Verso l'infinito, ma con calma - ordinali in ordine

Sembra un gioco di parole, ma è possibile stabilire un ordinamento tra gli ordinali. Per farlo, occorre una definizione preliminare: dato un insieme bene ordinato A, si chiama segmento iniziale di un elemento x appartenente ad A l'insieme di tutti gli elementi che precedono x nell'ordinamento stabilito su A, e lo si indica con s(x).

Per esempio, se A è l'insieme dei numeri naturali, s(3)={0,1,2}.

A questo punto possiamo definire l'ordinamento tra gli ordinali. Dati i due ordinali α e β, se esiste una corrispondenza biunivoca che conserva l'ordine tra α e un segmento iniziale di β, diciamo che α è minore di β. Viceversa, se esiste una corrispondenza biunivoca che conserva l'ordine tra un segmento iniziale di α e β, allora diciamo che β è minore di α. Se poi esiste una corrispondenza biunivoca che conserva l'ordine tra α e β, allora α è uguale a β.

“Non ci ho mica capito molto, sai?”.

“Esempio facile: sono dati i due ordinali 3 e 5. Ricordi che sono insiemi, vero?”.

“Sì, 3 è uguale a {0,1,2} mentre 5 è uguale a {0,1,2,3,4}”.

“Ottimo. È vero che esiste una corrispondenza biunivoca tra i due?”.

“No”.

“Ed è vero che puoi mettere in corrispondenza biunivoca uno dei due con un segmento dell'altro?”.

“Sì: in pratica il primo insieme è un segmento del secondo. Metto in corrispondenza lo 0 del primo insieme con lo 0 del secondo, poi 1 del primo insieme con 1 del secondo, poi 2 del primo col 2 del secondo. Rimangono fuori, dal secondo, 3 e 4”.

“Bene, secondo la definizione allora 3 è minore di 5”.

“Ah, certo. Non è che prima non lo sapessi, eh”.

“Lo so, ma questo era un esempio semplice, per capire. Ora prendi questi due insiemi:”.

{0,1,2,...}
{0,1,2,...,Gigante}

“Ah, me li ricordo. Avevamo detto che non si riesce a metterli in corrispondenza biunivoca se si vuole mantenere l'ordine”.

“Esatto. Ma prova a considerare questo segmento iniziale del secondo: s(Gigante)”.

“Uhm, è formato da tutti gli elementi minori di Gigante”.

“Giusto, quindi?”.

“Quindi è l'insieme dei naturali. Ah! Ci sono: esiste una corrispondenza biunivoca che mantiene l'ordine tra il primo insieme e un segmento del secondo”.

“Allora, se li vediamo come ordinali, il primo è minore del secondo”.

“Il primo l'abbiamo chiamato ω, ma il secondo?”.

“Daremo un nome al secondo quando impareremo a fare le operazioni”.

“Uffa”.

“Per adesso, ragiona su questo tipo di ordinamento”.

“Che ragionamenti devo fare?”.

“Per prima cosa, dato un ordinale, possiamo dire che esiste sempre il successivo”.

“Uhm, con i numeri naturali è ovvio, ma con gli ordinali transfiniti come si fa?”.

“Devi tener presente che ogni ordinale è l'insieme di tutti gli ordinali che lo precedono. Ad esempio, 4 = {0,1,2,3}. Ma il successivo di 4 è 5, e 5 è uguale a {0,1,2,3,4}. Dunque potresti scrivere che 5 = 4 ∪ {4}”.

“Aspetta, aspetta: qui stai facendo operazioni tra insiemi?”.

“Esatto, non pensare a 4 come a un numero, ma come all'insieme {0,1,2,3}”.

“Ah, allora vuoi dire che 5 è uguale all'unione di {0,1,2,3} con {4}. Ok, così torna”.

“Bene, allora per ogni numero ordinale possiamo fare questo giochetto: il successivo di α è α ∪ {α}”.

“Mh, allora il successivo di ω cosa sarebbe? ω unito con {ω}?”.

“Esatto. Il successivo di ω è uguale a ω ∪ {ω}, cioè {0,1,2,...,ω}”.

“Questo mi ricorda l'insieme di prima, {0,1,2,...,Gigante}”.

“Effettivamente è lui. Ma prima che ti torni in mente di chiedermi come si chiama, ti faccio notare che sebbene ogni ordinale ammetta un successore, non è vero il contrario”.

“Cioè?”.

“Cioè non tutti gli ordinali sono successori di qualche altro ordinale”.

“Non è possibile! Se il successore di 4 è 5, allora 5 è successore di 4, no?”.

“Senza dubbio. Ma puoi dirmi di quale ordinale è successore ω?”.

“...”.

“Di nessuno, vero?”.

“Già”.

“E allora lo chiamiamo ordinale limite. Vedi, gli ordinali sono insiemi bene ordinati, e quindi hanno sempre un minimo. Ma non è detto che abbiano un massimo. Se ce l'hanno, allora sono successori di qualche ordinale. Per esempio, 4 = {0,1,2,3}. Il massimo è 3, dunque 4 è successore di 3. Ma ω = {0,1,2,...} non ha massimo, e quindi non è successore di nessun ordinale”.

“Ok, va bene. Mi è venuto in mente che anche 0 non è successore di nessun ordinale”.

“Giusto, però lo escludiamo dalla definizione di ordinale limite. L'insieme vuoto è sempre un po' speciale”.