Verso l'infinito, ma con calma - crisi dei fondamenti

L'ultima frase di questo post è falsa.

Cosa succede a considerare l'insieme di tutti gli insiemi? Un tale insieme contiene tutti gli insiemi, nessuno escluso. Quindi contiene anche sé stesso. Non tutti gli insiemi hanno questa caratteristica: per esempio, {a,b,c} non contiene sé stesso, ma solo i tre elementi a, b e c. Avremo quindi due categorie di insiemi: quelli che contengono sé stessi e quelli che non contengono sé stessi. Raggruppiamoli, costruendo due insiemi: A è l'insieme degli insiemi che non contengono sé stessi, mentre B è l'insieme degli insiemi che contengono sé stessi. La domanda è: in quale dei due insiemi sta A?

Bisogna capire se A contiene o no sé stesso; visto che ci sono solo due possibilità, l'analisi sembra semplice.

Primo caso, se A contiene sé stesso, cadremmo in contraddizione, perché A contiene solo insiemi che non contengono sé stessi. Bene, quindi il primo caso è impossibile.

Rimane il secondo caso: A non contiene sé stesso. Ma allora, essendo un insieme che non contiene sé stesso, dovrebbe appartenere ad A. Quindi A conterrebbe sé stesso, e questa è una contraddizione.

“E quindi?”.

“Quindi c'è una contraddizione irrisolvibile”.

“E questo è grave?”.

“Direi. Vuol dire che c'è una contraddizione nel concetto di insieme. Se pensiamo che il concetto di insieme è ciò che sta alla base di tutta la matematica, questo significa che la matematica è basata su concetti sbagliati”.

“Gulp. Bisogna dire però che la formulazione di questo problema è un po' complicata”.

“Ne vuoi una più semplice? Eccola: non apparterrò mai a un club che mi accetta tra i suoi membri, Groucho Marx”.

“Ah, è una battuta che conosco. Non avevo mai pensato che fosse un paradosso”.

“In effetti viene spesso chiamata paradosso, ma è una antinomia, cioè una vera contraddizione”.

“Ma quindi è proprio una Cosa Brutta, come avevi detto”.

“Già. Ci sono anche altre formulazioni, da quella semplice come questa frase è falsa, a quelle più complicate come il paradosso del barbiere”.

“Che sarebbe?”.

“Questa: in un paese il barbiere fa la barba solo alle persone che non se la fanno da sé”.

“E allora?”.

“Il barbiere è rasato. Chi gli fa la barba?”.

“Eh, se la fa da solo. No, non può, perché la fa solo a quelli che non se la fanno da soli. Gliela farà qualcun altro? No, non è possibile, è il barbiere che fa la barba a quelli che non se la fanno da soli. Ho capito! C'è una contraddizione anche qui”.

“Qui, in effetti, ci sarebbe una soluzione: il barbiere è una donna”.

“Ah, ma non vale!”.

“In realtà è quello che fanno i Veri Matematici per risolvere i problemi creati dall'idea di insieme di tutti gli insiemi. Usano due tipi diversi di insiemi, quelli normali, e quelli che chiamano classi proprie. Le classi proprie non possono essere a loro volta elementi. L'insieme di tutti gli insiemi è una classe propria, non può contenere sé stesso, e il problema è sistemato. Spesso si riferiscono a questi strategemmi denominandoli Trucchi Ignobili”.

“Uhm, mi pare che questo metodo di risolvere il problema si possa tradurre con: facciamo finta di niente”.

“Già. Ma è così: una volta visto che la costruzione delle basi della matematica non è una cosa così semplice, molti matematici vanno avanti e lasciano ad altri il compito di creare le definizioni giuste”.

 “E quindi possono continuare a parlare di numeri cardinali senza preoccuparsi dell'insieme di tutti gli insiemi”.

“Esatto. Ora, per farti ragionare ancora un po' sui problemi degli enti che si riferiscono a sé stessi, ti lascio con un paio di esercizi”.

“Uh, va bene”.

“Due frasi da analizzare. La prima è questa: se questa frase è vera, allora Babbo Natale esiste”.

“Oh mamma. E la seconda?”.

“Questa frase non è un teorema dimostrabile dell'aritmetica”.

La prima frase di questo post è vera.