vienna non è niente di speciale: se avete visto il Deutsches Museum di Monaco (di Baviera), avete già visto tutto. Se non l'avete visto, andateci.
Divertente fare rotolare la pallina nel modello dell'attrazione gravitazionale, comunque:
E, caso unico in tutta Vienna, il ristorante del museo non ha prezzi proibitivi.
Nel pomeriggio visita alla Karlskirche: gli affreschi sulla cupola sono stati da poco restaurati e all'interno della chiesa hanno lasciato le impalcature. Un ascensore trasporta i visitatori a una piattaforma (non proprio stabilissima, i tubi d'acciaio sono un po' flessibili) che arriva a livello della base della cupola, poi si prosegue a piedi lungo una scalinata che sale fino ad entrare nella lanterna: bellissimo. Non ci sono molte occasioni di vedere da vicino gli affreschi di una cupola, e quel sottile terrore che ti accompagna durante la traballante salita ti fa pensare a quando, lì, c'era il pittore che lavorava a testa in su...
Infine, passaggio per la stazione Jugendstil della metropolitana di Karlsplatz. Notare il colore del cielo nella foto, di lì a poco pioggia torrenziale:
Nota di colore: i controllori della metropolitana sono spettacolari. Salgono due personaggi un po' trasandati, pantaloni e giubbotto di jeans, barba di qualche giorno. Attendono che le porte si chiudano e che la metro parta, poi si slacciano il giubbotto e, mostrando il cartellino d'identificazione, dicono: “Buonasera, signori. Stiamo controllando i biglietti, potete mostrarceli?”.
Sul nostro vagone ne hanno beccata una senza, l'hanno fatta scendere e multata.
“Allora domani si parte, mamma?”.
“Beh, no, c'è ancora il Leopoldmuseum da vedere. Siamo rimasti oggi, rimaniamo anche domani”.
martedì 29 luglio 2008
Vienna giorno 7 - Giochi matematici
Schönbrunn è grande. Ed è una discreta macchina per turisti. Ci sono varie tariffe d'ingresso, a seconda di quello che si vuole vedere; noi avevamo deciso per la più bassa, ma il biglietto famiglia tutto compreso costava meno di cinque biglietti singoli a tariffa minima, e allora ci siamo adeguati e siamo rimasti tutto il giorno. Nel tutto compreso c'è di tutto, anche la scuola di strudel con assaggio, per dire.
Oltre alla visita del palazzo, il nostro biglietto ci ha permesso di entrare in un parco giochi, contenente due labirinti di siepi (Irrgarten). Nel cercare la via d'uscita ci si poteva anche imbattere in un labirinto matematico:
Non si vede tanto bene, quindi riporto lo schema qua sotto:
Erano proposti due quesiti. Il primo: partendo dal +1 al centro della riga in basso, ci si può muovere a destra, a sinistra, in alto o in basso di tante caselle quanto è il numero indicato nella casella su cui ci si trova (non tenete conto dei segni). Si può arrivare alla casella centrale? Per esempio: dal +1 iniziale si può andare al -2 che si trova alla sua sinistra, e da lì al -2 che si trova a due spazi di distanza verso l'alto. Io aggiungo un'altra domanda: è possibile raggiungere lo zero centrale partendo da qualunque casella?
Il secondo quesito invece chiedeva questo: utilizzando le stesse regole di prima, accumulate i valori che man mano incontrate (e quindi tenete conto del segno: se partite da +1 e andate a sinistra a -2 il totale che avete accumulato finora è -1); riuscite ad arrivare a zero? A dir la verità non ho capito bene se bisogna arrivare a zero sia accumulando che terminando sulla casella centrale, oppure se basta solo accumulare fino ad ottenere zero (in questo secondo caso è facile, il primo invece non ho provato a risolverlo).
Se volete provare anche voi...
Nota di colore: quelli che noi chiamiamo würstel qua si chiamano Frankfurter (ci sono anche altri tipi di würstel, compresi quelli ripieni di formaggio che sono stati molto graditi dal resto della famiglia — il mio salutismo mi ha impedito di avvicinarli), mentre in tutto il resto del mondo parlante la lingua tedesca si chiamano Wiener.
Oltre alla visita del palazzo, il nostro biglietto ci ha permesso di entrare in un parco giochi, contenente due labirinti di siepi (Irrgarten). Nel cercare la via d'uscita ci si poteva anche imbattere in un labirinto matematico:
Non si vede tanto bene, quindi riporto lo schema qua sotto:
+2 -2 +4 -1 +3
-3 +3 -1 +3 -2
+1 -2 0 -2 +3
-3 +2 -3 +2 -4
+4 -2 +1 -3 +2
Erano proposti due quesiti. Il primo: partendo dal +1 al centro della riga in basso, ci si può muovere a destra, a sinistra, in alto o in basso di tante caselle quanto è il numero indicato nella casella su cui ci si trova (non tenete conto dei segni). Si può arrivare alla casella centrale? Per esempio: dal +1 iniziale si può andare al -2 che si trova alla sua sinistra, e da lì al -2 che si trova a due spazi di distanza verso l'alto. Io aggiungo un'altra domanda: è possibile raggiungere lo zero centrale partendo da qualunque casella?
Il secondo quesito invece chiedeva questo: utilizzando le stesse regole di prima, accumulate i valori che man mano incontrate (e quindi tenete conto del segno: se partite da +1 e andate a sinistra a -2 il totale che avete accumulato finora è -1); riuscite ad arrivare a zero? A dir la verità non ho capito bene se bisogna arrivare a zero sia accumulando che terminando sulla casella centrale, oppure se basta solo accumulare fino ad ottenere zero (in questo secondo caso è facile, il primo invece non ho provato a risolverlo).
Se volete provare anche voi...
Nota di colore: quelli che noi chiamiamo würstel qua si chiamano Frankfurter (ci sono anche altri tipi di würstel, compresi quelli ripieni di formaggio che sono stati molto graditi dal resto della famiglia — il mio salutismo mi ha impedito di avvicinarli), mentre in tutto il resto del mondo parlante la lingua tedesca si chiamano Wiener.
lunedì 28 luglio 2008
Vienna giorno 6 - Animali
In mattinata visita alla Minoritenkirche, frequentata da italiani. L'esterno è un bel gotico
mentre l'interno contiene una copia del Cenacolo di Leonardo da Vinci, commissionata da Napoleone
(non sembra, ma è un mosaico composto da tessere minuscole e lucide).
Il pomeriggio è trascorso tutto all'interno del Naturhistorischesmuseum, museo di storia naturale che contiene un'infinità di animali impagliati. Un po' triste, ma per fortuna c'era qualche sezione aurea a rallegrare l'ambiente:
Il pezzo più importante, la Venere di Willendorf, non era visibile perché la sala che lo contiene era in allestimento, peccato.
Nota di colore: la stazione della metropolitana sotto a Karlsplatz contiene uno strano allestimento. Una serie di pannelli a led mostra un insieme di dati del tutto eterogenei, e continuamente aggiornati: in uno si può leggere il numero di anni che devono trascorrere prima che del disastro di Chernobyl non rimanga alcuna traccia (questo pannello era, in effetti, statico, e le cifre indicavano decine o forse centinaia di migliaia di anni, non ricordo bene), in un altro la popolazione mondiale, e poi il numero di bambini nati a Vienna nell'anno corrente, i morti provocati dalle mine antiuomo, e così via. In ultimo c'era pi greco...
Le cifre proseguono verso destra per una decina di pannelli come questo, e alla fine si trova un display che ne calcola in continuazione.
mentre l'interno contiene una copia del Cenacolo di Leonardo da Vinci, commissionata da Napoleone
(non sembra, ma è un mosaico composto da tessere minuscole e lucide).
Il pomeriggio è trascorso tutto all'interno del Naturhistorischesmuseum, museo di storia naturale che contiene un'infinità di animali impagliati. Un po' triste, ma per fortuna c'era qualche sezione aurea a rallegrare l'ambiente:
Il pezzo più importante, la Venere di Willendorf, non era visibile perché la sala che lo contiene era in allestimento, peccato.
Nota di colore: la stazione della metropolitana sotto a Karlsplatz contiene uno strano allestimento. Una serie di pannelli a led mostra un insieme di dati del tutto eterogenei, e continuamente aggiornati: in uno si può leggere il numero di anni che devono trascorrere prima che del disastro di Chernobyl non rimanga alcuna traccia (questo pannello era, in effetti, statico, e le cifre indicavano decine o forse centinaia di migliaia di anni, non ricordo bene), in un altro la popolazione mondiale, e poi il numero di bambini nati a Vienna nell'anno corrente, i morti provocati dalle mine antiuomo, e così via. In ultimo c'era pi greco...
Le cifre proseguono verso destra per una decina di pannelli come questo, e alla fine si trova un display che ne calcola in continuazione.
Vienna giorno 5 - Schiele
Egon Schiele è stato uno dei più famosi pittori austriaci del ventesimo secolo. Espressionista, secessionista, tormentato, pessimista. Trova un po' di pace nel 1914, quando sposa Edith Harms. Nell'ottobre del 1918 lei è incinta di sei mesi, e lui dipinge un quadro in cui raffigura la futura famiglia:
Il 28 ottobre Edith muore di influenza spagnola. Tre giorni dopo muore anche lui. Durante quei tre giorni Schiele disegna qualche ritratto di sua moglie — non ho capito bene se anche questo quadro è stato fatto in quel breve periodo, wikipedia non lo dice. Comunque sia, dopo aver ascoltato mia moglie raccontare questa storia mi si è annodato lo stomaco. E mia moglie ha cominciato a sgridarmi perché tiravo su col naso.
L'opera si trova all'Oberes Belvedere:
e da lì siamo poi andati alla Secessione, questa volta in tempo per poter entrare e vedere gli affreschi di Klimt.
Infine, approfittando di un pochino di sole, siamo stati a passeggiare (o a correre, a seconda dell'età) nei dintorni della Rathaus,
fino alla Votivkirche:
E quindi uscimmo a riveder le stelle.
Il 28 ottobre Edith muore di influenza spagnola. Tre giorni dopo muore anche lui. Durante quei tre giorni Schiele disegna qualche ritratto di sua moglie — non ho capito bene se anche questo quadro è stato fatto in quel breve periodo, wikipedia non lo dice. Comunque sia, dopo aver ascoltato mia moglie raccontare questa storia mi si è annodato lo stomaco. E mia moglie ha cominciato a sgridarmi perché tiravo su col naso.
L'opera si trova all'Oberes Belvedere:
e da lì siamo poi andati alla Secessione, questa volta in tempo per poter entrare e vedere gli affreschi di Klimt.
Infine, approfittando di un pochino di sole, siamo stati a passeggiare (o a correre, a seconda dell'età) nei dintorni della Rathaus,
fino alla Votivkirche:
E quindi uscimmo a riveder le stelle.
domenica 27 luglio 2008
Vienna giorno 4 - Stili
Visita al Kunsthistorischesmuseum: arte in abbondanza. Poi entrata veloce nella Augustinerkirche, ad ammirare Canova. Eccolo qua:
Infine giro senza meta in tram, per stare seduti e vedere un po' di mondo, con puntata finale alla Secessione — ma solo da fuori, perché la Secessione va presa a piccole dosi (e anche perché sta chiudendo).
Nota di colore: “Mamma, ma che cos'è il corococò?”.
Infine giro senza meta in tram, per stare seduti e vedere un po' di mondo, con puntata finale alla Secessione — ma solo da fuori, perché la Secessione va presa a piccole dosi (e anche perché sta chiudendo).
Nota di colore: “Mamma, ma che cos'è il corococò?”.
sabato 26 luglio 2008
Grande Concorso Senza Premi - 2
Ecco un testo leggermente più difficile, anche se gli spazi bianchi aiutano molto (prossimamente spariranno...).
UOPO FWJYNSE KGOIHN HOIHN OIH GP MNLXWPN MWG RWZZWLWSO
ROS MJOLOROPHO FWJYNSE MOJLXO PNP XE IOYPW RW
WPHOJMGPAWNPO O EPLXO MOJLXO SE INIHWHGAWNPO ROSSO
SOHHOJO PNP IOYGO MWG GPE JOYNSE MGPHN IWEQN E GP
SWFOSSN SOYYOJQOPHO MWG LNQMSWLEHN JWIMOHHN ESS
EPORRNHN LWZJEHN ROSSE IOHHWQEPE OPWYQWIHWLE MGPHN
GPE IOQMSWLO EPESWIW ROSSO ZJOKGOPAO JNQMO KGOIHN HWMN
RW LNRWLO MGPHN REW GPE NLLXWEHE ESSE FNLO RW
DWTWMORWE OHENWP IXJRSG FWJYNSE MOJ OIOQMWN MGPHN MOJ
RWQNIHJEJO RW EFOJ JWINSHN KGOIHN LJWHHNYJEQQE
NJRWPE SO SOHHOJO ROS PNQO LNP LGW HW ZWJQW IOLNPRN
SN NJRWPO REHN RE OHENWPIXJRSG MEJOPHOIW EMOJHE SO
SOHHOJO PNP LNQMJOIO WP KGOIHE IHJWPYE SEILWESO MOJ
GSHWQO IOLNPRN WS SNJN NJRWPO PEHGJESO MEJOPHOIW LXWGIE
MGPHN IO PNP XEW LEMWHN FWJYNSE SE MEJNSE MJNZOIINJO
RWFOPHE OONNIIJJZM MGPHN
Vienna giorno 3 - Igiene pubblica
Visite a luoghi classici di Vienna: il duomo (che si chiama Stephansdom), Hofburg (nel quale si viene a sapere che la principessa Sissi veniva chiamata Sisi ed era una fanatica della linea, nonché un soggetto piuttosto antipatico), la Peterskirche (all'interno della quale ho sperimentato la fotografia con la tecnica high dynamic range, che potete vedere qua sopra), la Kapuzinerchirche e la fontana della provvidenza (detta Donnerbrunner, la cui acqua mostra delle perfette traiettorie a parabola).
Seconda nota di colore: intorno a Hofburg girano un sacco di calesse; il figlio piccolo osserva che tutti i cavalli sono dotati di comodi raccoglicacca posteriori, per non imbrattare le strade.
Vienna giorno 2 - Casa
“Uh, che caldo, troviamo un posto all'ombra”.
“Mh, troppo all'ombra non va bene, in questi posti c'è freddo”.
“Ma no, ma no, siamo in estate. L'ombra è necessaria, altrimenti di giorno non si resiste”.
“Ma se di giorno saremo in giro! Un po' di caldo farà bene, asciuga dall'umidità”.
“Ma troppo caldo no, poi si muore. Andiamo qua, sotto questo bell'albero”.
“Vabbè”.
Tre giorni dopo questo dialogo sono uscito dalla tenda con maglietta, pile, tuta, giacca impermeabile.
“Mh, troppo all'ombra non va bene, in questi posti c'è freddo”.
“Ma no, ma no, siamo in estate. L'ombra è necessaria, altrimenti di giorno non si resiste”.
“Ma se di giorno saremo in giro! Un po' di caldo farà bene, asciuga dall'umidità”.
“Ma troppo caldo no, poi si muore. Andiamo qua, sotto questo bell'albero”.
“Vabbè”.
Tre giorni dopo questo dialogo sono uscito dalla tenda con maglietta, pile, tuta, giacca impermeabile.
venerdì 25 luglio 2008
Vienna giorno 1 - Si comincia
Pensare di montare una tenda dopo otto ore di viaggio in macchina è folle, per questo il primo giorno di vacanza a Vienna non è stato trascorso a Vienna...
Ci siamo fermati a dare un'occhiata a Villa Manin, a Codroipo.
Poco più di un mese fa, di fronte a un pubblico seduto su questo prato, Mark Knopfler ha tenuto un concerto al quale mi sarebbe piaciuto partecipare.
Ripartiti, ci siamo fermati al Bed & Breakfast Ai tre confini, vicino a Tarvisio.
Prima nota di colore: i proprietari ci hanno consigliato di provare una specialità locale, polenta e frico. Ottima, ma non mangiatela prima di fare esami del sangue...
(Le foto pian piano rimpingueranno questo album, che ha anche il feed rss)
Ci siamo fermati a dare un'occhiata a Villa Manin, a Codroipo.
Poco più di un mese fa, di fronte a un pubblico seduto su questo prato, Mark Knopfler ha tenuto un concerto al quale mi sarebbe piaciuto partecipare.
Ripartiti, ci siamo fermati al Bed & Breakfast Ai tre confini, vicino a Tarvisio.
Prima nota di colore: i proprietari ci hanno consigliato di provare una specialità locale, polenta e frico. Ottima, ma non mangiatela prima di fare esami del sangue...
(Le foto pian piano rimpingueranno questo album, che ha anche il feed rss)
giovedì 24 luglio 2008
Austriaci
È bello sapere che nel mondo esistono persone che utilizzano la corsia di sorpasso per sorpassare.
lunedì 14 luglio 2008
domenica 13 luglio 2008
Grande Concorso Senza Premi - 1
Tra un paio di giorni qua si parte per Vienna. Ma, per non lasciarvi soli in spiaggia coi soliti sudoku, ecco qualcosa di più divertente (mah) da risolvere:
(Magari quando torno ne posto uno un pochino più difficile, via.)
GSQTPMQIRXM, LEM VMWSPXS UYIPPS GLI ZMIRI GLMEQEXS
(WXERHS E UYERXS HMGI WZIXSRMS) GMJVEVMS HM GIWEVI:
MR IWWS SKRM PIXXIVE HIP XIWXS MR GLMEVS ZMIRI
WSWXMXYMXE HE UYIPPE GLI, RIPP'EPJEFIXS, PE WIKYI
HM UYEXXVS TSWMDMSRM. TIV HMQSWXVEVI MP JEXXS
GLI XY WIM VMYWGMXS E HIGVMXXEVI UYIWXS XIWXS,
WIRDE VSZMREVI MP HMZIVXMQIRXS EKPM EPXVM, TYSM
HMGLMEVEVI MR YR GSQQIRXS GLI PE VMWTSWXE I' PE
MRMDMEPI HIP RSQI GSR GYM XM JMVQM, GSHMJMGEXE
WIGSRHS UYIWXS GSHMGI. RSR XIQIVI, MR JYXYVS GM
WEVERRS GSHMGM TMY' GSQTPMGEXM.
(Magari quando torno ne posto uno un pochino più difficile, via.)
lunedì 7 luglio 2008
Geocaching
Portare i bimbi in giro per i boschi per concludere una moderna caccia al tesoro fa tornare bambini (non che io abbia bisogno di trovare occasioni di tornare bambino, eh).
venerdì 4 luglio 2008
L'arte del Commissario -esterno-
L'essere uscita indenne dall'ennesimo esame di stato mi ha reso degna di un premio: l'invito a partecipare a questo spazio, regno incontrastato del proooof (naturalmente è stata una sua idea, tutta, tutta sua, io non ci pensavo nemmeno ;--).
Non mi dilungherò a spiegare l'esperienza perché, nonostante abbia già partecipato a molti esami, continuo a stupirmi sempre di quanto "locale" — direi professorale — sia la scuola statale, regno assoluto dell'ignoranza della legge e delle norme vigenti nonché paradiso del "personalissimo e mutevole-a-piacimento-buonsenso".
Sicuramente è colpa mia.
Del resto se qualcuno mi nomina commissario è chiaro che mi monto la testa!
Però non mi sento bene nell'uniforme del commissario: prima di tutto perché è un nome maschile, e già mi indispettisco, poi l'uniforme mi uniforma e fa a pugni con la disciplina delle arti visive che immeritatamente, ma orgogliosamente, rappresento.
Mi sto perdendo... ma il mio invito era finalizzato a regalarvi le più prelibate porzioni sull'abbondante e gustosa produzione dei candidati, che sono candidi, poverini, per definizione!
Dal tema su Montale:
"...Montale scriveva del male di vivere e della verità perduta.
Un esempio lampante lo troviamo nel titolo di una sua raccolta : OSSI DI SEPPIA.
La seppia è un pesce e come tale è formato da cartilagine, non da osso, ma tutti lo chiamano osso senza porsi il problema.
La verità assoluta le conseguenze e i dubbi vengono così sgretolati dall'autore..."
La parte di colloquio d'esame Storia dell'arte (ci tengo a precisare: altro candidato)
Prof.: Riconosci quel quadro (Les demoiselles d'Avignon)?
Candidata: ... no
Prof.: Sai cos'è il cubismo?
Candidata: L'ho sentito...
Prof.: Hai mai visto questo foglio (appunti del loro prof di storia dell'arte sul cubismo)?
Candidata: Sì, ma non l'ho letto!
Prof.: Se ti dico Picasso... (ammiccante)?
Candidata: L'ho sentito!
Prof.: Cambiamo argomento. Di chi è questo quadro?
Candidata: ... è impressionista... è di M...
Prof. (sudata): attenta bene.
Candidata:- ... Monet, no... Manet ... Monet ... non lo so ... comunque è "la colazione sull'erba"!
Prof: Bravissima! Ma, senti, questo dipinto è più conosciuto col nome in francese, visto che lo sai così bene (ha appena parlato per 10 minuti con la prof di francese, il mio sospetto è che abbia imparato tutto a memoria...) dillo in francese.
Candidata: Ok. La colazion sur l'herbe.
La commissione si guarda sconvolta.
Chiedo di cosa vuole parlare e lei indica un quadro di Turner.
Prof. (con un sorriso un po' forzato): Bene. Parlami di questo dipinto: come si chiama?
Candidata: ... (pensa) forse... l'incendio al parlamento, no, no è la camera dei lord?
Prof.: Vai avanti, non fermiamoci su questi dettagli (la candidata non coglie l'ironia). Chi l'ha dipinto?
Candidata: ... però ci sono colori accesi (NDC: in effetti!!) e colori scuri, c'è lo sfumato.
Prof. (ormai ad un passo dall'incazzatura): Bene! ora che abbiamo definito che Turner non faceva il fornaio ma il pittore cos'altro possiamo dire?
Candidata: ... Muta
Altro colloquio.
La prima parte, su un argomento scelto dalla candidata, è stata disastrosa, allora scelgo una domanda facilissima.
Prof (mostra un quadro cubista con tanto di collages): riconosci questa opera?
candidata: ...
prof: Ma dai, è facile! Questo è il tuo album di immagini, vedi? Dimmi a quale movimento appartiene?
candidata: ...
prof.: Guarda bene è tra i primi movimenti del Novecento, dai.. e del Cu... Cu... Cu... (ciao Dignità, ci vediamo fuori da scuola)
candidata: ... Colbert?... era un pittore vero?
Prof. (allibita, si rende conto che avrebbe preferito che la candidata avesse dato una dimostrazione d'irriverenza futurista e avesse detto CULO!) No, è un importante uomo di governo del Re Sole. Siamo nel '600, fa parte del programma di storia dello scorso anno e non avrei potuto chiedertelo per diverse ragioni... poi mi balena un dubbio angosciante e, presa dal vortice dell'emozione, forse ingannata dal surreale che si faceva largo sulla ragione, oso insinuare: ma volevi forse dire Courbet?
candidata
: Sì Courbet! È di Courbet!
Prof. (stremata): no, non è un dipinto realista.
Altri colloqui sono stati meno originali e più conformi allo svolgimento del programma, più scolastici insomma!
Adesso, dopo aver smesso i panni di commissario esterno, lascio anche quelli di blogger al legittimo creatore di questo luogo numerico. Felice di averlo un po' imbrattato.
Non mi dilungherò a spiegare l'esperienza perché, nonostante abbia già partecipato a molti esami, continuo a stupirmi sempre di quanto "locale" — direi professorale — sia la scuola statale, regno assoluto dell'ignoranza della legge e delle norme vigenti nonché paradiso del "personalissimo e mutevole-a-piacimento-buonsenso".
Sicuramente è colpa mia.
Del resto se qualcuno mi nomina commissario è chiaro che mi monto la testa!
Però non mi sento bene nell'uniforme del commissario: prima di tutto perché è un nome maschile, e già mi indispettisco, poi l'uniforme mi uniforma e fa a pugni con la disciplina delle arti visive che immeritatamente, ma orgogliosamente, rappresento.
Mi sto perdendo... ma il mio invito era finalizzato a regalarvi le più prelibate porzioni sull'abbondante e gustosa produzione dei candidati, che sono candidi, poverini, per definizione!
Dal tema su Montale:
"...Montale scriveva del male di vivere e della verità perduta.
Un esempio lampante lo troviamo nel titolo di una sua raccolta : OSSI DI SEPPIA.
La seppia è un pesce e come tale è formato da cartilagine, non da osso, ma tutti lo chiamano osso senza porsi il problema.
La verità assoluta le conseguenze e i dubbi vengono così sgretolati dall'autore..."
La parte di colloquio d'esame Storia dell'arte (ci tengo a precisare: altro candidato)
Prof.: Riconosci quel quadro (Les demoiselles d'Avignon)?
Candidata: ... no
Prof.: Sai cos'è il cubismo?
Candidata: L'ho sentito...
Prof.: Hai mai visto questo foglio (appunti del loro prof di storia dell'arte sul cubismo)?
Candidata: Sì, ma non l'ho letto!
Prof.: Se ti dico Picasso... (ammiccante)?
Candidata: L'ho sentito!
Prof.: Cambiamo argomento. Di chi è questo quadro?
Candidata: ... è impressionista... è di M...
Prof. (sudata): attenta bene.
Candidata:- ... Monet, no... Manet ... Monet ... non lo so ... comunque è "la colazione sull'erba"!
Prof: Bravissima! Ma, senti, questo dipinto è più conosciuto col nome in francese, visto che lo sai così bene (ha appena parlato per 10 minuti con la prof di francese, il mio sospetto è che abbia imparato tutto a memoria...) dillo in francese.
Candidata: Ok. La colazion sur l'herbe.
La commissione si guarda sconvolta.
Chiedo di cosa vuole parlare e lei indica un quadro di Turner.
Prof. (con un sorriso un po' forzato): Bene. Parlami di questo dipinto: come si chiama?
Candidata: ... (pensa) forse... l'incendio al parlamento, no, no è la camera dei lord?
Prof.: Vai avanti, non fermiamoci su questi dettagli (la candidata non coglie l'ironia). Chi l'ha dipinto?
Candidata: ... però ci sono colori accesi (NDC: in effetti!!) e colori scuri, c'è lo sfumato.
Prof. (ormai ad un passo dall'incazzatura): Bene! ora che abbiamo definito che Turner non faceva il fornaio ma il pittore cos'altro possiamo dire?
Candidata: ... Muta
Altro colloquio.
La prima parte, su un argomento scelto dalla candidata, è stata disastrosa, allora scelgo una domanda facilissima.
Prof (mostra un quadro cubista con tanto di collages): riconosci questa opera?
candidata: ...
prof: Ma dai, è facile! Questo è il tuo album di immagini, vedi? Dimmi a quale movimento appartiene?
candidata: ...
prof.: Guarda bene è tra i primi movimenti del Novecento, dai.. e del Cu... Cu... Cu... (ciao Dignità, ci vediamo fuori da scuola)
candidata: ... Colbert?... era un pittore vero?
Prof. (allibita, si rende conto che avrebbe preferito che la candidata avesse dato una dimostrazione d'irriverenza futurista e avesse detto CULO!) No, è un importante uomo di governo del Re Sole. Siamo nel '600, fa parte del programma di storia dello scorso anno e non avrei potuto chiedertelo per diverse ragioni... poi mi balena un dubbio angosciante e, presa dal vortice dell'emozione, forse ingannata dal surreale che si faceva largo sulla ragione, oso insinuare: ma volevi forse dire Courbet?
candidata
: Sì Courbet! È di Courbet!Prof. (stremata): no, non è un dipinto realista.
Altri colloqui sono stati meno originali e più conformi allo svolgimento del programma, più scolastici insomma!
Adesso, dopo aver smesso i panni di commissario esterno, lascio anche quelli di blogger al legittimo creatore di questo luogo numerico. Felice di averlo un po' imbrattato.
Me ne pentirò
Ho appena dato a mia moglie la possibilità di inserire post qui.
Senza censura preventiva, intendo.
Senza censura preventiva, intendo.
martedì 1 luglio 2008
E con questo, la discussione è chiusa
Chi non è all'altezza della matematica non è pienamente umano. Al massimo è un tollerabile subumano che ha imparato a mettersi le scarpe, a lavarsi, e a non fare disordine in casa.Robert A. Heinlein (1907-1988), Time Enough for Love
(Trovata su Base Cinque.)
domenica 29 giugno 2008
Magnetismo sulla spiaggia
Non pensavo che nella sabbia si potesse trovare tanta limatura di ferro:
(Filmato gentilmente offerto da ricciele)
(Filmato gentilmente offerto da ricciele)
sabato 21 giugno 2008
La butto lì
Epperò, siam proprio sicuri che negare la comunione a chi ne ha più bisogno (perché in peccato mortale) sia una cosa giusta? In fondo anche Giuda ha fatto la prima comunione.
giovedì 19 giugno 2008
Il pentagono
La figura qua sopra rappresenta una circonferenza divisa (utilizzando solo riga e compasso (le costruzioni sono nascoste)) in dieci parti. Al suo interno è disegnato un pentagono regolare, all'interno del quale si trova il triangolo ABC.
Nella prova di matematica del liceo scientifico di oggi c'era un quesito che riguardava il lato del decagono regolare, sezione aurea del raggio; decagono e pentagono sono naturalmente legati tra loro, dunque cosa hanno di speciale? Cominciamo dall'inizio.
La risposta è che ciò che rende speciale il pentagono è la presenza del triangolo ABC. Vediamo che proprietà ha: l'angolo al vertice C è la metà dell'angolo al centro, e l'angolo al centro è un quinto dell'angolo giro; quindi l'angolo C è un decimo dell'angolo giro (o 36°, se vogliamo usare i gradi). Il triangolo ABC è isoscele, quindi gli angoli alla base sono congruenti e misurano entrambi un quinto di angolo giro (72°, che è il doppio di 36°, prendete nota perché tutto nasce da qui).
Ora date un'occhiata all'angolo BAD: questo insiste su uno dei lati del pentagono, come fa l'angolo C, quindi BAD ha la stessa ampiezza di C, 36°. Allora il segmento AD è bisettrice di BAC, e il triangolino BAD viene così ad essere simile al triangolo grande. Tra l'altro osserviamo che gli angoli C e CAD sono entrambi di 36°, e quindi il triangolo ADC è isoscele, e AD è congruente a CD.
Riassunto per chi si è perso: 36 e 72 sono ampiezze speciali, rendono la vita piena di triangoli isosceli e triangoli simili.
Bene, coi triangoli simili si posson fare le proporzioni. Eccone una interessante:
AC : AB = AB : BD.
Se prendiamo la lunghezza di AC pari all'unità, e quella di AD pari a x, otteniamo l'equazione
1:x=x:(1-x),
che diventa
x2+x-1=0,
equazione che, risolta, ci dà una soluzione negativa (che non ci interessa), e una positiva pari al rapporto aureo (√5-1)/2.
Ora osserviamo il triangolino verde: è simile a quello rosso (la facile dimostrazione è lasciata al lettore, sennò non finiamo più), il lato lungo è uguale al raggio della circonferenza, mentre il lato corto è uguale al lato del decagono regolare. Quindi il lato del decagono regolare è sezione aurea del raggio della circonferenza, come diceva il quesito dell'esame di stato.
Ecco perché il pentagono è speciale: perché c'è di mezzo la sezione aurea. Se noi, oltre alla diagonale che contiene AD, tracciamo anche le altre, otteniamo una figura come questa:
Le diagonali determinano un nuovo pentagono, all'interno del quale possiamo tracciare altre diagonali, e via così con un'infinità di sezioni auree.
Bello, eh?
Euclide a colori
Qua c'è un'edizione degli Elementi di Euclide in cui, al posto delle lettere che identificano le varie figure, si usano simboli colorati.
Guardate, per esempio, il teorema di Pitagora.
Seconda prova
Alle 9:18 sono arrivati qua cercando il teorema di De L'Hôpital, alle 10:03 volevano la soluzione al problema della ricerca del cilindro di volume massimo. Secondo quanto riportato nei siti specializzati (ehm) nel testo si parlerebbe di casseruole, eh.
Perché non possiamo dirci logici
Un mio amico filosofo, utilizzando gli strumenti propri della logica matematica, analizza un famoso testo giungendo a conclusioni inaspettate.
martedì 17 giugno 2008
Della corretta arte di servire il gelato
Primo, esistono due tipi di supporto per il gelato, e sono già tanti. Uno è il cono, sottile in fondo, che si allarga un po' in alto (in pratica un cono con una semisfera in cima); l'altro è la cialda, un cono circolare retto (non infinito), senza fronzoli. Le altre forme sono aberrazioni indegne di stare in una gelateria. E comunque si domanda sempre la cialda. I gelatai modenesi degni di tale nome conoscono le due tipologie, ho notato che da altre parti non è così; non so se sia un'usanza locale, se lo fosse andrebbe diffusa in tutto il mondo.
Secondo, se proprio devi fare prezzi diversi in base alla quantità di gelato che sta sullo stesso supporto, non basarti sul numero di gusti. Perché mai dove metti due gusti non ne puoi mettere anche tre, mantenendo inalterata la quantità totale di gelato? Voglio poca crema, nocciola, spagnola? Accontentami e tornerò felice.
Terzo, non usare le palline, per l'amor del cielo. Si usa la spatola, che va sciacquata tra un gusto e l'altro. Le palline le metti nelle coppette con l'ombrellino, non sopra a un cono.
Quarto, se chiedo crema e nocciola non cominciare dalla nocciola. Prima ti dico il gusto che, alla fine, si infilerà dentro al cono, perché è diverso avere il cono pieno di crema o di nocciola, poi ti dico quello che devi mettere sopra (che, poi, non va proprio sopra, meglio intorno, ma per questo leggi il quinto punto).
Quinto, lo so che quando hai la fila vuoi fare presto, e magari fai gelati per dieci ore di seguito; lo so che per fare prima e fare meno fatica tieni la temperatura del frigo un po' troppo alta, così che il gelato è più tenero e meno faticoso da maneggiare (ma è sciolto). Però se diminuisci un pochino la temperatura il gelato è più compatto, riesci a fare dei coni che sono molto artistici e che non ti colano da tutte le parti. E io torno più volentieri.
Ecco.
(Da queste parti molte gelaterie arrivano al quarto punto, una sola arriva al quinto e fa coni che sembrano rose)
Secondo, se proprio devi fare prezzi diversi in base alla quantità di gelato che sta sullo stesso supporto, non basarti sul numero di gusti. Perché mai dove metti due gusti non ne puoi mettere anche tre, mantenendo inalterata la quantità totale di gelato? Voglio poca crema, nocciola, spagnola? Accontentami e tornerò felice.
Terzo, non usare le palline, per l'amor del cielo. Si usa la spatola, che va sciacquata tra un gusto e l'altro. Le palline le metti nelle coppette con l'ombrellino, non sopra a un cono.
Quarto, se chiedo crema e nocciola non cominciare dalla nocciola. Prima ti dico il gusto che, alla fine, si infilerà dentro al cono, perché è diverso avere il cono pieno di crema o di nocciola, poi ti dico quello che devi mettere sopra (che, poi, non va proprio sopra, meglio intorno, ma per questo leggi il quinto punto).
Quinto, lo so che quando hai la fila vuoi fare presto, e magari fai gelati per dieci ore di seguito; lo so che per fare prima e fare meno fatica tieni la temperatura del frigo un po' troppo alta, così che il gelato è più tenero e meno faticoso da maneggiare (ma è sciolto). Però se diminuisci un pochino la temperatura il gelato è più compatto, riesci a fare dei coni che sono molto artistici e che non ti colano da tutte le parti. E io torno più volentieri.
Ecco.
(Da queste parti molte gelaterie arrivano al quarto punto, una sola arriva al quinto e fa coni che sembrano rose)
lunedì 16 giugno 2008
domenica 15 giugno 2008
I fisici hanno le idee chiare
Esistono quattro leggi, la terza delle quali, la Seconda Legge, fu individuata per prima. La prima, la Legge Zero, fu formulata per ultima. La Prima Legge fu la seconda, la Terza Legge potrebbe anche non essere una legge nello stesso senso delle altre.
Traduzione: non puoi vincere, non puoi nemmeno infrangere le regole, non puoi uscire dal gioco.
(Trovata su questo libro)
Traduzione: non puoi vincere, non puoi nemmeno infrangere le regole, non puoi uscire dal gioco.
(Trovata su questo libro)
Deliri di fine anno scolastico
In questi giorni si arriva qui cercando:
- ma oggi c'era l'esame di matematica?
- matematica da fare di 3a
- ingiustizia scolastica come difendersi
- ma a che servono i crediti scolastici
- come si sente uno studente bocciato?
- frecce esplosive come costruirle
sabato 14 giugno 2008
Secondo carnevale della matematica
È uscito il secondo carnevale della matematica, da .mau.. Ora servirebbe un loghino ufficiale...
giovedì 12 giugno 2008
Contagi
Da quando ho spiegato aNobii a mia moglie non ho più accesso al computer (anche perché per arrivarci dovrei scavalcare montagne di libri sparsi un po' ovunque sul pavimento).
giovedì 5 giugno 2008
How about a nice game of chess?
Attivissimo ci ricorda che il film Wargames compie, in questi giorni, 25 anni. Ricordo di essere rimasto ipnotizzato da quell'accoppiatore acustico.
Sono così tanto affezionato alle basse velocità che nessuna compagnia telefonica si azzarda a stendere uno straccio di cavo che mi consenta di provare l'ebbrezza dell'adsl.
martedì 3 giugno 2008
Doppio pendolo
Caos. In matematica questa parola ha un significato ben preciso: in termini non rigorosi un sistema dinamico si dice caotico se è imprevedibile.
In termini un po' più rigorosi (e spesso abusati) si dice che se un sistema è caotico allora presenta una sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali. E cioè: anche se si fanno variare di pochissimo le condizioni iniziali, il sistema evolverà in modi molto diversi.
Si tratta del famoso concetto dell'effetto farfalla: è difficile seguire l'evoluzione di un sistema dinamico caotico in tempi utili — in altre parole, è difficile ottenere previsioni del tempo accurate, o prevedere l'andamento della borsa, o sapere se il sistema solare è definitivamente stabile.
Già, non si sa se la terra continuerà a orbitare intorno al sole per sempre (ok, ci siamo capiti): nel 1887, per festeggiare degnamente il suo sessantesimo compleanno, il re di Svezia Oscar II mise in palio un premio destinato a chi fosse riuscito a risolvere il problema della stabilità del sistema solare.
Il premio fu vinto da Poincaré, anche se il matematico non riuscì a risolvere completamente il problema. Uno dei giudici, un tale di nome Weierstrass, riconobbe l'importanza degli studi di Poincaré a tal punto che affermò che la loro pubblicazione avrebbe inaugurato una nuova era nella storia della meccanica celeste. Questi studi diedero l'avvio allo sviluppo della teoria del caos.
Non si pensi però che i sistemi caotici debbano essere complicati, come il mercato azionario o le previsioni del tempo. Anche un sistema semplicissimo come un doppio pendolo può produrre oscillazioni imprevedibili.
Date un'occhiata a questo filmato: il pendolo è stato fabbricato da un mio studente, e lo presenterà all'esame di stato. La qualità della ripresa è bassa, le telecamere dei telefonini non sono un gran che. Ma provate a prevedere quando il pendolo farà un giro completo su sé stesso...
In termini un po' più rigorosi (e spesso abusati) si dice che se un sistema è caotico allora presenta una sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali. E cioè: anche se si fanno variare di pochissimo le condizioni iniziali, il sistema evolverà in modi molto diversi.
Si tratta del famoso concetto dell'effetto farfalla: è difficile seguire l'evoluzione di un sistema dinamico caotico in tempi utili — in altre parole, è difficile ottenere previsioni del tempo accurate, o prevedere l'andamento della borsa, o sapere se il sistema solare è definitivamente stabile.
Già, non si sa se la terra continuerà a orbitare intorno al sole per sempre (ok, ci siamo capiti): nel 1887, per festeggiare degnamente il suo sessantesimo compleanno, il re di Svezia Oscar II mise in palio un premio destinato a chi fosse riuscito a risolvere il problema della stabilità del sistema solare.
Il premio fu vinto da Poincaré, anche se il matematico non riuscì a risolvere completamente il problema. Uno dei giudici, un tale di nome Weierstrass, riconobbe l'importanza degli studi di Poincaré a tal punto che affermò che la loro pubblicazione avrebbe inaugurato una nuova era nella storia della meccanica celeste. Questi studi diedero l'avvio allo sviluppo della teoria del caos.
Non si pensi però che i sistemi caotici debbano essere complicati, come il mercato azionario o le previsioni del tempo. Anche un sistema semplicissimo come un doppio pendolo può produrre oscillazioni imprevedibili.
Date un'occhiata a questo filmato: il pendolo è stato fabbricato da un mio studente, e lo presenterà all'esame di stato. La qualità della ripresa è bassa, le telecamere dei telefonini non sono un gran che. Ma provate a prevedere quando il pendolo farà un giro completo su sé stesso...
lunedì 2 giugno 2008
domenica 1 giugno 2008
In quale città dovresti vivere?
What City Should You Live In? | |
 | You should live in New York City. America's largest city will ensure that you will blend into the crowd. You are the brooding type—introspective, creative, and eccentric—and NYC's cutting-edge, individualistic culture and ambience will appeal to you. |
| Find Your Character @ BrainFall.com | |
Mah, non è che mi attiri tanto, a dir la verità.
mercoledì 28 maggio 2008
Il Comma 22 degli insegnanti
Gli insegnanti alle prese con gli studenti copioni visti da farfintadiesseresani.
sabato 24 maggio 2008
Che numero sei?
Da questi signori, il test inutile della settimana: what number are you?
Io sono π, anche se mi sarebbe piaciuto essere qualcosa di più esotico, che so, uno dei numeri di Liouville, la costante di Conway, ℵ0...
Io sono π, anche se mi sarebbe piaciuto essere qualcosa di più esotico, che so, uno dei numeri di Liouville, la costante di Conway, ℵ0...
La fine è vicina
Referrer di oggi: se ho la sufficienza in tutte le materie tranne una.
Risposta:vai a settembre il giudizio è sospeso fino a che non hai fatto la prova di recupero del debito.
Risposta:
venerdì 23 maggio 2008
Il motore Stirling
Il nonno di un mio studente fabbrica motori Stirling per hobby. Il nipote ne ha portato uno in classe:
Quello sullo sfondo sono io.
Questa foto è stata presa col motore in movimento.
Ci abbiamo giocato per un po'. Collega Elettronica (laureata in fisica) ne ha già ordinato uno per la scuola, io ho cominciato a domandare quanti giri può fare al minuto, lei ha pensato di utilizzare un encoder, poi abbiamo discusso su come lo si potesse accoppiare al volano, sui ricordi di Fisica 1, sul funzionamento del motore, sul fatto che se fornito di energia meccanica può diventare una pompa di calore. Gli studenti si sono divertiti moltissimo...
(Anche perché hanno avuto il permesso di usare i cellulari per fare le foto e hanno visto due loro insegnanti comportarsi come veri geek — o come bambini, il che è circa la stessa cosa)
Quello sullo sfondo sono io.
Questa foto è stata presa col motore in movimento.
Ci abbiamo giocato per un po'. Collega Elettronica (laureata in fisica) ne ha già ordinato uno per la scuola, io ho cominciato a domandare quanti giri può fare al minuto, lei ha pensato di utilizzare un encoder, poi abbiamo discusso su come lo si potesse accoppiare al volano, sui ricordi di Fisica 1, sul funzionamento del motore, sul fatto che se fornito di energia meccanica può diventare una pompa di calore. Gli studenti si sono divertiti moltissimo...
(Anche perché hanno avuto il permesso di usare i cellulari per fare le foto e hanno visto due loro insegnanti comportarsi come veri geek — o come bambini, il che è circa la stessa cosa)
martedì 20 maggio 2008
Tira una brutta aria
Referrer di oggi: la bocciatura la decide il consiglio di classe.
È vero, si alza anche la mano.
È vero, si alza anche la mano.
domenica 18 maggio 2008
Brainstorming
Scena: attorno al tavolo una famiglia è riunita per il pranzo domenicale. Dalla sala proviene l'audio del televisore, che trasmette il programma di arte Passepartout.
Personaggi: lui, prof di matematica; lei, prof di storia dell'arte; figlio grande, frequentante la prima media; figlio medio, frequentante la quarta elementare; figlio piccolo, frequentante l'ultimo anno d'asilo.
Lei: oh, guarda, parlano del barocco.
Lui: se non è barocco, è un pastrocchio!
Lei: sempre con delle citazioni intelligenti, tu, eh?
Figlio piccolo: ma perché dice che è un pastrocchio?
Lui: perché il barocco fa schifo
Lei: hai sempre dei giudizi molto motivati, vedo. Comunque, mh, secondo me si riferiva invece al rococò, non voleva parlare del barocco in assoluto...
Lui: msiì, sicuramente
Lei: ma tu guarda se devo stare a fare un'analisi di quello che dice un candelabro in un cartone animato!
Lui: un candelabro barocco, però. Ma poi era l'orologio, non il candelabro, che... Beh (allunga la testa verso il televisore), com'è che adesso si è messo a parlare di Keplero? Guarda, guarda, il modello di Keplero! Le orbite ellittiche!
Figlio medio: ma cosa c'entra Keplero col barocco?
Lei: eh, c'entra, nell'arte hanno cominciato ad usare l'ellisse proprio grazie agli studi di Keplero, sai, la forza di gravità, Newton...
Figlio grande: ma perché due corpi si attraggono?
Lui: AH-HA!
Lei: ecco, adesso il babbo parte...
Lui: hai fatto una bella domanda!
Lei: ...
Lui: anzi, hai fatto La Domanda!
Lei: eccolo che comincia
Lui: se tu sapessi la profondità di questa domanda! Un conto è chiedere come (e non è poco), ma chiedere addirittura perché...
Lei: già, siamo ai confini tra fisica, filosofia, teologia
Lui: in ogni caso, la forza che attrae due corpi è la forza dell'ammmore
Il figlio grande, che sta sperimentando in prima persona il fenomeno della gravitazione universale (anche se non vuole ammetterlo), se ne esce schifato dalla stanza.
venerdì 16 maggio 2008
La sezione aurea non c'entra
A partire dal Carnevale della Matematica, passando dal post sulla sezione aurea, sono arrivato qui, dove si parla dei fogli A4.
Il rettangolo del formato A4 (e di qualunque formato Ax), ha la seguente proprietà: se lo dividiamo a metà otteniamo due rettangoli che sono simili al rettangolo di partenza. Se osserviamo la figura:
possiamo impostare la proporzione AB:BC=BF:AB. Se poniamo AB=1 e BC=x otteniamo che (prodotto dei medi uguale al prodotto degli estremi) 1=x2/2, quindi x2=2, il che significa che x è uguale alla radice di 2.
Quindi in un foglio Ax il rapporto tra lato lungo e lato corto è pari alla radice di 2. Le norme ISO dicono che il formato A0 misura un metro quadrato, poi si va avanti dimezzando.
C'è chi chiama questa figura rettangolo argenteo, anche se non c'è molto accordo (esiste anche un altro rettangolo, le cui proporzioni hanno a che fare con la radice di 2, che si contende il titolo). Questo particolare rettangolo, comunque, è alla base della costruzione del frattale denominato H tree, una figura con alcune applicazioni pratiche molto importanti. Infatti viene usata come sistema di distribuzione del segnale di clock nella realizzazione dei circuiti integrati con tecnologia VLSI: un segnale elettrico che parte dal centro raggiunge tutte le estremità della struttura ad albero nello stesso tempo.
Il rettangolo del formato A4 (e di qualunque formato Ax), ha la seguente proprietà: se lo dividiamo a metà otteniamo due rettangoli che sono simili al rettangolo di partenza. Se osserviamo la figura:
possiamo impostare la proporzione AB:BC=BF:AB. Se poniamo AB=1 e BC=x otteniamo che (prodotto dei medi uguale al prodotto degli estremi) 1=x2/2, quindi x2=2, il che significa che x è uguale alla radice di 2.
Quindi in un foglio Ax il rapporto tra lato lungo e lato corto è pari alla radice di 2. Le norme ISO dicono che il formato A0 misura un metro quadrato, poi si va avanti dimezzando.
C'è chi chiama questa figura rettangolo argenteo, anche se non c'è molto accordo (esiste anche un altro rettangolo, le cui proporzioni hanno a che fare con la radice di 2, che si contende il titolo). Questo particolare rettangolo, comunque, è alla base della costruzione del frattale denominato H tree, una figura con alcune applicazioni pratiche molto importanti. Infatti viene usata come sistema di distribuzione del segnale di clock nella realizzazione dei circuiti integrati con tecnologia VLSI: un segnale elettrico che parte dal centro raggiunge tutte le estremità della struttura ad albero nello stesso tempo.
mercoledì 14 maggio 2008
Carnevale della Matematica 1
Eccoci al primo Carnevale della Matematica, il luogo (?) da cui si diffonde la matematica in tutto l'universo.
Avrete notato che di fianco al titolo di questo post compare anche un numero ordinale: 1. Questo sta a significare due cose: che state leggendo il primo carnevale e che ce ne saranno altri (si spera; noi contiamo di arrivare almeno fino all'ordinale ω, poi si vedrà). La data prescelta per le pubblicazioni è il 14 di ogni mese: il fatto che 1 e 4 siano le prime due cifre dello sviluppo decimale di π non è casuale.
L'invito a partecipare è aperto a tutti, il prossimo carnevale si terrà il 14 giugno presso le notiziole di .mau..
Veniamo ora ai contributi di questo mese.
Cominciamo con la mente che sta dietro al Progetto Carnevale della Matematica, e cioè .mau., che ci spiega il significato della parola matematica attrattore, e ci propone una dimostrazione del teorema di Pick; dimostrazione molto consigliata perché ci fa vedere come si muove un matematico quando vuole dimostrare un teorema — e anche perché il teorema è bello.
Passando ad argomenti più classici, Biagio Raucci segnala una serie di documenti che trattano di matematica generale e analisi 2, con anche due articoli di aerodinamica. Tutto molto valido anche perché gli argomenti sono corredati da tante figure, che spesso nei testi universitari mancano.
Marcello Seri ha lavorato molto, e segnala molte cose: come sono fatti gli insiemi numerici (ovvero: la matematica si basa tutta sul vuoto); geometria frattale e Postscript, ovvero come programmare in Postcript (!) per disegnare frattali; l'ipotesi di Riemann (solo l'ipotesi, non la dimostrazione, purtroppo); alla ricerca della complessità (panoramica sui sistemi dinamici, legami con la teoria del caos e la teoria dell'informazione); il viaggio al centro della terra (ovvero come realizzare un oscillatore armonico terrestre); la serie armonica (una serie di post in cui dimostra, in vari modi, che la serie armonica è divergente).
Da irickblog abbiamo un post (quasi) senza parole, solo numeri. E, dall'università di Bologna, il Chicken's corner, ovvero ciò che si deve fare per non rimanere dei polli matematici.
La prof Giovanna, di matematicamedie, ci parla della sezione aurea — nell'arte, nella natura, e naturalmente nella matematica. Sul suo blog c'è anche un Paperino disegnato da Don Rosa alle prese con formule matematiche, da non perdere...
Avrete notato che di fianco al titolo di questo post compare anche un numero ordinale: 1. Questo sta a significare due cose: che state leggendo il primo carnevale e che ce ne saranno altri (si spera; noi contiamo di arrivare almeno fino all'ordinale ω, poi si vedrà). La data prescelta per le pubblicazioni è il 14 di ogni mese: il fatto che 1 e 4 siano le prime due cifre dello sviluppo decimale di π non è casuale.
L'invito a partecipare è aperto a tutti, il prossimo carnevale si terrà il 14 giugno presso le notiziole di .mau..
Veniamo ora ai contributi di questo mese.
Cominciamo con la mente che sta dietro al Progetto Carnevale della Matematica, e cioè .mau., che ci spiega il significato della parola matematica attrattore, e ci propone una dimostrazione del teorema di Pick; dimostrazione molto consigliata perché ci fa vedere come si muove un matematico quando vuole dimostrare un teorema — e anche perché il teorema è bello.
Passando ad argomenti più classici, Biagio Raucci segnala una serie di documenti che trattano di matematica generale e analisi 2, con anche due articoli di aerodinamica. Tutto molto valido anche perché gli argomenti sono corredati da tante figure, che spesso nei testi universitari mancano.
Marcello Seri ha lavorato molto, e segnala molte cose: come sono fatti gli insiemi numerici (ovvero: la matematica si basa tutta sul vuoto); geometria frattale e Postscript, ovvero come programmare in Postcript (!) per disegnare frattali; l'ipotesi di Riemann (solo l'ipotesi, non la dimostrazione, purtroppo); alla ricerca della complessità (panoramica sui sistemi dinamici, legami con la teoria del caos e la teoria dell'informazione); il viaggio al centro della terra (ovvero come realizzare un oscillatore armonico terrestre); la serie armonica (una serie di post in cui dimostra, in vari modi, che la serie armonica è divergente).
Da irickblog abbiamo un post (quasi) senza parole, solo numeri. E, dall'università di Bologna, il Chicken's corner, ovvero ciò che si deve fare per non rimanere dei polli matematici.
La prof Giovanna, di matematicamedie, ci parla della sezione aurea — nell'arte, nella natura, e naturalmente nella matematica. Sul suo blog c'è anche un Paperino disegnato da Don Rosa alle prese con formule matematiche, da non perdere...
Infine, Cassa ha scritto un articolo (un articolo vero, come fanno quelli che poi pubblicano sulle riviste specializzate (anzi, direi che potrebbe essere un ottimo candidato per gli Annals of Improbable Research)) dal titolo Metriche di segnatura (1,3), ovvero perché l'orologio si tiene sulla sinistra, che risolve definitivamente una questione che, fino ad oggi, non era stata mai spiegata con chiarezza. Se non siete molto pratici di metriche di Minkowski leggete almeno la conclusione nell'ultima pagina, merita.
Questo è tutto. Appuntamento al Carnevale della Matematica {∅, {∅}}.
Questo è tutto. Appuntamento al Carnevale della Matematica {∅, {∅}}.
martedì 13 maggio 2008
Lorenzo Mascheroni
Oggi è il compleanno di Lorenzo Mascheroni. Una delle costanti più misteriose della matematica porta il suo nome (e anche quello di Eulero, ma quale argomento di matematica non è stato studiato da Eulero?). E un suo teorema dimostra che tutto ciò che è costruibile con riga e compasso è anche costruibile con il solo compasso (purché non si pretenda di disegnarle, le righe).
venerdì 9 maggio 2008
Tentazioni
Mi dicono che nel film 21 si usa la matematica per vincere al casinò, e si cita il problema di Monty Hall. È già la terza volta che gli studenti di quarta lo nominano. Se ci mettiamo a giocare al Monty Hall se ne vanno tutte le ore di lezione da qui alla fine della scuola.
mercoledì 7 maggio 2008
Citazioni non colte
“Prof, va bene questo denominatore comune?”.
“Mmh, vediamo... eh, no”.
“No? Perché?”.
“Vedi questa x? Dov'è andata a finire? Si è persa come lacrime nella pioggia”.
“Uh, prof, che belle parole!”.
“Beh, sono una citazione. Lo sai di cosa, vero?”.
“Pascoli?”.
“D'Annunzio?”.
“Montale! Quello di Soldati”.
“Ma dai, come fate a non saperlo?”.
“Oh, prof, ma si figuri se c'abbiamo tempo di leggere, noi!”.
“Guardate che è un film”.
“Black Rain?”.
“Mmh, vediamo... eh, no”.
“No? Perché?”.
“Vedi questa x? Dov'è andata a finire? Si è persa come lacrime nella pioggia”.
“Uh, prof, che belle parole!”.
“Beh, sono una citazione. Lo sai di cosa, vero?”.
“Pascoli?”.
“D'Annunzio?”.
“Montale! Quello di Soldati”.
“Ma dai, come fate a non saperlo?”.
“Oh, prof, ma si figuri se c'abbiamo tempo di leggere, noi!”.
“Guardate che è un film”.
“Black Rain?”.
martedì 6 maggio 2008
Share with google reader
Non so se avete notato che la nuova opzione di google reader non permette solo di fare commenti su post che vengono condivisi (come nel boxino qua di fianco, letture in rete), ma permette anche di fare commenti e basta. Una specie di twitter, insomma. (Vabbè, più o meno, non è ancora integrato con gtalk e con gli sms)
Più gente entra, più bestie si vedono!
La dotta citazione che fa da titolo a questo post è per ricordare che tra poco, su queste pagine, partirà il Carnevale della Matematica.
O voi che amate la matematica, che odiate la matematica, che siete indifferenti di fronte alla matematica, ma che avete il desiderio di dire qualcosa sulla matematica, siete invitati a pensare, scrivere e segnalare le vostre opere entro il 12 di questo mese. Il 14 tutto verrà raccolto e pubblicato qui.
Se non avete un blog o se non volete rovinare il vostro parlando di matematica, il buon .mau. ha aperto un blog di appoggio qui, utilizzabile da tutti.
Buon lavoro...
O voi che amate la matematica, che odiate la matematica, che siete indifferenti di fronte alla matematica, ma che avete il desiderio di dire qualcosa sulla matematica, siete invitati a pensare, scrivere e segnalare le vostre opere entro il 12 di questo mese. Il 14 tutto verrà raccolto e pubblicato qui.
Se non avete un blog o se non volete rovinare il vostro parlando di matematica, il buon .mau. ha aperto un blog di appoggio qui, utilizzabile da tutti.
Buon lavoro...
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