Verso l'infinito, ma con calma - i numeri naturali e i loro assiomi

Abbiamo citato e usato più volte i numeri naturali, ma non ci siamo mai fermati un momento per definirli. Qualunque persona normale non avrebbe bisogno di definire un concetto che usa da quando aveva due anni, ma i Veri Matematici vogliono essere molto precisi, e vogliono anche risparmiare sulle fondamenta: meno concetti primitivi esistono, meglio è.

Un primo modo per definire i naturali consiste nel proporre un elenco di assiomi: in pratica non ti dico cosa sono i numeri, ma ti dico quali proprietà devono avere. Lo so, non è onesto.

Gli assiomi in questione si chiamano assiomi di Peano. Eccoli qua:

Primo: esiste un numero naturale, 0 (oppure 1).

“Ma dai, già col primo assioma ci sono degli oppure?”.

“Hai ragione, ma il fatto è che quando si parla di numeri naturali non si capisce mai se si deve partire da zero oppure da uno”.

“E su una cosa così semplice i matematici non sono ancora riusciti a mettersi d'accordo?”.

“No, non si mettono d'accordo perché a volte è conveniente avere a disposizione lo zero, altre volte no”.

“E quindi ogni volta che un Vero Matematico usa i numeri naturali, deve dire se ha intenzione di considerare lo zero?”.

“Sì. Oppure parla di numeri interi positivi, se vuole partire da uno”.

“E se vuole partire da zero?”.

“Numeri interi non negativi”.

“L'avevo già detto che questi matematici sono pazzi?”.

“Eh, sì. Comunque questo primo assioma serve per avere un punto di partenza. Dentro all'insieme dei numeri naturali c'è un elemento, chiamiamolo zero, uno, Pippo, non importa”.

“Va bene, andiamo avanti”.

Secondo: ogni numero naturale n ha un numero naturale successore, che chiamiamo S(n).

“Quindi se c'è zero, c'è anche uno”.

“Giusto. Da nessuna parte sta scritto che il successore di zero si chiama uno, però”.

“E come si chiama?”.

“Semplicemente S(0)”.

“E se c'è uno, c'è anche due”.

“Che sarebbe, poi S(S(0))”.

“E possiamo andare avanti quanto vogliamo con questa delirante sequenza di S una dentro all'altra”.

Terzo: numeri diversi hanno successori diversi.

“Va bene, è vero, ma è proprio necessario sottolinearlo?”.

“Eh sì. Pensa all'insieme {Pippo, Pluto}, in cui S(Pippo)=Pluto e S(Pluto)=Pluto”.

“Uhm, non assomiglia molto ai numeri naturali. Sarebbe come se io mi mettessi a contare in questo modo: zero, uno, uno, uno, eccetera. Non vado molto avanti”.

Quarto: 0 (oppure 1) non è successore di nessun numero naturale.

“Sarebbe come dire che 0 è il primo elemento? Che prima di lui non c'è nessuno?”.

“Perfetto”.

Quinto: ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero (o l'uno) e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'insieme dei numeri naturali.

“Eeh?”.

“Questo è difficile. Significa che ti puoi immaginare i numeri naturali in un solo modo, non ci sono interpretazioni differenti. Ti basta una sorta di seme iniziale e la regola del successore per averli tutti”.

“Ed è importante?”.

“Sì, ma un modo migliore per capire questo assioma è questa seconda formulazione:”.

Quinto: indichiamo con P(x) una proprietà valida per il numero x. Se P è vera per 0 (oppure 1) e se la verità di P(n) implica la verità di P(n+1), allora P è vera per tutti i numeri naturali.

“Continua a rimanere oscuro”.

“Ti faccio un esempio. Osserva questa serie di pezzi di domino.

“Bella!”.

“Ora la proprietà P: P(n) significa che il pezzo n cade. Naturalmente immaginiamo di identificare ogni pezzo in modo unico. Inoltre, con n+1 indicherò il pezzo successivo a n nella catena”.

“Ok, tutto chiaro”.

“Ora voglio dimostrare che tutti i pezzi cadranno. Prima di tutto, sei d'accordo sul fatto che se è vero P(n) allora è vero anche P(n+1)? Prova a tradurre questa mia affermazione”.

“Vediamo... significa che se il pezzo n cade, allora anche il pezzo n+1 cade. Mi pare giusto, il pezzo n cade sopra al pezzo n+1, e lo spinge”.

“Ottimo. Ora ti dico che tra un attimo anche P(0) sarà vera”.

“Stai per dare una spinta al primo pezzo?”.

“Sì. Ti ho fornito due ipotesi: è vera P(0), ed è vero che P(n) implica P(n+1). Cosa puoi dedurre?”.

“Beh, che cadranno tutti i pezzi”.

“Giusto. Infatti il primo pezzo, anzi, il pezzo numero 0 cade, quindi P(0) è vera. Se è vera P(0), allora è vera anche P(0+1)=P(1). Quindi cade anche il pezzo numero 1. Ma se è vero P(1), allora è vero anche P(1+1)=P(2), quindi cade anche il pezzo numero 2. Ma se è vero P(2)...”.

“Ho capito, ho capito. Cadranno tutti. Hai dimostrato tutto in una volta, utilizzando l'effetto domino”.

“Sarebbe un bel nome per questo metodo di dimostrazione. I Veri Matematici dicono che hanno usato il principio di induzione”.