Verso l'infinito, ma con calma - infinite lampadine

Una successione è una funzione che ha, come insieme di partenza, l'insieme dei numeri naturali. In altre parole, è uno strumento che conta. Ogni volta che contiamo un insieme di oggetti associamo un numero naturale a ogni oggetto, in ordine: in pratica stiamo costruendo una successione; con la differenza che noi, a un certo punto, ci fermiamo, mentre le successioni matematiche vanno avanti sempre.

Bene, ora consideriamo una successione per la quale l'insieme di arrivo sia {0,1}. Come è fatta?

Ad ogni numero naturale sarà associato uno 0 oppure un 1, non ci sono altre possibilità. Ecco un esempio:

0-0
1-1
2-0
3-1
4-0
5-1
...

In questa successione 0 è associato a 0, 1 a 1, poi 2 è associato nuovamente a 0, 3 a 1, e così via. Siccome l'insieme di partenza di ogni successione è prefissato, possiamo anche ometterlo (tanto sappiamo contare, basta che teniamo in mente che partiamo da zero). In questo caso, la successione di prima diventa più semplice da scrivere:

01010101...

Si tratta di una stringa infinita composta solo da cifre 0 e 1: la chiamiamo successione binaria (infinita).

Se utilizziamo l'esempio delle lampadine accese e spente, una successione binaria infinita diventa una fila infinita di lampadine, ognuna delle quali può essere accesa o spenta.

Ora, di queste successioni binarie ce ne sono tante.

“Quante?”.

“Tante quanti sono gli elementi di P(N)”.

“L'insieme dei sottoinsiemi dei numeri naturali?”.

“Giusto”.

“Quindi dovrebbe essere 2^ℵ₀, dato che abbiamo visto che la cardinalità dell'insieme dei naturali è ℵ₀, e che se la cardinalità di un insieme è α, allora la cardinalità dell'insieme delle parti è 2^α. Giusto?”.

“Proprio così”.

“Ed è difficile da dimostrare?”.

“No, è abbastanza semplice. Usiamo la tecnica che abbiamo già usato per dimostrare che la cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme dato è maggiore di quella dell'insieme”.

“Anche allora avevamo parlato di lampadine, se ben ricordo”.

“Infatti è così. Le nostre successioni binarie associano i numeri naturali a 0 oppure a 1, cioè a una lampadina spenta oppure accesa. Bene, allora a una data successione associamo il sottoinsieme dei numeri naturali che contiene tutti i numeri per i quali sono accese le lampadine”.

“Uhm. Un esempio?”.

“Prendi la successione 01010101...”.

“Ok. A 0 è associato il primo numero, che è 0, quindi lampadina spenta. Non ci interessa. A 1 è associato 1, lampadina accesa, bene. A 2 è associato 0. Ho capito, questa successione accende lampadine solo per i numeri dispari”.

“E quindi ad essa sarà associato l'insieme di tutti i numeri dispari, sottoinsieme di N”.

“Ok, chiaro, ho capito”.

“Prova a scrivere la successione che sarà associata ai numeri pari”.

“Facile: 10101010...”.

“Quindi a ogni successione è associato un sottoinsieme, e se due successioni sono diverse, sarà diverso anche l'insieme corrispondente”.

“Ok”.

“Ora vediamo il contrario: a ogni sottoinsieme A di N è associata una successione binaria”.

“Ah, sì, è facile anche questo: basta cominciare a contare da 0 e accendere una lampadina quando si incontra un numero che sta in A”.

“Molto bene. Per esempio, quale successione è associata a {1,2,3}?”.

“Dovrebbe essere 111”.

“No, non va bene, ricordati che i Veri Matematici non cominciano a contare da 1”.

“Ah, già, si parte da 0. Allora è questa: 0111”.

“Quasi. Questa, in effetti, non è una successione infinita”.

“Ah. Ma dopo non ci sono più numeri, mi hai dato un insieme finito... Bé, posso continuare con una successione di 0”.

“E quindi, quale successione è associata a {1,2,3}?”.

“Questa: 011100000...”.

“Ottimo. Riassumendo: esiste una corrispondenza biunivoca tra le successioni binarie (infinite) e l'insieme delle parti dei numeri naturali”.

“E quindi i due insiemi hanno la stessa cardinalità, che è maggiore di quella dei numeri naturali e che abbiamo indicato con 2^ℵ₀. Ma perché abbiamo dimostrato questo teorema?”.

“Perché ci sarà utile nello studio della cardinalità dei numeri reali”.