venerdì 19 marzo 2010

La 3-sfera

“La sfera è una figura bidimensionale…”.

“Tridimensionale, vorrai dire”.

“No, ha due dimensioni”.

“Ma come? Mica puoi metterla su un piano, no? Una sfera sta nello spazio”.

“Esatto: una sfera è una superficie, e quindi ha due dimensioni, ma è immersa nello spazio tridimensionale. Dato che è curva, abbiamo bisogno di una terza dimensione per contenerla. Però ci bastano due coordinate per descrivere la posizione di un punto su una sfera, e questo significa che le dimensioni sono solo due”.

“Mh, queste due coordinate potrebbero essere latitudine e longitudine, se ci trovassimo sulla terra, per esempio?”.

“Esatto, bene. Devi pensare alla sfera come alla buccia, senza considerare la parte interna, che è vuota. È per questo che si chiama anche 2-sfera: il 2 sta proprio a significare che è una superficie”.

“Bene, ci sono”.

“Ora cerchiamo un modo per visualizzare la sfera in due dimensioni”.

“Perché?”.

“Perché altrimenti quando passiamo alla 3-sfera abbiamo bisogno di 4 dimensioni per visualizzarla, e sono un po' troppe”.

“Ah. Quindi useremo lo stesso metodo di visualizzazione anche quando parleremo di 3-sfera?”.

“Proprio così. Per capire come funziona, è meglio applicarlo a un oggetto che già conosciamo e maneggiamo meglio, la 2-sfera. Eccola qua, te la disegno con un taglio che la divide in due parti”.


“Perché la tagli?”.

“Perché adesso stacco le due parti. Disegno qualche freccia per segnare i punti corrispondenti”.



“Sbaglio o stai facendo il contrario di quello che hai fatto per costruire il toro?”.

“No, non sbagli, è proprio quello che sto facendo. In questo modo vorrei poter visualizzare la sfera su un piano, così come il toro era rappresentabile come un quadrato”.

“Capisco. Però queste due semisfere sono sempre curve, non ci stanno su un piano”.

“Giusto, ma ora le appiattisco. Se schiaccio le due calotte nella direzione indicata dalle frecce cosa ottengo?”.



“Ottengo due cerchi?”.

“Sì, due dischi pieni, non due circonferenze”.

“Sì, esatto. Due dischi pieni con il bordo in corrispondenza uno con l'altro, se ho ben capito”.

“Proprio così: il bordo è un artificio che utilizziamo per rappresentare la sfera su un piano, ma in realtà la sfera non ha bordo”.



“Mi riesce difficile da immaginare”.

“Devi pensare a un omino bidimensionale che si muove sul disco. Nel momento in cui tocca il bordo viene immediatamente trasportato sul bordo dell'altro disco: lui non si accorge di niente e continua a muoversi”.

“Prima o poi arriverà di nuovo al bordo, però”.

“Certo. E se ci arriva, viene immediatamente teletrasportato sul bordo del primo disco. L'omino non si accorge di niente, continua a camminare come se niente fosse”.

“E se torna al punto di partenza?”.

“Niente, si accorgerà che la superficie della sfera è finita, tutto qua”.

“Credo di aver capito. Passiamo alla 3-sfera?”.

“Ok. Ora però non posso disegnartela, perché la 3-sfera è una figura immersa nello spazio a 4 dimensioni, e facciamo un po' fatica a disegnarla, dato che il nostro spazio di dimensioni ne ha solo 3. Però posso utilizzare il metodo usato per la 2-sfera”.

“In che modo?”.

“Così come la 2-sfera può essere immaginata come 2 dischi (cioè due circonferenze piene) con i bordi in corrispondenza, la 3-sfera può essere immaginata come 2 bocce (cioè due sfere piene) con i bordi in corrispondenza. Provo a fare un disegnino”.


“Mh, forse ho capito. Questa volta l'omino si muove dentro alle sfere, vero?”.

“Sì. L'omino non è più bidimensionale, come prima: questa volta ha tre dimensioni e si muove nello spazio (cioè dentro a una delle due sfere). Quando arriva al bordo, viene teletrasportato sul bordo della seconda boccia e continua a muoversi”.

“Anche qui il bordo è un artificio?”.

“Certo. Serve a noi per poter vedere, ma non esiste: l'omino può continuare a camminare tranquillamente e, eventualmente, può tornare al punto di partenza camminando sempre nella stessa direzione”.

“Bello! E dici che Dante ha usato questa 3-sfera?”.

“Sì, pare proprio che Dante abbia usato la 3-sfera come modello del suo universo (e i fisici, oggi, si stanno ancora chiedendo se davvero il nostro universo sia finito, come la 3-sfera, oppure no)”.

“Mh, non ricordo di aver mai sentito parlare di 3-sfera quando ho studiato Dante”.

“Forse perché la tua prof di italiano non lo sapeva, o magari perché i matematici che studiano Dante non sono poi così tanti (o famosi). Comunque, hai presente com'è fatto l'universo di Dante?”.

“Eh, vediamo se mi ricordo. Al centro c'è la terra…”.

“Diciamo che centro non è proprio la parola adatta, comunque immaginiamo questo punto, che tu chiami centro, come il centro di una sfera”.

“Ah, una delle due sfere del tuo disegno?”.

“Esatto”.

“Anche se la terra non è proprio un punto, eh”.

“Infatti. Ma ricordi cosa c'è al centro della terra?”.

“Ricordo, la descrizione che fa Dante è molto lunga, occupa gran parte dell'ultimo canto dell'Inferno. C'è Satana”.

“Esatto. Dante ha molta paura:”.

Com' io divenni allor gelato e fioco,
nol dimandar, lettor, ch'i' non lo scrivo,
però ch'ogne parlar sarebbe poco.

“Ma comunque lo descrive: è un gigante, immerso nel ghiaccio dal petto in giù, e la sua testa ha tre facce”.

“Perfetto, ricordati delle tre facce che fra un po' ne riparliamo. Ora allontaniamoci dal centro di questa prima sfera: ricordi come fa Dante ad andare verso l'alto?”.

“Oh, sì, risale per un cammino ascoso e attraverso un pertugio tondo vede il cielo, e le stelle”.

“Benissimo. Poi però Dante sale ancora”.

“Sì, la caduta di Satana ha formato la voragine dell'Inferno, e dall'altra parte il monte del Purgatorio”.

“Ottimo, con buona pace di chi pensa che nel medioevo si pensava che la terra fosse piatta”.

“Già. Poi comincia la scalata al monte del Purgatorio”.

“Sì, fino a che Dante e Virgilio non arrivano al paradiso terrestre. Poi Virgilio se ne va e Dante incontra finalmente Beatrice”.

“E va verso il Paradiso, puro e disposto a salire a le stelle”.

“Com'è fatto il Paradiso?”.

“Ricordo che è formato da tanti cieli concentrici”.

“Sì, ci sono nove cieli: Luna, Mercurio, Venere, Sole, Marte, Giove, Saturno, le stelle fisse e, infine, il Primo mobile”.

“Giusto: sono tutti in movimento, man mano che si va verso l'esterno la velocità aumenta. Il Primo mobile si chiama così perché imprime il movimento a tutti i cieli al di sotto”.

“Durante la salita al Primo mobile, Beatrice chiede a Dante di voltarsi indietro, a osservare le sfere sotto di lui. Nel farlo, Dante nota la perfetta simmetria sferica del cielo:”.

Le parti sue vivissime ed eccelse
sì uniforme son, ch'i' non so dire
qual Bëatrice per loco mi scelse.

“Sembra che questo Primo mobile sia importante, per Dante”.

“Hai ancora presente l'immagine della 3-sfera come due sfere con il bordo in corrispondenza?”.

“Sì, certo”.

“Bene: il Primo mobile è proprio il bordo comune alle due sfere”.

“Ah! Capisco! E cosa c'è, allora, nella seconda sfera?”.

“All'inizio del canto 28, Dante vede, riflesso negli occhi di Beatrice, un punto luminoso. Si volta per osservarlo meglio, e lo vede, circondato da nove cerchi in movimento, che si muovono più lenti man mano che si allargano”.

“Cioè, i cerchi esterni sono più lenti di quelli interni? Il contrario di quello che succede con la terra e i cieli che la circondano”.

“In un certo senso è il contrario, ma se noi guardiamo tutta la struttura avendo in mente la 3-sfera, non è così. Dante si trova sul bordo della prima sfera, il quale è anche bordo della seconda sfera. Questo bordo è fittizio: lo sguardo di Dante continua a salire, dirigendosi verso il centro della seconda sfera. Da questo punto di vista, la velocità delle varie sfere concentriche aumenta sempre. E riguardo al centro della seconda sfera, Beatrice afferma:”.

La donna mia, che mi vedëa in cura
forte sospeso, disse: «Da quel punto
depende il cielo e tutta la natura.

“Il centro della seconda sfera è Dio”.

“Esattamente, in perfetta corrispondenza con il centro della prima sfera, Satana”.

“E così come nella prima sfera ci sono nove sfere concentriche, anche nella seconda ce ne sono nove”.

“Sì, la seconda sfera è l'Empireo, che contiene i cori angelici: Serafini, Cherubini, Troni, Dominazioni, Virtù, Potestà, Principati, Arcangeli e Angeli”.

“E infine, la Trinità”.

“Sì. Anche qui in perfetta corrispondenza con i tre volti di Satana. Dante la contempla, e cerca di descriverla. Parla di tre giri, di tre colori e d'una contenenza. Gli ultimi versi del Paradiso sono stati analizzati in modo molto approfondito”.

“Come mai?”.

“Perché Dante fa riferimento al noto problema della quadratura del cerchio. C'è chi interpreta questi versi come una rassegnazione da parte di Dante: come il geometra non riesce a risolvere il problema della quadratura del cerchio, così il poeta non riesce a descrivere il mistero della Trinità”.

“Altri interpretano in modo diverso?”.

“Sì: c'è chi dice che Dante fosse a conoscenza della dimostrazione di Archimede relativa all'area del cerchio. Archimede ha dimostrato, utilizzando il metodo di esaustione, che la superficie di un cerchio è equivalente a quella di un triangolo avente per base la lunghezza della circonferenza, e per altezza il raggio”.

“E quindi?”.

“E quindi Dante, nella parte finale dell'ultimo canto del Paradiso, vorrebbe affermare che come il geometra riesce a risolvere il problema della quadratura del cerchio (grazie a Archimede), così lui riesce a comprendere il mistero della Trinità. Il fulgore di cui ci parla potrebbe essere finalmente l'illuminazione che serve a risolvere il problema”.

“E noi cosa diciamo?”.

“Mah. Noi ci leggiamo i versi di Dante, e per una volta non diciamo nient'altro”.

Qual è 'l geomètra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond' elli indige,

tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l'imago al cerchio e come vi s'indova;

ma non eran da ciò le proprie penne:
se non che la mia mente fu percossa
da un fulgore in che sua voglia venne.

A l'alta fantasia qui mancò possa;
ma già volgeva il mio disio e 'l velle,
sì come rota ch'igualmente è mossa,

l'amor che move il sole e l'altre stelle.

14 commenti:

tetrapharmakon ha detto...

Il tuo blog e' meraviglioso. C'e' bisogno di cose del genere, nella vita. Mi sdilinquirei di piu' ma siamo in pubblico: ti basti avere l'apprezzamento sincero di un matematico in piu' rispetto a quelli che ti apprezzavano ieri!

zar ha detto...

Eh, grazie :-)

Popinga ha detto...

L'articolo è davvero assai bello. Questa di Dante e la 3-sfera proprio non la sapevo, eppure, dal tuo ragionamento, mi appare di una coerenza ineccepibile.
Grazie.

zar ha detto...

Io avevo già letto qualcosa a riguardo, ma mi sono illuminato solo quando ho trovato la spiegazione della 3-sfera ne La congettura di Poincaré.

Charlie Brown ha detto...

Delizioso! Ecco un (aspirante) matematico in più che ora ti apprezza =) buon lavoro!

zar ha detto...

Bravo (per l'"aspirante", eh, non per l'apprezzamento :-) ).

galliolus ha detto...

Un mio amico ha inventato un'emoticon per "standing ovation", ed è un sacco di tempo che volevo usarla:

:->-<

zar ha detto...

:-)

J_B ha detto...

Pignoleria sterile (che non sposta di una virgola l'elegante bellezza di questo post): una sfera È una figura tridimensionale. Il guscio sferico invece è una superficie bidimensionale immersa nelle 3 dimesioni canoniche. Un po' la stessa differenza che c'è fra un disco ed un cerchio.
Poi siamo d'accordissimo che "guscio sferico" suona infinitamente peggio di "sfera" e che usare questo termine avrebbe rovinato tutto il post ;-)

Cassa ha detto...

@J_B: mah, non è detto. Ricordo che alle medie ci avevano insegnato questa distinzione, ma in letteratura matematica la superficie è sphere ed il solido è ball (che all'università è liberamente tradotto in "palla")

zar ha detto...

Già, infatti anche io pensavo a sfera come a superficie (insomma, all'equazione x^2+y^2+z^2=r^2).

(Da noi all'università era "boccia", invece di "palla")

Anonimo ha detto...

Complimenti! Mo' che ho scoperto il blog ci torno. Ma questa di Dante è veramente una "chicca"... :-)

Maria Vittoria ha detto...

da dove iniziare?
ho appena letto un articolo sul sole 24 ore a proposito dell'universo dantesco e il concetto di 3 sfera.
interessante ma non illuminante.
illuminante è stato il tuo post, scovato mentre cercavo informazioni in più su questo concetto matematico che sconoscevo.
quando ero al liceo lessi un libro, "flatlandia", che ha molto in comune con il tuo stile.
trovo non sia da tutti coniugare in modo così ineccepibile pensiero matematico e forma letteraria.
davvero complimenti e grazie, grazie, grazie.
M. Vittoria
p.s. volevo chiederti il permesso di condividere sul mio profilo Facebook il link del tuo articolo... spero mi dirai di si :)

zar ha detto...

Ciao, ti ringrazio molto per i complimenti... E, sì, puoi condividere, certo.

Grazie