venerdì 19 settembre 2008

Verso l'infinito, ma con calma - infinite lampadine

Una successione è una funzione che ha, come insieme di partenza, l'insieme dei numeri naturali. In altre parole, è uno strumento che conta. Ogni volta che contiamo un insieme di oggetti associamo un numero naturale a ogni oggetto, in ordine: in pratica stiamo costruendo una successione; con la differenza che noi, a un certo punto, ci fermiamo, mentre le successioni matematiche vanno avanti sempre.

Bene, ora consideriamo una successione per la quale l'insieme di arrivo sia {0,1}. Come è fatta?

Ad ogni numero naturale sarà associato uno 0 oppure un 1, non ci sono altre possibilità. Ecco un esempio:

0-0
1-1
2-0
3-1
4-0
5-1
...

In questa successione 0 è associato a 0, 1 a 1, poi 2 è associato nuovamente a 0, 3 a 1, e così via. Siccome l'insieme di partenza di ogni successione è prefissato, possiamo anche ometterlo (tanto sappiamo contare, basta che teniamo in mente che partiamo da zero). In questo caso, la successione di prima diventa più semplice da scrivere:

01010101...

Si tratta di una stringa infinita composta solo da cifre 0 e 1: la chiamiamo successione binaria (infinita).

Se utilizziamo l'esempio delle lampadine accese e spente, una successione binaria infinita diventa una fila infinita di lampadine, ognuna delle quali può essere accesa o spenta.

Ora, di queste successioni binarie ce ne sono tante.

“Quante?”.

“Tante quanti sono gli elementi di P(N)”.

“L'insieme dei sottoinsiemi dei numeri naturali?”.

“Giusto”.

“Quindi dovrebbe essere 20, dato che abbiamo visto che la cardinalità dell'insieme dei naturali è ℵ0, e che se la cardinalità di un insieme è α, allora la cardinalità dell'insieme delle parti è 2α. Giusto?”.

“Proprio così”.

“Ed è difficile da dimostrare?”.

“No, è abbastanza semplice. Usiamo la tecnica che abbiamo già usato per dimostrare che la cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme dato è maggiore di quella dell'insieme”.

“Anche allora avevamo parlato di lampadine, se ben ricordo”.

“Infatti è così. Le nostre successioni binarie associano i numeri naturali a 0 oppure a 1, cioè a una lampadina spenta oppure accesa. Bene, allora a una data successione associamo il sottoinsieme dei numeri naturali che contiene tutti i numeri per i quali sono accese le lampadine”.

“Uhm. Un esempio?”.

“Prendi la successione 01010101...”.

“Ok. A 0 è associato il primo numero, che è 0, quindi lampadina spenta. Non ci interessa. A 1 è associato 1, lampadina accesa, bene. A 2 è associato 0. Ho capito, questa successione accende lampadine solo per i numeri dispari”.

“E quindi ad essa sarà associato l'insieme di tutti i numeri dispari, sottoinsieme di N”.

“Ok, chiaro, ho capito”.

“Prova a scrivere la successione che sarà associata ai numeri pari”.

“Facile: 10101010...”.

“Quindi a ogni successione è associato un sottoinsieme, e se due successioni sono diverse, sarà diverso anche l'insieme corrispondente”.

“Ok”.

“Ora vediamo il contrario: a ogni sottoinsieme A di N è associata una successione binaria”.

“Ah, sì, è facile anche questo: basta cominciare a contare da 0 e accendere una lampadina quando si incontra un numero che sta in A”.

“Molto bene. Per esempio, quale successione è associata a {1,2,3}?”.

“Dovrebbe essere 111”.

“No, non va bene, ricordati che i Veri Matematici non cominciano a contare da 1”.

“Ah, già, si parte da 0. Allora è questa: 0111”.

“Quasi. Questa, in effetti, non è una successione infinita”.

“Ah. Ma dopo non ci sono più numeri, mi hai dato un insieme finito... Bé, posso continuare con una successione di 0”.

“E quindi, quale successione è associata a {1,2,3}?”.

“Questa: 011100000...”.

“Ottimo. Riassumendo: esiste una corrispondenza biunivoca tra le successioni binarie (infinite) e l'insieme delle parti dei numeri naturali”.

“E quindi i due insiemi hanno la stessa cardinalità, che è maggiore di quella dei numeri naturali e che abbiamo indicato con 20. Ma perché abbiamo dimostrato questo teorema?”.

“Perché ci sarà utile nello studio della cardinalità dei numeri reali”.

7 commenti:

giovanna ha detto...

mm... per questa lezione ho dovuto appuntare!:-)
e poi questa:
“E quindi, quale successione è associata a {1,2,3}?”.

“Questa: 011100000...”.

non mi andava giù!

professore ha detto...

Non ti andava giù per via dello 0 iniziale o degli infiniti 0 finali?

giovanna ha detto...

per via degli infiniti 0 finali.
Perché devo supporre infinita la successione binaria associata al sottoinsieme di N finito?
Infatti per "mandare giù" ho supposto così! :-)
grazie prof

professore ha detto...

Sì, certo, stiamo facendo una corrispondenza biunivoca tra le successioni (che sono sempre infinite) e gli insiemi (che possono essere finiti). E quindi devi mettere infiniti 0 perché dopo {1,2,3} non ci sono più elementi.

Devi immaginare di avere sempre davanti a te le infinite lampadine spente, e poi di volta in volta accendi quelle che ti servono. In questo caso accendi solo la numero 1, la 2 e la 3.

giovanna ha detto...

ahia, *le successioni sono sempre infinite!!!* (lo ripeto per me, acci! in classe avrei sollevato la voce per rafforzare!:-)
tutto più chiaro, bello l'esempio finale!
ri-grazie.

Annarita ha detto...

Ho letto solo adesso questo post! Congratulazioni, come al solito. Una dimostrazione chiarissima e di felice approccio!

Mi stai abituando troppo bene, Professore!

professore ha detto...

Grazie... :-)