Verso l'infinito, ma con calma - alef

E finalmente arriviamo a parlare di infinito. Qual è la cardinalità dell'insieme dei numeri naturali? Dato che questo insieme è infinito, la sua cardinalità non sarà un numero, quindi non esiste, fine della storia.

Per fortuna le cose non sono andate così: Cantor è andato avanti, definendo (scoprendo?) nuovi numeri. Alla cardinalità dei numeri naturali ha associato il cardinale transfinito ℵ₀ (si legge alef zero, e a volte si trova scritto aleph. Per rendere le cose semplici Cantor ha scelto la prima lettera dell'alfabeto ebraico).

Insomma, tutti gli elementi in corrispondenza biunivoca coi numeri naturali hanno cardinalità uguale a ℵ₀: sono cioè infiniti.

“Ma possiamo confrontare questo alef zero con gli altri numeri? Voglio dire, quando si parla di infinito si vorrebbe intendere qualcosa di più grande di tutto il resto. Possiamo dire che alef zero è maggiore di 42, per dire?”.

“Certo che si può: tra i cardinali (di tutti i tipi) si possono fare confronti”.

“Come si fa?”.

“Qui saltano fuori di nuovo le funzioni. Ricordi che avere la stessa cardinalità significa essere in corrispondenza biunivoca?”.

“Sì, una freccia per ogni elemento, nessuno escluso”.

“Perfetto. Ora pensa a una funzione iniettiva da A a B. Iniettiva, ma non suriettiva”.

“Mh, vediamo. Da ogni elemento di A parte una sola freccia”.

“Bene, poi?”.

“Frecce diverse vanno a finire su elementi diversi di B, non si possono congiungere”.

“Ok”.

“Ma non tutti gli elementi di B sono raggiunti”.

“Benissimo. Intuitivamente, B ha più elementi di A”.

“Ok, certo. Tutti gli elementi di A sono associati a B, ma in B ne avanza qualcuno”.

“Bene, questa è la nostra definizione: diciamo che la cardinalità di A è minore della cardinalità di B se esiste una funzione iniettiva ma non suriettiva che va da A a B. In pratica possiamo immergere A dentro a B”.

“Tutto chiaro, bene”.

“Se, poi, sappiamo che la funzione è certamente iniettiva, ma non sappiamo se è anche suriettiva, allora diciamo che la cardinalità di A è minore o uguale a quella di B”.

“D'accordo, se non abbiamo la certezza che avanzino dei termini in B, dobbiamo usare questa formulazione debole”.

“Un modo alternativo per dire che la cardinalità di A è minore di quella di B è questo: le due cardinalità devono essere diverse, e l'insieme A deve essere strettamente contenuto in B”.

“Ma è necessario specificare che le due cardinalità devono essere diverse? Se A è strettamente contenuto in B, allora la cardinalità di A sarà certamente diversa da quella di B”.

“Ecco, ehm, no”.

“No? Ma come è possibile?”.

“Ecco, ci sono concetti che, quando si ha a che fare con l'infinito, sono un po' diversi da quelli che ci aspetteremmo”.

“Paradossi?”.

“Paradossi. Questa volta sono veri paradossi, non antinomie. Se li nominiamo non succede nulla”.

(Esercizio: dimostrare che 42 è minore di ℵ₀)