Verso l'infinito, ma con calma - i numeri naturali e il vuoto

Esiste un modo molto suggestivo di definire i numeri naturali, e questa volta si tratta di una vera definizione, non di un insieme di assiomi.

Tutto è basato su un concetto, quello di insieme vuoto. L'esistenza di un insieme che non contiene nulla può far parlare i filosofi per ore — noi diamo per scontato che esista e non ci pensiamo più. Diciamo che è un concetto primitivo, e andiamo avanti.

Indichiamo con {} l'insieme vuoto (spesso si usa anche il simbolo ∅).

Definiamo lo zero: 0 è l'insieme vuoto; in formule 0={}.

Ora costruiamo il numero uno: 1 è l'insieme che contiene 0; in formule 1={0}={{}}.

Proseguiamo: 2={0,1}={0,{0}}={{},{{}}}.

E così via: 3={0,1,2}={0,{0},{0,{0}}} = {{},{{}},{{},{{}}}}.

“Sembra una specie di effetto domino: ogni numero è l'insieme dei numeri precedenti”.

“Sì, in pratica il principio di induzione è contenuto in questa definizione. Si può anche vedere che il successore di un numero S(n) è uguale all'unione di n con {n}”.

“Sembra che la funzione successore sia molto importante”.

“È così. Con l'induzione puoi definire anche la somma di due numeri”.

“Immagino che sia una cosa incomprensibile”.

“Abbastanza. Come punto di partenza, si stabilisce che a+0=a”.

“E fin qua ci siamo”.

“Poi si definisce a+S(b)=S(a+b)”.

“Non riesco davvero a capire se questa è davvero la somma di due numeri”.

“Anche qua c'è un effetto domino. Vogliamo calcolare, per esempio, 3+2”.

“Ok. a=3, quindi”.

“E S(b)=2”.

“Quindi, se il successivo di b è 2, allora b=1”.

“Bene, quindi 3+2 diventa 3+S(1), cioè, secondo la definizione, S(3+1)”.

“E 3+1 fa 4”.

“No, ancora non lo sai, devi calcolarlo”.

“Uffa. Allora 3+1=3+S(0)=S(3+0)”.

“Bene”.

“E adesso devo calcolare 3+0?”.

“Sì, ma secondo la definizione questo puoi calcolarlo subito. È il tuo punto di partenza”.

“Ah, è vero, 3+0=3”.

“Quindi, tornando indietro, 3+1=S(3+0)=S(3)=4”.

“Ho capito. Adesso posso calcolare 3+2=3+S(1)=S(3+1)=S(4)=5. Finalmente! Mi pare un procedimento complicato”.

“Complicato nei calcoli, ma essenziale nella definizione. Come vedi, puoi definire la somma a partire da concetti già noti. I Veri Matematici dicono che questo modo di procedere è molto elegante”.

“E cosa dicono riguardo al fatto che tutta la loro matematica è basata sul vuoto?”.

“Su quello fanno finta di niente”.