sabato 21 novembre 2009

Interpolazione polinomiale

Per due punti passa una e una sola retta. Nel linguaggio della geometria analitica significa che esiste un'unica equazione di primo grado (una retta) in x e y avente per soluzioni le coordinate dei due punti. Se i due punti non sono disposti in verticale (non hanno la stessa x) allora si può dire che esiste un'unica funzione di primo grado y = f(x) che è soddisfatta dalle coordinate dei due punti.

Generalizziamo.

Esiste un'unica funzione di secondo grado (parabola) il cui grafico passa per tre punti (non aventi la stessa ascissa), esiste un'unica funzione di terzo grado il cui grafico passa per quattro punti, esiste un'unica funzione di grado n il cui grafico passa per n+1 punti.

Come si calcola?

Si sostituiscono le coordinate dei punti all'interno dell'equazione, si prendono come incognite i coefficienti delle x, e si risolve il sistema risultante. Sistema che risulterà essere di primo grado in n+1 equazioni e n+1 incognite.

Sì, va bene, ma quando si tratta di dieci punti, come fai?

Mi faccio aiutare da un qualche programma apposito: per esempio maxima. Inserisco una generica funzione polinomiale di nono grado in questo modo:

f(x):=a0*x^9+a1*x^8+a2*x^7+a3*x^6+a4*x^5
+a5*x^4+a6*x^3+a7*x^2+a8*x+a9;

e poi dico al programma di risolvere il sistema che si ottiene sostituendo le dieci coordinate dei punti al posto di x e y, così:

solve([f(0)=5,f(1)=2,f(2)=9,f(3)=8,f(4)=4,f(5)=6,
f(6)=7,f(7)=3,f(8)=1,f(9)=0],[a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9]);

ed ecco il risultato:

        31            293        1943         3509       11489
[[a0 = -----, a1 = - -----, a2 = ----, a3 = - ----, a4 = -----,
90720 20160 7560 1440 864

119551 1555541 244631 2318
a5 = - ------, a6 = -------, a7 = - ------, a8 = ----, a9 = 5]]
2880 22680 5040 315


Questa è l'unica funzione di nono grado che passa per i punti che abbiamo scelto. Questa risposta sarà più o meno laterale di quella che utilizza l'ordine alfabetico?

Ecco, comunque, il grafico:

10 commenti:

topor ha detto...

molto ma mooolto meno laterale...
comunque grazie per la spiegazione, finalmente ho capito

zar ha detto...

Argh! Avevo scritto "per un punto"!

Piotr ha detto...

Già. E io per un po' ho pensato che stessi parlando di geometria non euclidea, riemanniana o giù di lì. Fiuut...

zar ha detto...

Sono riuscito a sbagliare la cosa più banale :-)

topor ha detto...

mi sono persa qualchecosa?

zar ha detto...

Sì, c'era scritto che per un punto passa una sola retta...

topor ha detto...

allora hai corretto in tempo perchè io me ne accorgessi...
Certo che, pensando lateralmente, può essere anche vero che "per un punto passa una sola retta" (a un concorso per due posti da bidella, tra le due concorrenti che vincono avendo ottenenuto 57 punti rispetto ai 56 delle perdenti,una sola non ha la scoliosi...)
:-)

enrico ha detto...

lo ammetto è superiore alle mie povere forze, certo che la soluzione dell'allievo...

paopasc ha detto...

E' vero, non è semplice decidere quale delle due risposte sia più laterale. Potremo definire la più laterale/creativa come quella risposta inizialmente sconosciuta che si ottiene utilizzando euristiche non inerenti il sistema in oggetto. Del resto, se questa soluzione è già conosciuta da chi risponde cessa di essere la più laterale, almeno per lui (il fatto che la successione fosse relativa alla lettera iniziale della parola che definisce ogni numero era già conosciuta). Quindi potremmo definirla come quella più inconsueta rispetto al corpus di conoscenze: sia relativamente al campo di applicazione proprio (usare metodiche eterogenee) sia in assoluto riferendosi a qualsiasi campo di applicazione (usando metodiche omogenee).
E se invece utilizzassimo l'analogia punti e rette per cercare di 'vedere' geometricamente cosa sono le risposte ugualmente valide a una domanda? (Quando sono consentite risposte multiple) Anche qui, per un solo punto/domanda passano infinite rette/risposte, mentre se il maestro inseriva altre condizioni avremmo potuto continuare l'analogia? Sarebbe da sviluppare.
Un saluto, e complimenti.

zar ha detto...

Grazie... In effetti, per un enigmista la soluzione alfabetica è forse la meno laterale delle due.