domenica 7 settembre 2008

Verso l'infinito, ma con calma - crisi dei fondamenti

L'ultima frase di questo post è falsa.

Cosa succede a considerare l'insieme di tutti gli insiemi? Un tale insieme contiene tutti gli insiemi, nessuno escluso. Quindi contiene anche sé stesso. Non tutti gli insiemi hanno questa caratteristica: per esempio, {a,b,c} non contiene sé stesso, ma solo i tre elementi a, b e c. Avremo quindi due categorie di insiemi: quelli che contengono sé stessi e quelli che non contengono sé stessi. Raggruppiamoli, costruendo due insiemi: A è l'insieme degli insiemi che non contengono sé stessi, mentre B è l'insieme degli insiemi che contengono sé stessi. La domanda è: in quale dei due insiemi sta A?

Bisogna capire se A contiene o no sé stesso; visto che ci sono solo due possibilità, l'analisi sembra semplice.

Primo caso, se A contiene sé stesso, cadremmo in contraddizione, perché A contiene solo insiemi che non contengono sé stessi. Bene, quindi il primo caso è impossibile.

Rimane il secondo caso: A non contiene sé stesso. Ma allora, essendo un insieme che non contiene sé stesso, dovrebbe appartenere ad A. Quindi A conterrebbe sé stesso, e questa è una contraddizione.

“E quindi?”.

“Quindi c'è una contraddizione irrisolvibile”.

“E questo è grave?”.

“Direi. Vuol dire che c'è una contraddizione nel concetto di insieme. Se pensiamo che il concetto di insieme è ciò che sta alla base di tutta la matematica, questo significa che la matematica è basata su concetti sbagliati”.

“Gulp. Bisogna dire però che la formulazione di questo problema è un po' complicata”.

“Ne vuoi una più semplice? Eccola: non apparterrò mai a un club che mi accetta tra i suoi membri, Groucho Marx”.

“Ah, è una battuta che conosco. Non avevo mai pensato che fosse un paradosso”.

“In effetti viene spesso chiamata paradosso, ma è una antinomia, cioè una vera contraddizione”.

“Ma quindi è proprio una Cosa Brutta, come avevi detto”.

“Già. Ci sono anche altre formulazioni, da quella semplice come questa frase è falsa, a quelle più complicate come il paradosso del barbiere”.

“Che sarebbe?”.

“Questa: in un paese il barbiere fa la barba solo alle persone che non se la fanno da sé”.

“E allora?”.

“Il barbiere è rasato. Chi gli fa la barba?”.

“Eh, se la fa da solo. No, non può, perché la fa solo a quelli che non se la fanno da soli. Gliela farà qualcun altro? No, non è possibile, è il barbiere che fa la barba a quelli che non se la fanno da soli. Ho capito! C'è una contraddizione anche qui”.

“Qui, in effetti, ci sarebbe una soluzione: il barbiere è una donna”.

“Ah, ma non vale!”.

“In realtà è quello che fanno i Veri Matematici per risolvere i problemi creati dall'idea di insieme di tutti gli insiemi. Usano due tipi diversi di insiemi, quelli normali, e quelli che chiamano classi proprie. Le classi proprie non possono essere a loro volta elementi. L'insieme di tutti gli insiemi è una classe propria, non può contenere sé stesso, e il problema è sistemato. Spesso si riferiscono a questi strategemmi denominandoli Trucchi Ignobili”.

“Uhm, mi pare che questo metodo di risolvere il problema si possa tradurre con: facciamo finta di niente”.

“Già. Ma è così: una volta visto che la costruzione delle basi della matematica non è una cosa così semplice, molti matematici vanno avanti e lasciano ad altri il compito di creare le definizioni giuste”.

 “E quindi possono continuare a parlare di numeri cardinali senza preoccuparsi dell'insieme di tutti gli insiemi”.

“Esatto. Ora, per farti ragionare ancora un po' sui problemi degli enti che si riferiscono a sé stessi, ti lascio con un paio di esercizi”.

“Uh, va bene”.

“Due frasi da analizzare. La prima è questa: se questa frase è vera, allora Babbo Natale esiste”.

“Oh mamma. E la seconda?”.

Questa frase non è un teorema dimostrabile dell'aritmetica”.

La prima frase di questo post è vera.

15 commenti:

Maurizio ha detto...

Se A è l'insieme degli insiemi e P(A) è l'insieme delle parti di A, quale insieme, tra A e P(A), ha maggiore cardinalità?

Ti prego, Prof, dimmi: esiste ancora LA Matematica?

ricciele ha detto...

Un giorno spieghi anche le classi contigue, che io non ci ho capito niente? O sei tra quelli che le saltano anche tu? :)))

professore ha detto...

@maurizio: argh! L'insieme delle parti dell'insieme degli insiemi è una cosa che non si può pronunciare! :-)

@ricciele: le classi contigue qualche volta le ho spiegate, ma se le avessi saltate non sarebbe cambiato nulla...

ricciele ha detto...

eh, vero? mi fanno diventare scema!
Senti, non so se hai visto, ma ho trovato lavoro, ma praticamente sto in una scuola sconosciuta con alunni sconosciuti, non è che hai qualche test di ingresso per tutte le classi superiori possibili e immaginabili? Mi danno un terzo scientifico, un primo scientifico, un quarto ginnasio e un primo e secondo classico (insomma un burdel tra mat e fis), non so assolutamente il livello (ma mi giurano che sono scolarizzati...)... hai qualche consiglio (oltre prendere del valium)? se la risposta è si e hai tempo da perdere praticamente la mia mail la ottieni attaccando un [at]yahoo.com al mio nick tipico.
ma mi sa che forse la sapevi vabè
ciao e grazie"

Maurizio ha detto...

Se dovessi trattare delle classi contigue di Dedekind, per par condicio non ti dimenticare di Kronecker.

Dio fece i numeri naturali, tutto il resto è opera dell'uomo.

professore ha detto...

@maurizio: non mi sbilancio sul futuro :-)

@ricciele: vogliamo aprire una discussione sulla necessità dei test di ingresso?

giovanna ha detto...

ehem ehmm.. che capogiro prof!:-)

"L'ultima frase di questo post è falsa"
e
"La prima frase di questo post è vera"
sono entrambe FALSE, vero?:-)
Ma qual è poi l'ultima "vera" frase del post???

ricciele ha detto...

Guarda, ci ho pensato.
Puo' darsi pure che sia obbligatorio. Cioè, l'anno scorso mi hanno detto che "dovevo" farlo, ma qua è un altro posto, quindi boh...

professore ha detto...

@giovanna: vera ma non dimostrabile...?

giovanna ha detto...

eh, appunto, è quella.
Ma è una frase anche:
"La prima frase di questo post è vera."
che è l'ultima frase :-)

professore ha detto...

Bè, l'ultima frase è certamente vera. O certamente falsa?

giovanna ha detto...

direi probabilmente.
... e facciamo finta di niente! :-)

professore ha detto...

Sarà meglio :-)

Zombie ha detto...

Oggi mi è stato chiesto di compilare un modulo di autocertificazione, di quelli in cui bisogna spuntare da un elenco le dichiarazioni che si sottoscrivono. Un'affermazione era: "Dichiaro di essere in vita" (davvero, non sto scherzando!).
Io, però, per rispetto al buon senso e per non sottoscriverne il decesso, la crocetta di autocertificazione accanto a quella affermazione non l'ho messa. Se dovessero eccepire, posso mandarli da voi?

professore ha detto...

@zombie: in effetti dichiarare di non essere in vita è un vero paradosso. Anzi, un'antinomia :-)