martedì 2 settembre 2008

Verso l'infinito, ma con calma - le relazioni

Tutto comincia dalle relazioni.

Se domandate a un matematico cosa sia una relazione, lui vi risponderà che una relazione tra due insiemi A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A×B. Con questo il matematico se la cava, il non matematico non capisce niente.

In questi casi non bisogna partire da una definizione rigorosa, ma da qualcosa di molto più intuitivo: potremmo dire che una relazione tra due insiemi è una legge che lega gli elementi del primo insieme a quelli del secondo. Una cosa così, per esempio:



Questa è una relazione: il primo elemento dell'insieme A è legato al primo dell'insieme B, il secondo dell'insieme A è legato al secondo e al terzo dell'insieme B, e così via. In questo modo dovrebbe essere più chiaro. Potremmo anche prendere il concetto di relazione come concetto primitivo, e finirla qua (in matematica i concetti primitivi sono quelli che non si possono definire a partire da altri concetti più semplici: sono cioè i mattoni con cui si costruisce tutto il resto).

I Veri Matematici, però, basano tutto sul concetto di insieme, e quindi anche la relazione è definita a partire dagli insiemi. Dire sottoinsieme del prodotto cartesiano è un modo pomposo per dire insieme di coppie ordinate composte da un elemento di A e uno di B (anche il concetto di coppia ordinata non è primitivo, ma può essere definito utilizzando esclusivamente gli insiemi; i Veri Matematici danno per scontato che tutti lo sappiano e fanno finta di niente).

Esempietto: abbiamo gli insiemi A = {1,2,3} e B = {a,b,c,d}.

Ecco una relazione: R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,c)}.

“Ehi, ma a 3 non è associato niente!”.

“Non importa”.

“E come la mettiamo col fatto che a 1 sono associati due elementi?”.

“Va bene, non c'è problema”.

“E il prodotto cartesiano cosa sarebbe?”.

“L'insieme di tutte le possibili coppie ordinate. Nel nostro esempio quante ce ne sono?”.

“Dodici?”.

“Esatto”.

“Ok. E come fai a definire una coppia ordinata (a,b) utilizzando solo il concetto di insieme?”.

“Faccio così: (a,b) è, per definizione, l'insieme {{a},{a,b}}”.

“Ma è una cosa orribile!”.

“Già. E non sto a dirti come si definisce una terna (a,b,c). È per questo che i Veri Matematici fanno finta di niente”.

8 commenti:

ricciele ha detto...

Laclos infatti fu il primo a capire la pericolosità delle relazioni. ^__^

Cmq, le calamite le compro sul sito http://www.supermagnete.de, che con precisione tetèska me le recapita in una settimana. Non volevo comprarne più, ma poi ho vinto quel buono da trenta euri, e ho ceduto. Mi diverto troppo. Ma perchè dici che Blogger funziona meglio? Secondo me i casini sul mio sito dipendono dal fatto che smanazzo troppo i template, se stessi nello standard sarebbe più tranquillo. A ogni modo, c'ho già talmente tanti account che andare pur su blogger non lo so se mi va... su splinder potrei creare ancora qualcosa come 7 blog... (ovviamente me ne guardo bene... poi veramente finisce che non faccio più nulla nella vita reale!)
Cmq, il mio unico problema è l'inserimento dei powerpoint infatti non li ho ancora mai messi, il resto mi funziona abbastanza bene.

professore ha detto...

Mah, io mi trovo bene con blogger, e sento dire che splinder ogni tanto non va.

Ronkas ha detto...

Splinder è lofissimo, blogger va benone, è l'unico che regge il confronto con WP.

rositaelredalt ha detto...

Non è che io voglio aver ragione ... ma le relazioni sono altra cosa. Che c'entrano indubbiamente con l'ansia di infinito, anzi con la sperimentazione del nostro essere-finito...
Ma i matematici tendono sempre a semplificare i problemi e quel che è peggio, tendono a fare leggi, regole generalizzanti (blech)... Personalmente preferisco chi si pone fuori dalla omologazione (legge) matematica e se lo fa "ad arte" lo amo di più! Il motivo è semplice: dato l'assioma che "in amor vince chi fugge", il matematico tende ad omologare ciò che non rientra nella regola. Nel catturare ciò che sfugge alla sua legge dimostra intelligenza, creatività e possessività, amore per la stasi. In altre parole blocca il disordine creativo tipico dell'arte. Il mondo si basa sulla relazione dinamica sull'arte che fugge e la matematica che la rincorre: ne sono certa!

professore ha detto...

Mi sa che è la volta buona che le blocco i commenti...

giovanna ha detto...

:D :D
ciao rositaelredalt (e ciao prof!),
insegno matematica ma, dato che non so davvero se sono una Vera Matematica (credo di no... o si? booh!), ti dico che sono d'accordo sul porsi fuori dalla omologazione (legge) matematica! :-)
Poi anche tu dici "le relazioni c'entrano indubbiamente con l'ansia di infinito..."
Ma si ma si... che non siamo poi così distanti! :-)
Prof: carina la lezione!:-)

Anonimo ha detto...

Prof, com'è possimbile che un bravo matematico come te non sia riuscito ancora a dimostrare la bellezza, la creatività e l'arte nella matematica alla propria moglie?

professore ha detto...

@anonimo: non dimentichiamo che rientra nella categoria "mogli", eh.