Verso l'infinito, ma con calma - omega

Ogni ordinale è dunque l'insieme che contiene tutti gli ordinali minori di esso, e questo insieme è bene ordinato. Inoltre gli ordinali finiti corrispondono ai numeri naturali. Poi ci sono gli ordinali transfiniti.

“Esistono anche quelli?”.

“Certo. Dato che esistono insiemi infiniti e dato che ogni insieme è bene ordinabile, a ogni insieme dotato di ordinamento puoi associare un ordinale, così come abbiamo fatto con i cardinali”.

“Ah. E quindi anche in questo caso dovremo usare simboli che non sono numeri?”.

“Eh sì. Ora definiamo un ordinale transfinito, il più semplice. Associato all'insieme infinito più semplice, quello dei numeri naturali”.

“Sono pronto”.

“Ricorderai questa serie di definizioni:”.

0 = {}
1 = {0}
2 = {0,1}
3 = {0,1,2}
...

“Sì, certo. Ogni ordinale è l'insieme di tutti gli ordinali che lo precedono”.

“Bene. Ora, l'insieme dei numeri naturali può essere visto come un insieme di ordinali”.

“Sì, direi l'insieme di tutti gli ordinali finiti”.

“Ok. Allora definiamo l'ordinale ω in questo modo: ω = {0,1,2,3,...}”.

“Bé, mi pare di capire che questo ordinale sia l'insieme dei numeri naturali”.

“È così, come l'ordinale 4 è l'insieme {0,1,2,3}”.

“Va bene, ma non lo avevamo chiamato ℵ₀?”.

“Oh, no. Con ℵ₀ avevamo indicato solo la cardinalità dell'insieme dei naturali, non abbiamo mai parlato dell'ordinamento. Esistono insiemi di cardinalità ℵ₀ che però corrispondono a un ordinale diverso da ω”.

“Uh? Vorrei un esempio”.

“Va bene, ma prima ti farò un esempio di un insieme diverso da quello dei naturali che corrisponde sempre allo stesso numero ordinale”.

“Va bene, vai”.

“Considera questo insieme: {Piccolino, 0,1,2,...}”.

“Carino, è l'insieme dei numeri naturali ai quali hai aggiunto Piccolino. Ma ha sempre cardinalità ℵ₀, come insegna il paradosso dell'albergo di Hilbert”.

“Giusto. Devi però osservare che ho aggiunto un elemento all'interno di un insieme ordinato, e quindi ho specificato anche come funziona l'ordinamento per questo nuovo elemento: in pratica, Piccolino è minore di tutti gli altri numeri”.

“Va bene, avresti potuto chiamarlo -1, però”.

“Certo, ma preferisco così per analogia con l'esempio che ti farò dopo”.

“Allora ok, chiamiamolo Piccolino”.

“Questo insieme, allora, è in corrispondenza biunivoca con quello dei naturali?”.

“Sì, certo, come con l'albergo di Hilbert. Basta spostare tutti i numeri di una posizione per fare posto a Piccolino. In questo modo mantengo anche l'ordinamento”.

“E quindi, anche questo insieme corrisponde al numero ordinale ω”

“Sì, giusto”.

“Ora considera quest'altro insieme: {0,1,2,...,Gigante}”.

“Uhm, cosa c'è al posto di quei puntini?”.

“L'elenco di tutti i numeri naturali. Prevengo la tua obiezione: avere scritto Gigante dopo infiniti numeri significa che Gigante, nell'ordinamento dei naturali, è maggiore di qualunque altro numero”.

“Uhm, mi pare di capire. Anche questo insieme ha cardinalità ℵ₀, però...”.

“Però?”.

“Però non riesco più a fare una corrispondenza biunivoca che mantiene l'ordine”.

“Perché no?”.

“Perché non so dove sistemare quel Gigante. Se devo mantenere l'ordine, dovrei farlo corrispondere con un numero naturale maggiore di tutti gli altri. Solo che questo numero non esiste”.

“Bravo. Hai capito che questo insieme non corrisponde all'ordinale ω”.

“E a quale ordinale corrisponde?”.

“Te lo dico dopo che avremo imparato a fare le operazioni”.