Il pentagono

La figura qua sopra rappresenta una circonferenza divisa (utilizzando solo riga e compasso (le costruzioni sono nascoste)) in dieci parti. Al suo interno è disegnato un pentagono regolare, all'interno del quale si trova il triangolo ABC.

Nella prova di matematica del liceo scientifico di oggi c'era un quesito che riguardava il lato del decagono regolare, sezione aurea del raggio; decagono e pentagono sono naturalmente legati tra loro, dunque cosa hanno di speciale? Cominciamo dall'inizio.

La risposta è che ciò che rende speciale il pentagono è la presenza del triangolo ABC. Vediamo che proprietà ha: l'angolo al vertice C è la metà dell'angolo al centro, e l'angolo al centro è un quinto dell'angolo giro; quindi l'angolo C è un decimo dell'angolo giro (o 36°, se vogliamo usare i gradi). Il triangolo ABC è isoscele, quindi gli angoli alla base sono congruenti e misurano entrambi un quinto di angolo giro (72°, che è il doppio di 36°, prendete nota perché tutto nasce da qui).

Ora date un'occhiata all'angolo BAD: questo insiste su uno dei lati del pentagono, come fa l'angolo C, quindi BAD ha la stessa ampiezza di C, 36°. Allora il segmento AD è bisettrice di BAC, e il triangolino BAD viene così ad essere simile al triangolo grande. Tra l'altro osserviamo che gli angoli C e CAD sono entrambi di 36°, e quindi il triangolo ADC è isoscele, e AD è congruente a CD.

Riassunto per chi si è perso: 36 e 72 sono ampiezze speciali, rendono la vita piena di triangoli isosceli e triangoli simili.

Bene, coi triangoli simili si posson fare le proporzioni. Eccone una interessante:

AC : AB = AB : BD.

Se prendiamo la lunghezza di AC pari all'unità, e quella di AD pari a x, otteniamo l'equazione

1:x=x:(1-x),

che diventa

x²+x-1=0,

equazione che, risolta, ci dà una soluzione negativa (che non ci interessa), e una positiva pari al rapporto aureo (√5-1)/2.



Ora osserviamo il triangolino verde: è simile a quello rosso (la facile dimostrazione è lasciata al lettore, sennò non finiamo più), il lato lungo è uguale al raggio della circonferenza, mentre il lato corto è uguale al lato del decagono regolare. Quindi il lato del decagono regolare è sezione aurea del raggio della circonferenza, come diceva il quesito dell'esame di stato.

Ecco perché il pentagono è speciale: perché c'è di mezzo la sezione aurea. Se noi, oltre alla diagonale che contiene AD, tracciamo anche le altre, otteniamo una figura come questa:



Le diagonali determinano un nuovo pentagono, all'interno del quale possiamo tracciare altre diagonali, e via così con un'infinità di sezioni auree.

Bello, eh?