martedì 3 giugno 2008

Doppio pendolo

Caos. In matematica questa parola ha un significato ben preciso: in termini non rigorosi un sistema dinamico si dice caotico se è imprevedibile.

In termini un po' più rigorosi (e spesso abusati) si dice che se un sistema è caotico allora presenta una sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali. E cioè: anche se si fanno variare di pochissimo le condizioni iniziali, il sistema evolverà in modi molto diversi.

Si tratta del famoso concetto dell'effetto farfalla: è difficile seguire l'evoluzione di un sistema dinamico caotico in tempi utili — in altre parole, è difficile ottenere previsioni del tempo accurate, o prevedere l'andamento della borsa, o sapere se il sistema solare è definitivamente stabile.

Già, non si sa se la terra continuerà a orbitare intorno al sole per sempre (ok, ci siamo capiti): nel 1887, per festeggiare degnamente il suo sessantesimo compleanno, il re di Svezia Oscar II mise in palio un premio destinato a chi fosse riuscito a risolvere il problema della stabilità del sistema solare.

Il premio fu vinto da Poincaré, anche se il matematico non riuscì a risolvere completamente il problema. Uno dei giudici, un tale di nome Weierstrass, riconobbe l'importanza degli studi di Poincaré a tal punto che affermò che la loro pubblicazione avrebbe inaugurato una nuova era nella storia della meccanica celeste. Questi studi diedero l'avvio allo sviluppo della teoria del caos.

Non si pensi però che i sistemi caotici debbano essere complicati, come il mercato azionario o le previsioni del tempo. Anche un sistema semplicissimo come un doppio pendolo può produrre oscillazioni imprevedibili.

Date un'occhiata a questo filmato: il pendolo è stato fabbricato da un mio studente, e lo presenterà all'esame di stato. La qualità della ripresa è bassa, le telecamere dei telefonini non sono un gran che. Ma provate a prevedere quando il pendolo farà un giro completo su sé stesso...


video

23 commenti:

Ricciele ha detto...

Figo, e poi che belle lavagne grandi che avete!!! da noi fanno schifo :P

professore ha detto...

Avete quelle lavagne girevoli, piccoline? Brutte...

StefanoSCF ha detto...

avrei tanto voluto farle anche io queste cose al liceo...

.mau. ha detto...

Quando avevano aperto il Lingotto a Torino c'erano delle sculture a forma di doppio pendolo. Erano affascinanti. Poi le hanno tolte perché arrugginivano :-(

doc ha detto...

Che spettacolo il pendolo doppio, se li ritrovo ti passo i codici per simularlo con "R" e fare le costruzioni di attrattore e spazio delle fasi, magari possono essere utili al tuo studente.

Comunque, concordo, che belle lavagne!

Ricciele ha detto...

si' abbiamo o le lavagne girevoli oppure delle lavagnette da un metro per un metro orrende su cui il gesso non fa presa. Quelle girevoli, se non altro sono quadrettate, le altre sono tristissime. sigh. Senti, non è che metti online le istruzioni e i materiali del pendolo doppio, cosi' una volta lo faccio fare anche io alla mia scuola? Una volta che mi sono trovata una scuola più seria dell'attuale, s'intende :)

Maurizio ha detto...

Esistono sistemi fisici strettamente deterministici? E in che senso possiamo ancora parlare di sistemi deterministici?

professore ha detto...

@.mau.: peccato, l'anno scorso sono stato a visitarlo ma non c'erano sculture mobili...

@doc: R? Un linguaggio di programmazione? Non conosco.

@ricciele: le istruzioni e il materiale sono semplici: due cuscinetti e due pezzi di metallo che li collegano :-) Non ho un progetto dettagliato, ha fatto tutto il mio studente con l'aiuto di uno zio/nonno/parente che lavora il metallo.

@maurizio: diciamo che un pendolo semplice è sufficientemente deterministico. Ma anche il pendolo doppio lo è, il problema sono le nostre basse capacità nel misurare le condizioni iniziali. Se potessimo avere a disposizione infinite cifre decimali saremmo a posto.

@stefanoscf: puoi costruirlo ora nel tempo libero, forse? Anche se non è come farlo a scuola...

Ronkas ha detto...

Il caos ha in se' il fascino e la paura della scoperta, della vita.

Sono interdetto: studiarlo sembra un po' come barare.

In fondo, se sapessimo studiare i sistemi caotici ad un buon livello arriveremo a quella che potremmo dire essere a tutti gli effetti preveggenza.
Questo può essere interessante, o meglio, utile, ai fini dell'interpretazione di nuvole e pioggerelle estive, ma se lo applicassimo alla nostra vita di tutti i giorni?

Ok, inizialmente potrebbe essere un vero spasso, ma subito dopo scopriremmo che il fascino della scoperta e l'emozione della sorpresa sono completamente distrutti, andati persi.

E cosa ancora più terribile, la perenne insoddisfazione dell'uomo prenderebbe la meglio, e in tutti modi cercheremmo di cambiare il nostro futuro, ritrovandoci per caso come sullo stage di uno di quei tanti film horror americani con questo tema.



Scusate la divagazione, ma questo è quello che mi suggerisce il tema, senza questi discorsi il tutto si limita alle solite, sterili considerazioni matematiche e razionali, non errate, non sbagliate o improprie, ma terribilmente scontate.

professore ha detto...

Tranquillo: il principio di indeterminazione di Heisenberg ci assicura che non riusciremo mai a conoscere le condizioni iniziali con la precisione che vogliamo. E quindi, da questo punto di vista, il libero arbitrio non può essere cancellato.

leo ha detto...

salve prof....sono capitato qui attraverso google perchè cercavo informazioni sull'effetto farfalla e la teoria del caos dal punto di vista matematico...
Io ho deciso di portarlo all'esame come argomento della mia tesina, ma non sono ancora riuscito a concretizzarlo in un argomento di matematica da esporre ai docenti...
il resto della tesina è gia pronto, mi manca matematica...non avrebbe qualche suggerimento da darmi? grazie in anticipo

professore ha detto...

@leo: fino a dove arriva il tuo programma? Sai qualcosa di equazioni differenziali?

leo ha detto...

grazie per la rapida risposta...
io ho finito l'ITIS informatica, ma ahimè pur avendo una buona media non sono mai andato bene in matematica...è la mia bestia....
le equazioni differenziali le abbiamo fatte si...poco più di un mese fa...ma ci ho capito poco...
so che molti sistemi possono essere modellizzati con le EDP...la teoria del caos anche?

grazie in anticipo

professore ha detto...

Alcune equazioni differenziali, anche semplici, possono dare luogo a fenomeni caotici. In questo post si parla di un aspetto del caso: la forte sensibilità alle condizioni iniziali (variando pochissimi le condizioni iniziali puoi avere sviluppi diversissimi, se c'è caos).

leo ha detto...

ok si...il concetto è chiaro...una piccola variazione dei dati in ingresso si ripercuote sulla soluzione in maniera imprevedibile...

ma concretamente prof...secondo lei cosa dovrei portare? fare una spiegazione generica sulle equazioni differenziali? portare qualcosa di particolare?

grazie per l'aiuto..

professore ha detto...

Se tu riuscissi a fare "vedere" un po' di caos, non sarebbe male. Poi, come parte teorica, parli delle equazioni differenziali, spieghi cosa si intende con integrale generale e particolare, fai esempi, ne risolvi una facile, spieghi cosa sono le condizioni iniziali, cose così.

Per quanto riguarda il fare vedere: se puoi portare un computer, cerca su internet qualche applet, qualche programma, qua non so consigliarti molto. Se riesci a fare vedere l'attrattore di Lorenz, per esempio, non sarebbe male.

Prova qualche "externa link" nella pagina di wikipedia.

leo ha detto...

grazie, ora ho per lo meno un idea su cosa puntare...lavoro su quello che mi ha detto lei...
eventualmente verrò di nuovo a romperle l'anima qui :)...abbia pazienza...

grazie, a risentirci

doc ha detto...

Questo periodo ho avuto internet solo sporadicamente, purtroppo.

@professore: R è un linguaggio (libero) di analisi statistica. HA una semplice interfaccia ed una sintassi ancora più semplice. Per lo studio dei sistemi dinamici caotici più semplici da integrare è una cannonata (seppure non sia troppo performante).

Ancora non ho rivisto i backup, appena ho un momento cerco i listati (spero di averli ancora) e lascio il link per scaricarli qui da qualche parte

professore ha detto...

Ok, grazie.

leo ha detto...

salve prof, scusi ancora il disturbo...saprebbe fornirmi un esempio di equazione differenziale semplice che con determinate condizioni iniziali ha prima un comportamento semplice e variando di poco le condizioni il suo comportamento diventa caotico?...grazie alla sua "dritta" avovo intenzione di spiegare le eq diff, gli integrali generali e particolari e concludere fornendo questo esempio(che però non so dove andare a trovare)...grazie ancora

professore ha detto...

Ci sarebbero l'attrattore di Roessler e quello di Lorenz.

Gianluca ha detto...

Salve a tutti. Stavo cercando l'equazione differenziale che descrive il moto del doppio pendolo. Quanlcuno è riuscito a ricavarla e me la potrebbe mandare. (yatzy87@hotmail.it). Grazieee

zar ha detto...

Prova qua:

http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/DP/

oppure qua:

http://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum