Su un particolare insieme numerico - i Reali, e tanta altra roba

“Tanto tempo fa avevamo parlato dei numeri surreali, e della loro generazione secondo un meccanismo induttivo. Ogni giorno vengono creati nuovi numeri, e abbiamo scoperto che essi sono tutti scrivibili come frazioni diadiche”.

“Sì, ricordo”.

“Bene. Ora dobbiamo fare un passo abbastanza lungo: dobbiamo pensare a quello che succede dopo infiniti giorni”.

“Avevi detto che servono infiniti giorni per creare numeri come, ad esempio, 1/3”.

“Esatto: 1/3 non è una frazione diadica, ma può essere approssimato, bene quanto si vuole, da frazioni diadiche”.

“E questo cosa comporta?”.

“Comporta il fatto che, per esempio, possiamo generare 1/3 in questo modo:”.

{0.01, 0.0101, 0.010101,… | 0.1, 0.011, 0.01011,…}

“Comincio a capire. Ogni numero reale può essere approssimato da frazioni diadiche?”.

“Sì, tutti. Ogni numero reale può essere trasformato in forma binaria: se ne prendi un troncamento qualsiasi, diventa una frazione diadica. Ad esempio, questo è un numero famoso: ”.

11.0010010000111111011010101000100010000101101…

“Uh? E che numero è?”.

“Il famoso pi greco (o pi greca, come diceva un mio collega)”.

“Wow. Però questi surreali sono un po' una delusione, tutta questa fatica per creare numeri che già conosciamo e usiamo”.

“Se anche fosse vero quello che dici, l'obiezione che si potrebbe fare è la seguente: non importa tanto il risultato, quanto il metodo usato per arrivarci. Con questa costruzione abbiamo imparato cose che prima non conoscevamo. Rimane il fatto, però, che quello che dici non è vero”.

“Perché no?”.

“Perché oltre ai numeri reali vengono creati anche tanti altri numeri”.

“Altri numeri non reali?”.

“Sì. Guarda questo, ad esempio:”.

{0,1,2,3,… |}

“Uhm, cos'è questo orrore?”.

“È un numero transfinito, quello che una volta avevamo chiamato ω”.

“Ah! Ma allora con questa teoria dei numeri surreali i numeri finiti e quelli infiniti sono parenti?”.

“Sono lo stesso tipo di numeri: surreali, appunto. Ma non è finita, dopo infiniti passi (potremmo dire nel giorno ℵ) vengono creati anche altri numeri. Guarda quest'altro:”.

{ |…, -3, -2, -1, 0}

“Un numero infinito negativo?”.

“Che possiamo chiamare -ω”.

“Bello. C'è dell'altro?”.

“Sì, ad esempio questo:”.

{0 | 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,…}

“Questo non lo capisco. Maggiore di 0 ma minore di qualunque frazione diadica?”.

“Sì, non è importante che la frazione sia diadica, naturalmente. Abbiamo quelle a disposizione, e quindi usiamo quelle, ma il fatto importante è che questo numero è maggiore di zero e minore di qualunque numero reale positivo”.

“E che numero è?”.

“È un infinitesimo, che potremmo chiamare 1/ω”.

“Ma che meraviglia”.

“Non solo lo 0 ha, vicino a sé, un infinitesimo, ma anche tutti gli altri numeri che hanno espansione binaria finita. Per esempio, eccoti 1+1/ω”.

{1 | 1+1/2, 1+1/4, 1+1/8,…}

“Uhm, peccato però”.

“Cosa?”.

“Peccato non poter avere infinitesimi intorno a tutti i numeri reali: sarebbe una creazione più completa”.

“Bè, per quello bisogna aspettare un altro giorno”.

“Un giorno dopo il giorno ℵ? Possibile?”.

“Certo. Il giorno dopo ℵ tutti i numeri reali avranno i loro vicini infinitesimi”.

“Ma allora, se è possibile andare avanti dopo il giorno ℵ, si potranno creare anche altri numeri infiniti”.

“Certo. Si possono creare tutti gli ordinali di Cantor, e tanti altri numeri. Per esempio:”.

ω+1 = {ω |}

“Questo è ancora un ordinale di Cantor”.

“Sì. Guarda questo, invece:”.

ω+1/2 = {ω | ω+1}

“Questo Cantor non lo conosceva!”.

“E che mi dici di {0,1,2,3,… | ω}?”.

“Mh, questo non lo capisco”.

“È ω-1”.

“Anche le sottrazioni? Incredibile: un numero transfinito minore di ω, Cantor si rivolterebbe nella tomba”.

“O ne sarebbe entusiasta, chissà. Naturalmente così come hai costruito ω-1 puoi anche costruire ω-2, eccetera”.

“Eh, sì”.

“E puoi combinare infiniti e infinitesimi, per costruire numeri come ω+1/ω oppure ω-1/ω”.

“Eh, eh, infinitamente vicini all'infinito”.

“Poi, naturalmente, puoi andare avanti e, dopo un opportuno (e infinito) numero di giorni potrai avere ω+ω = 2ω, poi 3ω, e così via. Ci saranno ω², ω³, fino ad arrivare a ω^ω. Il quale comunque non è un punto di arrivo, come abbiamo già visto con gli ordinati transfiniti di Cantor: si può sempre andare avanti”.

“Qui, se ho capito bene, oltre ad andare avanti si può anche andare, in un certo senso, dentro. Cioè vicino a numeri già noti in una maniera che prima non sarebbe stata possibile”.

“Esatto. Questo, ad esempio, è ω/2: {0,1,2,… | ω, ω-1, ω-2,…}”.

“Non avevo pensato alle divisioni”.

“E che dire della radice quadrata di ω?”.

“Si può calcolare anche quella?”.

“Eccola: {0,1,2,3,… | ω, ω/2, ω/4,…}. E, per quanto riguarda gli infinitesimi, puoi farne molti:”.

1/(2ω) = {0 | 1/ω}
2/ω = {1/ω | 1, 1/2, 1/4,…}
1/ω² = {0 | 1/ω, 1/(2ω), 1/(4ω),…}

“Bellissimo”.

“Per concludere, eccoti una definizione di derivata”.

“Si può fare anche l'analisi, con questi numeri?”.

“Sì, possono essere usati per la cosiddetta analisi non standard. La derivata di una funzione, ad esempio, è il numero reale più vicino al quoziente tra (f(x + 1/ω)-f(x)) e 1/ω stesso”.

“Gulp”.