Verso l'infinito, ma con calma - classi di equivalenza

Di nuovo si mise a insegnare alla cattedra, e si riunì intorno a lui una folla di studenti.

C'era un uomo, disse loro, che aveva un figlio. Al figlio piaceva molto giocare con i Lego, che teneva tutti raccolti in una valigetta. L'uomo entrò nella camera del figlio, e vide che sul pavimento della stanza erano sparse centinaia di mattoncini, di ogni forma e colore.

Il figlio era disperato. “Perché piangi?”, gli domandò il padre. “Perché sto diventando matto a trovare i pezzi che mi servono, sono tutti mescolati! Per costruire questo piccolo pezzo di muro ho sprecato tutto il pomeriggio!”. Nella valigetta il figlio teneva tutti i suoi Lego: ne aveva veramente tanti, e sarebbe stato impensabile conservare tutte le scatole originali. Al figlio, poi, piaceva anche inventare nuove costruzioni, prendendo a prestito dei pezzi dalle varie scatole.

“Ti aiuto”, gli disse il padre, e, dopo essersi procurato alcuni piccoli contenitori, si inginocchiò vicino a lui. Rovesciò la valigetta sul pavimento e iniziò a catalogare i piccoli pezzi colorati. In un contenitore ripose tutti i pezzi da uno, di qualunque colore. In un altro, quelli di dimensione 2×1, poi quelli quadrati, e così via.

Non importava la loro provenienza: alcuni pezzi erano, in origine, nella scatola della casetta, altri in quella dell'aereo, altri ancora facevano parte della Ferrari, o del Nottetempo di Harry Potter. Alcuni erano bianchi, altri rossi, blu, grigi, viola: non faceva differenza. Ciò che contava, per la catalogazione, era soltanto la forma.

Alla fine, della montagna di pezzi colorati rimase un piccolo gruppo di scatolette. Il figlio sorrise, felice.




“Noto evidenti segni di megalomania”.

“Perché?”.

“Non so, fare lezione per parabole?”.

“Ehm”.

“Non stavi per fare una battuta sul prof di matematica che racconta parabole, vero?”.

“Assolutamente no!”.

“Mh. E cosa vorrebbe dire, questa parabola?”.

“In verità ti dico...”.

“Allora ho ragione!”.

“Ok, scherzavo. L'esempio dei mattoncini dei Lego divisi per forma mi serve per parlare di classi di equivalenza”.

“Un'altra roba per Veri Matematici?”.

“Eh, sì. Ricordi le relazioni?”.

“Certo. Associazioni di coppie di elementi”.

“Bene. Gli elementi delle coppie venivano da due diversi insiemi, giusto?”.

“Sì, avevamo un insieme di partenza, che avevi chiamato A, e uno di arrivo, che avevi chiamato B”.

“Perfetto. Questa volta invece abbiamo un insieme solo”.

“E come facciamo ad accoppiare gli elementi? Da dove li prendiamo?”.

“Da due copie dello stesso insieme”.

“Oh mamma. Vorrei un esempio”.

“Eccolo qua: prendi l'insieme {a,b,c}. Ora associa gli elementi in questo modo: (a,a), (a,b), (b,c). Si dice anche, relativamente alla prima coppia, che a è in relazione con a. Per la seconda, che a è in relazione con b. Per la terza, che b è in relazione con c”.

“Comincio a capire. In effetti, hai definito una relazione. Avevi detto che una relazione è un insieme di coppie”.

“E infatti quello che ti ho elencato è un insieme di coppie. Solo che gli elementi provengono dallo stesso insieme. In effetti, non avevamo mai detto che A e B dovessero essere diversi”.

“Mh, sottigliezze da Vero Matematico. E adesso cosa ce ne facciamo di questa roba?”.

“Ci sono delle relazioni speciali che si chiamano relazioni di equivalenza”.

“Se dici che sono speciali, vorrà dire che hanno delle particolari caratteristiche”.

“Sì. Soddisfano a tre proprietà. Te le elenco?”.

“Vai”.

“La prima si chiama proprietà riflessiva. Dice che ogni elemento è in relazione con sé stesso”.

“Ok. Vorrebbe dire, per esempio, che esiste la coppia (a,a) dentro alla relazione. In effetti, nell'esempio che hai fatto c'è. Però mancano le coppie (b,b) e (c,c)”.

“Esatto. La seconda proprietà si chiama proprietà simmetrica. Dice che se un elemento a è in relazione con b, allora anche b deve essere in relazione con a”.

“Traducendo nel linguaggio delle coppie dovrebbe essere così: se la relazione contiene la coppia (a,b), allora deve contenere anche la coppia (b,a)”.

“Benissimo. La terza proprietà si chiama proprietà transitiva. Dice che se a è in relazione con b, e se b è in relazione con c, allora a è in relazione con c. Prova a tradurre questa”.

“Dunque: se (a,b) e (b,c) fanno parte della relazione, allora ne fa parte anche (a,c)”.

“Bene”.

“E cosa c'entrano i Lego?”.

“Allora: l'insieme A sul quale costruiamo la nostra relazione è la valigetta contenente tutti i pezzi. La relazione che consideriamo è definita così: due pezzi sono in relazione se si possono incastrare perfettamente uno sull'altro, senza lasciare buchi vuoti”.

“Ok. Dici che è una relazione di equivalenza?”.

“Prova tu a vedere se sono soddisfatte le tre proprietà. La prima è vera?”.

“Un elemento è in relazione con sé stesso, cioè un pezzo di Lego si può incastrare su sé stesso. Forse è meglio dire su un altro pezzo identico. Sì, è giusto”.

“La seconda?”.

“Se un pezzo a si può incastrare con b, anche b si può incastrare con a. Certo, è vero”.

“La terza?”.

“Se posso incastrare a con b, e se posso incastrare b con c, allora posso incastrare a con c direttamente. Certo, hanno la stessa forma”.

“Bravo, hai colto il punto”.

“Quale?”.

“La forma. Tutti gli elementi aventi la stessa forma si possono incastrare insieme”.

“E quindi sono tutti in relazione tra di loro, ho capito!”.

“E li mettiamo tutti nella stessa scatola. Le scatole rappresentano una proprietà comune a tutti i pezzi contenuti, in questo caso la loro forma. Ogni volta che ti trovi di fronte a una relazione di equivalenza, riesci a mettere in evidenza una particolare proprietà. E riesci a suddividere l'insieme in scatole”.

“Ho capito. E quindi i matematici fanno queste scatole di equivalenza”.

“Già. Naturalmente non le chiamano così”.

“Capirai. Come si chiamano?”.

“Classi di equivalenza”.

“Ah, l'avevi detto all'inizio. E a cosa ci servono?”.

“Stai pronto, con le lampade accese, e attendi”.

“Argh!”.