sabato 13 settembre 2008

Verso l'infinito, ma con calma - operazioni con gli alef

Il paradosso dell'albergo di Hilbert ci fa capire che il senso comune non ci aiuta più, quando si tratta di fare operazioni che coinvolgono i cardinali transfiniti.

Nel primo esempio (l'albergo è pieno, arriva un nuovo ospite) abbiamo praticamente visto che ℵ0+1=ℵ0. Non è difficile generalizzare al caso in cui arriva un numero finito n di ospiti. Otterremo sempre che

0+n=ℵ0.

Nel caso dell'unico nuovo arrivato, abbiamo messo in corrispondenza biunivoca l'insieme degli infiniti ospiti (cioè i numeri naturali) con l'insieme degli infiniti ospiti più uno (cioè i naturali con l'aggiunta di un nuovo elemento). La funzione biunivoca è f(n)=n+1. Esercizio facile: scrivere la funzione biunivoca nel caso in cui arrivi un numero x finito di ospiti.

E fin qua il senso comune potrebbe essere ancora d'accordo: dire che infinito più uno è uguale a infinito non è sconvolgente più di tanto.

Quando arrivano infiniti nuovi ospiti le cose sembrano complicarsi, in realtà l'albergatore se l'è cavata con poco: ha utilizzato la funzione f(n)=2n per liberare infiniti posti. Esercizio facile: scrivere la funzione biunivoca che mette in corrispondenza i due insiemi. In questo caso, allora, abbiamo verificato la formula:

0+ℵ0=ℵ0.

Nell'ultimo caso arriva un'infinità di infiniti, ma l'albergatore trova posto per tutti (lasciando anche qualche posto vuoto, per eventuali nuovi ospiti. Esercizio: trovare qualche posto vuoto). Abbiamo visto dunque che

0·ℵ0=ℵ0.


“Insomma, con l'infinito puoi farci quello che vuoi, ma rimane sempre infinito”.

“Eh, no. Non è così, Cantor ha scoperto che ci sono diversi livelli di infinito”.

“Ah. E come ha fatto?”.

“Ha cominciato a mettere in corrispondenza biunivoca insiemi diversi, e ha iniziato a capire come stavano le cose. Per esempio, ha visto che i numeri naturali e i numeri interi sono in corrispondenza biunivoca”.

“Uhm, com'è possibile?”.

“Si può fare così: ai numeri pari puoi associare n/2, ai numeri dispari invece -(n+1)/2”.

“Mh, devo provare. Allora, a 0 associo 0, e fin qua siamo a posto. A 1, che è dispari, associo -1. A 2 associo 1. A 3 associo -2. Ah, vedo. È come se elencassi i numeri interi in questo modo: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, e così via”.

“Proprio così. Cantor ha visto che i numeri interi, pur sembrando il doppio dei numeri naturali, in realtà sono caratterizzati dallo stesso tipo di infinito”.

“Allora avrà preso i numeri razionali e si sarà accorto che quelli sono di più, giusto?”.

“No, ti sbagli. I numeri razionali, cioè le frazioni, possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i naturali”.

“Anche loro? Non riesco a capire come”.

“Cantor ha usato un procedimento ingegnoso. Prima di tutto, ha scritto i razionali come coppie di numeri: numeratore/denominatore. Ha considerato solo quelle positive, ma non è difficile estendere il procedimento anche a quelle negative. Si può sempre usare il metodo dell'albergatore, che ha spostato tutti gli ospiti nelle camere pari”.

“Ok”.

“Poi le ha messe in un tabella, in questo modo”.

1/1 1/2 1/3 ...2/1 2/2 2/3 ...3/1 3/2 3/3 ......

“In questo modo ci sono alcuni numeri che si ripetono, però: 1/1 è uguale a 2/2, a 3/3, eccetera”.

“Non importa, perché questi numeri sono di più delle frazioni, e Cantor ha dimostrato che comunque la loro cardinalità è ℵ0”.

“Ah, va bene. Come ha fatto, allora, a dimostrarlo?”.

“Ha fatto vedere un modo per contare le frazioni. Eccolo qua”.


“Geniale! Ha seguito le diagonali! Ma, allora, esistono insiemi con cardinalità maggiore di quella dei numeri naturali?”.

“Questo dubbio è venuto anche a Cantor, in effetti. Si può salire, creando una sorta di graduatoria di numeri transfiniti?”.

“E si può?”.

“Sì, finché vuoi. Ma c'è un'altra domanda non meno importante: si può scendere?”.

“Intendi dire se esistono infiniti, anzi, transfiniti, più piccoli di ℵ0?”.

“Esattamente, ma in questo caso la risposta è no”.

“Oh, bene, una certezza”.

Se consideri valido l'assioma della scelta”.

“Come?”.

“Niente, niente”.

6 commenti:

giovanna ha detto...

Sempre più interessante prof!
Acci però... chepocamatematicaso! :-(
spero di non entrare in crisi... :-):-)
scherzo, non ho fatto matematica all'università (solo un esame, il primo... di analisi..."Istituzioni di matematiche"!)

professore ha detto...

Qui ci stiamo addentrando nell'algebra "dura e pura"...

.mau. ha detto...

Sicuro che serva l'assioma della scelta per dire che aleph_0 sia il più piccolo cardinale transfinito? (non lo so, ma mi pare strano)

professore ha detto...

Così dice il mio libro di algebra (e devo averlo trovato da qualche parte anche su wikipedia - confermo, eccolo qua). Per lunedì è programmata una "dimostrazione divulgativa"...

[Anche qui ne parla, ma complica un po' le cose legando cardinali e ordinali.]

wdog ha detto...

piccola nota la frase "però: 1/2 è uguale a 2/2, a 3/3, eccetera" andrebbe corretta

zar ha detto...

Uh, già. Grazie