giovedì 11 settembre 2008

Verso l'infinito, ma con calma - alef

E finalmente arriviamo a parlare di infinito. Qual è la cardinalità dell'insieme dei numeri naturali? Dato che questo insieme è infinito, la sua cardinalità non sarà un numero, quindi non esiste, fine della storia.

Per fortuna le cose non sono andate così: Cantor è andato avanti, definendo (scoprendo?) nuovi numeri. Alla cardinalità dei numeri naturali ha associato il cardinale transfinito ℵ0 (si legge alef zero, e a volte si trova scritto aleph. Per rendere le cose semplici Cantor ha scelto la prima lettera dell'alfabeto ebraico).

Insomma, tutti gli elementi in corrispondenza biunivoca coi numeri naturali hanno cardinalità uguale a ℵ0: sono cioè infiniti.

“Ma possiamo confrontare questo alef zero con gli altri numeri? Voglio dire, quando si parla di infinito si vorrebbe intendere qualcosa di più grande di tutto il resto. Possiamo dire che alef zero è maggiore di 42, per dire?”.

“Certo che si può: tra i cardinali (di tutti i tipi) si possono fare confronti”.

“Come si fa?”.

“Qui saltano fuori di nuovo le funzioni. Ricordi che avere la stessa cardinalità significa essere in corrispondenza biunivoca?”.

“Sì, una freccia per ogni elemento, nessuno escluso”.

“Perfetto. Ora pensa a una funzione iniettiva da A a B. Iniettiva, ma non suriettiva”.

“Mh, vediamo. Da ogni elemento di A parte una sola freccia”.

“Bene, poi?”.

“Frecce diverse vanno a finire su elementi diversi di B, non si possono congiungere”.

“Ok”.

“Ma non tutti gli elementi di B sono raggiunti”.

“Benissimo. Intuitivamente, B ha più elementi di A”.

“Ok, certo. Tutti gli elementi di A sono associati a B, ma in B ne avanza qualcuno”.

“Bene, questa è la nostra definizione: diciamo che la cardinalità di A è minore della cardinalità di B se esiste una funzione iniettiva ma non suriettiva che va da A a B. In pratica possiamo immergere A dentro a B”.

“Tutto chiaro, bene”.

“Se, poi, sappiamo che la funzione è certamente iniettiva, ma non sappiamo se è anche suriettiva, allora diciamo che la cardinalità di A è minore o uguale a quella di B”.

“D'accordo, se non abbiamo la certezza che avanzino dei termini in B, dobbiamo usare questa formulazione debole”.

“Un modo alternativo per dire che la cardinalità di A è minore di quella di B è questo: le due cardinalità devono essere diverse, e l'insieme A deve essere strettamente contenuto in B”.

“Ma è necessario specificare che le due cardinalità devono essere diverse? Se A è strettamente contenuto in B, allora la cardinalità di A sarà certamente diversa da quella di B”.

“Ecco, ehm, no”.

“No? Ma come è possibile?”.

“Ecco, ci sono concetti che, quando si ha a che fare con l'infinito, sono un po' diversi da quelli che ci aspetteremmo”.

“Paradossi?”.

“Paradossi. Questa volta sono veri paradossi, non antinomie. Se li nominiamo non succede nulla”.

(Esercizio: dimostrare che 42 è minore di ℵ0)

12 commenti:

giovanna ha detto...

oh, prof, io continuo a seguire le lezioni eh?
ma... quando arriva qualcuno a risolvere l'esercizio??
:-)

Maurizio ha detto...

magari qualcuno che non sia impegnato nella correzione delle prove d'ingresso, eh?

giovanna ha detto...

:-)

professore ha detto...

Aboliamo le prove d'ingresso! :-)

giovanna ha detto...

prof, mi associo!
ma sul serio, sono convinta della loro inutilità.
Non servono per conoscere i ragazzi. Basta farli parlare, intervenire, sollecitarli se timidini, ma ormai in pochi..., che la loro situazione di partenza è bella chiara. Anziii perfino PIU' chiara!:-)

professore ha detto...

Magari forse alle medie sono più utili che alle superiori? Comunque sono d'accordo con te.

giovanna ha detto...

mmh.. avrei detto fossero più utili alle superiori!:-)
ma gli studenti (i vostri dico) partecipano attivamente? o aspettano solo di "essere interrogati"?
Io ho insegnato solo un anno, tempo faaaa..., alle superiori (ma non mate, chimica) e ho questo ricordo!

professore ha detto...

Che dire, partecipano attivamente? Se adeguatamente stimolati da qualche argomento interessante, qualcuno magari si risveglia dal suo torpore e interviene.

Per me gli studenti peggiori sono quelli di seconda. Quelli di prima sono carini, buoni buoni, quelli di terza hanno nuove materie, nuovi prof, vedono cosa significa "aver scelto un indirizzo", capiscono che devono cominciare a studiare (mica tutti, eh). Quelli di quarta a volte sono apatici, oppure hanno altro a cui pensare, hanno i 18 anni da compiere, ma tutto sommato lavorano. Quelli di quinta sono i più responsabili, mi sono sempre trovato bene con loro. Sanno che hanno l'esame e devono arrivarci con le loro gambe.

Ronkas ha detto...

Mi sento terribilmente vecchio.

professore ha detto...

Lo sai che l'unica risposta possibile a questa tua affermazione sarebbe un invito volgare a rivolgere le tue lamentele altrove? :-)

Annarita ha detto...

Ciao, professore! Ho iniziato a leggere i tuoi post e non ho potuto fare a meno di segnalare qui questo delizioso articolo.

A presto. Annarita

professore ha detto...

Ciao annarita, grazie per la citazione e per il delizioso.