Verso l'infinito, ma con calma - operazioni con gli alef

Il paradosso dell'albergo di Hilbert ci fa capire che il senso comune non ci aiuta più, quando si tratta di fare operazioni che coinvolgono i cardinali transfiniti.

Nel primo esempio (l'albergo è pieno, arriva un nuovo ospite) abbiamo praticamente visto che ℵ₀+1=ℵ₀. Non è difficile generalizzare al caso in cui arriva un numero finito n di ospiti. Otterremo sempre che

ℵ₀+n=ℵ₀.

Nel caso dell'unico nuovo arrivato, abbiamo messo in corrispondenza biunivoca l'insieme degli infiniti ospiti (cioè i numeri naturali) con l'insieme degli infiniti ospiti più uno (cioè i naturali con l'aggiunta di un nuovo elemento). La funzione biunivoca è f(n)=n+1. Esercizio facile: scrivere la funzione biunivoca nel caso in cui arrivi un numero x finito di ospiti.

E fin qua il senso comune potrebbe essere ancora d'accordo: dire che infinito più uno è uguale a infinito non è sconvolgente più di tanto.

Quando arrivano infiniti nuovi ospiti le cose sembrano complicarsi, in realtà l'albergatore se l'è cavata con poco: ha utilizzato la funzione f(n)=2n per liberare infiniti posti. Esercizio facile: scrivere la funzione biunivoca che mette in corrispondenza i due insiemi. In questo caso, allora, abbiamo verificato la formula:

ℵ₀+ℵ₀=ℵ₀.

Nell'ultimo caso arriva un'infinità di infiniti, ma l'albergatore trova posto per tutti (lasciando anche qualche posto vuoto, per eventuali nuovi ospiti. Esercizio: trovare qualche posto vuoto). Abbiamo visto dunque che

ℵ₀·ℵ₀=ℵ₀.


“Insomma, con l'infinito puoi farci quello che vuoi, ma rimane sempre infinito”.

“Eh, no. Non è così, Cantor ha scoperto che ci sono diversi livelli di infinito”.

“Ah. E come ha fatto?”.

“Ha cominciato a mettere in corrispondenza biunivoca insiemi diversi, e ha iniziato a capire come stavano le cose. Per esempio, ha visto che i numeri naturali e i numeri interi sono in corrispondenza biunivoca”.

“Uhm, com'è possibile?”.

“Si può fare così: ai numeri pari puoi associare n/2, ai numeri dispari invece -(n+1)/2”.

“Mh, devo provare. Allora, a 0 associo 0, e fin qua siamo a posto. A 1, che è dispari, associo -1. A 2 associo 1. A 3 associo -2. Ah, vedo. È come se elencassi i numeri interi in questo modo: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, e così via”.

“Proprio così. Cantor ha visto che i numeri interi, pur sembrando il doppio dei numeri naturali, in realtà sono caratterizzati dallo stesso tipo di infinito”.

“Allora avrà preso i numeri razionali e si sarà accorto che quelli sono di più, giusto?”.

“No, ti sbagli. I numeri razionali, cioè le frazioni, possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i naturali”.

“Anche loro? Non riesco a capire come”.

“Cantor ha usato un procedimento ingegnoso. Prima di tutto, ha scritto i razionali come coppie di numeri: numeratore/denominatore. Ha considerato solo quelle positive, ma non è difficile estendere il procedimento anche a quelle negative. Si può sempre usare il metodo dell'albergatore, che ha spostato tutti gli ospiti nelle camere pari”.

“Ok”.

“Poi le ha messe in un tabella, in questo modo”.

1/1 1/2 1/3 ...2/1 2/2 2/3 ...3/1 3/2 3/3 ......

“In questo modo ci sono alcuni numeri che si ripetono, però: 1/1 è uguale a 2/2, a 3/3, eccetera”.

“Non importa, perché questi numeri sono di più delle frazioni, e Cantor ha dimostrato che comunque la loro cardinalità è ℵ₀”.

“Ah, va bene. Come ha fatto, allora, a dimostrarlo?”.

“Ha fatto vedere un modo per contare le frazioni. Eccolo qua”.

“Geniale! Ha seguito le diagonali! Ma, allora, esistono insiemi con cardinalità maggiore di quella dei numeri naturali?”.

“Questo dubbio è venuto anche a Cantor, in effetti. Si può salire, creando una sorta di graduatoria di numeri transfiniti?”.

“E si può?”.

“Sì, finché vuoi. Ma c'è un'altra domanda non meno importante: si può scendere?”.

“Intendi dire se esistono infiniti, anzi, transfiniti, più piccoli di ℵ₀?”.

“Esattamente, ma in questo caso la risposta è no”.

“Oh, bene, una certezza”.

“Se consideri valido l'assioma della scelta”.

“Come?”.

“Niente, niente”.