Verso l'infinito, ma con calma - i numeri cardinali

Abbiamo detto che contare gli elementi di un insieme significa creare una corrispondenza biunivoca tra un insieme di numeri e l'insieme dato. Abbiamo anche detto che la logica vorrebbe cominciare a contare partendo da 1, mentre i Veri Matematici partono da 0.

Poi abbiamo accennato velocemente al concetto di cardinalità. Riprendiamolo, perché è importante. Si dice che due insiemi hanno la stessa cardinalità se esiste una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi. Non è importante sapere quale sia questa corrispondenza: può essere una qualunque funzione, purché sia biunivoca.

La definizione è sottile: non dico quanto vale la cardinalità di un insieme, dico solo che due insiemi hanno la stessa cardinalità, ma non specifico quanto sia.

Esempio: gli insiemi {a,b,c} e {Pippo, Pluto, Paperino} hanno la stessa cardinalità. Per dimostrarlo mi serve far vedere che esiste una funzione biunivoca tra i due. Eccola qua: a-Pippo, b-Pluto, c-Paperino. Facile. Notate che non ho mai detto che gli insiemi hanno 3 elementi.

Per parlare di numero cardinale, e quindi per associare un valore alla cardinalità, entrano in ballo le classi di equivalenza. E qui possono succedere Cose Brutte.

“Quanto brutte?”.

“Eh, molto”.

“Paradossi?”.

“Peggio”.

“Buchi neri super...”.

“Non dirlo, ti prego”.

“Va bene. Cosa, allora?”.

“Antinomie”.

“Wow! Racconta”.

“Ricordi la parabola dei Lego?”.

“Come potrei dimenticarla? Avevi spiegato che le relazioni di equivalenza estraggono, in qualche modo, una proprietà da un insieme di oggetti, e ci permettono di raggruppare quegli oggetti in base alla proprietà”.

“Bene, nell'esempio fatto, la proprietà era la forma dei Lego. Ogni scatolina conteneva un certo tipo di mattoncino, c'era la scatolina dei pezzi da uno, quella dei quadrati, eccetera. Ogni scatolina è una classe di equivalenza”.

“Bene, e adesso, con la cardinalità, come facciamo?”.

“Possiamo fare anche qui una relazione di equivalenza. Anzi, la relazione è proprio quella che abbiamo già definito: due insiemi sono in relazione se hanno la stessa cardinalità, cioè se esiste una corrispondenza biunivoca tra di loro”.

“E questa è una relazione di equivalenza?”.

“Certo. Prova a verificare le tre proprietà. Quella riflessiva è valida?”.

“Dunque, dovrebbe essere questa: un insieme ha la stessa cardinalità di sé stesso. Mi sembra stupida”.

“Se vuoi, possiamo dire che esiste una corrispondenza biunivoca tra un insieme e sé stesso”.

Bè, è vero. La corrispondenza è facile da trovare: ad ogni elemento associo sé stesso“”.

“Giusto. Vediamo la seconda proprietà, quella simmetrica”.

“Se esiste una corrispondenza biunivoca tra A e B, allora esiste una corrispondenza biunivoca tra B e A. Facile, è vero. Basta invertire il senso delle frecce”.

“Bene. E la proprietà transitiva?”.

“Se posso costruire una corrispondenza biunivoca tra A e B, e una seconda corrispondenza biunivoca tra B e C, allora ne posso fare una direttamente tra A e C. Vero anche questo, ci sarà una freccia che parte da un elemento di A e va a finire su un elemento di B, da cui parte una seconda freccia che parte da lì e va su un elemento di C. Mi basta collegare le due frecce e sono a posto”.

“Perfetto. Hai fatto un'operazione che i Veri Matematici chiamano composizione di funzioni”.

“Va bene. E adesso?”.

“Adesso abbiamo delle classi di equivalenza, che raggruppano tra di loro gli insiemi aventi la stessa cardinalità. Per esempio, assieme a {a,b,c} ci sarà {Pippo, Pluto, Paperino}, ma anche {Emy, Ely, Evy}, oppure {Spennacchiotto, Filo Sganga, Dinamite Bla}”.

“Certo che potevi usare degli esempi migliori...”.

“Allora ti dico che ci sarà anche l'insieme {0,1,2}”.

“Ho capito! Se come rappresentante della classe di equivalenza prendo {Pippo, Pluto, Paperino}, ottengo poco. Ma se prendo {0,1,2} posso parlare di numeri associati alla cardinalità”.

“Esatto. La cardinalità di {Pippo, Pluto, Paperino} è 3 perché quell'insieme si trova nella stessa classe di equivalenza di {0,1,2}”.

“Bene, mi sembra tutto a posto. Dove salta fuori l'antinomia?”.

“Eh, salta fuori proprio qua. Ricordi la scatola dei Lego?”.

“Certo. Era il nostro insieme da suddividere in classi”.

“E adesso qual è il nostro insieme?”.

“Eh. Ehm. La cardinalità si calcola su un insieme, quindi devo avere un contenitore di insiemi”.  

“Sì. Un insieme di insiemi. Quali insiemi?”.

“Boh, non hai detto nulla sul tipo di insiemi sui quali si può calcolare la cardinalità, quindi direi tutti”.

“Perfetto: l'insieme di tutti gli insiemi”.

“Cosa c'è che non va nell'insieme di tutti gli insiemi?”.

“Il solo nominarlo fa crollare le basi di tutta la matematica”.