venerdì 26 settembre 2008

Verso l'infinito, ma con calma - le dimensioni non contano

Abbiamo chiamato con c (c gotico) la cardinalità dell'insieme dei numeri reali, e abbiamo visto che è maggiore di quella dei numeri naturali. Dato che i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, che ha dimensione uguale a 1, si potrebbe pensare che la cardinalità del piano sia maggiore di c, visto che il piano ha dimensione 2. E invece no.

“Puoi naturalmente dimostrare questa affermazione, vero?”.

“Certo”.

“E sarà una cosa complicatissima”.

“No, questa è facile. Per prima cosa, invece di confrontare la retta con il piano, confrontiamo il segmento [0,1) con il quadrato [0,1)×[0,1)”.

“Quello sarebbe un quadrato?”.

“I Veri Matematici lo chiamano prodotto cartesiano, ma è semplice: è l'insieme delle coppie i cui elementi appartengono a [0,1). In pratica è un quadrato, i cui punti hanno coordinate comprese tra 0 e 1, 0 incluso e 1 no”.

“Va bene. Ora costruirai una corrispondenza biunivoca tra il segmento e il quadrato?”.

“No, prima costruisco una funzione iniettiva che immerge il segmento nel quadrato, poi un'altra funzione iniettiva che immerge il quadrato nel segmento”.

“Ok. Il primo caso è semplice, non è difficile immergere un segmento in un quadrato”.

“Bene, come faresti?”.

“Ad ogni punto del segmento associo un punto sulla base del quadrato, per esempio”.

“Bravo. A x associ (x,0), ed è fatta. La funzione è iniettiva, a due x diversi corrispondono due coppie diverse”.

“Sì. Non riesco invece a immaginare come fare per l'operazione contraria”.

“Si fa così: prendi un punto del quadrato, e indicalo con (x,y)”.

“Bene, sia x che y sono compresi tra 0 e 1, 0 incluso e 1 no”.

“Ora scrivili sotto forma di numeri decimali, così:”.

x = 0.x1x2x3...
y = 0.y1y2y3...

“Uhm, e se i numeri sono decimali finiti?”.

“Vorrà dire che da un certo punto in poi la successione delle cifre decimali sarà sempre uguale a 0”.

“Va bene. Accettiamo il periodo 9?”.

“No, quello no”.

“Ci sono. Ora che facciamo?”.

“Ora costruiamo questo numero: 0.x1y1x2y2x3y3...”.

“Alterni le cifre decimali?”.

“Già. Hai visto che abbiamo ottenuto un punto del segmento [0,1)?”.

“Vedo. Mi pare di aver capito, però, che la funzione debba essere iniettiva, altrimenti non funziona”.

“Giusto. Hai capito perché non funziona?”.

“Perché se non uso una funzione iniettiva, potrei far corrispondere a tutti i punti del quadrato anche un solo punto, chessò, 42”.

“Bravo. La funzione f(x,y) = 42 comprime il quadrato in un punto, ma non è iniettiva e non può essere usata per i calcoli di cardinalità, naturalmente”.

“Ho capito. E questa funzione che alterna le cifre decimali è iniettiva?”.

“Sì, perché se prendi due punti diversi nel piano questi differiranno in almeno una coordinata, e quindi almeno una delle due espansioni decimali cambierà”.

“Ah, giusto, e allora cambierà anche il numero che otterrai alternando le cifre decimali. Quindi la tua funzione è iniettiva dal quadrato al segmento”.

“Sì, addirittura qualche punto del segmento viene lasciato fuori”.

“Uh? Quali punti?”.

“Per esempio, il punto che corrisponde a 0.190919091909...”.

“Fammi capire, questo punto sarebbe generato da 0.101010... e da 0.999999... Ah, ho capito, avevamo detto di non considerare il periodo 9. Bè, ancora meglio, siamo riusciti a immergere il quadrato in un sottoinsieme del segmento”.

“Proprio così. Allora, applicando il teorema di Cantor-Bernstein-Schröder, possiamo dire che quadrato e segmento hanno la stessa cardinalità. E quindi anche retta e piano, naturalmente”.

“Bello. E quindi esistono solo due cardinalità, ℵ0 e c?”.

“Oh, no. Ricordati che abbiamo dimostrato che 2α è sempre maggiore di α, e dunque puoi costruire una sequenza di cardinali sempre più grandi così come abbiamo fatto quando siamo passati da ℵ0 a 20”.

“Facendo l'insieme delle parti, quindi?”.

“Certo. Se consideri l'insieme delle parti dei numeri reali, questo avrà cardinalità 2c, cioè 220”.

“Ah, quindi possiamo salire sempre di più, quanto vogliamo”.

“Già”.

“Un po' come contare gli infiniti con i numeri naturali”.

“Ecco...”.

“Un momento!”.

“Ahia”.

“E se non fosse come con i numeri naturali?”.

“Ahi ahi”.

“Magari c'è qualcosa in mezzo tra ℵ0 e 20?”.

“Ohi ohi”.

“Ti sei fatto male?”.

18 commenti:

Maurizio ha detto...

Pagina dopo pagina, il romanzo dell'infinito diventa sempre più coinvolgente.

(vorrei che non finisse mai)

ricciele ha detto...

i frattali?

Massimo ha detto...

ma i tuoi studenti capiscono cosa vuol dire 42?

professore ha detto...

@maurizio: ormai siamo alla fine...
(Solo pochi eletti comprendono il Vero Significato di 42)

@ricciele: i frattali possono essere usati per mettere in corrispondenza biunivoca segmento e piano (curva di Peano, ad esempio).

Cassa ha detto...

Professore, lei è sconvolgentemente un geek.

(Ha anche tradotto A (not so) short introduction to LaTeX!)

professore ha detto...

Ebbene sì...

Purtroppo il gruppo che si occupava della traduzione si è disperso ai quattro venti, ma eravamo ben organizzati. linux.it ci aveva messo a disposizione una mailing list e un server CVS, noi traducevamo pezzi e mandavamo le nostre modifiche al server, discutevamo sui casi dubbi, e così via. E' stato bello :-)

professore ha detto...

[naturalmente il mio commento precedente sul 42 era per @massimo e non @maurizio, ma se uno vede solo le prime due lettere del nome poi si sbaglia :-)]

giovanna ha detto...

già, pag dopo pag.... come dice Maurizio,
oggi ho letto solo velocemente, e devo pure aggiornare il "romanzo" ...
siamo quasi alla fine dice, prof?
Ah, poi lo rileggerò tutto con calma! :-)
E, non sapevo della traduzione di LaTex! wow, ecco ché è così bravooo!
Quella traduzione mi sa che l'ho pure scaricata.... chissà qual è il nome del proooof! :-)
grazie prof!

professore ha detto...

Il nome... Facendo 2+2 ci arrivi facilmente, se hai la guida sottomano. In effetti lo pseudonimo anonimo "professore" è nato per evitare che i miei studenti arrivassero qua. Siccome ci sono arrivati dopo un paio di mesi, potrei anche cambiarlo e usare quello che uso un po' dappertutto (che puoi vedere se vai sulle pagine di picasaweb o su quella di friendfeed, tanto per dirne due).

giovanna ha detto...

ho capito, Prooof! :-)
... esiste anche un altro Prof tuo omonimo?

professore ha detto...

Esatto, quello è un prof dell'università di Modena. Ingegneria, direi.

Annarita ha detto...

@professore: bella, bella questa storia dell'infinito. Sto facendo un collage di tutti i post e poi me li leggo da cima a fondo con calma.

Passiamo a laTex. La piattaforma splinder non apprezza latex. Conosci qualche modo per aggirare l'ostacolo e riuscire ad addomesticare la piattaforma?

Annarita ha detto...

@professore: hai detto che l'omonimo è un prof universitario. Ingegneria informatica?

giovanna ha detto...

ok, Prof,
merci! :-)

professore ha detto...

@annarita: l'omonimo lo si trova sul sito dell'università, credo sia informatica, ma non so bene, ogni tanto cambiano... In questo momento vedo "ingegneria dell'informazione".

Per LaTeX: Giovanna e Cassa hanno installato un aggeggio java che traduce il codice latex in mathml, e si vede molto bene con firefox. Dovresti però chiedere a loro i dettagli, perché io non li ricordo.

Annarita ha detto...

@professore: grazie per entrambe le risposte.

Per il plugin java che traduce il codice latex, credo di aver capito che cosa vuoi dire.

Ciao:)

professore ha detto...

Ho trovato un paio di link: questo è asciimathml, e questo, se ho capito bene, è una modifica del precedente che ti permette di mostrare immagini sui browser che non supportano mathml.

Annarita ha detto...

Grazie mille, professore. I link che mi hai segnalato sono molto utili. Ci guarderò con calma appena mi avanza un attimo di tempo.

Ciao e grazie ancora:)
annarita