La 3-sfera

“La sfera è una figura bidimensionale…”.

“Tridimensionale, vorrai dire”.

“No, ha due dimensioni”.

“Ma come? Mica puoi metterla su un piano, no? Una sfera sta nello spazio”.

“Esatto: una sfera è una superficie, e quindi ha due dimensioni, ma è immersa nello spazio tridimensionale. Dato che è curva, abbiamo bisogno di una terza dimensione per contenerla. Però ci bastano due coordinate per descrivere la posizione di un punto su una sfera, e questo significa che le dimensioni sono solo due”.

“Mh, queste due coordinate potrebbero essere latitudine e longitudine, se ci trovassimo sulla terra, per esempio?”.

“Esatto, bene. Devi pensare alla sfera come alla buccia, senza considerare la parte interna, che è vuota. È per questo che si chiama anche 2-sfera: il 2 sta proprio a significare che è una superficie”.

“Bene, ci sono”.

“Ora cerchiamo un modo per visualizzare la sfera in due dimensioni”.

“Perché?”.

“Perché altrimenti quando passiamo alla 3-sfera abbiamo bisogno di 4 dimensioni per visualizzarla, e sono un po' troppe”.

“Ah. Quindi useremo lo stesso metodo di visualizzazione anche quando parleremo di 3-sfera?”.

“Proprio così. Per capire come funziona, è meglio applicarlo a un oggetto che già conosciamo e maneggiamo meglio, la 2-sfera. Eccola qua, te la disegno con un taglio che la divide in due parti”.

“Perché la tagli?”.

“Perché adesso stacco le due parti. Disegno qualche freccia per segnare i punti corrispondenti”.

“Sbaglio o stai facendo il contrario di quello che hai fatto per costruire il toro?”.

“No, non sbagli, è proprio quello che sto facendo. In questo modo vorrei poter visualizzare la sfera su un piano, così come il toro era rappresentabile come un quadrato”.

“Capisco. Però queste due semisfere sono sempre curve, non ci stanno su un piano”.

“Giusto, ma ora le appiattisco. Se schiaccio le due calotte nella direzione indicata dalle frecce cosa ottengo?”.

“Ottengo due cerchi?”.

“Sì, due dischi pieni, non due circonferenze”.

“Sì, esatto. Due dischi pieni con il bordo in corrispondenza uno con l'altro, se ho ben capito”.

“Proprio così: il bordo è un artificio che utilizziamo per rappresentare la sfera su un piano, ma in realtà la sfera non ha bordo”.

“Mi riesce difficile da immaginare”.

“Devi pensare a un omino bidimensionale che si muove sul disco. Nel momento in cui tocca il bordo viene immediatamente trasportato sul bordo dell'altro disco: lui non si accorge di niente e continua a muoversi”.

“Prima o poi arriverà di nuovo al bordo, però”.

“Certo. E se ci arriva, viene immediatamente teletrasportato sul bordo del primo disco. L'omino non si accorge di niente, continua a camminare come se niente fosse”.

“E se torna al punto di partenza?”.

“Niente, si accorgerà che la superficie della sfera è finita, tutto qua”.

“Credo di aver capito. Passiamo alla 3-sfera?”.

“Ok. Ora però non posso disegnartela, perché la 3-sfera è una figura immersa nello spazio a 4 dimensioni, e facciamo un po' fatica a disegnarla, dato che il nostro spazio di dimensioni ne ha solo 3. Però posso utilizzare il metodo usato per la 2-sfera”.

“In che modo?”.

“Così come la 2-sfera può essere immaginata come 2 dischi (cioè due circonferenze piene) con i bordi in corrispondenza, la 3-sfera può essere immaginata come 2 bocce (cioè due sfere piene) con i bordi in corrispondenza. Provo a fare un disegnino”.

“Mh, forse ho capito. Questa volta l'omino si muove dentro alle sfere, vero?”.

“Sì. L'omino non è più bidimensionale, come prima: questa volta ha tre dimensioni e si muove nello spazio (cioè dentro a una delle due sfere). Quando arriva al bordo, viene teletrasportato sul bordo della seconda boccia e continua a muoversi”.

“Anche qui il bordo è un artificio?”.

“Certo. Serve a noi per poter vedere, ma non esiste: l'omino può continuare a camminare tranquillamente e, eventualmente, può tornare al punto di partenza camminando sempre nella stessa direzione”.

“Bello! E dici che Dante ha usato questa 3-sfera?”.

“Sì, pare proprio che Dante abbia usato la 3-sfera come modello del suo universo (e i fisici, oggi, si stanno ancora chiedendo se davvero il nostro universo sia finito, come la 3-sfera, oppure no)”.

“Mh, non ricordo di aver mai sentito parlare di 3-sfera quando ho studiato Dante”.

“Forse perché la tua prof di italiano non lo sapeva, o magari perché i matematici che studiano Dante non sono poi così tanti (o famosi). Comunque, hai presente com'è fatto l'universo di Dante?”.

“Eh, vediamo se mi ricordo. Al centro c'è la terra…”.

“Diciamo che centro non è proprio la parola adatta, comunque immaginiamo questo punto, che tu chiami centro, come il centro di una sfera”.

“Ah, una delle due sfere del tuo disegno?”.

“Esatto”.

“Anche se la terra non è proprio un punto, eh”.

“Infatti. Ma ricordi cosa c'è al centro della terra?”.

“Ricordo, la descrizione che fa Dante è molto lunga, occupa gran parte dell'ultimo canto dell'Inferno. C'è Satana”.

“Esatto. Dante ha molta paura:”.

Com' io divenni allor gelato e fioco,
nol dimandar, lettor, ch'i' non lo scrivo,
però ch'ogne parlar sarebbe poco.

“Ma comunque lo descrive: è un gigante, immerso nel ghiaccio dal petto in giù, e la sua testa ha tre facce”.

“Perfetto, ricordati delle tre facce che fra un po' ne riparliamo. Ora allontaniamoci dal centro di questa prima sfera: ricordi come fa Dante ad andare verso l'alto?”.

“Oh, sì, risale per un cammino ascoso e attraverso un pertugio tondo vede il cielo, e le stelle”.

“Benissimo. Poi però Dante sale ancora”.

“Sì, la caduta di Satana ha formato la voragine dell'Inferno, e dall'altra parte il monte del Purgatorio”.

“Ottimo, con buona pace di chi pensa che nel medioevo si pensava che la terra fosse piatta”.

“Già. Poi comincia la scalata al monte del Purgatorio”.

“Sì, fino a che Dante e Virgilio non arrivano al paradiso terrestre. Poi Virgilio se ne va e Dante incontra finalmente Beatrice”.

“E va verso il Paradiso, puro e disposto a salire a le stelle”.

“Com'è fatto il Paradiso?”.

“Ricordo che è formato da tanti cieli concentrici”.

“Sì, ci sono nove cieli: Luna, Mercurio, Venere, Sole, Marte, Giove, Saturno, le stelle fisse e, infine, il Primo mobile”.

“Giusto: sono tutti in movimento, man mano che si va verso l'esterno la velocità aumenta. Il Primo mobile si chiama così perché imprime il movimento a tutti i cieli al di sotto”.

“Durante la salita al Primo mobile, Beatrice chiede a Dante di voltarsi indietro, a osservare le sfere sotto di lui. Nel farlo, Dante nota la perfetta simmetria sferica del cielo:”.

Le parti sue vivissime ed eccelse
sì uniforme son, ch'i' non so dire
qual Bëatrice per loco mi scelse.

“Sembra che questo Primo mobile sia importante, per Dante”.

“Hai ancora presente l'immagine della 3-sfera come due sfere con il bordo in corrispondenza?”.

“Sì, certo”.

“Bene: il Primo mobile è proprio il bordo comune alle due sfere”.

“Ah! Capisco! E cosa c'è, allora, nella seconda sfera?”.

“All'inizio del canto 28, Dante vede, riflesso negli occhi di Beatrice, un punto luminoso. Si volta per osservarlo meglio, e lo vede, circondato da nove cerchi in movimento, che si muovono più lenti man mano che si allargano”.

“Cioè, i cerchi esterni sono più lenti di quelli interni? Il contrario di quello che succede con la terra e i cieli che la circondano”.

“In un certo senso è il contrario, ma se noi guardiamo tutta la struttura avendo in mente la 3-sfera, non è così. Dante si trova sul bordo della prima sfera, il quale è anche bordo della seconda sfera. Questo bordo è fittizio: lo sguardo di Dante continua a salire, dirigendosi verso il centro della seconda sfera. Da questo punto di vista, la velocità delle varie sfere concentriche aumenta sempre. E riguardo al centro della seconda sfera, Beatrice afferma:”.

La donna mia, che mi vedëa in cura
forte sospeso, disse: «Da quel punto
depende il cielo e tutta la natura.

“Il centro della seconda sfera è Dio”.

“Esattamente, in perfetta corrispondenza con il centro della prima sfera, Satana”.

“E così come nella prima sfera ci sono nove sfere concentriche, anche nella seconda ce ne sono nove”.

“Sì, la seconda sfera è l'Empireo, che contiene i cori angelici: Serafini, Cherubini, Troni, Dominazioni, Virtù, Potestà, Principati, Arcangeli e Angeli”.

“E infine, la Trinità”.

“Sì. Anche qui in perfetta corrispondenza con i tre volti di Satana. Dante la contempla, e cerca di descriverla. Parla di tre giri, di tre colori e d'una contenenza. Gli ultimi versi del Paradiso sono stati analizzati in modo molto approfondito”.

“Come mai?”.

“Perché Dante fa riferimento al noto problema della quadratura del cerchio. C'è chi interpreta questi versi come una rassegnazione da parte di Dante: come il geometra non riesce a risolvere il problema della quadratura del cerchio, così il poeta non riesce a descrivere il mistero della Trinità”.

“Altri interpretano in modo diverso?”.

“Sì: c'è chi dice che Dante fosse a conoscenza della dimostrazione di Archimede relativa all'area del cerchio. Archimede ha dimostrato, utilizzando il metodo di esaustione, che la superficie di un cerchio è equivalente a quella di un triangolo avente per base la lunghezza della circonferenza, e per altezza il raggio”.

“E quindi?”.

“E quindi Dante, nella parte finale dell'ultimo canto del Paradiso, vorrebbe affermare che come il geometra riesce a risolvere il problema della quadratura del cerchio (grazie a Archimede), così lui riesce a comprendere il mistero della Trinità. Il fulgore di cui ci parla potrebbe essere finalmente l'illuminazione che serve a risolvere il problema”.

“E noi cosa diciamo?”.

“Mah. Noi ci leggiamo i versi di Dante, e per una volta non diciamo nient'altro”.

Qual è 'l geomètra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond' elli indige,

tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l'imago al cerchio e come vi s'indova;

ma non eran da ciò le proprie penne:
se non che la mia mente fu percossa
da un fulgore in che sua voglia venne.

A l'alta fantasia qui mancò possa;
ma già volgeva il mio disio e 'l velle,
sì come rota ch'igualmente è mossa,

l'amor che move il sole e l'altre stelle.

Il toro

“Com'è allora la storia di Zargo's lords?”.

“Eh, è il primo wargame fantasy a cui ho giocato, bellissimo, c'erano diversi tipi di…”.

“No, no, aspetta, che se cominci a parlare di giochi non ti fermi più. Mi riferivo alla faccenda dell'uscita dal tabellone in alto per rientrare in basso”.

“Ah. Eh, avrai notato che è una cosa inconsueta: nel Risiko non si può fare, ad esempio”.

“Eh, certo: se vai a nord arrivi al polo nord, mica al polo sud”.

“Giusto. Questo perché il mondo di Risiko è come il nostro: una sfera”.

“E quello di Zargo's lords, invece? Non lo è?”.

“No”.

“E cos'è, allora?”.

“Te lo disegno, guarda. Questa è la mappa, immaginiamola quadrata. Le frecce indicano i punti corrispondenti: se esci da destra rientri a sinistra, e viceversa; se esci da sopra rientri di sotto, e viceversa”.

“Ok, questo è il movimento secondo le regole”.

“Ora immaginiamo di curvare la mappa, facendo combaciare il lato sopra con quello sotto: cosa otteniamo?”.

“Un tubo?”.

“Esatto, eccolo qua”.

“Ah, comincio a capire. I bordi a destra e a sinistra sono diventati circonferenze, vero?”.

“Esatto. E dobbiamo farle combiaciare”.

“Come facciamo?”.

“Immaginiamo di piegare il tubo, come se fosse fatto di gomma. Ecco quello che otteniamo”.

“Una ciambella!”.

“O, come dicono i Veri Matematici, un toro”.

“E non è quella strana cosa che hai chiamato 3-sfera, vero? Quella che avrebbe a che fare con Dante?”.

“No, questo non c'entra. Volendo, potremmo chiamarlo 2-toro. La prossima volta parliamo della 2-sfera e della 3-sfera”.

Se

Mi chiedeva Massimo Morelli: ma allora il libro La congettura di Poincaré è bello o no?

Se avete già sentito parlare di topologia, se non riuscite a vedere la differenza tra una tazza con un manico e una ciambella, se, quando eravate bambini, siete rimasti un po' a meditare sul fatto che in Risiko non si può uscire dalla mappa in alto e rientrare in basso, mentre in Zargo's lords si può, allora vale la pena leggerlo. Se non sapete cosa sia Zargo's lords, bè, mi dispiace per voi.

La congettura di Poincaré

Di notte, quando guardo in cielo le stelle più remote, le lontane galassie e i gruppi di galassie, trovo impossibile pensare che lassù, da qualche parte, non ci siano altre intelligenze, alcune profondamente diverse dalla nostra. Fra centinaia di anni, se mai svilupperemo delle tecnologie che ci metteranno in grado di incontrare queste forme di vita e di comunicare con loro, scopriremo che esse sanno, o vogliono sapere, che l’unica varietà tridimensionale compatta in cui ogni ciclo può essere ridotto a un punto è la 3-sfera. Potete contarci.

Chi scrive è Donal O'Shea, nel suo libro intitolato La congettura di Poincaré.



Un libro che racconta la storia di uno dei sette problemi del millennio e di come sia stato risolto dal matematico russo Grigori Perelman.

Il 22 agosto 2006, durante il congrsso internazionale di matematica tenutosi a Madrid, venne offerta a Perelman la medaglia Fields, il più importante riconoscimento a cui un matematico possa ambire. Perelman non si presentò alla cerimonia e non ritirò la medaglia.

Ha comunque affermato di non aver ancora deciso se accettare o meno il premio da un milione di dollari promesso dal Clay Institute per la soluzione di uno dei problemi del millennio. Se e quando gli offriranno il premio (o una parte di esso, dato che la sua dimostrazione si basa su importanti scoperte fatte da altri matematici), deciderà.

Ci sarebbe da spiegare, ora, cosa mai sia una 3-sfera, e cosa essa abbia a che fare con Dante (Alighieri, sì, pare che sia stato il primo a parlarne). Ma questa è un'altra storia, e si dovrà raccontare un'altra volta.

Numeri che fanno girare la testa

Oggi xkcd ha pubblicato una vignetta riguardante la congettura di Collatz. Si tratta di un giochino che funziona in questo modo: si prende un numero intero positivo qualunque, se è pari lo si divide per 2, se invece è dispari lo si moltiplica per 3 e si aggiunge 1. E si continua così, fino a che non si arriva a 1 (se si riesce ad arrivare a 1 e si vuole continuare col gioco, si entra in un ciclo: il numero successivo a 1 è 4, poi si ha 2, e di nuovo 1).

Qua a sinistra si può vedere un albero che rappresenta l'evoluzione di alcuni numeri. Come si vede, tutti finiscono a 1. La congettura di Collatz afferma che, comunque noi scegliamo un numero positivo, prima o poi arriviamo sempre a 1. È un giochino che si può fare con carta e penna, durante una riunione noiosa, per esempio. La vignetta suggerisce che se uno comincia a giocarci, poi non finisce più.

Ecco, una persona normale magari alla fine della riunione smette di calcolare e va a casa, ma un matematico forse no.

In effetti questo problema è stato studiato molto, e per molto tempo. È stato proposto nel 1937; nel 1972 Conway ha dimostrato che una generalizzazione della congettura è indecidibile (e qui potrebbero cominciare i guai: se fosse indecidibile anche la congettura, sarebbe inutile cercare una dimostrazione); in seguito ha dimostrato che non possono esistere cicli composti da meno di 400 termini (se esistesse anche solo un ciclo, di qualunque dimensione, la congettura sarebbe falsa, perché gli elementi del ciclo non arriverebbero mai a 1); nel 1985 Lagarias ha dimostrato che non possono esistere cicli di lunghezza minore di 275000, e a questo punto uno potrebbe anche dire “vabbè, dai, allora basta”.

Il fatto è che un matematico non si può accontentare di una serie di conferme alla sua teoria: un matematico vuole la dimostrazione.

La vuole trovare nonostante il parere autorevole di Paul Erdős, che nel 1985 ha affermato che la matematica non è ancora pronta per affrontare problemi così difficili.

Nel frattempo, mentre i matematici sviluppano nuove teorie per affrontare questo difficile problema, i calcolatori continuano a macinare numeri per analizzare sempre più in profondità l'albero di Collatz. Il primo grosso tentativo di studiare la congettura è partito nell'agosto del 1996, quando è stato lanciato un programma scritto in C su due workstation DEC Alpha a 133MHz e altre due a 266MHz. Il programma ha completato l'esame dell'evoluzione di tutti i numeri interi fino a 100·2⁵⁰ nell'aprile del 2000 (no, non ho sbagliato a scrivere).

L'algoritmo è stato migliorato e il programma è stato fatto ripartire nel giugno del 2004. Dopo 81.1 anni di cpu (suddivisi su più macchine, naturalmente), nel gennaio 2009 è stato fermato nuovamente: questa volta ha raggiunto il numero 20·2⁵⁸ (cioè 5764607523034234880), senza trovare alcun controesempio alla congettura — ah, dimenticavo: per maggior sicurezza ogni numero è stato controllato due volte. Un secondo gruppo di ricerca ha ottenuto, in maniera indipendente, lo stesso risultato.

Infine, nel 2001 è partito un progetto di calcolo distribuito che, ad oggi, ha superato la cifra 9·2⁵³.

Tutte queste prove non sono riuscite a trovare nessun controesempio alla congettura. Allora perché continuare? Sembra impossibile che la congettura, vera per così tanti numeri, possa dimostrarsi falsa per numeri ancora più grandi.

Eppure, questa non è una dimostrazione, e la storia della matematica ci insegna che già in altri casi sono stati trovati controesempi per numeri giganteschi. Ad esempio, la congettura di Pólya afferma che la maggior parte (cioè una parte superiore al 50%) dei numeri naturali minori di un dato numero ha un numero dispari di fattori primi. Nel 1958 si è dimostrato che la congettura è falsa, fornendo come controesempio un valore pari circa a 1.845·10³⁶¹. In seguito questo valore è stato abbassato fino a 906150257.

La congettura di Mertens, il cui enunciato riguardante le proprietà di un certo numero n è un po' troppo complicato per stare su questo margine, è stata confutata utilizzando un valore pari a e^3.21·1064. Nel 2006 questo limite è stato un po' abbassato, ed ora è pari a e^1.59·1040.

Esiste poi una proprietà riguardante i numeri primi, che afferma che a un certo punto il numero di numeri primi minori di un certo numero x supera il valore del logaritmo integrale di x. Nel 1914 è stato dimostrato che questo numero esiste. Nel 1933 è stato dimostrato che, se l'ipotesi di Riemann è vera, allora questo numero è maggiore di e^ee79. Nel 1955 è stato dimostrato che, senza la necessità di utilizzare l'ipotesi di Riemann, questo numero è minore di 10^1010963. In seguito questi valori sono stati abbassati, ma rimangono comunque enormi.

Enormi, ma anche piccoli, se confrontati con il numero di Graham: un numero talmente grande che non potrebbe essere contenuto all'interno dell'universo conosciuto, supponendo di poter memorizzare ogni sua cifra in uno spazio pari a un volume di Planck, pari a 4.22419·10⁻¹⁰⁵ metri cubi. Un numero usato in un dimostrazione, eh.

Uh, dimenticavo: come per tutti i grandi teoremi che si rispettino, esiste un premio di mille sterline destinato al primo che riesce a dimostrare, o confutare, la congettura di Collatz.

E, come succede per tutti i grandi teoremi che si rispettino, anche la congettura di Collatz non serve a niente.

Potevo dire di no?

Dice: vuoi partecipare al progetto COMETA? Chiedo: che roba è? Risponde: si tratta di prendere i migliori studenti di tutte le quarte della scuola e trattare una serie di argomenti, scelti in accordo con l'università. In pratica, a meno che tu non abbia idee veramente strambe che a quelli dell'università non vanno proprio giù, parli di quello che vuoi tu.

Il dugongo

(Tutto il movimento di ricordi che segue nasce da una parola letta qui)

Ero un bimbetto di circa dieci anni e, durante le estati, mentre i miei lavoravano, stavo quasi sempre con la nonna, la mamma di mia mamma. Ogni tanto, però, andavo dagli altri nonni, i genitori del babbo, che abitavano vicino al centro città. Il nonno, che ora non c'è più, andava quasi quotidianamente a chiacchierare con il suo consuocero, proprietario di una libreria (che esiste ancora, e porta ancora il cognome del consuocero, anche se ora non è più il proprietario). Io andavo con lui.

Voglio dire: io passavo le mattine all'interno di una libreria, toccavo i libri, li guardavo, li prendevo, li leggevo. Li annusavo.

Sì, oggi si può entrare in una grande libreria, toccare quello che si vuole, leggere magari a scrocco, ma non è la stessa cosa. Quella là era una libreria vera, con un'anima. E un libraio che conosceva ogni volume che aveva in vendita, che salutava i clienti che entravano, scambiava quattro chiacchiere, consigliava.

Vabbè, lo so che adesso, con la diffusione degli ebook reader, quelli che parlano del profumo dei libri sono guardati con sufficienza (non che prima fossero considerati delle persone del tutto normali, eh), ma portate pazienza. Per me quello era un posto speciale.

Mi ci sono letto le origini di Diabolik, per dire.

Il nonno aveva, a casa sua, una edizione della Divina Commedia della casa editrice Nerbini, Firenze. Io la guardavo in continuazione (anche un po' di nascosto: c'erano delle figure un po' scollacciate che non sapevo bene se potevo guardare oppure no); in libreria avevo riconosciuto la stessa casa editrice (la stessa carta, lo stesso profumo) in un paio di libri dalla copertina blu: Iliade ed Eneide. Il nonno me li regalò quando ero alle medie.

Ma tutto ciò non ha nulla a che fare con il dugongo.

Intanto: sapete cos'è un dugongo? Se no, andate pure avanti a leggere. Se sì, fermatevi un attimo a pensare: quando avete imparato il significato della parola? Ve lo ricordate? Io sì, come se fosse ieri. Ero là in quella libreria, e stavo leggendo un libro. Uno di quelli a cui tengo di più.

Pausa.

Ho conosciuto l'arte di Franco Caprioli in quella libreria, leggendo una riduzione a fumetti del romanzo L'isola misteriosa, di Verne. Non conoscevo né il disegnatore, né il romanzo: quando trovai il volume in libreria, non lo mollai più. È un'avventura meravigliosa, con i misteri, le esplorazioni, la natura selvaggia. Con l'ingegnere che sa risolvere ogni tipo di problema (sì, certo, è un'opera di fantasia), sa calcolare l'altezza di un monte utilizzando le proporzioni, sa fabbricare i mattoni, sa estrarre il ferro, sa creare la nitroglicerina, sa trovare longitudine e latitudine. E te lo spiega, anche. E tu, leggendo, impari come si fa.

E i disegni. I disegni di questo artista che disegna con una pazienza infinita. Non usa retini: disegna i puntini a mano. Ne pubblico qualcuno qua sotto: non ho chiesto nessun permesso e, se qualcuno protesterà, li cancellerò. Non ci guadagno nulla.

Il marinaio Pencroff

Una delle invenzioni dell'ingegnere

La lezione sulla similitudine

Il mare è spettacolare

Ed ecco il dugongo

Il teorema dello pseudo Scoto

Già chiamarsi Duns Scoto è strano, ma se poi tutti ti chiamano Doctor Subtilis la faccenda diventa impegnativa.

Della vita di John Duns Scotus (questo è il suo nome non italianizzato) si sa poco: nasce intorno al 1265, probabilmente nella cittadina scozzese di Duns. È un filosofo, un teologo, un sacerdote e un beato della chiesa cattolica.

La tradizione lo vede autore di un teorema denominato Ex falso quodlibet, utilizzato da xkcd nella sua striscia di oggi:

Il teorema afferma che partendo da una contraddizione si può dimostrare qualunque affermazione. Ecco come si fa.

Prendiamo una affermazione qualsiasi; che so, l'ipotesi di Riemann: supponiamo che sia vera e falsa. Ora vogliamo dimostrare che la seguente uguaglianza è vera: “1+1=3”.

Bene, dato che l'ipotesi di Riemann è vera, allora è vera anche l'affermazione che dice “l'ipotesi di Riemann è vera oppure 1+1=3”. Infatti una generica proposizione “p oppure q” è vera quando almeno una delle due proposizioni che la compongono (cioè p oppure q) è vera.

Perfetto. Dato che la proposizione composta “l'ipotesi di Riemann è vera oppure 1+1=3” è vera, e dato che l'ipotesi di Riemann è falsa, allora occorre che sia vero che “1+1=3”. Quindi 1+1 è uguale a 3.

Gli inglesi chiamo questo teorema Principio di esplosione, perché a partire da una semplice contraddizione esso permette di dimostrare tutto. Noi lo chiamiamo invece Teorema dello pseudo Scoto, perché in realtà pare che esso sia stato enunciato da un autore sconosciuto.

Giovanni Duns Scoto, comunque, avrebbe detto che poco importa chi lo ha enunciato: ciò che conta è che il teorema esista. Ed esso esisteva anche prima che lo pseudo Scoto lo portasse alla luce.

Eh eh

(via Aleio)

Per iniziare bene la giornata

(via Mariano Tomatis)

L'algoritmo di Warnsdorff

Il giochino di cui ho parlato qualche giorno fa può essere risolto con un programma per computer. Tecnicamente si tratta di una ricerca di un cammino hamiltoniano su un grafo, che sarebbe poi un percorso che tocca tutti i vertici di un grafo una volta sola.

La scacchiera 10×10 deve essere infatti vista come un grafo: ogni casella è collegata a tutte quelle che sono raggiungibili, a partire da essa, con una sola mossa.

Per esempio, se noi partiamo dalla casella nell'angolo in alto a sinistra, osserviamo che essa è collegata soltanto a tre altre caselle, come nella seguente figura.

A sua volta, ognuna delle tre caselle raggiungibili con la prima mossa è collegata ad altre caselle, e così via. Dunque, per completare il giochino il nostro programma dovrebbe esplorare l'albero delle mosse allo scopo di trovare un percorso che tocchi tutte le caselle una volta sola.

Come si fa? Bè, in generale il problema della ricerca di un cammino hamiltoniano è NP-completo. In linguaggio non da informatico significa che è un problema difficile. Volendo essere più precisi, si può dire che se si riesce a trovare una soluzione al problema, allora è facile verificare che essa sia giusta; ma il problema è trovarla. Infatti la caratteristica principale dei problemi NP-completi è che non si conosce nessun tipo di algoritmo veloce per poterli risolvere. Ciò significa che il tempo impiegato dal computer per risolvere il problema diventa rapidamente dell'ordine degli anni (o delle migliaia di anni, milioni di anni, miliardi di anni, esagerate pure) appena si tenta di aumentare un po' la dimensione del problema stesso.

Volendo essere ancora più precisi: se si riesce a trovare una soluzione veloce a uno dei tanti problemi NP-completi, allora è stato dimostrato che si può trovare una soluzione altrettanto veloce per tutti i problemi della categoria NP-completi. In pratica, sono tutti equivalenti. Per dare un'idea dell'importanza di tutto ciò, sappiate che se riuscite a trovare l'algoritmo veloce avete diritto a un premio di un milione di dollari. Anzi, forse avete diritto al premio anche se dimostrate soltanto l'esistenza di un algoritmo veloce, senza trovarlo (per capire bene se le cose stanno così bisognerebbe leggersi tutto il bando ufficiale del premio).

Bene, torniamo al nostro programma. La scacchiera 10×10 è ancora abbastanza piccola, per cui l'albero delle possibili mosse può ancora essere esplorato andando per tentativi: si prova a sistemare il primo numero, poi si prova col secondo, e così via. Se si arriva all'ultimo, siamo fortunati e il giochino è risolto, altrimenti si torna indietro, si cambia una scelta fatta, e si percorre una nuova strada. Prima o poi si trova la soluzione (o si percorrono tutte le strade e si può affermare con certezza che la soluzione non esiste). Questa tecnica è detta backtracking, ovvero prova e riprova.

Questo particolare tipo di problema di ricerca di cammino hamiltoniano, però, può anche essere risolto senza fare uso della forza bruta, ma utilizzando un algoritmo veloce, detto algoritmo di Warnsdorff (che è poi quello che ho usato io quando ho risolto a mano il gioco).

Funziona in questo modo: supponiamo di avere riempito una certa casella; dobbiamo decidere quale sarà la successiva da riempire. Per ognuna delle caselle candidate, andiamo a vedere a quante altre caselle esse sono collegate. Per esempio, se cominciamo con la prima casella in alto a sinistra, abbiamo tre possibilità. Osserviamo che da due caselle possiamo proseguire in 4 modi diversi, e dalla terza casella possiamo proseguire in 5 modi.

Bene, per andare avanti dobbiamo sempre scegliere la casella con il minor numero di connessioni, cioè quella più difficile da raggiungere (se ci sono più caselle con lo stesso minimo numero di connessioni, scegliamone una a caso). Se seguiamo questo accorgimento, siamo sicuri di arrivare in fondo. Ecco, per esempio, una soluzione generata al computer.

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|  1| 62| 40| 16| 61| 39| 75| 49| 38| 74|
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| 54| 18|  3| 53| 58|  4| 52| 72|  5| 51|
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 41| 15| 60| 67| 94| 79| 66| 95| 78| 48|
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
|  2| 63| 57| 17| 64| 69| 76| 50| 37| 73|
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| 55| 19| 99| 82| 59| 98| 91| 71|  6| 90|
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 42| 14| 29| 68| 93| 80| 65| 96| 77| 47|
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 23| 83| 56| 24| 86| 70| 25| 87| 36| 10|
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 30| 20|100| 81| 32| 97| 92| 33|  7| 89|
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 43| 13| 28| 44| 12| 27| 45| 11| 26| 46|
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 22| 84| 31| 21| 85| 34|  8| 88| 35|  9|
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Un gioco simile a questo è il giro del cavallo: si tratta di toccare tutte le caselle di una scacchiera utilizzando le mosse del cavallo degli scacchi. In questo caso l'algoritmo di Warnsdorff non sempre assicura il successo; se volete divertirvi, in questa pagina c'è una applet java che vi permette di provare.

Scrutini

Modena si è svegliata sotto una coltre di neve

Si osservi lo strato di neve sul lato del palo della luce.

C'è un giochino di cui non conosco il nome

C'è un giochino, di cui non conosco il nome, che funziona così: si deve riempire una griglia quadrata n×n con i numeri che vanno da 1 a n², seguendo queste regole:

1) ci si può spostare in orizzontale o in verticale saltando due caselle,
2) ci si può spostare in diagonale saltando una casella.

Di solito si mette il numero 1 nella prima casella in alto a sinistra, ma non è obbligatorio.

Ai miei tempi era molto noto e si faceva sempre a scuola durante le, ehm, pause. Si parte, di solito, con n=5; i più temerari provano anche con n=10.

Qualche giorno fa uno studente me l'ha riproposto (lui non lo conosceva e lo considerava una novità (i corsi e ricorsi storici…)), e mi sono messo lì a compilare la mia griglia, tra un'interrogazione e un esercizio. Naturalmente anche gli altri studenti si sono interessati, e in breve è iniziata la gara.

“Prof, ma se entra la preside?”, diceva uno.

“Bè? Anche questa è matematica, no?”, rispondevo angelico.

“Massè”, interveniva quello che nella griglia 5×5 si era fermato al numero 9.

“Sì, vi dico. Provate, che poi ne parliamo”, insistevo.

“Prof, ma è ancora lì?”, domandava quello che aveva già riempito un foglio con le sue prove.

“Sono al numero 19, tu?”, rispondevo mentre con la matita segnavo puntini qua e là sulla mia griglia.

“Eh, io sono arrivato all'89 in uno, al 91 in un altro, al 94 in questo, ma non riesco ad arrivare a 100”.

“E allora cosa ridi? Io arrivo al 100 prima di te”.

Insomma, alla fine dell'ora io ero arrivato circa a metà schema, e la lezione successiva ho portato la griglia completa.

Eccola qua:

Provateci, poi ne parliamo.

Condor

Quando il piccolo andava ancora all'asilo, io uscivo di casa alle quindici e cinquantanove. Salivo in macchina in contemporanea con la sigla d'inizio, e mi ascoltavo il primo blocco fino al parcheggio. Scendevo, andavo a recuperare il pargolo, saluti a tutti, risalivo in macchina alle sedici, sedici minuti (e sedici secondi in questo istanteeeh) e andavo verso la scuola elementare frequentata dagli altri due. Durante il viaggio, il piccolo ascoltava attento — non tutto, naturalmente; a lui piacevano molto i pezzi sull'alloctonia, le bestie strane, quelle cose lì. Anche io avevo le mie preferenze, e non è che mi trovassi d'accordo su tutte le affermazioni dei due conduttori; proprio per questo la reputavo una trasmissione intelligente: proponeva delle idee. Il confronto fa sempre bene, e l'imparare cose nuove apre la mente.

A seconda del traffico e dei posti liberi, arrivavamo a parcheggiare intorno alle sedici e venti, sedici e venticinque. Rimanevamo dentro all'auto fino alle sedici e ventotto, curiosi. Una volta sono stato anche Elvio, scrivendo alla redazione che quello di Ritorno al Futuro si chiamava flusso canalizzatore, non catalizzatore.

Alle sedici e trenta uscivano i due grandi dalle elementari, alle sedici e trentacinque eravamo di nuovo in macchina, diretti verso casa o verso qualche palestra, a seconda dei giorni. Eventualmente, una volta arrivati a casa, accendevamo la radio per ascoltare il finale della trasmissione, soprattutto quando c'era la recensione di qualche videogioco nuovo.

Quando il piccolo ha smesso di andare all'asilo ho iniziato a scaricarmi il podcast, dato che mi perdevo sempre la parte iniziale. Non ho ancora ascoltato tutte le puntate, ma qualche giorno fa ho deciso di dare la precedenza alle ultime, lasciando al futuro quelle intermedie. Ci ho provato, eh, ad ascoltare la nuova trasmissione che va in onda allo stesso orario. Ci ho provato davvero, ma non ce l'ho fatta.

Il piccolo, in macchina con me, sente i conduttori dire che di lì a poco la trasmissione sarebbe stata chiusa.

“Babbo, ma questo che stiamo ascoltando è registrato, vero?”.

“Sì”.

“Ma allora, l'hanno chiusa davvero la trasmissione?”.

“Sì”.

“Che peccato. Era tanto bella”.

Otto anni.

Sono una persona orribile/2

Durante le verifiche scritte io mi arrabbio tantissimo perché non c'è silenzio. Voglio che gli studenti stiano zitti, concentrati, attenti a quello che fanno. Non devono parlare, girarsi o (pazzi!) suggerire.

Poi, quando tutti sono tranquilli, con lo sguardo fisso sul foglio, la lingua che spunta tra le labbra, la mano che gratta la nuca, la penna che scrive, SBAM, tiro una gran manata sulla cattedra.

Fa sempre un certo effetto.

Perle

Uno

e due

(Classe quinta superiore, eh)
(C'han la patente)

La catenaria

Wild About Math segnala un bel video riguardante la matematica che è stata usata per la realizzazione del Gateway Arch di St. Louis.

A cosa servono i social network

Fino a ieri non sapevo cosa significasse il termine standard in ambito musicale, e, sì, vabbè, sapevo che Keith Jarrett era un musicista, ma non credo di averlo mai ascoltato consapevolmente.

Poi leggo per caso questo, e ora le note di The Köln Concert stanno riempiendo la casa. Da cui spero di non dover uscire a che il concerto non è finito.

The screen goes to white, instead of black. Cool

Orbitsville

Mettendo ordine nei miei hard disk (ah ah) ho ritrovato una recensione che ho scritto tanto tempo fa, nel 1992. Riguarda un autore di fantascienza che a me piace molto: Bob Shaw. In quella recensione parlavo della trilogia di Orbitsville. Eccola qua:



Bob Shaw, per chi non lo sapesse, è un "inventore": nei suoi romanzi inserisce sempre aggeggi nuovi, da lui creati. Per esempio i "quasiocchi" del romanzo Il cieco del non spazio, o il "vetro lento" di un romanzo che non ho ancora letto. È uno scrittore di fantascienza hard, anche se nella trilogia di Mondo, Sopramondo e Oltremondo mi è sembrato meno hard del solito (non tanto per le astronavi di legno, che giudico una trovata magnifica, quanto per la telepatia che spunta come il prezzemolo).

In questa trilogia si narra di una immensa sfera (immensa significa che il raggio è uguale al raggio dell'orbita terrestre) che racchiude un sole, e che è abitabile sulla superficie interna.

Il primo volume, il cui titolo originale è Orbitsville, racconta della scoperta della stella. &Ergave; un racconto abbastanza asimoviano, c'è il tiranno (una donna, la capa suprema della compagnia che ha il monopolio sulle astronavi tachioniche), e c'è l'eroe-esploratore acerrimo nemico del tiranno.



Il secondo volume ha come titolo originale Orbitsville departure, e racconta quello che è successo sulla terra qualche secolo dopo la scoperta di Orbitsville. La terra è quasi deserta, quasi tutti se ne sono andati su Orbitsville, che ingoia uomini senza fatica, ma che può costituire un pericolo: gli uomini che vivono là non hanno più nessuno stimolo all'intelligenza, hanno trovato un "paradiso" che li annulla a poco a poco, rimangono per tutta la vita eterni coloni e la civiltà non si sviluppa mai. In questa parte c'è l'eroe, non più così positivo come l'eroe del romanzo precedente (o almeno così sembra, almeno per gran parte del libro), c'è l'antieroe, non totalmente negativo, c'è una donna molto bella e ci sono alcune piccolissime annotazioni pruriginose (avete presente gli ultimi Asimov? ecco, circa così, ma piu' fini. Inoltre, le storie d'amore di Asimov sono sempre a lieto fine, qui non è detto che sia così). L'ambientazione è tutta sulla terra, solo nell'ultima parte si parla di Orbitsville, che però… [non aggiungo altro]. Un'ultima nota: ci sono alcune invenzioni: la Luddite Special, la pistola ammazza computer; la mentalica e i mentoni.



Il terzo volume si intitola Orbitsville judgement e, al contrario del precedente, è tutto ambientato su Big O (questo è il nome della sfera datole dagli abitanti). Qualcosa è successo a Orbitsville alla fine dello scorso volume, e chi era fuori se n'è accorto. Ma chi era dentro? L'eroe di questo romanzo è invece negativo (non cattivo, direi piuttosto "maledetto", come i famosi poeti francesi…), almeno per gran parte del racconto. Qui le note pruriginose aumentano, aumentano le donne, e si conclude la trilogia. Shaw potrebbe comunque scrivere un quarto romanzo, ma se è intelligente non lo fa. Se lo farà, lo leggerò.

Scopro oggi che è Bob Shaw è morto nel 1996.

Su un particolare insieme numerico - i Reali, e tanta altra roba

“Tanto tempo fa avevamo parlato dei numeri surreali, e della loro generazione secondo un meccanismo induttivo. Ogni giorno vengono creati nuovi numeri, e abbiamo scoperto che essi sono tutti scrivibili come frazioni diadiche”.

“Sì, ricordo”.

“Bene. Ora dobbiamo fare un passo abbastanza lungo: dobbiamo pensare a quello che succede dopo infiniti giorni”.

“Avevi detto che servono infiniti giorni per creare numeri come, ad esempio, 1/3”.

“Esatto: 1/3 non è una frazione diadica, ma può essere approssimato, bene quanto si vuole, da frazioni diadiche”.

“E questo cosa comporta?”.

“Comporta il fatto che, per esempio, possiamo generare 1/3 in questo modo:”.

{0.01, 0.0101, 0.010101,… | 0.1, 0.011, 0.01011,…}

“Comincio a capire. Ogni numero reale può essere approssimato da frazioni diadiche?”.

“Sì, tutti. Ogni numero reale può essere trasformato in forma binaria: se ne prendi un troncamento qualsiasi, diventa una frazione diadica. Ad esempio, questo è un numero famoso: ”.

11.0010010000111111011010101000100010000101101…

“Uh? E che numero è?”.

“Il famoso pi greco (o pi greca, come diceva un mio collega)”.

“Wow. Però questi surreali sono un po' una delusione, tutta questa fatica per creare numeri che già conosciamo e usiamo”.

“Se anche fosse vero quello che dici, l'obiezione che si potrebbe fare è la seguente: non importa tanto il risultato, quanto il metodo usato per arrivarci. Con questa costruzione abbiamo imparato cose che prima non conoscevamo. Rimane il fatto, però, che quello che dici non è vero”.

“Perché no?”.

“Perché oltre ai numeri reali vengono creati anche tanti altri numeri”.

“Altri numeri non reali?”.

“Sì. Guarda questo, ad esempio:”.

{0,1,2,3,… |}

“Uhm, cos'è questo orrore?”.

“È un numero transfinito, quello che una volta avevamo chiamato ω”.

“Ah! Ma allora con questa teoria dei numeri surreali i numeri finiti e quelli infiniti sono parenti?”.

“Sono lo stesso tipo di numeri: surreali, appunto. Ma non è finita, dopo infiniti passi (potremmo dire nel giorno ℵ) vengono creati anche altri numeri. Guarda quest'altro:”.

{ |…, -3, -2, -1, 0}

“Un numero infinito negativo?”.

“Che possiamo chiamare -ω”.

“Bello. C'è dell'altro?”.

“Sì, ad esempio questo:”.

{0 | 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,…}

“Questo non lo capisco. Maggiore di 0 ma minore di qualunque frazione diadica?”.

“Sì, non è importante che la frazione sia diadica, naturalmente. Abbiamo quelle a disposizione, e quindi usiamo quelle, ma il fatto importante è che questo numero è maggiore di zero e minore di qualunque numero reale positivo”.

“E che numero è?”.

“È un infinitesimo, che potremmo chiamare 1/ω”.

“Ma che meraviglia”.

“Non solo lo 0 ha, vicino a sé, un infinitesimo, ma anche tutti gli altri numeri che hanno espansione binaria finita. Per esempio, eccoti 1+1/ω”.

{1 | 1+1/2, 1+1/4, 1+1/8,…}

“Uhm, peccato però”.

“Cosa?”.

“Peccato non poter avere infinitesimi intorno a tutti i numeri reali: sarebbe una creazione più completa”.

“Bè, per quello bisogna aspettare un altro giorno”.

“Un giorno dopo il giorno ℵ? Possibile?”.

“Certo. Il giorno dopo ℵ tutti i numeri reali avranno i loro vicini infinitesimi”.

“Ma allora, se è possibile andare avanti dopo il giorno ℵ, si potranno creare anche altri numeri infiniti”.

“Certo. Si possono creare tutti gli ordinali di Cantor, e tanti altri numeri. Per esempio:”.

ω+1 = {ω |}

“Questo è ancora un ordinale di Cantor”.

“Sì. Guarda questo, invece:”.

ω+1/2 = {ω | ω+1}

“Questo Cantor non lo conosceva!”.

“E che mi dici di {0,1,2,3,… | ω}?”.

“Mh, questo non lo capisco”.

“È ω-1”.

“Anche le sottrazioni? Incredibile: un numero transfinito minore di ω, Cantor si rivolterebbe nella tomba”.

“O ne sarebbe entusiasta, chissà. Naturalmente così come hai costruito ω-1 puoi anche costruire ω-2, eccetera”.

“Eh, sì”.

“E puoi combinare infiniti e infinitesimi, per costruire numeri come ω+1/ω oppure ω-1/ω”.

“Eh, eh, infinitamente vicini all'infinito”.

“Poi, naturalmente, puoi andare avanti e, dopo un opportuno (e infinito) numero di giorni potrai avere ω+ω = 2ω, poi 3ω, e così via. Ci saranno ω², ω³, fino ad arrivare a ω^ω. Il quale comunque non è un punto di arrivo, come abbiamo già visto con gli ordinati transfiniti di Cantor: si può sempre andare avanti”.

“Qui, se ho capito bene, oltre ad andare avanti si può anche andare, in un certo senso, dentro. Cioè vicino a numeri già noti in una maniera che prima non sarebbe stata possibile”.

“Esatto. Questo, ad esempio, è ω/2: {0,1,2,… | ω, ω-1, ω-2,…}”.

“Non avevo pensato alle divisioni”.

“E che dire della radice quadrata di ω?”.

“Si può calcolare anche quella?”.

“Eccola: {0,1,2,3,… | ω, ω/2, ω/4,…}. E, per quanto riguarda gli infinitesimi, puoi farne molti:”.

1/(2ω) = {0 | 1/ω}
2/ω = {1/ω | 1, 1/2, 1/4,…}
1/ω² = {0 | 1/ω, 1/(2ω), 1/(4ω),…}

“Bellissimo”.

“Per concludere, eccoti una definizione di derivata”.

“Si può fare anche l'analisi, con questi numeri?”.

“Sì, possono essere usati per la cosiddetta analisi non standard. La derivata di una funzione, ad esempio, è il numero reale più vicino al quoziente tra (f(x + 1/ω)-f(x)) e 1/ω stesso”.

“Gulp”.

Esperienza in via d'estinzione

Mia moglie si è data al blogging, con un triste sottotitolo: riflessioni urgenti per documentare e condividere un'esperienza in via d'estinzione: l'insegnamento della Storia dell'arte.

La riforma scolastica probabilmente colpirà duro…

Buon inizio decennio

Per fare gli auguri di buon anno volevo scrivere una cosa che tirava in ballo creazionismo, evoluzionismo, Dio (che vide che era cosa molto buona) e la materia oscura.

Poi ho pensato che questa foto fosse più indicata.

Differenze

Questa volta ha cambiato un po' le carte in tavola: Lei è sempre Lei, la gnocca intelligente. Lui è sempre Lui, l'umanista bello e atletico. Il Cattivo, questa volta, coincide col Sicario, mentre tu, lettore che hai già letto quattro libri identici, ti aspetti che sia uno dei Buoni. Invece no, anche se in effetti un Buono che interagisce per un po' col Cattivo c'è, ma solo perché è stato ingannato.

Basta, tutto il resto è una grossa caccia al tesoro condita con improbabili colpi di scena (da ricordare la ricerca su internet di tre o quattro parole chiave, che dura la bellezza di tre capitoli). Del resto, quasi ogni capitolo si chiude con un personaggio che rimane senza parole di fronte a una incredibile scoperta.

Il libro potrebbe finire con la morte del Cattivo, e invece no: prosegue con un elogio della massoneria e del sincretismo religioso tanto lungo e martellante che ci si domanda come mai la chiesa non sia intervenuta nei confronti di questo romanzo così come aveva fatto in occasione del primo. Forse perché chi lo doveva leggere si è addormentato prima della fine.

Ultima lezione a Gottinga

Ne aveva parlato Andrea Plazzi sul suo blog, poi i Rudi Matematici durante la celebrazione del quinto Carnevale della Matematica, poi di nuovo Andrea Plazzi, seguito dai Rudi Mathematici nell'ultimo numero della loro rivista e da .mau. sul suo blog.

Si tratta del libro Ultima lezione a Gottinga, un racconto matematico a fumetti o, se volete, una graphic novel, che parla degli infiniti di Cantor. Siamo nella Germania governata dal nazismo, e il professore ebreo sta dando l'ultimo saluto all'aula, ora deserta, nella quale ha fatto lezione per tanto tempo.

L'aula, però, non è del tutto vuota: uno studente è entrato per recuperare un libro che aveva dimenticato, ed assiste alla lezione solitaria del suo professore.

La matematica è tanta, riassunta in poche tavole; i disegni sono molto belli. Se, poi, la lettura di questo racconto a fumetti vi ha incuriositi, magari date un'occhiata anche a Verso l'infinito (ma con calma), il mio contributo alla diffusione delle teorie di Cantor (dove non troverete fumetti, ma dialoghi — svolti, probabilmente, in un periodo meno cupo rispetto a quelli dell'Ultima lezione).

Vamolà

Proooof, ma a cosa ci serve questa roba nella vita?

“Per la matematica, cerca non solo di ricordare semplicemente cosa e come fare, ma anche di capirlo e di apprenderlo come si apprende un pezzo musicale. La matematica non deve essere nella mente come un peso portato dall’esterno, ma come un’abitudine del pensiero: bisogna imparare a vedere i rapporti geometrici in tutta la realtà e a individuare le formule in tutti i fenomeni. Chi è capace di rispondere all’esame e di risolvere i compiti, ma dimentica il pensiero matematico quando non si parla direttamente di matematica, non ha appreso la matematica”.

“La matematica è la più importante delle scienze che formano il pensiero: essa approfondisce, precisa, generalizza e lega in un unico modo la visione del mondo, educa e sviluppa, dà un approccio filosofico alla natura”.

Parole di Pavel Aleksandrovič Florenskij, lette su MatePristem grazie a una segnalazione del ventesimo Carnevale della Matematica.

I Will Derive

Devo assolutamente farlo cantare ai miei studenti di quarta.

At first I was afraid, what could the answer be?
It said given this position find velocity.
So I tried to work it out, but I knew that I was wrong.
I struggled; I cried, "A problem shouldn't take this long!"
I tried to think, control my nerve.
It's evident that speed's tangential to that time-position curve.
This problem would be mine if I just knew that tangent line.
But what to do? Show me a sign!

So I thought back to Calculus.
Way back to Newton and to Leibniz,
And to problems just like this.
And just like that when I had given up all hope,
I said nope, there's just one way to find that slope.
And so now I, I will derive.
Find the derivative of x position with respect to time.
It's as easy as can be, just have to take dx/dt.
I will derive, I will derive. Hey, hey!

And then I went ahead to the second part.
But as I looked at it I wasn't sure quite how to start.
It was asking for the time at which velocity
Was at a maximum, and I was thinking "Woe is me."
But then I thought, this much I know.
I've gotta find acceleration, set it equal to zero.
Now if I only knew what the function was for a.
I guess I'm gonna have to solve for it someway.

So I thought back to Calculus.
Way back to Newton and to Leibniz,
And to problems just like this.
And just like that when I had given up all hope,
I said nope, there's just one way to find that slope.
And so now I, I will derive.
Find the derivative of velocity with respect to time.
It's as easy as can be, just have to take dv/dt.
I will derive, I will derive.

So I thought back to Calculus.
Way back to Newton and to Leibniz,
And to problems just like this.
And just like that when I had given up all hope,
I said nope, there's just one way to find that slope.
And so now I, I will derive.
Find the derivative of x position with respect to time.
It's as easy as can be, just have to take dx/dt.
I will derive, I will derive, I will derive!

Puntini sulle i

“Allora, ragazzi, come mai non eravate a scuola ieri?”.

“Siamo stati all'università, alla presentazione delle varie facoltà”.

“Ah, bello. Quali presentazioni avete ascoltato?”.

“Quasi tutti ingegneria, qualcuno economia… Però, prof, lei sa qualcosa di ingegneria matematica?”.

“Veramente, no. Cosa vi hanno detto?”.

“Eh, ci hanno detto che un ingegnere matematico non è solo un matematico, ma anche…”.

“No, fermo”.

“Cosa?”.

“Volevi dire che un matematico non è solo un ingegnere, vero?”.

“Ma, veramente…”.

“No. No. No. Tu volevi dire così”.

“Ah, va bene”.

“Sia chiaro”.

“Ehm, no, perché loro ci avevano detto che un ingegnere matematico sa le cose che sa un matematico e però può anche fare cose che di solito fanno gli ingegneri”.

“Vabbé, ma quelli che ti hanno detto così sono ingegneri”.

“Sì”.

“Quindi cosa vuoi che ne sappiano loro?”.

“Prof, facciamo lezione adesso?”.

Chi sono?

1a. Ho due cifre
1b. Sono pari

2a. Contengo un 7
2b. Sono primo

3a. Sono il prodotto di due interi dispari consecutivi
3b. Sono 1 più un quadrato perfetto

4a. Sono divisibile per 11
4b. Sono 1 più un cubo perfetto

5a. Sono un quadrato perfetto
5b. Ho tre cifre

Una sola affermazione per ogni gruppo è vera. Trovare il numero.

(via jd2718)

Il Topolino di una volta

Mia nonna, classe 1921, conserva ancora alcuni Topolini (plurale della rivista a fumetti Topolino) di mio papà: si parla dei primi numeri del giornalino che ancora oggi viene venduto in edicola.

Le storie pubblicate a quei tempi erano molto diverse da quelle di oggi. Proprio poco fa mi è arrivata un'email pubblicitaria che mi segnalava una nuova iniziativa: si può andare su un sito, sfogliare un catalogo di 60 storie e farsi stampare un Topolino personalizzato con le storie preferite.

Ho ritrovato alcune chicche meravigliose: Zio Paperone e il ventino fatale, ad esempio, di Barks, in cui Zio Paperone se la vede molto brutta. Oppure Eta Beta e il tesoro di Mook, una lunghissima storia a puntate di Walsh e Gottfredson che oggi sarebbe impossibile pubblicare in un giornale per bambini: pistole, pugni, minacce, morti. E poi c'è L'Inferno di Topolino, nella versione non censurata: imperdibile.

Si possono leggere online, è un peccato non conoscerle.

Interpolazione polinomiale

Per due punti passa una e una sola retta. Nel linguaggio della geometria analitica significa che esiste un'unica equazione di primo grado (una retta) in x e y avente per soluzioni le coordinate dei due punti. Se i due punti non sono disposti in verticale (non hanno la stessa x) allora si può dire che esiste un'unica funzione di primo grado y = f(x) che è soddisfatta dalle coordinate dei due punti.

Generalizziamo.

Esiste un'unica funzione di secondo grado (parabola) il cui grafico passa per tre punti (non aventi la stessa ascissa), esiste un'unica funzione di terzo grado il cui grafico passa per quattro punti, esiste un'unica funzione di grado n il cui grafico passa per n+1 punti.

Come si calcola?

Si sostituiscono le coordinate dei punti all'interno dell'equazione, si prendono come incognite i coefficienti delle x, e si risolve il sistema risultante. Sistema che risulterà essere di primo grado in n+1 equazioni e n+1 incognite.

Sì, va bene, ma quando si tratta di dieci punti, come fai?

Mi faccio aiutare da un qualche programma apposito: per esempio maxima. Inserisco una generica funzione polinomiale di nono grado in questo modo:

f(x):=a0*x^9+a1*x^8+a2*x^7+a3*x^6+a4*x^5
+a5*x^4+a6*x^3+a7*x^2+a8*x+a9;

e poi dico al programma di risolvere il sistema che si ottiene sostituendo le dieci coordinate dei punti al posto di x e y, così:

solve([f(0)=5,f(1)=2,f(2)=9,f(3)=8,f(4)=4,f(5)=6,
f(6)=7,f(7)=3,f(8)=1,f(9)=0],[a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9]);

ed ecco il risultato:

        31            293        1943         3509       11489
[[a0 = -----, a1 = - -----, a2 = ----, a3 = - ----, a4 = -----,
      90720         20160       7560         1440        864

       119551       1555541         244631       2318
a5 = - ------, a6 = -------, a7 = - ------, a8 = ----, a9 = 5]]
        2880         22680           5040        315

Questa è l'unica funzione di nono grado che passa per i punti che abbiamo scelto. Questa risposta sarà più o meno laterale di quella che utilizza l'ordine alfabetico?

Ecco, comunque, il grafico:

Pensiero laterale

Il discepolo chiese al maestro:

“Maestro, insegnami il pensiero laterale”.

“Va bene”, rispose il maestro, “osserva questa sequenza numerica”.

5, 2, 9, 8, 4, 6, 7, 3, 1, 0.

“Sai dirmi”, continuò il maestro, “quale legge ordina i numeri che vedi?”. Il discepolo se ne andò, meditando. Il giorno dopo tornò dal maestro con la soluzione:

“Maestro! Ho capito! Quei numeri sono in ordine alfabetico!”.

“Mh”.

“Ma come?”, domandò il discepolo, perplesso. “Non è vero?”.

“Forse è vero, mio giovane discepolo, ma non hai pensato abbastanza lateralmente. Eccoti la mia risposta:”.

“Maestro, non capisco”.

“Ti basta sostituire i numeri da zero a nove al posto della x, e avrai l'illuminazione”.

Carnevale della Matematica #19

Benvenuti al diciannovesimo Carnevale della Matematica. Per iniziare, ecco qua un bel quadrato magico formato dai periodi delle espansioni decimali delle frazioni 1/19, 2/19, …, 18/19.

052631578947368421
105263157894736842
157894736842105263
210526315789473684
263157894736842105
315789473684210526
368421052631578947
421052631578947368
473684210526315789
526315789473684210
578947368421052631
631578947368421052
684210526315789473
736842105263157894
789473684210526315
842105263157894736
894736842105263157
947368421052631578

E ora alcune spigolature sul numero 19.

Il ciclo di Metone è un calendario che si basa sul fatto che 19 anni solari corrispondono a circa 235 mesi lunari: è un calendario lunisolare, cioè sincronizzato sia col sole che con la luna — non è precisissimo, ma non preoccupatevi: se non studiate il calendario ebraico, se non dovete calcolare la data della prossima Pasqua e se non programmate viaggi sulla Luna non vi servirà.

La diciannovesima buca di un campo da golf è il bar alla fine del percorso — a meno che non giochiate al Legend Golf & Safari Resort, dove esiste anche la diciannovesima buca: si sale con un elicottero su una cima alta 400 metri e si deve far buca in tre colpi in un'area a forma di Africa 400 metri sotto. Ma non approfondiamo troppo perché se proprio uno vuole divertirsi a lanciare una pallina giù da una montagna, può anche fare lo sforzo di non usare un elicottero.

Si racconta che il famoso matematico indiano Ramanujan, celebre per la sua impressionante familiarità con i numeri e capacità di calcolo, ricevette la visita del collega Hardy mentre era ricoverato in ospedale a Putney. L'amico era arrivato in taxi e, tanto per far conversazione, disse a Ramanujan che il suo taxi aveva il numero 1729, che gli sembrava abbastanza poco interessante, come numero. "Assolutamente no!", rispose il macinanumeri, senza pensarci un istante, "è interessantissimo, invece! È il numero più piccolo che si possa esprimere come somma di due cubi in due modi diversi!". In effetti 1729 è uguale a 1³+12³ e a 9³+10³ — ma a noi oggi interessa il fatto che 1729 è uguale al prodotto di 19 per 91.

Ogni numero intero positivo può essere espresso come somma di al più 19 quarte potenze — e questo è un risultato del 1986 riguardante un problema posto nel 1770 (e questo, a sua volta, la dice lunga sulla pazienza e la tenacia dei matematici).

Nel 1809, Napoleone si recò al palazzo di Schönbrunn per giocare contro il Turco, un automa in grado di simulare un giocatore di scacchi. La storia ci ha lasciato diversi resoconti della partita, alcuni anche contraddittori. A noi piace il seguente: di solito, nelle precedenti esibizioni, il Turco aveva sempre avuto la possibilità di fare la prima mossa, ma quella volta Napoleone non volle essere secondo, e cominciò lui la partita. Poco dopo, l'Empereur tentò una mossa illegale: il Turco rimise il pezzo al suo posto e continuò la partita. Napoleone, allora, tentò una mossa illegale una seconda volta, e il Turco rispose rimuovendo definitivamente il pezzo dalla scacchiera. Napoleone tentò la mossa una terza volta, e il Turco rispose muovendo il suo braccio meccanico in modo da spazzare via tutti i pezzi dalla scacchiera. Napoleone ne fu soddisfatto e, divertito, giocò una partita vera contro la macchina. Alla diciannovesima mossa si arrese, dichiarando la sconfitta — nel 1820 venne rivelato che la macchina era un trucco, in realtà al suo interno si nascondeva un maestro di scacchi che la comandava manualmente. Ma, a quel tempo, Napoleone aveva altro per la testa.

L'unico numero primo p, minore di 19000000019, per il quale si ha che le prime cifre di p^p sono uguali a p, è 19 — infatti, 19¹⁹ è uguale a 1978419655660313589123979.

La successione di Fibonacci F(n) è nota a tutti: i primi due termini sono uguali a 1 e ogni termine, dal terzo in poi, è ottenuto sommando i due che lo precedono. Il primo numero primo p per il quale F(p) non è a sua volta primo è 19 — abbiamo infatti che F(3)=2, F(5)=5, F(7)=13, F(11)=89, F(13)=233, F(17)=1597, mentre F(19)=4181=37×113.

Esiste un criterio di divisibilità per 19: dato un numero, si toglie l'ultima cifra, si moltiplica per 9 ciò che rimane, e poi si sottrae l'ultima cifra. Se risulta 0, 19 o un multiplo di 19, allora il numero dato è divisibile per 19 — per esempio, dato 114, 11×9-4=95, che è divisibile per 19 (se uno non se ne accorge, può ripetere il test: 9×9-5=76; 7×9=57; 5×9-7=38; 3×9-8=19; a questo punto ci si può fermare).

Il FRACTRAN è un linguaggio di programmazione molto criptico ideato da Conway. Un programma scritto in FRACTRAN è composto da una lista ordinata di frazioni positive e da un valore iniziale di input n, intero positivo. Il programma modifica il valore di n secondo le seguenti due regole:

1) si cerca la prima frazione f nella lista per la quale nf è un intero, e si sostituisce n con nf

2) si ripete la regola precedente fino a che non esiste più nessuna frazione della lista che produce un intero quando viene moltiplicata per n; a quel punto il programma termina.

Bene, il linguaggio è Turing completo (ed incomprensibile). Ecco un generatore di numeri primi:

17/91, 78/85, 19/51, 23/38, 29/33, 77/29, 95/23, 77/19, 1/17, 11/13, 13/11, 15/14, 15/2, 55/1.

Quando viene lanciato con il valore iniziale di n=2, si ottiene la seguente sequenza: 15, 825, 725, 1925, 2275, 425, e così via. Ogni volta che compare una potenza di 2, bisogna guardarne l'esponente: la prima volta troveremo che l'esponente è uguale a 2, poi 3, poi 5, 7, e così via: vengono generati tutti i numeri primi. Il programma non è però molto efficiente: servono 19 iterazioni per ricavare il primo numero primo.

E concludiamo con l'articolo 19 della dichiarazione universale dei diritti umani: Ogni individuo ha diritto alla libertà di opinione e di espressione incluso il diritto di non essere molestato per la propria opinione e quello di cercare, ricevere e diffondere informazioni e idee attraverso ogni mezzo e senza riguardo a frontiere.

Ora veniamo ai contributi, in rigoroso ordine di ricevimento:

dioniso continua, dal suo blogghetto, a raccontarci un percorso storico tra numeri e geometria: siamo alla dodicesima parte, in cui si parla di Al-Khwārizmī.

knulp, da Scacciamennule, propone un problema che parla di bistecche e barbecue.

Giampaolo Mele ha appena aperto un blog, La vita è un gioco. Nel suo primo post ci parla di matematica, giochi, dilemmi. Nessuno si è mai chiesto come funzioni tutto?

marcellosblog ci propone un'analisi del gioco Win for Life, dalla quale si evince come sia facile appartenere all'insieme dei perdenti, e ci segnala un video di Sir Ken Robinson a favore della creazione di un sistema educativo che nutra la creatività.

I Rudi Mat(h)ematici segnalano Appeso al muro: vi siete mai chiesti perché in molti orologi, soprattutto in quelli sui campanili, il numero romano 4 è scritto come IIII e non come si dovrebbe, cioè IV? Il post contiene anche un foto quiz, dove bisogna trovare un orologio speciale tra nove. Abbiamo poi il compleanno del mese, questa volta dedicato a Weierstraß e alla poesia — già, perché i compleanni di RM non parlano mai di un argomento solo, e se non li conoscete vale la pena dedicare dieci minuti a una lettura attenta e non superficiale. Per la serie Paraphernalia Mathematica hanno scritto un post sulla matematica degli origami, che permette di fare calcoli più complicati rispetto a quelli possibili con l'uso di soli riga e compasso: si possono trisecare gli angoli, ad esempio. Infine, la soluzione ai quesiti pubblicati a ottobre sulla rivista Le Scienze: Chi si fila il filetto? Non dimenticate il numero di novembre della rivista Rudi Mathematici, di cui segue il sommario: il compleanno di Ipazia, i due problemi del mese, il Bungee Jumpers, la recensione di Flatlandia, le soluzioni dei lettori e le note della redazione, il Quick and Dirty, e la seconda parte dei Paraphernalia Mathematica sulla crittografia.

.mau., preso da vari impegni e monelli, dice che ha scritto poco. Ecco qua: un post celebrativo per i 95 anni di Martin Gardner, una analisi probabilistica per cercare di capire se l'acrostico presente nel veto firmato dal governatore della California sia casuale o no. Seguono alcune considerazioni, più o meno filosofiche, sulle dimostrazioni matematiche al calcolatore: una dimostrazione che può essere fatta a mano in qualche secolo, o al computer in tempi più brevi, è una dimostrazione valida?. Per la categoria giochi, abbiamo il Windoku, ovvero un sudoku con le finestre, e Flood Fill, un gioco che richiama il teorema dei quattro colori. Per quanto riguarda invece la categoria Povera Matematica, Berlusconi dà i numeri ci parla del fatto che non si possono sommare le mele con le pere. La serie di interventi di .mau. si conclude con la recensione del libro Numerologia.

Da Gravità Zero arrivano invece i seguenti contributi: Walter Caputo ci parla del dualismo onda-particella in un vecchio esperimento mentale della meccanica quantistica, e dell'equazione di Drake in Non probabilità di vita extraterrestre, ma semplici frequenze basate su stime incerte. Claudio Pasqua invece racconta dell'intervista a Daniele Gouthier e conclude con una bufala matematica: non sarebbe meglio fare qualche conto prima di sparare delle cifre

annarita comincia con la matofobia: chi ha paura della matematica? Poi continua con un crittogramma e la sua soluzione, con la segnalazione di un software per creare triangoli, cerchi e stelle magici, un filmato dal TED in cui si parla di matematica e guerra, e gli aquiloni di Pitagora (e computer art). Per quanto riguarda la didattica con GeoGebra, annarita ci parla di circonferenze, delle proprietà delle figure equivalenti, dell'area del rettangolo e di quella del quadrato, di quella del rombo, e della lunghezza della circonferenza. Per quanto riguarda invece scienze e matematica, ecco un primo post (proveniente da un altro suo blog, Scientificando) che lega la successione di Fibonacci e la disposizione delle foglie sul fusto di una pianta, e un secondo post che lega il teorema di Pitagora con la teoria della relatività.

I Rudi Mathematici arrivano in tempo per la chiusura del Carnevale con un gustoso post dal titolo Piccoli Problemi Probabilmente Poco Pregnanti (Però Poetici): non fate caso al fatto che il link abbrevia il titolo con problemi noiosi e andatelo a leggere, anche solo il primo paragrafo la dice lunga su molte cose…

Giovanna ci propone poi alcune curve di frutti: il limone e la mela di Keplero, l'arachide e la pera. Poi prosegue con tanti post sulla didattica e la storia della matematica: da decimale a binario con excel, un compito in classe (o verifica?) sui sistemi di numerazione, la costante nei poligoni regolari, le tassellature del piano con poligoni non regolari, un classico problema su cerchi e dintorni e la sua soluzione, un legame tra le pigne e i numeri di Fibonacci, la matematica in Dante: triangoli rettangoli e semicirconferenze nel Paradiso, ancora Fibonacci, questa volta con i conigli e un limerick di Popinga, il teorema di Pitagora in due dei più antichi trattati di matematica cinesi e una intervista impossibile fatta proprio a Pitagora. Giovanna conclude con un problema-teorema riguardante tre cerchi.

Da Chimicare abbiamo un articolo di argomento chimico-matematico o, se vogliamo, di chimica divulgativa dai risvolti matematici: come possiamo trasformare un profumo in una matrice numerica?

E arriviamo alla fine del Carnevale con due interventi di Popinga: tre acrostici matematici, o tre acrostici dedicati a tre grandi matematici, e Gli immaginari di Törless, ovvero come fanno i matematici a pensare e utilizzare cose che non esistono?

(Credevate che fosse la fine? Invece no, .mau., in ritardo sul ritardo, segnala un ultimo quesito, un rebus crittografico. Per rilassarsi un po' tra una notiziola e l'altra)

Bene, il Carnevale finisce qua: arrivederci al prossimo, che sarà ospitato da Matem@ticamente il 14 dicembre. O magari arrivederci al Carnevale della Fisica, che partirà il 30 di questo mese, in occasione dei 400 anni di Galileo.

Strane associazioni

Il Ragazzo in Giallo

Questo è uno studente di mia moglie. Un genio.

Carnevale della Matematica — call for papers

Il 14 novembre ci sarà il Carnevale della Matematica: chi vuole partecipare si iscriva qui. Non siate timidi...